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生育险怎么计算公式b按这个次序构成右手系

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 09:45
tags:向量平行公式

湛江幼儿师范专科学校-蛋白质的三级结构


b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。
向量的向量积性质:
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a∥b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注:向量没有除法,“向量AB向量CD”是没有意义的。

6、三向量的混合积

定义:给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积a×b,再和向量c作数量积(a×b)·c,所得的数叫做三向量a、b、c的混合积,记作(a,b,c)或(abc),即(ab c)=
(a,b,c)=(a×b)·c
混合积具有下列性质:
1、三个 不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面
体的体积V,并且当a、b、 c构成右手系时混合积是正数;当a、b、c构成左手系
时,混合积是负数,即(abc)=εV(当a 、b、c构成右手系时ε=1;当a、b、c构成
左手系时ε=-1)
2、上性质的推论:三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0
3、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)
4、(a×b)·c=a·(b×c)

向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;
② 当且仅当a、b同向时,右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 当且仅当a、b同向时,左边取等号;
② 当且仅当a、b反向时,右边取等号。

定比分点

定比分点公式(向量P1P=λ·向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个
实数 λ,使 向量P1P=λ·向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)(1+λ),
y=(y1+λy2)(1+λ)。(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
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其他

向量共线的条件

若b≠0,则ab的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb。
若设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有x1y2=x2y1。
零向量0平行于任何向量。

向量垂直的重要条件

a⊥b的充要条件是 a·b=0,即x1x2+y1y2=0。
零向量0垂直于任何向量.
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向量与矢量的一些区别
学过高中物理便知道矢量,学过高等代数便知道向量,两个相似的概念其实是存
在不同的。 矢量是一个 几何中的概念,表示一个具有方向和大小的量,有起点和终
点。从矢量的几何定义出发,是很难研究的。 顺应数学中几何概念代数化的潮流,显
然把矢量的概念用代数方法来表示,就好量化地定义矢量的运算并 进一步研究各种复
杂的运算(加乘带微分)。笛卡尔同学是个好同学,坐标系的出现方便了矢量的代数< br>定义。把一个矢量r放置在一个人为规定的坐标系下,3维坐标系的x-y- z轴上分别
有了3个基矢量i-j-k(长度为1),把这个矢量的起点和终点向三个轴上投影,得到< br>三个投影矢量a*i,b*j,c*k,那么a,b,c(属于R)便是矢量r在这个坐标系下的坐标,即 r
=[a b c]*transpose[i j k]=[i j k]*transpose[a b c]。如此讲来,基本把人搞晕,来
点儿干脆的,就是把矢量r平移使得其起点与坐标系原点重合, 则其终点的坐标就是
这个矢量的坐标,以坐标系原点为起点的矢量被称为矢径。矢量的坐标transp ose[a
b c](即矢量的代数定义)便是代数学中常常出现的向量。两个概念常常被混为一谈< br>是不对的,不仅仅因为矢量是几何概念而向量 数学中,既有大小又有方向的量叫做
向量(亦称矢量)。
注:
在线性代数中的向 量是指
n
个实数组成的有序数组,称为
n
维向量。
α=
(< br>a
1

a2



an


称为
n
维向量
.
其中
ai
称为向量
α的第
i
个分量。






a
的下标,




a
的下标
,
其 他类推)

