高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)

高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)
求函数值域的解题方法总结（16种）
在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，
一般 优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

一、观察法：
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例:求函数
y?3?
?
2?3x
?
的值域。
?
2-3x
?
的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出
解： 由算术平方根的性质知
?
2-3x
?
?0
，故
3?
?
2-3x
?
?3
。
点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1 ）、被开方数的非负性，（2）、值
的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对 于一类函数
的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。
练习：求函数
y?x
?
0?x?5
?
的值域。（答案：
?
0,1,2,3,4,5?
）
二、反函数法：
当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
x?1
例：求函数
y?
的值域。
x?2
点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数
y?
2y?1
x?1
的反函数为：
x?
，其定义域为
y?1的实数，
1?y
x?2
故函数y的值域为
?
y|y?1,y?R
?
。
点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
10
x
?10
-x
练习:求函数
y?
x
的值域。（答案：
?
y|y?- 1或y?1
?
）。
10?10
-x
三、配方法：
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函
数的值域。
例：求函数
y?
?
-x
2
?x?2
的值域。
?
点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。
解：由
-x2
?x?2?0
可知函数的定义域为
?
x|-1?x?2
?。此时
-x
2
?x?2
=

- 1 -

高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)
?
1
?
9
-
?
x-
?
?

?
2
?
4
2
?0?
?
-x
2?x?2?
?
3
3
??
，即原函数的值域为
?
y|0?y
?

2
?
2
?
点评：求函数的值域的不 但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域
对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方 法。
练习：
y?2x-5?15-4x
的值域。（答案：
?
y|y ?3
?
）
四、判别式法：
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理数，可用判别式法求函数
的值域。
例:求函数
y?
2(x?1)
的值域。
(x?2)(x
2
?1)
点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式法求原
函数 的值域。
解：由
y?
2(x?1)2
2
== 得
(x?2)(x
2
?1)(x?2)(x?1)
x
2
?3x ?2
yx
2
?3yx?2y?2?0

∵当
y?0
时，-2 = 0 ，不成立
当y?0
时，由
??0
，得
(?3y)
2
?4y(2y? 2)
=
y
2
?8y?0

∴
y??8
或
y?0

由于
y?0

∴函数
y?
2(x?1)
的值域为
y|y??8或y?0
。
2
(x?2)(x?1)
??
点评：把函数关系化为二次方程
F
?
x，y
?
?0
，由于方程有实数解，故其判别
2
ax
式为非负数，可求得函数的值域。常适用于
y?
2
?bx?c
及
dx?ex?f
y?ax?b?cx
2
?dx?e
。
练习：求函数
y=
2x
?
的值域。（答案：
?
2
?
y|?
x?3
?
?
33
?
?
）。
?y?
?
33
?
?
五、最值法：

- 2 -

高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)
对于闭区间
?
a，b
?
上的连续函数
y?f
?
x
?< br>，可以求出
y?f
?
x
?
在区间
?
a，b< br>?
内
的较值，并与边界
f
?
a
?
，f
?
b
?
作比较，求出函数的值，可得到函数y的值域。
例：已 知
?
2x
2
-x-3
??
3x
2
?x?1
?
?0
，且满足
x?y?1
，求函数
z?xy?3x
的
值域。
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可
求出函数的值域。
解：
?
3x
2
?
x
?
1
?
0
，上述分式不等式与不等式
2x
2
-x-3
?
0
同解，解之得
3
?
又
x?y?1
，将y=1-x代入
z? xy?3x
中，得
z?-x
2
?4x
?
-1?x?
-1?x?
，
2
?
3
?
?
，
2
?
?
3
??
3
?
2
??
?z?-x-2? 4
x?-1，-1，
?
上连续，且，函数z在区间故只需比较
???

?
2
??
2
?
边界的大小。
当x=-1时，z=-5；当
x?
315
时，
z?
。
24
15
??
z|-5?z?
?
函数z的值域为
??
。

4
??
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的值。对开区间， 若存在值，也
可通过求值而获得函数的值域。
练习：若
x
为实数，则函数
y?x
2
?3x-5
的值域为( )
??
?
C.
?
0，??
?
D.
?
?5，??
?
(答案：D） A.
?
??,??
?
B.
?
?7，
六、
单调法:

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例：求函数
y?4x-1-3x
的值域。
点拨：由已知的函数是复合函数，即< br>g
?
x
?
?-1-3x
，
y?f
?
x
?
?g
?
x
?
其定义域为
1
，在此区间 内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
3
1
解：设f(x)=4x,
g
?
x
?
?-1-3x
,(
x?
),易知 它们在定义域内为增函数，从而
3
x?

