高中数学求函数值域的7类题型和16种方法

高中数学求函数值域的7类题型和16种方法
求函数值域的7类题型和16种方法
一、函数值域基本知识
1．定义：在函数
y?f(x)
中，与自变量x的值 对应的因变量y的值叫做函数值，函数值的集合叫
做函数的值域（或函数值的集合）。
2．确定函数的值域的原则
①当函数
y?f(x)
用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；
②当函数
y?f(x)
用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的 集合；
③当函数
y?f(x)
用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应 法则唯一确定；
④当函数
y?f(x)
由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。
一般地，常见函数的值域：
1.一次函数
y?kx?b
?
k?0
?
的值域为R. ?
4ac?b
2
?
,??
?
，当
a?0
时的值域为2.二次函数
y?ax?bx?c
?
a?0
?
，当a?0
时的值域为
?
?
4a
?
2
?
4 ac?b
2
?
?
??,
?
.，
4a
??
3.反比例函数
y?
4.指数函数
y?a
x
k
?< br>k?0
?
的值域为
?
y?Ry?0
?
.
x
?
a?0且a?1
?
的值域为
?
yy?0
?
.
5.对数函数
y?log
a
x
?
a?0且a?1?
的值域为R.
6.正，余弦函数的值域为
?
?1,1
?，正，余切函数的值域为R.
三、求解函数值域的7种题型
题型一：一次函数
y?ax?b
?
a?0
?
的值域（最值）
1、一次函数：
y?ax?b
?
a?0
?
当其定义域为
R
，其值域为
R
；
2、一次函数
y?a x?b
?
a?0
?
在区间
?
m,n
?
上的 最值，只需分别求出
f
?
m
?
,f
?
n
?
，并比较它们的
大小即可。若区间的形式为
?
??,n
?
或
?
m,??
?
等时，需结合函数图像来确定函数的值域。
题型二： 二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
的值域（最值）

高中数学求函数值域的7类题型和16种方法
?
4ac?b
2
y?
?
a?0
?< br>?
?
4a
1、二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c (a?0)
， 当其 定义域为
R
时，其值域为
?

2
?
y?
4ac?b

?
a?0?
?
4a
?
2、二次函数
f(x)?ax
2
? bx?c(a?0)
在区间
?
m,n
?
上的值域(最值)
首先判定其对称轴
x??
（1）若
?
b
与区间
?
m ,n
?
的位置关系
2a
bb
?
?
m,n
?
,则当
a?0
时，
f(?)
是函数的最小值，最大值为
f (m),f(n)
中较大者；
2a
2a
b
)
是函数的最大值 ，最大值为
f(m),f(n)
中较小者。 当
a?0
时，
f(?< br>2a
（2）若
?
b
?
?
m,n
?
, 只需比较
f(m),f(n)
的大小即可决定函数的最大（小）值。
2a
特别提醒：
①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②若给定的区间形式是
?
a,??
?
,
?
??,b
?
,
?
a,??
?
,
?
??,b
?
等时，要结合图像来确函数的值域；
③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。
例1：已知
f?x?2x
的定义域为
?
?3,??
?，则
f
?
x
?
的定义域为
?
??,1
?
。
2
??
例2：已知
f
?
x?1
?
?x?1
，且
x?
?
?3, 4
?
，则
f
?
x
?
的值域为
?
1,17
?
。
2
题型三：一次分式函数的值域
1、反比例函数
y?
2、形如：
y?
k
(k?0)的定义域为
?
xx?0
?
，值域为
?
yy?0
?

x
cx?d
的值域：
ax?b
（1）若定义域为
?
x?Rx??
?
时，其值域为
?
y?Ry?
?< br>?
b?
a
?
?
?
c?
?

a
?
（2）若
x?
?
m,n
?
时，我们把原函数变 形为
x?
可求出函数的值域。
d?by
，然后利用
x?
?
m,n
?
（即
x
的有界性），便
ay?c
2
x
?3
例3：函数
y?
的值域为
32
x
?1
例4：当
x?
?
?3,?1
?
时，函数
y?
1
??
??,
?
?
3
??
?
11
?
3,??
x?1,2

?
；若
??
时，其值域为
?
?,
?
。
?
?
511
?
3
?
x?3
?
?4,?
fx? 1?
。 （2）已知，且
??
?
?
2
?
2?x
?
1?3x
的值域
2x?1
6
??
x?
?
?3,2
?
，则
f
?
x
?
的值域为
?
??,?
?
。
5
??
例5：函数
y?
2sinx?1
的值域为
3sinx?2
1
???
?
3
?
??,?3,??x?,< br>?
；若
?
?
??
522
???
?
?
，其值域为
?
?
12
?
?,
?
。
?
?
23
?