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向量的来源
向量(或矢量),最初被应 用于物理学.很多物理量如力、速度、位移以及电场
强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年 前,古希腊著名学者亚里士多德就
知道了力可以表示成向量,两个力的组合作用可用著名的平行四边形法 则来得到.“向
量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.
从数学发展史来看,历史上很长一段时间,空间的向量结构并未被数学家们所 认
识,直到19世纪末20世纪初,人们才把空间的性质与向量运算联系起来,使向量成
为具有 一套优良运算通性的数学体系.
向量能够进入数学并得到发展,首先应从复数的几何表示谈起. 18世纪末期,
挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi,并利用具有几何意< br>义的复数运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几
何表示用于研 究几何问题与三角问题.人们逐步接受了复数,也学会了利用复数来表
示和研究平面中的向量,向量就这 样平静地进入了数学.
但复数的利用是受限制的,因为它仅能用于表示平面,若有不在同一平面 上的力
作用于同一物体,则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系.19世纪中期,英
国数学家哈密尔顿发明了四元数(包括数量部分和向量部分),以代表空间的向量.他
的工作为向量代数 和向量分析的建立奠定了基础.随后,电磁理论的发现者,英国的
数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数 量部分和向量部分分开处理,从而创造了大量
的向量分析.
三维向量分析的开创,以及 同四元数的正式分裂,是英国的居伯斯和海维塞德于
19世纪8O年代各自独立完成的.他们提出,一个 向量不过是四元数的向量部分,但
不独立于任何四元数.他们引进了两种类型的乘法,即数量积和向量积 .并把向量代
数推广到变向量的向量微积分.从此,向量的方法被引进到分析和解析几何中来,并
逐步完善,成为了一套优良的数学工具。
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向量的表示
1、代数表示:一般印刷用黑体小写字母α、β、γ … 或a、b、c … 等来表示,
手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示。
2、几何表示:向量可以用有 向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小,
箭头所指的方向表示向量的方向。(若规定线段AB的 端点A为起点,B为终点,则
线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。这种具有方向和长度的线段 叫做有
向线段。)
3、坐标表示:
1) 在平面直角坐标系中,分别取与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作
为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量,以坐标原 点O为起点作向量OP=a。
由平面向量基本定理知,有且只有一对实数(x,y),使得 a=向量O P=xi+yj,因此
把实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y)。这就是向量a的坐 标表示。
其中(x,y)就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。
2) 在立体三维坐标系中,分别取与x轴、y轴,z轴方向相同的3个单位向量i,j,
k作为一组基底。 若a为该坐标系内的任意向量,以坐标原点O为起点作向量OP=a。
由空间基本定理知,有且只有一对 实数(x,y, z),使得 a=向量OP=xi+yj+zk,因
此把实数对(x,y, k)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y, z)。这就是向量a的坐
标表示。其中(x,y, k),也就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。
3) 当然,对于空间多维向量,可以通过类推得到,此略.
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向量的模和向量的数量
向量的大小,也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。
注:
1、向量的模是非负实数,是可以比较大小的。
2、因为方向不能比较大小,所以向量也就不能比 较大小。对于向量来说“大于”
和“小于”的概念是没有意义的。例如,“向量AB>向量CD”是没有 意义的。
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特殊的向量

单位向量

长度为单位1的向量,叫做单位向量.与向量a同向且长度为单位1的向量,叫
做a方向上 的单位向量,记作a0,a0=a|a|。

零向量

长度为 0的向量叫做零向量,记作0.零向量的始点和终点重合,所以零向量没
有确定的方向,或说零向量的方 向是任意的。

相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等,记作a=b.
规定:所有的零向量都相等.
当用有向线段表示向量时,起点可以任意选取。任意两个相等的非零 向量,都可
用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.同向且等长的有向线段都表
示同一向量。

自由向量

始点不固定的向量,它可以任意的平行移动,而且移动后的向量仍然代表原来的
向量。
在自由向量的意义下,相等的向量都看作是同一个向量。
数学中只研究自由向量。

滑动向量

沿着直线作用的向量称为滑动向量。

固定向量

作用于一点的向量称为固定向量(亦称胶着向量)。

位置向量

对于坐标平面内的任意一点P,我们把向量OP叫做点P的位置向量,记作:向
量P。

相反向量

与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量,记作-a。有 -(-a)=a;
零向量的相反向量仍是零向量。

平行向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行(或共线)向量.向量a、b平行(共线),
记作a∥b.
零向量长度为零,是起点与终点重合的向量,其方向不确定,我们规定:零向量
与任一向量平行.
平行于同一直线的一组向量是共线向量。

