跑环公式空间向量与立体几何

一、知识点

<一>常用结论
1．证明直线与直线的平行的思考途径（1） 转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同
与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4 ）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.
2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直 线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
3．证明平面与平面平 行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直.
4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
5．证明直线与平面垂直的 思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为
该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为
该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为 该直线与两个垂直平面的交线垂直.
6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角 是直二面角；（2）转化为
线面垂直.
1
7.夹角公式 ：设
a
＝
=

，则cos〈
a
，b〉
.
2
b＝，
8．异面直线所成角：
=

3
（其中

）为异面直线
所成角，
4
（
分别表示异面直线
的方向向量）
5
9.直线

与平面所成角：
(
6
10.二面角

为平面
的法向量).
的平面角
7


或
，
8
（
为平面
，
的法向量）.
9
11.空间两点间的距离公式 若A
B

，则
=
10
，
.
11
12.异面直线间的距离：
(


是两异面直线，其公垂向量为
，
12

分别是
上任一点，
13
为
间的距离).
14
13.点

到平面
的距离：
15

为平面
的法向量，
是经过面
16
（
14.三个向量和的平方公式：

的一条斜线，
）.
17

15. 长度为
直线上的射影长分别为


的线段在三条两两互相垂直的
，夹角分别为
18
,则有
19
.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
20
116. 面积射影定理
面积分别是

、
21
.(平面多边形及其射影的
，它们所在平面所成锐二面角的
).
117. 球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)
球与正 方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是
正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长
〈二〉温馨提示：
1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你 是否注意到它们各自的
取值范围及义？
22
① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次
.
23
② 直线的倾斜角、

的角、
与
24
到
的夹角的取值范围依次是
．
25
③ 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是
．
〈三〉解题思路：
1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

26
线面平
线面平行的性质：

的判定：


27
行



三垂线定理（及逆定理）：




28
线面垂直：

面面垂直：
29




30


2、三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°
31

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°


32



（三垂线定理法：A∈α作或证A B⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱
l
，
∴∠AOB为所求。）
33
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
二、题型与方法
【考点透视】
不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成。
求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。
【例题解析】
考点1 点到平面的距离
求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确 定点在平面内的垂
足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.
34
例1如图，正三棱柱
35
所有棱长都为
，
的

中点．

36
为


Ⅰ）求证：
；
37
平

面（

（Ⅱ）求二面角

的大小；
（Ⅲ）求点
的距离．
考查目的 ：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的
大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、 逻辑思维
能力和运算能力．
38
到平面


解答过程：

解法一：Ⅰ）取
，
．
39
中点
连结
（
为
．
40
正三角形，

正
中
41
三棱
，平
柱
面

，
42
平面


．
43
平面


连结

分别为
44
在
中
正方形
，
，

的
．
45
点中，
，

在正

方形
46
，
，
中


．
47
平面


Ⅱ设
，
48
交
在
与
于点
平面
（）

中
，
49
，作
于
连结

，
．
50
（
平
）得
面
由Ⅰ

为
的平面角．
51
二面
，
角



在

中，
，
52
等面积法可求得由
又

．
53
，

所以二

面角
．
54
大小为的

Ⅲ
．
55
，
，
（）中


在正三

棱柱中
的
．
56
到
距离
平面
为
，
设点

的
．
57
到平
距离
面
为
，
．
58
得由，



到
59
点
平面

的
．
60
距离为

解法二

（Ⅰ取
．
61
连
点
结
：）中
，

为
．
62
正三角形，

在
中
63
正三
，
棱柱
平面

，
64
平面


．

65
平面


取

为
66
中
，
原点
点
以
，
的
67
方向
，
，
为

轴的正方向建立空间直角坐标系，则
，
，
68
，
69
，
，


．
70
，
，


，
71
，


．
72
，


．
73
平面


Ⅱ）设平面
．
74
法向量为（的


75
，
．

，
76
，



77
令

为
的一个法向量．
78
得
平面

（）知
，
79
平面由Ⅰ


的法向量．
80
为平面


．
81
，


二
的
．
82
面
大小
角
为

Ⅲ）（Ⅱ，
法向量，
．
83
为平面（由）


到
84
点
平面

的
．
85
距离

小 结：本例中（Ⅲ）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，
把不易直接求 的B点到平面的距离转化为容
易求的点K到平面的距离的计算方法，这是
数学解题中常用的方法 ；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得
更简单些，因此可优先考虑使用这一 种方法.
考点2 异面直线所成的角
此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后 通过解三角形来求角.异面直线所
成的角是高考考查的重点.
86
例2、

如图，在
87
斜
，
边
．
中
，

可以通过
以直线
为轴旋转得到，且二面角
88
角．

的
的中点．
89
直二面
是
I）求
II）
证：平面
求异面直
；
线
90
平面（
（









思路启迪：（

所成角的大小．
II）的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内.
91
与

解答过程：解法1：

I）由题意，
，
92
（，

是
是直二面角，
93
二面角


，
94
又，


，
95
平面


又

．
96
平面

．
97
平
平
面
面


II）作
，
98
垂
连
足为
结
（，

（

99
如图，则），

是
所成的角．
100
异面直线
与