高中数学求函数值域的7类题型和16种 方法
dx
2
?ex?c
题型四：二次分式函数
y?
的值域
ax
2
?bx?c
一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三 个问题： ①检验二次项系数为零时，方
程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值； ②闭区间的边界值也要考查达到该值时
的
x
是否存在；③分子、分母必须是既约分式。
2
?
x
2
?x?1x
2
?x?2
?
例6：
y?
2
；
?
1,??
?
?
?
??,
?
例7：
y?
；
?
y?Ry?1
?

2
7
x?x?6x?1
??

3x
?
33
?
例8：
y?
2
；
?
?,
?

x?4
?
44
?
x?1
x?
?
?1,??
?
的值域 例9：求函数
y?
2
x?2x?1
2
解：由原函数变形、整理可得：
yx?
?
2y?1< br>?
x?y?1?0

求原函数在区间
?
?1,??
?
上的值域，即求使上述方程在
?
?1,??
?
有实数解时系数y
的取值范围
当
y?0
时，解得：
x?1?
?
?1,??
?
也就是说，
y?0
是原函数值域中的一个值 …① 当
y?0
时，上述方程要在区间
?
?1,??
?
上有解 ，
?
?0
1
?
即要满足
f
?
?1
?
?0
或
?
2y?1
解得：
0?y?
……②
8
?
?
2y??1
?
?
1
?
综合①②得：原函数的值域为：
?0,
?

?
8
?
题型五：形如
y?ax?b?cx?d
的值域 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域
问题，然后求其值域。
例10： 求函数
y?2x?41?x
在
x?
?
?8,1
?
时 的值域
?
?4,4
?

题型六：分段函数的值域：
一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的 函
数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。
例11：
y?x?1?x?2

?
3,??
?
题型七：复合函数的值域
对于求复合函数的值 域的方法是：首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的
值域逐层向外递推。
例13：
y?

例12：
y??x?4x?1

?
??,5
?

2
x?1
?
?1?x?1
?

?
0,2
?

例14：
y??x
2
?3x?4

2?x
?
5
?
0,
?

?
?
2
?
四、函数值域求解的十六种求法
（1）直接法（俗名分析观察法）：
有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等 式的性质观察出函数的值域。即从自变量
x
的范围出发，推出
y?f(x)
的 取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数
值域的方法。注意此法关键是定义域 。
例1：已知函数
y?
?
x?1
?
?1
，
x?
?
?1,0,1,2
?
，求函数的值域。
?
?1,0,3
?

2
例2：求函数
y?x?1
的值域。
[1,??)

高中数学求函数值域的7类题型和16种方法
例3：求函数
y?
例4：求函数
y?
x?1?x?1,
?
x≥1
?
的值域。
?
?
2,??

x
2
?6x?10
的值域。
?
1,??
?

?
（2）配方法：
二次函数或可 转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别
是不能改变定义域。 对于形如
y?ax?bx?c
?
a?0
?
或
F
?< br>x
?
?a
?
?
f
?
x
?
?
?
?bf
?
x
?
?c
?
a?0
?
类的函
2
2
数的值域问题，均可使用配方法。
例1．求函数
y??2x?x
2
?3
的值域。
?(x?1)
2
?4
，于是：
2
分析与解答：因为
?2x?x?3?0
，即
?3?x?1
，
y?
0??(x?1)< br>2
?4?4
，
0?y?2
。
1
x
2
?2x?4
例2．求函数
y?
在区间
x?[,4]
的值域。 4
x
?
x
2
?2x?4
42
?
x??
分析与解答：由
y?
配方得：
y?x??2??
??
?6< br>，
x
x
x
??
当
2
141
?x? 2
时，函数
y?x??2
是单调减函数，所以
6?y?18
；
4x4
4
?2
是单调增函数，所以
6?y?7
。
x
1
。
4
当
2?x?4
时，函数
y?x ?
所以函数在区间
x?[,4]
的值域是
6?y?18
1
4
（3）最值法：
对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法。
例1 求函数y=3-2x-x2 的值域。
解：由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。 函数y在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2
的最大值为4，最小值为0。
∴函数的值域是［0,2］
例2：求函数
y?2
，
x?
?
?2,2
?
的值域。
?
,4
?

?
4
?
x
2
例3：求函数
y??2x?5x?6
的值域。
?
??,
?
1
?
?
?
73
?