共面向量

平行于同一平面的三个(或多于三个)向量叫做共面向量。
空间中的向量有且只有以下两种位置关系:⑴共面;⑵不共面。
只有三个或三个以上向量才谈共面不共面。
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向量的运算
设a=(x,y),b=(x',y')。

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x',y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律:
交换律:a+b=b+a;
结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0
AB- AC=CB. 即“共同起点,指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

3、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ>0时,λa与a同方向;
当λ<0时,λa与a反方向;
当λ=0时,λa=0,方向任意。
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。
注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线
段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上
伸长为 原来的∣λ∣倍;
当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0 )上
缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa
=μa,那么λ=μ。

4、向量的数量积

定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b, 则角AOB称作向量a和向量b
的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义 :两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a·b。若a、b不共
线,则a·b=|a|·| b|·cos〈a,b〉;若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'。
向量的数量积的运算律
a·b=b·a(交换律);
(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律);
(a+b)·c=a·c+b·c(分配律);
向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。(该公式证明如下:|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b
|≤|a|·|b|)
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即:(a·b)·c≠a ·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2。
2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c。
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。

5、向量的向量积

定义:两个向量a和b的向量积(外积、 叉积)是一个向量,记作a×b。若a、
b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|·|b|·s in〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a
和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b 共线,则a×b=0。
向量的向量积性质:
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a∥b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注:向量没有除法,“向量AB向量CD”是没有意义的。

6、三向量的混合积

定义:给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积a×b,再和向量c作数量积(a×b)·c,所得的数叫做三向量a、b、c的混合积,记作(a,b,c)或(abc),即(ab c)=
(a,b,c)=(a×b)·c
混合积具有下列性质:
1、三个 不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面
体的体积V,并且当a、b、 c构成右手系时混合积是正数;当a、b、c构成左手系
时,混合积是负数,即(abc)=εV(当a 、b、c构成右手系时ε=1;当a、b、c构成
左手系时ε=-1)
2、上性质的推论:三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0
3、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)
4、(a×b)·c=a·(b×c)

向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;
② 当且仅当a、b同向时,右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 当且仅当a、b同向时,左边取等号;
② 当且仅当a、b反向时,右边取等号。

定比分点

定比分点公式(向量P1P=λ·向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个
实数 λ,使 向量P1P=λ·向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)(1+λ),
y=(y1+λy2)(1+λ)。(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
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其他

向量共线的条件

若b≠0,则ab的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb。
若设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有x1y2=x2y1。
零向量0平行于任何向量。

向量垂直的重要条件

a⊥b的充要条件是 a·b=0,即x1x2+y1y2=0。
零向量0垂直于任何向量.
[编辑本段]
向量与矢量的一些区别
学过高中物理便知道矢量,学过高等代数便知道向量,两个相似的概念其实是存
在不同的。 矢量是一个 几何中的概念,表示一个具有方向和大小的量,有起点和终
点。从矢量的几何定义出发,是很难研究的。 顺应数学中几何概念代数化的潮流,显
然把矢量的概念用代数方法来表示,就好量化地定义矢量的运算并 进一步研究各种复
杂的运算(加乘带微分)。笛卡尔同学是个好同学,坐标系的出现方便了矢量的代数< br>定义。把一个矢量r放置在一个人为规定的坐标系下,3维坐标系的x-y- z轴上分别
有了3个基矢量i-j-k(长度为1),把这个矢量的起点和终点向三个轴上投影,得到< br>三个投影矢量a*i,b*j,c*k,那么a,b,c(属于R)便是矢量r在这个坐标系下的坐标,即 r
=[a b c]*transpose[i j k]=[i j k]*transpose[a b c]。如此讲来,基本把人搞晕,来
点儿干脆的,就是把矢量r平移使得其起点与坐标系原点重合, 则其终点的坐标就是
这个矢量的坐标,以坐标系原点为起点的矢量被称为矢径。矢量的坐标transp ose[a
b c](即矢量的代数定义)便是代数学中常常出现的向量。两个概念常常被混为一谈< br>是不对的,不仅仅因为矢量是几何概念而向量是代数概念,而且向量在代数中早就被
扩充到n维, 早已超出了现实生活3维空间的限制。另外,一个矢量或者说一个点(当
矢量为矢径时,矢量就跟其终点 一一对应)是客观存在,在不同的坐标系下将有不同
的坐标表示,也就是说,一个矢量或者一个点可以有 很多(无穷)向量与其对应。记
住向量(3维及其以下)是矢量的代数表示就可以了。
有了代数定

