计数高中数学-高中数学考虑周全
第2课时 集合的表示方法
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握集合的两种表示方法.(重点)
1.借助空集,区间的概念,培养数学抽象的素养.
2.掌握区间的概念及表示方法.(重
点)
2.通过学习集合的两种表示方法,培养数学运算的素
养.
1.集合的表示方法
(1)列举法:把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔
),并写在大括号内,
以此来表示集合的方法叫做列举法.
思考1:观察下列集合:
(1)中国古代四大发明组成的集合;
(2)20的所有正因数组成的集合.
问题1:上述两个集合中的元素能一一列举出来吗?
提示:能.(1)中的元素为:造纸术、
印刷术、指南针、火药;(2)中的元素为:1,2,4,5,10,20.
问题2:如何表示上述两个集合?
提示:用列举法表示.
(2)描述法:一般地,
如果属于集合
A
的任意一个元素
x
都具有性质
p
(
x
),而不属于集合
A
的元素都不具有这个性质,则性质
p
(
x
)称为集合
A
的一个特征性质.此时,集合
A
可以用
它
的特征性质
p
(
x
)表示为{
x
|
p
(<
br>x
)}.这种表示集合的方法,称为特征性质描述法,简称为描
述法.
思考2:观察下列集合:
(1)不等式
x
-2≥3的解集;
(2)函数
y
=
x
-1的图像上的所有点.
问题1:这两个集合能用列举法表示吗?
提示:不能.
问题2:如何表示这两个集合?
提示:利用描述法.
2.区间的概念
设
a
,
b
是两个实数,且
a
<
b
: (1)集合{
x
|
a
≤
x
≤
b
}可简
写为[
a
,
b
],并称为闭区间;
(2)集合{
x
|
a
<
x
<
b
}可简写为(
a
,
b
),并称为开区间;
2
(3)集合{x
|
a
≤
x
<
b
}可简写为[
a,
b
),集合{
x
|
a
<
x
≤
b
}可简写为(
a
,
b
],并都称为半开
半闭区间; <
br>(4)用“+∞”表示正无穷大,用“-∞”表示负无穷大,实数集R可以用区间表示为(-
∞,
+∞);
(5)满足不等式
x
≥
a
,
x
>
a
和
x
≤
b
,
x
<
b
的实数<
br>x
的集
合用区间分别表示为[
a
,+∞),(
a
,
+∞),(-∞,
b
],(-∞,
b
).
1.下列判断错误的是( )
A.方程
x
=9的解集可以用列举法表示,也可以用描述法表示
B.不大于2 020的自然数构成的集合是无限集
?
?
?
1C.集合
A
=
?
x
?
=0
?
?
x
?
2
2
2
?
?
?
是空集
?
?
D.{
x
︱
x
=0}={0}
B
[A.正确;方程
x
=9的解集可以用列举法表示,也可以用描述法表示,即
A
={
x
|
x
=9}={-3,3}.
B.错误;因为不大于2
020的自然数依次为0,1,2,…,2 020,共有2 021个,所以构
成的集合是有限集.
?
?
?
1
C.正确;因为0的倒数不存在,任何非零实数的倒数都不
是0,所以集合
A
=
?
x
?
=0
?
?x
?
2
?
?
?
?
?
是空集.
D.正确,
x
=0,可得
x
=0,故选B.]
2.把集
合{
x
|
x
-3
x
+2=0}用列举法表示为( )
A.{
x
=1,
x
=2}
C.{
x
-3
x
+2=0}
2
2
2
2B.{
x
|
x
=1,
x
=2}
D.{1,2}
D [解方程
x
-3
x
+2=0可得<
br>x
=1或
x
=2,
故集 合{
x
|
x-3
x
+2=0}用列举法可表示为{1,2}.]
3.用区间表示下列数集.
(1){
x
|
x
≥2}=________;(2){
x<
br>|3<
x
≤4}=________.
[答案] [2,+∞)
(2)(3,4]
4.用描述法表示下列集合:
(1)正偶数集;
(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
[解] (1)偶数可用式子
x
=2
n
(
n
∈Z)表示,但此题要求为正偶数,故限定
n<
br>∈N,所以正
偶数集可表示为{
x
|
x
=2
n
,
n
∈N}.
*
*
2
(2)坐标轴上的点(
x
,
y
)的特点是横、纵坐 标中至少有一个
为0,即
xy
=0,故坐标轴上
的点的集合可表示为{(
x
,
y
)|
xy
=0}.