8
?
?
（4）反函数法（逆求或反求法）：
利用函数和它的反函数 的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
即通过反解，用
y< br>来表示
x
，再由
x
的取值范围，通过解不等式，得出
y
的取值范围。对于形如

高中数学求函数值域的7类题型和16种方法
y?< br>cx?d
(a?0)
的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定 义域从而得到原函
ax?b
数的值域。
1?2
x
例1：求函数
y?
的值域。
1?2
x< br>1?y
1?2
x
x
2?
解：由
y?
解得，
1?y
1?2
x
1?y
1?2
x
?0
，∴
?1?y?1
∵
2?0
，∴∴函数
y?
的值域为
y ?(?1,1)
。
x

1?y
1?2
x
（5）分离常数法：
分子、分母是一次函数得有理 函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：
已知分式函数
y?
ax?b
(c?0)
，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为
c x?d
?
?
yy?
?
a
?
，采用部分分式法将原函 数化为
?
；如果是条件定义域（对自变量有附加条件）
c
?
b?ad
a
c
(ad?bc)
，用复合函数法来求值域。
y??
ccx?d
例1：求函数
y?
1?x
的值域。 2x?5
177
?(2x?5)?
1?x
2
??
1?
2
， 解：∵
y??
2
2x?52x?522x?5
7
11?x1
∵
2
?0
，∴
y??
， ∴函数
y?
的值域为
{y|y??}
。
2
2x?52
2x?5
（6）换元法（代数三角）：
对于解析式中 含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给
函数化成值域简单的 熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域。当根式里是一次式时，用代
数换元；当根式里是二 次式时，用三角换元。
对形如
y?
1
的函数，令
f
?x
?
?t
；形如
y?ax?b?cx?d(a,b,c,d均为常数,a c?0)
的
f
?
x
?
22
函数，令
cx? d?t
；形如含
a?x
的结构的函数，可利用三角代换，令
x?acos?
,
?
?
?
0,
?
?
，
或令
x?asin
?
,
?
?
?
?
?
? ?
?
,
?
.
?
22
?
例1：求函数
y?2x?1?2x
的值域。

高中数学求函数值域的7类题型和16种方法
1?t
2
解： 令
t?1?2x
（
t?0
），则
x?
，
2
1
2
5
2
y??t?t?1??(t?)?
∴
24
∵当
t?
135
，即
x?
时，
ymax
?
，无最小值。
284
5
4
∴函数
y ?2x?1?2x
的值域为
(??,]
。
22
例2．求函数
y?(x?5x?12)(x?5x?4)?21
的值域。
9
5
?
9
?
2
分析与解答：令
t?x?5 x?4?
?
x?
?
?
，则
t??
。
4< br>2
?
4
?
y?t
?
t?8
?
?21 ?t
2
?8t?21?
?
t?4
?
?5
，
2
2
1
?
9
1
?
?
9
?
当
t??
时，
y
min
?
?
??4
?< br>?5?8
，值域为
?
y|y?8
?

16
?
4
16
?
?
4
?
例3．求函数
y?x?1 0x?x
2
?23
的值域。
分析与解答：由
y?x?10x?x< br>2
?23
=
x?2?
?
x?5
?
，令
x?5?
2
2
2
2cos
?
，
2
2
因为
2?
?
x?5
?
?0?2?2cos
?
?0??1?cos
?
?1
，
?
?[0,
?
]< br>，则
2?
?
x?5
?
=
2sin
?
，
于是
y?
?
?
??
5
?
?
2 sin
?
?2cos
?
?5?2sin
?
?
??
?5
，
?
??[,]
，
4
?
44 4
?
?
2
?
??
?sin
?
?
?
?
?1
，所以
5?2?y?7
。
24
??
把函数转化成关于
x
的二次方程
F(x,y)?0
；通过方程有实数根，判 别式
??0
，从而求得原函数
（7）判别式法：
a
1
x< br>2
?b
1
x?c
1
的值域。对形如
y?
（< br>a
1
、
a
2
不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x的 二次方
a
2
x
2
?b
2
x?c
2
程，由于方程有实根，即
??0
从而求得y的范围，即值域。值得注意的是，要对方程的二次项 系数进行
讨论。
注意：主要适用于定义在R上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论。

高中数学求函数值域的7类题型和16种方法
x
2
?x?3
例1：求函数
y?
2
的值域。 x?x?1
x
2
?x?3
2
解：由
y?
2变形得
(y?1)x?(y?1)x?y?3?0
， 当
y?1
时，此方程无解；
x?x?1
当
y?1
时，∵< br>x?R
，∴，
??(y?1)?4(y?1)(y?3)?0

解得< br>1?y?
2
1111
，又
y?1
，∴
1?y?