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第八章 相量法
内容:
复数
正弦量
相量法的基础
电路定律的相量形式
8. 1 复数
一,复数的几种形式:
1,代数形式:F = a + j b
a=Re[ F ] b=Im [ F ]
2,三角形式:F=|F| (cosθ+jsinθ)
+1
a
b
F
0
θ
+j
3,指数形式:F=|F|
欧拉公式:
极坐标形式: F=|F|
一,复数的运算:
则 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)
(1)加减运算——直角坐标
若 F1=a1+jb1, F2=a2+jb2
加减法可用图解法.—平行四边形法
(2) 乘除运算——极坐标(指数形式)
若 F1=|F1| 1 ,若F2=|F2| 2
除法:模相除,角相减.
乘法:模相乘,角相加.
则:
F1
F2
Re
Im
O
F1+ F2
F1- F2
例1.
解:
例2.
解:上式
(3) 旋转因子:
复数 ejq =cosq +jsinq =1∠q
A ejq 相当于A逆时针旋转一个角度q ,而模不变.
8. 2 正弦量
一. 正弦量:按正弦规律变化的量.
瞬时值表达式:
i(t)=Imsin(w t+y)
i
+
_
u
波形:
t
i
O

T
周期T (period)和频率f (frequency) :
频率f :每秒重复变化的次数.
周期T :重复变化一次所需的时间.
f =1T
单位:Hz,赫(兹)
单位:s,秒
(1) 幅值 (amplitude) (振幅, 最大值)Im:反映正弦量变化幅度的大小.
(2) 角频率(angular frequency)w :每秒变化的角度(弧度), 反映正弦量变化快慢.
二,正弦量的三要素:
t
i
O

T
(3) 初相位(initial phase angle)y :反映了正弦量的计时起点.
(wt+y )表示正弦量随时间变化的进程,称之为相位角.它的大小决定该时刻正弦量的值.
Im
2