- 3 -

高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)
y?f
?
x
?
?g
?
x
?
=
4x-1-3x
在定义域 为
x?
1
上也为增函数，而且
3
4
?
1
? ?
1
?
4
y?f
??
?g
??
?
,因此，所求的函数值域为｛y|y≤｝。
3
?
3
??
3
?
3
点评：利用单调性 求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的
区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间 端点的函数值，进而可确定函数的
值域。
练习：求函数
y?3?4-x
的值域。(答案：｛y|y≥3｝)
七、换元法：
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形
式，进而求出值域。
例：求函数
y?x-3?2x?1
的值域。
点拨：通过换元将原函数转化为 某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，
确定原函数的值域。
解：设
t?2x?1
（t≥0）,则
t
2
-1

x?
。
2
?
t?1
?
?4?
1
?4??
7
.
t
2
-1
-3?t?
于是
y?
2222
2
7
所以，原函数的值域为｛y|y≥
-
｝。
2
点评：将无理函数或二次型的函 数转化为二次函数，通过求出二次函数的最
值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化 归的思想方法。它
的应用十分广泛。
3
练习：求函数
y?x-1-x
的值域。（答案：｛y|y≤
-
｝）
4
八、构造法:
根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
例：求函数
y?x
2?4x?5?x
2
-4x?8
的值域。
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为< br>f
?
x
?
?
?
x?2
?
2
?1?
?
2-x
?
2
?2
2
构作一个长为4、宽为 3
?
2-x
?
2
?2
2
,KC=
?
x?2
?
2
?1
。
的矩形ABCD，再切割成12个边长为1的正方形。
设HK=x,则
EK
=2-x,KF=2+x,AK=

- 4 -

高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)
由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。
∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
点评：对于形如函数
y?x
2
?a?< br>?
c-x
?
2
?b
(a,b,c均为正数)，均可通过
2
｝）
构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。
练习：求函数
y?x
2
?9?
?
5?x
?
2
?4
的值域。（答案：｛y|y≥
5
九、比例法：

对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函
数，进而求出原函数的值域。
例：已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数
z?x
2
?y
2
的值域。
点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
x-3y-1
解：由3x-4y-5=0变形得，
??k
(k为参数)
43
∴x=3+4k,y=1+3k,

?z?x
2
?y
2
?
?
3?4k
?
?
?
1?3k< br>?
?
?
5k?3
?
?1
。
222
334
当
k?-
时，
x?
,
y ?-
时，
z
min
?1

555

?
原函数的值域为｛z|z≥1｝.
点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件 ，将条件转化为比例式，通
过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法 ，
具有一定的创新意识。
练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y) =
2x
2
-y
的值域。（答案：
｛f(x,y)|f(x,y)≥1 ｝）。
十、利用多项式的除法
3x?2
的值域。
x?1
点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
3x?21
解：
y?
=
3-
。
x?1x?1
1
?0
，故y≠3。 ∵
x?1
∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
ax?b
点评：对于形如
y?
的形式的函数均可利用这种方法。
cx?d
2x-1
练习：求函数
y?
的值域。（答案：y≠2）
x-1
例：求函数
y?
十一、不等式法

- 5 -

高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)
3
x
例：求函数
y?
x
的值域。
3?1
点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。
解：易求得原函数的反函数为
y?log
x
1-x
3
,由对数函数的 定义知
x
?
0

1-x
（1-x≠0）解得，0＜x<1。
?
函数的值域（0，1）。
点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构 造重要不等式，求
出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。
是数学解题的方法之一。
2
x
练习：求函数
y?
x
的值域，（答案：
?
y|y?1或y?0
?
）。
2-1
十二、图象法

通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
例:求函数
y?x?1?
?
x-2
?
2
的值域。
点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
解：原函数化为y=-2x+1(x≤-1)
y=3(-1 y=2x-1(x>2)
画出其图像可得函数值y≥3。

?
函数值域[3，＋∞]。
点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函 数的值域，体现数
形结合的思想。是解决问题的重要方法。
十三、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
x
e
例1: 求函数
y?
?1
的值域。
e
x
解：由原函数式可得：
e
x
?
y?1

y-1
∵
e?0


?
y?1

y?1
解得：
-1?y?1

故所求函数的值域为(-1,1)

例2: 求函数
y?
cosx
的值域。
sinx-3
x

- 6 -

高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)
y
2
?1sinx(x??)?3y
ysinx?cosx?3y
解：由原函数式可得：，可化为：
sinx(x??)?
3y
y
2
?1
即
∵
x?R

?1?
3y
y?1
?
2

∴
sinx(x??)?[?1,1]

?1
即
22
?y?
4
解得：
4
?
22
?< br>?,
??
44
??
?
故函数的值域为
?