33
11
x
2
?x?3
∴函数
y?
2
的值域为
{y|1?y?}

3
x?x?1
（8）函数单调性法：
确定函数在定义域（或某个定义域的子 集）上的单调性，求出函数的值域。例如，
f
?
x
?
?ax?
b
?
a?0,b?0
?
.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数 的单调性解题。
x
例1：求函数
y?x?1?2x
的值域。
解： ∵当
x
增大时，
1?2x
随
x
的增大而减少，
?1 ?2x
随
x
的增大而增大，
∴函数
y?x?1?2x
在定义域
(??,]
上是增函数。
1
2
∴
y?
111
?1?2??
，
22 2
1
2
∴函数
y?x?1?2x
的值域为
(??,]
。
例2．求函数
y?x?
1
在区间
x?
?
0, ??
?
上的值域。
x
分析与解答：任取
x
1
,x
2
?
?
0,??
?
，且
x
1
?x
2
，则
f
?
x
1
?
?f
?x
2
?
?
?
x
1
?x
2
??
x
1
x
2
?1
?
x
1
x
2
，因为
0?x
1
?x
2
，所以：
x
1< br>?x
2
?0,x
1
x
2
?0
，
当
1?x
1
?x
2
时，
x
1
x
2< br>?1?0
，则
f
?
x
1
?
?f
?< br>x
2
?
；
当
0?x
1
?x
2?1
时，
x
1
x
2
?1?0
，则
f< br>?
x
1
?
?f
?
x
2
?
； 而当
x?1
时，
y
min
?2

高中数学求函数值域的7类题型和16种方法
于是：函数
y?x?< br>1
在区间
x?
?
0,??
?
上的值域为
[2 ,??)
。
x
构造相关函数，利用函数的单调性求值域。
例3：求函数
f
?
x
?
?1?x?1?x
的值域。
?
1?x?0
分析与解答：因为
?
??1?x?1
，而1?x
与
1?x
在定义域内的单调性不一致。现构
1?x?0
?
造相关函数
g
?
x
?
?1?x?1?x
，易知g(x)
在定义域内单调增。
g
max
?g
?
1
?
?2
，
g
min
?g
?
?1
?
??2
，
?g
?
x
?
?2
，
0?g2
?
x
?
?2
，
又
f
2
?
x
?
?g
2
?
x
?
?4
，所以：
2?f
2
?
x
?
?4
，
2?f
?
x
?
?2
。
（9）基本不等式法
利用基本不等式求函数值域, 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定
值。
利用基本不等式a?b?2ab
，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用
a? b?2ab
求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件①
a?0,b?0
;②
a?b
?
或ab
?
为定值；③
取等号成立的条件
a?b< br>.三个条件缺一不可。此外，有时需要合理地添项和拆项和两边平方等技巧, 添
项和拆项的原则 是要使最终的乘积结果中不含自变量,比如求函数
y?x?
k
(k?0,n?N)的值域。
x
n
例1 求函数
解:
y?
x?2
x?1
的值域.
1
x?1
y?
x?2
x?1
?x?1??2
, 当且仅当
x?1
时
?
成立. 故函数的值域为
y?[2,??)
.
此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是
若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.
2x
2
?x?1
?
1
?
y?x?
例2：求函数的值域：
??
.
2x?1
?
2
?
1
2x?x?1
x
?
2x?1
?
?1
111
解：
y???x??x??
2
?

2x?12x?12x?12
x?
1
2
2
2

11
x?,?x??0

22

高中数学求函数值域的7类题型和16种方法

? x?
11
??
??2
?
x?
?
?2
1
1
2
x?
2
?
??
?
x?
??
2
2
??
1
2
1
2
1
1?2
1
当且仅当
x??
2
时，即
x?
时等号成立， < br>2
2
x?
1
2
?y?2?
1
?
1< br>?
，所以元函数的值域为
?
?2,??
?
.
2
?
2
?
的值域。

例
3.
求函数
解：原函数变形为：


当且仅当
即当时

，等号成立


的值域。


故原函数的值域为：
例
4.
求函数
解：


当且仅当，即当时，等号成立。

由可得：

故原函数的值域为：
（10）函数有界性法：

利用某些函数有界性求得 原函数的值域。对于对形如
y?
asinx?c
，由于正余弦函数都是有界函数，bcosx?d

高中数学求函数值域的7类题型和16种方法
值域为[-1，1]，利用这个性质可求得其值域。
x
2
?1
例1：求函数
y?
2
的值域。
x?1
解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为
R
，对函数进行变形可得
(y?1)x
2
??(y?1)
，
∵
y?1
，∴
x??
2
y?1y?1
?0
，∴
?1?y?1
，s （
x?R
，
y?1
），∴
?
y?1y?1
x
2
?1
∴函数
y?
2
的值域为
{y|?1?y?1}
x?1
2
形如
sin
?
?f(y),x
?g (y),因为sin
?
?1,x?0
可解出Yr 范围,从而求出其值域或最值。
2
2
x
?1
例2．求函数
y?
x
的值域
2?1
2
x
?1
y?1y?1
x
?2
2< br>?0,??0?y?1或y??1
解： 由
y?
x
得
2?
y?1

y?1
2?1
例3：求函数
y?
2cosx?1
的值域。
3cosx?2
1
??
?
??,
?
?
?< br>3,??
?