t
单位: rads ,弧度 秒
i(t)=Imsin(w t+y)
峰-峰值:2 Im
同一个正弦量,计时起点不同,初相位不同.
t
i
O
=0
= 2
=- 2
一般规定:| | .
一个电路中的许多相关的正弦量,计时零点必须相同.
三,正弦量的性质:
正弦量的微分,积分,同频正弦量的代数和等运算,结果仍为一个同频率的正弦量.
四,周期量的有效值
周期性电流,电压的瞬时值随时间而变,为了衡量其大小工程上采用有效 值来表示.用大写字
母表示.
物理意义:周期性电流 i 流过电阻 R,在一周期T 内吸收的电能,等于一直流电流I 流过R ,
在时间T 内吸收的电能,则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值.
均方根值
正弦电流,电压的有效值
设 i(t)=Imsin( t+ )
同理,可得正弦电压有效值与最大值的关系:
若一交流电压有效值为U=220V,则其最大值为Um 311V;
U=380V, Um 537V.
工程上说的正弦电压,电流一般指有效值,如设备铭牌额定值,电网的电压等级等.但绝缘 水平,
耐压值指的是最大值.因此,在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑.
测量中,电磁式交流电压,电流表读数均为有效值.
*注意 区分电压,电流的瞬时值,最大值,有效值的符号.
五,同频率正弦量的相位差 (phase difference).
设 u(t)=Umsin(w t+y u), i(t)=Imsin(w t+y i)
则 相位差 即相位角之差:
j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
j >0, u 领先(超前)I j 角,或i 落后(滞后) u j 角(u 比 i 先到达最大值);
j <0, i 领先(超前) u j 角,或u 落后(滞后) i j 角(i 比 u 先到达最大值).
t
u, i
u
i
yu
yi
j
O
恰好等于初相位之差
j =0, 同相:
j = ( 180o ) ,反相:
规定: |y | (180°).
特殊相位关系:
t
u, i
u
i
O
t
u, i
u
i
O
= p2:u 领先 i p2, 不说 u 落后 i 3p2;
i 落后 u p2, 不说 i 领先 u 3p2.
t
u, i
u
i
O
同样可比较两个电压或两个电流的相位差.
8. 3 相量法的基础
正弦稳态电路的特点:激励和稳态响应统一频率.
相量法是分析求解正弦电流电路稳态响应的一种有效工具.
加一个小圆点是用来和普通的复数 相区别(强调它与正弦量的联系),同时也改用相量而不
用向量是因为它表示的不是一般意义的向量,而 是表示一个正弦量.
为正弦量 i(t) 对应的相量.
正弦量的相量表示:
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系:
1,相量:
已知
例1.
试用相量表示i, u .
解:
例2.
试写出电流的瞬时值表达式.
解:
2,相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示):

q
我们用相量和一个正弦时间函数对应看看它的几何意义:
ej t 为一模为1,幅角为 t 的相量.随t的增加,模不变,而幅角与t成正比,可视其为一旋转因子,
当t从0~T时,相量旋转一 周回到初始位置, t 从0~2 .
3, 相量运算
(1) 同频率正弦量相加减
故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算.
i1 i2 = i3
这实际上是一种
变换思想
可得其相量关系为:
例.
同频正弦 量的加,减运算可借助相量图进行.相量图在正弦稳态分析中有重要作用,尤其适用
于定性分析.
Re
Im
Re
Im
首尾相接
(2) . 正弦量的微分,积分运算
微分运算:
积分运算:
相量微分:
相量积分:
(3), 相量法的应用
求解正弦电流电路的稳态解(微分方程的特解)

