数学概念的学习与认识

高二数学思想方法续讲
第一讲 数学概念的学习与认识方法
——数列概念学习与应用

一、复习回顾：数学概念学习
深刻理解并牢固 系统地掌握数学概念是学习数学公式、性质法则、
定理、方法及提高能力的基础。因此,数学概念的学习 十分重要,它是整
个认知过程中的一个重要环节。数学概念学习的根本任务是正确地揭示
概念的 内涵和外延,深刻理解和牢固系统地掌握概念,灵活地运用概念。
为了达到这样的要求,可从以下几个方 面进行概念学习。
1.重视数学概念的引入
数学概念是什么呢？数学概念是数学逻辑思维的 最基本的思维形
式，是对一类对象本质属性的反映，数学概念是数学命题、数学推理的
基础成分 ，数学学习的真正开始是从学习数学概念开始的。
数学概念形成的思维过程是：先对数学对象进行感知 辨认，在人脑
中形成个别表象，然后通过思维加工从若干个表象中分化出它们的各种
属性，再通 过比较得出它们的共同属性，形成一般表象，并在思维的抽
象概括作用下，确认一类事物的本质属性，最 后通过词语表达形成概念。
如：

堆放的钢管，共堆放了7层
f
1
：自上而下各层的钢管数
1 2 3 4 5 6 7 （抽象数据）
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
4 5 6 7 8 9 10 （第一映像）
期中考试成绩
f
3
：每个学生的学号对应一个数学成绩
1 2 3 4 5 6 7 8 9……45
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
75 68 94 83 62 57 98 87 93……96


不管数学概念直接从客观事物的空间形式和数量关系反映得来的,
还是在抽象的数学理论基础上经过多级抽象才产生发展得来的,都有它
的具体内容。对于中学数学概念的 具体内容,大家或多或少地都有所接
触。因此,在中学进行新概念学习时,既要善于从我们接触过的具体 内容
引入,也要灵活地从数学问题提出,这是一种比较好的引入新概念的教学
方法。这就要求在 数学概念的教学中,尽量做到密切联系现实原型,认真
分析生产、生活、科技中常见的事例,观察有关的 实物、模型、图示等,
在感性认识的基础上升为理性认识,建立起概念。
2.抓住本质认识概念

1

高二数学思想方法续讲 概念引入后,我们初步地掌握了概念的定义,并不等于完全掌握了概
念的本质。还必须在感性认识的 基础上,对概念作全面的分析,采用不同
的方法,从不同的角度和方位揭示概念的本质。
①突出概念的主要特征
任何一个概念都有各自的本质特征,要采用各种手段,分析本质特征,
带动对概念的全面理解。例如：
定义：按一定次序排列的一列数叫数列，其中数列中的每一个 数都
是函数值，将数列中的每个数称为数列的项，和它在数列中的次序对应
起来，称为第1项， 第2项，…，第n项，…
数列中的数和它的序号是什么关系？哪个是变动的量，哪个是随之
变动的量？你能联想到 以前学过的哪些相关内容？
三角函数这个概念涉及到角、点的坐标、距离公式、相似三角形、
函数、比的意义等知识。其中“比”是三角函数概念的主要特征,学习时要
突出“比”这一主要特征。
②认清概念间的关系
数学的第一个概念都在其余概念的一定关系之中,概念间彼此的联系就构成了一个数学知识体系。因此,数学学习必须逐步认清概念间的
关系,从而系统地掌握数学基 础知识。
为了认清概念间的关系,教学中一般应采用概念分类或者比较概念
内涵和外延,找出 它们的共同点和不同点,从而确定它们的各种关系。如
同一关系、交叉关系、包含关系、对立关系、矛盾 关系等。例如
数列中元素与集合中的元素的属性有什么不同？（交叉关系）
数集中的元素具有确定性，互异性，无序性
数列中的元素具有：
数列是特殊的函数：（包含关系）
（1）由例1知第一项为f
1
（1）=4 ，第二项为f
1
（2）=5…项与序号的关
系实际上是自变量与函数值的对应关系。函 数值表示为f(x),所以数列的项可以写
成a
n
（或称通项），表示为第n项且有f
1
（n）=a
n
（2）数列（函数）的三种表示方法：
a）列举 法：数列可以写成a
1
,a
2
,…a
n
…简记数列为an
；
b） 图象法：数列看做函数画出的图象是平面上的一些孤立的点（举例说明）；
c）解析法：数列的通项公式（用n表示的函数解析式）（举例说明）。
正如并不是每个函数 都可以写出解析表达式，可知也不是每个数列都有通
项公式，如果能写出一个数列的通项公式，那么将会 方便对数列的研究。这里有
两类问题，一是知道通项公式求特定项（已知自变量求函数值）。二是根据数 列
的若干项，归纳出通项公式（求解析式）（举例说明），不同的数列通项公式必不
相同，对同 一数列来说，可能有不同形式的通项公式，但其反映的实质是相同的
（举例说明）。
（3）由函数的性质可以对数列进行分类
a）单调性。存在递增函数、递减函数、常函数，则 数列也存在递增数列、
递减数列、常数列（举例说明）。