5
??
?
1
?
,3
?

?
3
??
例4：求函数
y?
（11）数型结合法：
2?sinx
的值域。
2?sinx
如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的 图象易
于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域，如由
y
1
?y< br>2
可联想到两点
?
x
1
,y
1
?
与
?
x
2
,y
2
?
连
x
2
?x
1
线的斜率或距离。
例1：求函数y=|x+1|+|x-2|的值域。 y
?
?2x?1(x??1)
?
解法1：将函数化为分段函数形式：y?
?
3(?1?x?2)
，
?
2x?1(x?2)
?
图象，由图象可知，函数的值域是{y|y
?
3}。
3
画出它的< br>2
x
-1
O
解法2（几何法或图象法）：∵函数y=|x+1|+|x -2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴
易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3 ，+
?
]。如图
x-1O12

-1Ox12

-1O12x
）

高中数学求函数值域的7类题型和16种方法 例2．求函数
y?x
2
?4x?5?x
2
?4x?8
的 值域。
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出
函数的值域。
解：原函数变形为
f(x)?(x?2)?1?(x?2)?2

作一个 长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正
方形。设HK=
x
,则EK= 2
?x
,KF=2
?x
,AK=
(x?2)?2
,
KC=
(x?2)?1
。
由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。
∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
例3．求函数
y?1?x?1?x
的值域。
22
解析：令
u?1?x
，
v?1?x
，则
u?0,v?0
，
u?v?2
，
u?v?y
，原问题转化为：
22
当直线
u?v?y与圆
u?v?2
在直角坐标系
uov
的第一象限有公共点时，求直线的截 距的取值范围。
222
22
2
由图1知：当
u?v?y
经 过点
(0,2)
时，
y
min
?
当直线与圆相切时，
y
max
?OD?2OC?
所以，值域为
2?y?2


例4. 求函数
y?
2
；
V
?
2
?
2
?2
。

2
B
D
C
E
O
A

2
U
x
2
?6x+13?x
2
?4x+5
的值域。
2 222
解：将函数变形为
y?(x?3)?(0?2)?(x?2)?(0?1)
< br>上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点
B(?2,1)
到点
P(x,0)
的距离之差。即
y?AP?BP

由图可知：（1）当点P在 x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点
P
?
，则构成
?ABP
?
，根据
三角形两边之差小于第三边，有
AP?BP?AB?(3?2)?(2?1) ?
即
?26?y?
22
26

26

（2 ）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有
AP?BP?AB?
综上所述，可知函数的值域为
(?26,26]

26

注：求两距离之和时，通常需要将函数式 变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，
则要使A，B两点在x轴的同侧。
（12）复合函数法：

高中数学求函数值域的7类题型和16种方法
对函数
y?f(u),u?g(x)
，先求
u?g(x)
的值域充当
y?f(u)
的定义域，从而求出
y?f(u)
的
值域的方法。
3
x
例1、求函数
y?
x
的值域
3?1
x
（复合函数法）设
3?1?t
，
3
x
?1?111
?
t?1
?

?1?? 1?
则
y?
xx
t
3?13?1
1
?t?1?0? ?1
t
?0?y?1


?原函数的值域为
?
01
?

2
例2：求函数
y?log
1
(?2x?5x?3)
的值域。
?
,??
?

?
8
?
2
?
49
?
（13）非负数法
根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。
x
2
?3
例1、(1)求函数
y?16?x
的值域。 (2)求函数
y?
2
的值域。
x?1
2
2
解析：(1)
?0?16?x?16
，
?0?16?x?4

2
4
?
。 故 所求函数的值域为
y?
?
0，
2
222
(2)
?x?1?0
，
?
原函数可化为
y(x?1)?x?3
，即
x(1?y)?y?3
， 当
y?1
时，
x
2
?
y?3y?3
2
?0
，解得
?3?y?1
，
?x?0
，
?
1?y1?y
又
y?1
， 所以
?3?y?1
，
1）
故 所求函数的值域为
y?[?3，
。
（不等式性质法）
例2：求下列函数的值域：
66
2x
2
?4x?10
（1）y=
2
； （2）y=
2
； （3）y=
x?2
2sinx?1
x?2x?2
（4）y=10-
16?x
； （2）y=
?3()?4(x??1)
； （3）y=
log
2
(x?)(x?)