一阶常系数
线性微分方程
自由分量(齐次方程解): Ae-RL t
强制分量(特解):Imsin(w t+y i)
R
i(t)
u(t)
L
+
-
解:
用相量法求:
q
R
L
R
i(t)
u(t)
L
+
-
取相量
小结
① 正弦量
相量
时域
频域
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路.
③ 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数 线性微分方程的特解,即可用来分析
正弦稳态电路.
N
线性
N与解析几何相结合专题复习
平面向量与解析几何的结合通常涉 及到夹角,平行,垂直,共线,轨迹等问题的处理,目标是将几
何问题坐标化,符号化,数量化,从而将 推理转化为运算.或者考虑向量运算的几何意义,利用其
几何意义解决有关问题.
一:将向量及其运算的几何意义转化为平面图形的位置关系或数量关系
【例1.】已知△AB C中,A,B两点的坐标分别为(-4,2),(3,1),O为坐标原点.已知=λ·,=λ·,‖,且直线CD的方向向量为=(1,2)求顶点C的坐标.
【解】如图:∵=λ·,∴λ=
∵=λ·,∴A,D,B三点共线,D在线段AB上,
且λ= ∴=
∴CD是△ABC中∠C的角平分线.
∴A,D,B三点共线‖∴O,C,D三点共线,即直线CD过原点.
又∵直线CD的方向向量为=(1,2),∴直线CD的斜率为2
∴直线CD的方程为:y=2x
(注意:至此,以将题中的向量条件全部转化为平面解析几何 条件,下面用解析几何的方法解决
该题)
易得:点A(-4,2)关于直线y=2x的对称点是A'(4,-2),
(怎样求对称点 )
∵A'(4,-2)在直线BC上 ∴直线BC的方程为:3x+y-10=0
由得C(2,4)
【解题回顾】本题根据向量共线的条件将题设中的=λ·和‖转化为三点共 线,实现了向量条件
向平面位置关系的转化;而由λ==,实现了向量条件向平面图形的数量关系的转化 ,从而从整体
上实现了由向量条件向平几及解条件的转化.
【例2】.已知=(-3,0),=(3,0),(O为坐标原点),动点M满足:+=10.
(1)求动点M的轨迹C;
(2)若点P,O是曲线C上任意两点,且·=0,求的值
【解】(1)由+=10知:
动点M到两定点F1和F2的距离之和为10
根据椭圆的第一定义:动点M的轨迹为椭圆:
(2)∵点P,O是上任意两点
设P(),Q()
(注意:这是点在椭圆上的一种常规设法,也是椭圆的参数方程的一个应用)
∵·=0 得:=0 ①
而,都可以用α,β的三角函数表示,利用①可以解得:
=
【例3.】在△ABC中,A(2,3),B(4,6),C(3,-1),点D满足:·=·
(1)求点D的轨迹方程;
(2)求||+||的最小值.
解:(1)设D(x,y),则=(-1,4),=(x-3,y+1)
=(1,7)
∵·=·
∴(-1)·(x-3)+4·(y+1)=(x-3)·1+(y+1)·7
整理得:2x+3y=0
(2)易得点A关于直线2x+3y=0的对称点的坐标为M(-2,-3),
∴||+||的最小值为:||=
【注意】这里利用向量的几何意义,将问题综合为在直线2 x+3y=0上找一点,使它到点A,B的
距离之和最小,利用对称点法解决.
二:将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程.
【例4.】已知:过点A(0,1)且方向向量为=(1,k)的直线l与⊙C:相交与M,N两点.
(1)求实数k的取值范围;
(2)求证:·为定值;
(3)若O为坐标原点,且·=12,求k的值.
【解】∵直线l过点A(0,1)且方向向量为=(1,k)
∴直线l的方程为:y=kx+1 (注意:这里已知方向向量即已知直线的斜率)
将其代入⊙C:,得:①
由题意:△=得:
(注意:这里用了直线和方程组成方程 组,方程有两根;本题还可以用圆与直线有两个交点,d0),
点P在y轴上运动,点M在x轴上运动, 点N为动点,且·=0,+
(1)求点N的轨迹C;
(2)过点F(a,0)的直线l(不 与x轴垂直)与曲线C交于A,B两点,设点K(-a,0),与的夹角为θ,求证
0<θ0
与的夹角为θ,与不共线,则θ≠0
∵cosθ=>0 ∴0<θ0
把③代入化简得:>0 m>4或mm或m>4为所求的m的取值范围.
【例10.】已知点 H(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴正半轴上,点M在直线PQ上,且·=0,=-
(1)当P在y轴上移动时,求点M的轨迹方程;
(2)过点T(-1,0)作直线l交轨迹 C与A,B两点,若在x轴上垂直一点E,使=,且与的夹角为600,
求的值
【解】设M(x,y),由=-得P(),Q()
由·=0得:
∵点Q在x轴正半轴上,∴x>0
即所求的轨迹方程为:(x>0)(抛物线去掉顶点)
(2)设直线l:y=k(x+1)(k≠0),代入得:
设A(),B(),则
① ∴线段AB的中点坐标为()
线段AB的垂直平分线方程为:(x-) ②
在②中,令y=0,得 ③ (与x轴的交点)
∵=,且与的夹角为600,∴△ABE为等边三角形
∴点E到直线AB的距离为|AB|
而|AB|= ∴
解得: 代入③ 从而
【例11.】在坐标平面内,设O是坐标 原点,=,=,点A满足+=(-4,-2),点集S={P|P为平面内的点
且满足条件:|PF1| -|PF2|=2}
(1)求点A的坐标;
(2)若P1,P2∈S,且‖,又点Q满足=-·,求点Q的轨迹方程.
【解】设A,则=,=
∴+==(-4,-2)
∴,即A(2,1)
(2)由|PF1|-|PF2|=2得点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的一支
(即集合S所表示的图形)其方程为:
∵P1,P2∈S,∴P1,P2都在双曲线上.
∵‖,即点A,P1,P2三点共线
又∵=-·知:Q是线段P1P2的中点.
问 题转化为:过点A作直线交双曲线与P1,P2两点,求P1P2的中点Q的轨迹方程.按求弦的中
点的 轨迹方法可得;
【例12.】如图,O为坐标原点,A,A1为x轴上的定点,且=(),=(),点 B在过A且方向向量是(1,k)
的直线l上,且·=0,点M在线段AB上,且=,当k变化时,求点 M的轨迹方程,并说明轨迹是何种
曲线.
【解】由题意知:A(),A1(),∵·=0 ∴⊥
下面求点M的轨迹方程:
解法一:设M(x,y),B(),
∵直线l的方向向量为(1,k), ∴直线l的斜率为k
由=,得=,即
即: ①
∵点M在线段AB上,
∴,又A,M,B共线,