2

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b）根据定义域元素的个数，可分为有限集、无限集， 则数列存在有穷数列，
无穷数列（举例说明）。
评注：从研究函数的角度入手，三要素、性质 、对数列进行研究，直观简
洁，甚至很到位，也是点拨学生研究此类问题的方法。

实数概念的教学。为了使大家对实数概念得到较全面系统的认识,可
以把实数进行分类,写出分类表。通 过分类表指出数的概念从自然数到
分数到有理数到实数的扩充过程。进一步比较各种数集及其运算性质,
从而指出数的概念的扩充原则以及各种数集间的关系。这样就可以清晰
系统地掌握数的概念。
③揭示概念中的每一词句的真实含义
有的概念叙述简练,但含义深刻;有的概念用式子表示 比较抽象。对于
这样的概念,必须深刻地揭示每一词、句的真实含义,防止一提而过。例
如,“ 无限不循环小数叫做无理数”。定义中“无限”、“不循环”、“小数”三个
词都必须揭示它们的真实含 义。
④新旧概念对比形成正确的概念
有比较才能鉴别。对于容易混淆或难以理解的概念,利 用分析对比法,
易于找出异同,有助于抓住概念的本质,形成正确的概念。有些概念从表
面上看 好像差不多,而实质是不一样的,对这样的概念我们会常常分辨不
清。例如,“根式”与“无理式”两个 概念。要从概念的内涵和外延上去区分
n
它们。根式的定义是:“形如
a
(a 为大于1的整数,n为奇数时,a为全体
n
实数;n为偶数时,a≥0)的代数式叫做根式”。 它的内涵是“式子
a
”这种形
3
(-2)
2
2
式, 根号内可含有字母,也可不含有字母,如、、
1-x
等都是根
3
a+b
不是一个根式,是两个根式之和; 式。而
3
n
a
+2也不是根式,是根< br>n
式
a
代数式的全体。无理式的定义是:“含有字母开方运算的代数式叫做无理式”。如
x+2
、
a
、
a+2
、
3
a
、
3
b
等都是无理式,而
2
不是无
理式。无理 式的内涵是含有根号且根号内必含有字母。外延是含有开方
运算的代数式的全体。从而也可看出,“根式 ”与“无理式”不是包含关系,
而是交叉关系。
⑤运用反例强化对概念本质的理解

3

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在概念教学中,我们强调从正面要讲清概 念。但适当地举一些反例加
以辨认,对于突出概念本质属性,澄清我们的模糊认识是非常重要的。
3.巩固深化概念、灵活运用概念
数学概念的教学,必须通过从生动直观到抽象的思维,又从 抽象的思
维到实践,这样多次反复才能完成。是否真正透彻理解和牢固地掌握了
概念,还有待于 在实践中去检验。这就是说,理解了概念并不一定就能真
正掌握它,只有通过反复的灵活运用,才能巩固 深化对概念的理解。
4.强调数学概念在运算、推理、证明中的理论指导作用
数学运算、推 理、证明必须以有关概念为依据。例如,对数式的恒等
变形必须以指数式与对数式的互化为依据。又如, 要证明
3
不是有理数,
必须以有理数概念为依据。在数学概念教学中,恰当地结合实例 使我们
认识到各个概念在运算、推理、证明中的理论指导作用,既能深刻理解
牢固掌握概念,又 能有助于提高基本能力,进而提高分析问题和解决问题
的能力。
5.正确理解和运用数学概念的符号
数学概念往往是用抽象的符号来表示的,数学运算、推理 、证明也多
数是通过抽象的符号来实现的。因此,数学概念教学很有必要正确理解
和运用数学符 号。例如,初学对数时,由于对表达对数的符号不理解,往往
造成运算、推理上的错误。对数的定义是: “如果a
b
=
N
(a＞0,a≠1),那么幂
指数b叫做以a为底的
N
的对数,记作log
a
N
=
b
”。对数符号lo g
a
N
是一
个完整的记号,它不是log
a
与
N< br>的乘积,它表示等式a
b
=
N
中的指数b。
这就建立了指数与 对数间的对应关系:
a
b
=
N
?
log
a
N
(a＞0,a≠1,N＞0)
等式a
b
=
N
与loga
N
=b表示了三个数a,b,N间的同一关系,只是表达形式上的不
同。
思考：
1.数学概念的引入注意什么？2.如何认识数学概念的本质？3.如何运用概
念？
二、问题解决：
1. 数列概念的本质属性：2. 数列的表示方法:3. 数列的分类：
4. 数列与集合概念的比较：数列与函数概念的比较：
5. 概念之间的关系：等差数列与数列
6. 如何判断数列是等差数列？
?
1< br>?
定义法：
a
n?1
?a
n
?
常数（
n?N*
）
?
?
a
n
?
为等差数列；
【注】①求出的常数即为公差
d
;
②
n
的范围,
n?N
?
,a
n?1
?a
n

n?2,a
n
?a
n?1

?
2
?
中项公式法：
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
（< br>n?N*
）
?
?
a
n
?
为等差数列；
（关于n的“一次函数”）

?
?
a
n
?
为等差数列；
?
3
?
通项公式法：
a
n
?pn?q
（
n?N*
）

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高二数学思想方法续讲
（缺常数项的“二次函数”）
?
?
a
n
?
为等?
4
?
前
n
项求和法：
S
n
?An< br>2
?Bn
（
n?N*
）
差数列；



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