2
1
2< br>x2
1
4
1
2

高中数学求函数值域的7类题型 和16种方法
（14）导数法
若函数
f
在
(a,b)
内可导, 可以利用导数求得
f
在
(a,b)
内的极值, 然后再计算
f
在
a
,
b
点的极限
值. 从而求得
f
的值域.
例1： 求函数
f(x)?x?3x
在
(?5,1)
内的值域.
2
分析:显然
f
在
(?5,3)
可导，且
f
?
(x) ?3x?3
. 由
f
?
(x)?0
得
f
的极值点为
x?1,x??1
.
3
f(?1)?2,f(1?0)??2
.
f(?5?0)?140
.
所以, 函数
f
的值域为
(?2,140)
.
（15）“平方开方法”
求函数值域的方法有很多种，如：“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及 “平方开方法”
等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“ 平方开方法”的函
数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题.
1.适合函数特征
设
f(x)
（
x?D
）是待求值域的函 数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征：
（1）
f(x)
的值 总是非负，即对于任意的
x?D
，
f(x)?0
恒成立；
（2）< br>f(x)
具有两个函数加和的形式，即
f(x)?f
1
(x)?f2
(x)
（
x?D
）；
（3）
f(x)
的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即
f< br>2
(x)?[f
1
(x)?f
2
(x)]
2
?c?g(x)
（
x?D
，
c
为常数），
其中，新函数
g(x)
（
x?D
）的值域比较容易求得.
2.运算步骤
若函数
f(x)
（
x?D
）具备了 上述的三个特征，则可以将
f(x)
先平方、再开方，从而得到
f(x)?c?g(x )
（
x?D
，
c
为常数）.然后，利用
g(x)
的 值域便可轻易地求出
f(x)
的值域.例如
g(x)?[u,v]
，
则显然
f(x)?[c?u,c?v]
.
3.应用四例
能够应用“平方开 方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具
体问题时的技巧.
例1 求函数
f(x)?b?x?x?a
（
x?[a,b]
，
a?b
）的值域.
解：首先，当
x?[a,b]
时，
f(x)?0
；
其次，
f(x)
是函数
f
1
(x)?b?x
与
f
2
(x)?x?a
的和；
22
最后，
f(x)?b?a?2(b? x)(x?a)?b?a?2?x?(a?b)x?ab

可见，函数
f(x )
满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对
f(x)
平方、开方得
2
f(x)?b?a?2?x
2
?(a?b)x?ab
（
x?[a,b ]
）.这里，
g(x)?2?x?(a?b)x?ab
（
x?[a,b]）.对
g(x)

高中数学求函数值域的7类题型和16种方法
根 号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得
g(x)
的值域为
[0,b?a]
.于是，
f(x)
的值域为
[b?a,2(b?a)]
.
ab
例2 求函数
f(x)?b?kx?kx?a
（
x?[,]< br>，
a?b
，
k?0
）的值域.
kk
解：显然，该题 就是例1的推广，且此题的
f(x)
也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对
f(x)
ab
22
平方、开方得
f(x)?b?a?2?k
2x
2
?k(a?b)x?ab
（
x?[,]
）.这里，
g(x)?2?kx?k(a?b)x?ab
kk
ab
（
x?[,]
）.对
g(x)
根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得
g(x)
的值 域仍为
[0,b?a]
.于是，
f(x)
kk
的值域也仍为
[b?a,2(b?a)]
.
例3 求函数
f(x)?|sinx|?|cosx|
（
x?R
）的值域.
解：参照例1的验证步骤，显然，此题的
f(x)
也满足了采用“平方开方法”的三个特征. 于是，对
f(x)
平方、开方得
f(x)?1?|sin2x|
（
x ?R
）.这里，
g(x)?|sin2x|
（
x?R
）.易知，g(x)
的值域为
[0,1]
.
于是，
f(x)
的值域 为
[1,2]
.
例4 求函数
f(x)?sinx?cosx?sinx ?cosx
（
x?R
）的值域.
解：参照例1的验证步骤，显然，此题的< br>f(x)
也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对
f(x)
平方、开 方得
f(x)?2?2|cos2x|
（
x?R
）.这里，
g(x) ?2|cos2x|
（
x?R
）.易知，
g(x)
的值域为
[0,2]
.
于是，
f(x)
的值域为
[2,2]
.
例5 求函数
y?x?3?5?x
的值域
解：（平方法）函数定义域为：
x?
?
3,5
?

y
2
?(x?3)?(5?x)?2?x
2
?8x?15

由x?
?
3,5
?
,得?x
2
?8x?15??
0,1
?
?y?
?
2,4
?
2

?原函数值域为2,2
（
16
）一一映射法

原理：因为< br>y?
??
ax?b
(c?0)
在定义域上
x
与
y
是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范
cx?d
1?3x
的值 域。

2x?1
围，就可以求另一个变量范围。

例
1.