即: ②
由①,②消去t并化简得: (y≠0)即为所求轨迹方程.
当a=1时,表示圆(不含A,A1)
当a>0且a≠1时,表示椭圆(不含A,A1)
解法二:依题意;点M是有向线段AB的内分点,令λ=,则
∴ (λ>0)消去λ得: (y≠0)
下同解法一.
【解题回顾】这里是典型的用参数法求轨迹方程的思想,把动点的 坐标x,y与参数的关系分别
解出,消去参数并化简得到.
【例13.】如图,抛物线上有两点A(),B(),且·=0,又=(0,-2),
(1)求证:‖
(2)若=-2·,求AB所在直线方程.
【解】由题意得:A(),B()∵·=0,
∴() ∴
=(),=()
∵·()-·()
=(-)·(·+2)=0
∴‖即:‖
【解题回顾】①本题体现了向量方法证明三点共线问题的一般方法.
②本题的实质是课本上一 道题的改编,原题为:过抛物线的顶点O作两条互相垂直的弦
OA,OB,与抛物线交于A,B两点,求 证AB必过定点(定点为AB与x轴的交点)
(2)∵=-2·
∴ ∴ ∴
∴B为或,得或-
∴AB的方程为:y=±x-2
思考题:
1.已知直 线l过原点,其方向向量为(1,k),抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,点A,B是两个
定点, =(-1,0),=(0,8),A1,B1是抛物线C上的点,直线AA1,BB1与直线l分别相交与M,N 两点,
点D是l上异于M,N的一点,且·=0,+=,+=,求直线l和抛物线C的方程.
【答案】直线方程为:,抛物线方程为:
2.已知F1(-1,0),F2(1,0),A( ,0),动点P满足3·+·=0(1)求动点P的轨迹方程;(2)是否存在点P,使PA
成为∠F1 PF2的平分线 若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)不存在 < br>3.直线l过点(1,0),且方向向量=(2,-2),直线m过原点O,其方向向量为=(1,k), 且·=1,中心在原点,
焦点在x轴上的椭圆E与直线l相交于A,B两点,点M满足+=,直线m过点 M,椭圆E上存在
一点N,与椭圆的右焦点关于直线l对称,求椭圆E的方程.
【答案】 < br>4.已知椭圆(a>b>0)的右焦点为F,直线l经过点E(),直线l的方向向量为=(0,1),其 中c=,A,B为
椭圆上的两点,且=λ·(λb>0),与x轴正向交于点A,若这个椭圆上总存在点 P,使得·=0(O为原点)
求椭圆的离心率e的取值范围.
【答案】高中数学复习 解析几何 向量解几综合专题
数学复习专题 解析几何 第页
x
C
B
A
y
O
D
O
O
y
P
Q
y
x
P
M
x
N
F
A1
B
O
y
P
A
x
M
·
F1
M
F2
B
O
y
O
A
x
y
A
x
P
·
P
F
O
y
A
x
N
B
C
E
D
C
E
B
F
O
y
A
x
O
y
A
x
线性
w1
w2