十四、数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种 几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题
目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然， 赏心悦目。
例1: 求函数
y?(x?2)
2
?(x?8)
2
的值域。

解：原函数可化简得：
y?|x?2|?|x?8|

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），
B(?8)
间的距离之和。
由上图可知，当点P在线段AB上时，
y?|x?2|?|x?8|?|AB|?10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
y?|x?2|?|x?8|?|AB|?10

故所求函数的值域为：
[10,??]


22
y?x?6x?13?x?4x?5
的值域。 例2: 求函数
解：原函数可变形为：

y?(x?3)
2
?(0?2)
2
?(x?2)
2
?(0?1)
2

上式可看成x轴上的点
P(x,0)
到两定点
A(3,2),B(?2,?1)
的距离之和，
由图可知当点P为线段与x轴的交点时，
故所求函数的值域为
[43,??]

y
min
?|AB|?(3? 2)
2
?(2?1)
2
?43
，


- 7 -

高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)

22
y?x?6x?13?x?4x?5
的值域。 例3:求函数
解：将 函数变形为：
y?(x?3)
2
?(0?2)
2
?(x?2)
2
?(0?1)
2

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0） 的距离与定点
B(?2,1)
到点
P(x,0)
的距离之差。
即：
y?|AP|?|BP|

由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线 AB与x轴的交点时，如点
P'
，则构成
?ABP'
，
根据三角形两 边之差小于第三边，有
即：
?26?y?26

（2）当点P恰好为直线AB 与x轴的交点时，有
||AP|?|BP||?|AB|?26

综上所述，可知函数的值域为：
(?26,26]

||AP'|?|BP' ||?|AB|?(3?2)
2
?(2?1)
2
?26


注：由上例可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两
距离 之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。
如：例3的A，B两点坐标分别为：（3，2），
(?2,?1)
，在x轴的同侧；例18的A，B两点
坐标分别为（3，2），
(2, ?1)
，在x轴的同侧。

十五、一一映射法
原理：因为
个变量范围，就可以求另一个变量范围。
例：求函数
y?
1?3x
2x?1
的值域。
y?
ax?b
(c?0)
cx?d
在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一
11
??
x|x??或x??
??
22
??
解：∵ 定义域为
1?3x
x?
1?y
y?
2y?3
由
2x ?1
得
x?
故
1?y
1
??
2y?32
x?
或
1?y
1
??
2y?32

33
y??或y??
22
解得
3
??
3
??
?
??,?
?
?
?
?,??
?
2??
2
?
故函数的值域为
?

- 8 -

高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)

十六、多种方法综合运用
例1：求函数
y?
x?2
x?3
的值域。
2
解：令
t?x?2(t?0)
，则
x?3?t?1

y?
（1）当
t?0
时，
（2）当t=0时，y=0。
t 11
??
1
t
2
?1
t?
1
2
0 ?y?
t
2
，当且仅当t=1，即
x??1
时取等号，所以
?
1
?
?
0,
2
?
综上所述，函数的值域为：< br>??

注：先换元，后用不等式法

1?x?2x
2
?x
3
?x
4
y?
24
1?2x?x
例2： 求函数的值域。
1?2x
2
?x
4
x?x
3
y? ?
24
1?2x?x1?2x
2
?x
4
解：
?
1?x
2
?
?
?
1?x
2
?

?
x
?
?
?
1?x
2
?

2
2
2
??
1?x
?
??
?cos
2< br>?
x?tan
2
?
1?x
?
?
2
令，则
?

x1
?sin?
2
2
1?x


11
?y?cos
2
??sin???sin
2
??sin??1
22


1
?17
?
??
?
sin??
?
?
4
?< br>16

?

117
sin??y
max
?
4
时，
16
∴当
y
min
??2
sin???1
2
当时，
此时
tan
17
??
?
?2,
?
1 6
?
?

2
都存在，故函数的值域为
?
注：此题先 用换元法，后用配方法，然后再运用
sin?
的有界性。






- 9 -

高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)



- 10 -