求函数
y?
11
??
解：∵定义 域为
?
x|x??或x??
?

22
??
由
y?
1?y
1?3x

得x?
2y?3
2x?1

高中数学求函数值域的7类题型和16种方 法
故
x?
1?y1?y
11
??
或
x???

2y?322y?32
解得
y??或y??
3
2
3

2
3
??
3
??
故函数的值域为
?
??, ?
?
?
?
?,??
?

2
??
2
??
（
17
）其他方法

其实，求解函数值域的方法，只不过是从解题过程中，对关键环节或典型步骤的一种称呼。实际上，
其 解法也远非上面总结的
16
种方法，还有倒数法等。此外我们还要明白：多种方法的配合使用， 以及
一题采用多种方法，在不断积累过程中，体会不同方法的长短，和练就根据实际问题选择较为简捷方 法
的能力。

例
1.
求函数
y?
x?2
的值域。

x?3
解：令
t?x?2(t?0)
，则
x?3?t
2
?1

（
1
）当
t?0
时，
y?
t11
??
1
2
0?y?
1
t=1
，当且仅当，即时取等号，所以
x??1
2
t?1
t?
2
t
（
2
）当
t=0时，
y=0
。

?
1
?
综上所述，函数的值域 为：
?
0,
?

?
2
?
注：先换元，后用不等式法

1?x?2x
2
?x
3
?x
4
例
2.
求函数
y?
的值域。

24
1?2x?x
?
1?x
2
1?2x
2
?x
4
x?x
3
?
?
?
解：
y?
2424
?
1?x
2
1?2x?x1?2x?x
?
?
1?x
2
?
?
?
?cos
2
?

令
x?tan
，则
??
1?x
2
?
2
??
x1
?sin?

1?x
2
2
2
?
x
?
?

2
?
1?x
?
2
11
1
?
17
?
?y?cos??sin???sin
2
??sin??1
??
?
sin??
?
?

4
?
16
22
?
2
2
∴当
sin??
117
时，
y
ma x
?
16
4

当
sin???1
时，
y
min
??2

17
?
?
?
此时
tan
都存在，故函数的值域为
?
?2,
?

16
?
2
?
注：此题先用换元 法，后用配方法，然后再运用
sin?
的有界性。

高中数学求函数值域的7类题型和16种方法
例3.求函数
y?2
x
(x?0)
的值域
解：（图象法）如图，值域为
?
0,1
?

例4.求函数< br>y?
??
?
1
?
?
3
?
?x
2
?2x
的值域
t
?
1
?
解（复合函数法） ：令
t??x?2x??(x?1)?1
，则
y?
??
(t?1)< br>
?
3
?
22
由指数函数的单调性知，原函数的值域为
?
,??
?

例5.求函数
y?x?1?x
2
的值域
解（三角代换法）：
?
?
1
?
3
?
?
?1?x?1

?
设
x?cos
??
?
?
0,
?
?

y?cos
?
?sin
?
?cos
?
?sin
?
?2sin(
?
?)??1,2
4

?原函数的值域为?1,2
?
??
??
小结：
（1）若题目中含有
a?1
，则可设
a?sin
?
,?< br>?
2
?
?
?
?
2
(或设a?cos
?
,0?
?
?
?
)


22（2）若题目中含有
a?b?1
则可设
a?cos
?
,b?si n
?
，其中
0?
?
?2
?

2
（ 3）若题目中含有
1?x
，则可设
x?cos
?
，其中
0?
?
?
?

（4）若题目中含有
1?x
，则可设x?tan
?
，其中
?
2
?
2
?
?< br>?
?
2

（5）若题目中含有
x?y?r(x?0,y?0, r?0)
，则可设
x?rcos
2
?
,y?rsin
2?
。其中

?
?
?
0,
?
?
?
?
?

2
?

x
2
?1
例6、求函数
y?
2
的值域
x?1
1?y
?0
解法一：（逆求法）
?x?
1?y
2??1?y?1

高中数学求函数值域的7类题型和16种方法

?原函数的值域为
?
?11
?