用列举法表示集合
【例1】
(1)若集合
A
={(1,2),(3,4)},则集合
A
中元素的个数是(
)
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)用列举法表示下列集合.
①不大于10的非负偶数组成的集合;
②方程
x
=
x
的所有实数解组成的集合;
③直线
y
=2
x
+1与
y
轴的交点所组成的集合;
?
?
x
+
y
=1,
④方程组
?
?
?
x
-
y
=-1
2
的解.
(1)B
[集合
A
={(1,2),(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4).选B.]
(2)[解] ①因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大
于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.
②方程
x
=
x的解是
x
=0或
x
=1,所以方程的解组成的集合为{0,1}. ③将
x
=0代入
y
=2
x
+1,得
y
=1,即交点是(0,1),故两直线的交点组成的集合是
{(0,1)}.
?
?<
br>x
+
y
=1,
④解方程组
?
?
x
-
y
=-1,
?
2
?
?
x
=0,
得
?
?
y
=1.
?
?
?
x
+
y
=1,
∴用列举法表示方程组
?
?x
-
y
=-1
?
的解集为{(0,1)}.
用列举法表示集合的步骤
?1?求出集合的元素;
?2?把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次;
?3?用大括号括起来.
1.已知集合
A
={-2,-1,0,1,2,3},对任意
a<
br>∈
A
,有|
a
|∈
B
,且
B
中只有
4个元素,
求集合
B
.
[解] 对任
意
a
∈
A
,有|
a
|∈
B
,因为集合A
={-2,-1,0,1,2,3},由-1,-2,0,1,2,3∈
A
,<
br>知0,1,2,3∈
B
.
又因为
B
中只有4个元素,所以
B
={0,1,2,3}.
用描述法表示集合
【例2】 试分别用列举法和描述法表示下列集合:
(1)方程
x
-2=0的所有实数根组成的集合;
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
[解] (1)设方程
x
-2=0的实数根为
x
,并且满足条件
x
-2=0,因此,用描述法表示<
br>为
A
={
x
∈R|
x
-2=0}.方程
x<
br>-2=0有两个实数根2,-2,因此,用列举法表示为
A
=
{2,-2}.
(2)设大于10小于20的整数为
x
,它满足条件
x
∈Z,且10
<
x
<20.因此,用描述法表示为
22
22
2
B
={
x
∈Z|10<
x
<20}.大于10小于20的整数有11,12,1
3,14,15,16,17,18,19,因此,用列举
法表示为
B
={11,12
,13,14,15,16,17,18,19}.
集合中的元素具有无序性、互异性,所
以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序,且
元素不能重复,元素与元素之间要用“,”隔开;用描述
法表示集合时,要注意代表元素是
什么,从而理解集合的含义,区分两集合是不是相等的集合.
2.用描述法表示下列集合:
(1)方程
x
+
y
-4
x
+6
y
+13=0的解集;
(2)二次函数
y
=
x
-10图像上的所有点组成的集合.
[解] (1)方程
x
+
y
-4
x
+6
y
+13=0可化为(
x
-2)+(
y
+3)=0,解得
x<
br>=2,
y
=-3.
所以方程的解集为{(
x
,
y<
br>)|
x
=2,
y
=-3}.
(2)“二次函数
y<
br>=
x
-10图像上的所有点”用描述法表示为{(
x
,
y)|
y
=
x
-10}.
集合的表示法的应用
角度一 方程、不等式问题
【例3】 若集合
A
={
x
|
ax
+
ax
-1=0}只有一个元素,则
a
=( )
A. -4 B. 0 C. 4 D. 0或-4
2
22
2222
2
22
A [依题意,得关于
x
的方程
ax
?
?
a
≠0,
?
2
?
a
+4
a
=0,
?
2
?
?
a
≠0,
+
ax
-1=0只有一个实根,
所以
?
?
Δ=0,
?
即
解得
a
=-4,选A.]
在集合的表示方法中,经常利用核心素
养中的逻辑推理,通过对元素个数与特性的验证
分析,探索参数的取值范围.
<
br>3.若集合
A
={
x
|
ax
+
ax
+1=0,
x
∈R}不含有任何元素,则实数
a
的取值范围是_______
_.
[0,4) [当
a
=0时,原方程可化为1=0,显然方程无解,当
a
≠0时,一元二次方程
ax
?
?
a
>0,
+ax
+1=0无实数解,则需Δ=
a
-4
a
<0,即
a
(
a
-4)<0,依题意,得
?
?
a
-4<0,<
br>?
2
2
2
或
?
?
a
<0
,
?
?
a
-4>0,
?