2
解法二：（复合函数法）设
x?1?t
，
则
y?1?
22
?1?(t?1)

2
t
x?1
2
?2??1?y?1
t

? 原函数值域为
?
?1,1
?
?t?1?0?
解法三：（判别式法）原 函数可化为
(y?1)x?0?x?y?1?0

1）
y?1
时 不成立
2）
y?1
时，
??0?0?4(y?1)(y?1)?0??1?y?1

2
??1?y?1

综合1）、2）值域
{y|?1?y?1}

解法四：（三角代换法）
?x?R
?
??
?
?
设
x?tan
??
?
?
?,
?
，则
?
22
?
1?tan< br>2
?
y
????cos2
?
?
2
?
?
?
?
?
,
?
?
?cos2
?
?
?
?1,1
?

1?tan
2
?

?
原函数的值域为
{y|?1?y?1}

小结：
ax< br>2
?bx?c
22
已知分式函数
y?(a?d?0)
，如果 在其自然定义域内可采用判别式法求值域；
2
dx?ex?f
如果是条件定义域，用判 别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为
y?
二次式一次式
(或y?)
一 次式二次式
的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不 等式的条
件，转化为利用函数
y?x?
a
(x?0)
的单调性去解。
x
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用
sin
?
的有界性 。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，< br>一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
五、与函数值域有关的综合题
例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm
2
,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm

高中数学求函数值域的7类题型和16种方法
的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？
如果要求λ∈［
,
23
］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
34
解 设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx
2
=4840,设纸张面积为S cm
2
,
则S=(x+16)(λx+10)=λx
2
+(16λ+10)x+160,
将x=
2210
?
5
代入上式得 S=5000+44
10
(8
?
+
5
?
), < br>8cm
当8
?
=
?
,即λ=
(
<1)时S取 得最小值
5cm
5cm
55
88
此时高 x=
4840
?
=88 cm, 宽 λx=
5
×88=55 cm
8
8cm
如果λ∈［
,
2323
］，可设≤λ< br>1
<λ
2
≤,
34
34
55
则由S的表达式得
S(
?
1< br>)?S(
?
2
)?4410(8
?
1
?
?4 410(
?
1
?
?
2
)(8?
5
?
1
)
?8
?
2
?
?
2
)
?
1
?
2
又
?
1
?
2
≥25
5
?
,故8－>0,
38
?
1
?
2
23
］内单调递增
34
∴S(λ
1
)－S(λ
2
)<0,∴S(λ)在区间 ［
,
从而对于λ∈［
,
232
］,当λ=时，S(λ)取得最小值
3
34
232
］,当λ=时，所用纸
3
34
答 画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小 如果要求λ∈［
,
张面积最小
x
2
?2x?a
例2已知函数f(x)=,x∈［1,+∞
)

x
1
时，求函数f(x)的最小值
2
(2)若对任意x∈ ［1,+∞
)
,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围
(1)当a=
11
时，f(x)=x++2
2
2x
∵f(x)在区间［1，+∞
)
上为增函数，
解 (1) 当a=
∴f(x)在区间［1，+∞
)
上的最小值为f(1)=
(2)解法一 在区间［1，+∞
)
上，
7

2
x
2
?2x?a
f(x)= >0恒成立
?
x
2
+2x+a>0恒成立
x

高中数学求函数值域的7类题型和16种方法
设y=x
2
+2x+a,x∈［1,+∞
)

∵y=x
2
+2x+a=(x+1)
2
+a－1递增，
∴ 当x=1时，y
min
=3+a,当且仅当y
min
=3+a>0时，函数f (x)>0恒成立，
故a>－3
解法二 f(x)=x+
a
+2,x∈［1,+∞
)

x
当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；
当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)
min
=3+a,
当且仅当f(x)
min
=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3
例3设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log
3
(x
2
－4mx+4m
2
+m+
1
)
m?1
(1)证明 当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M
(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值
(3)求证 对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1
(1)证明 先将f(x)变形 f( x)=log
3
［(x－2m)
2
+m+
当m∈M时，m>1,∴( x－m)
2
+m+
故f(x)的定义域为R
反之，若f(x)对所有实 数x都有意义，则只须x
2
－4mx+4m
2
+m+
1
］,
m?1
1
>0恒成立，
m?1
1
>0,令Δ＜0,即16 m
2
－4(4m
2
+m+
m?1
1
)＜0,解得m >1,故m∈M
m?1
(2)解 设u=x
2
－4mx+4m
2
+m+
1
,
m?1
∵y=log
3
u是增函数，∴当u最小时，f(x)最小
而u=(x－2m)
2
+m+
1
,
m?1
1
,
m?1
显然，当x=m时，u取最小值为m+
此时f(2m)=log
3
(m+
1
)为最小值
m?1
11
(3)证明 当m∈M时，m+=(m－1)+ +1≥3,
m?1m?1
当且仅当m=2时等号成立
∴log
3
(m+
1
)≥log
3
3=1
m?1