解得0<
a
<4,综上,得0≤
a
<4.]
角度二
对参数分类讨论问题
【例4】 已知集合
A
={
x
|
a
x
+2
x
+1=0,
a
∈R}.
(1)若
A
中有且只有一个元素,求
a
的取值集合.
(2)若
A
中至多有一个元素,求
a
的取值范围.
[解]
(1)由题意知,
A
中有且只有一个元素,
即对应方程
ax
+2
x
+1=0有且只有一根或有两个相等的实根.
当
a
=0时,对应方程为一次方程,
?
1
?
此时
A
=
?
-
?
,符合题意;
?
2
?
2
2
当
a
≠0时,
对应方程
ax
+2
x
+1=0有两个相等实根,
即Δ=4-4
a
=0,
a
=1,符合题意.
综上所述,
a
的取值集合为{0,1}.
(2)由题意知,
A
中至多有一个元素,
即对应方程
ax
+2
x
+1=0无根或只有一根,由(1)知,当
a
=0或1时,
A
中有且只有一
个元素,符合题意;
当Δ=4-4
a
<0,即
a
>1时,
对应方程
ax
+2
x
+1=0无实根,
2
2
2
即
A
中无元素,符合题意.
综上所述,
a
的取值范围为{
a
|
a
=0或
a
≥1}.
识别集合含义的两个步骤
?1?一看代表元素:例如{
x
|
p?
x
?}表示数集,{?
x
,
y
?|
y
=
p
?
x
?}表示点集.
?2?二看条件:即看代表元素满足什么条件?公共特性?.
提醒:一般地,集合{
x
|
f
?
x
?=0}表示方程
f
?
x?=0的解集;,{
x
|
f
?
x
?>0}表示不等式<
br>f
?
x
?
>0的解集;,{
x
|
y
=
f
?
x
?}表示
y
=
f
?
x<
br>?中
x
的取值的集合;,{
y
|
y
=
f?
x
?}表示
y
=
f
?
x
?中
y
的取
值的集合.
4.若
A
={
x
|
ax
+2
x
+1=0,
a
∈R}=?,求a
的取值范围.
[解] 因为
A
=?,则集合
A
无元
素,即关于
x
的方程
ax
+2
x
+1=0无实数解,所以<
br>a
≠0,
?
?
a
≠0,
且Δ<0,即
??
?
4-4
a
<0,
2
2
解得a
>1,所以
a
的取值范围为{
a
|
a
>1}
.
1.?与{0}的区别
(1)?是不含任何元素的集合;
(2){0}是含有一个元素的集合.
2.在用列举法表示集合时应注意:
(1)元素间用分隔号“,”;
(2)元素不重复;
(3)元素无顺序;
(4)列举法可表示有限集,也可以表示无限集,若元素个数比较少用列举法比较简单;若
集合中的元
素较多或无限,但出现一定的规律性,在不发生误解的情况下,也可以用列举法
表示.
3.在用描述法表示集合时应注意:
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么),是
数、还是有序实数对(点)、还是集合
或其他形式;
(2)(元素具有怎样的属性)当题目中
用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存
真,不能被表面的字母形式所迷惑.
4.关于无穷大的两点说明
(1)∞是一个符号,而不是一个数;
(2)以“-∞”或“+∞”为区间的一端时,这一端必须用小括号.
1.下列说法正确的是( )
A.0∈?
C.?中元素的个数为0
B.?={0}
D.?没有子集
C
[空集是不含任何元素的集合,故?中元素的个数为0.]
2.已知集合
A
={0,
1,2},则集合
B
={
x
-
y
|
x
∈<
br>A
,
y
∈
A
}中元素的个数是( )
A.1
C.5
C
[
x
-
y
∈{-2,-1,0,1,2}.]
3.集合{(
x
,
y
)|
y
=2
x
-1}表示( )
A.方程
y
=2
x
-1
B.点(
x
,
y
)
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.函数
y
=2
x
-1图像上的所有点组成的集合
D [
集合{(
x
,
y
)|
y
=2
x
-1}的代
表元素是(
x
,
y
),
x
,
y
满足的关系
式为
y
=2
x
-1,因
此集合表示的是满足关系式
y
=2
x
-1的点组成的集合,故选D.]
4.用区间表示下列数集:
(1){
x
|
x
≥1}=________;
(2){
x
|2<
x
≤4}=________;
(3)
{
x
|
x
>-1且
x
≠2}=________.
[答案] (1)[1,+∞) (2)(2,4] (3)(-1,2)∪(2,+∞)
B.3
D.9
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