线性
w
不适用
正弦波形图
相量图
8. 4 电路定律的相量形式
VCR,KCL和KVL
一,电阻,电感和电容的VCR
1. 电阻
时域形式:
相量形式:
相量模型
uR(t)
i(t)
R
+
-
有效值关系:UR=RI
相位关系 u= i (u,i同相)
R
+
-
UR
u
相量关系:
UR=RI
u= i
瞬时功率:
波形图及相量图:
i
t
O
uR
pR
u= i
URI
瞬时功率以2 交变.但始终大于零,
表明电阻始终是吸收(消耗)功率.
2 . 电感
时域形式:
i(t)
uL(t)
L
+
-
相量形式:
相量模型
j L
+
-
i
有效值关系: U=w L I
相位关系: u= i +90°
(u 超前 i 90°)
1. 相量关系:
=0时,相当于短路
功率:
波形图:
t
i
O
uL
pL
2
瞬时功率以2 交变,有正有负,
一周期内刚好互相抵消.
3, 电容
时域形式:
相量形式:
相量模型
有效值关系: IC=w CU
相位关系: i= u+90°
(i 超前 u 90°)
u
iC(t)
u(t)
C
+
-
+
-
=0时,相当于开路
功率:
波形图:
t
iC
O
u
pC
2
瞬时功率以2 交变,有正有
负,一周期内刚好互相抵消.
4, 受控源
VCCS


gu1
+
_
u2
i2


+
_
u1
i1
时域形式:
相量形式:
VCCS


+
_


+
_
二,基尔霍夫定律的相量形式
同频率的正弦 量加减可以用对应的相量形式来进行计算.因此,在正弦电流电路中,KCL和
KVL可用相应的相量形 式表示:
由KVL:
其相量关系也成立
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+
-
+
-
uR
j L
R
+
-
+
-
+
-
+
例1:
列KVL,一般设电流相量为参考相量
例2:列KCL方程
书上例8-4,187页
列KCL,一般设电压相量为参考相量
义,自然而然就要 以向量去对应着研究矢量的运算,目前看来,矢量运算包括加(减)、
点乘和叉乘和对时间求导。加和乘 是在高等数学里见过的,而矢量求导运算是在本科
的数学课程中没有见过的(至少我没在本科见过,说到 这儿我又要鄙视当时的本科教
育了),矢量的求导运算是研究刚体运动学和相对运动的基础(除非只会刨 木头),
在理论力学中有讲。需要注意的是,矢量叉乘的结果仍是一个矢量,这个新矢量的坐
标 (向量)的计算是与被乘矢量对应的一个反对称矩阵有关。同一个矢量在不同坐标
系下坐标(向量)不同 ,坐标的变换需要依赖一个方向余弦阵,机器人学中又称旋转
矩阵。是代数概念,而且向量在代数中早就 被扩充到n维,早已超出了现实生活3维
空间的限制。另外,一个矢量或者说一个点(当矢量为矢径时, 矢量就跟其终点一一
对应)是客观存在,在不同的坐标系下将有不同的坐标表示,也就是说,一个矢量或
者一个点可以有很多(无穷)向量与其对应。记住向量(3维及其以下)是矢量的代
数表示就可 以了。
有了代数定义,自然而然就要以向量去对应着研究矢量的运算,目前看来,矢量
运 算包括加(减)、点乘和叉乘和对时间求导。加和乘是在高等数学里见过的,而矢
量求导运算是在本科的 数学课程中没有见过的(至少我没在本科见过,说到这儿我又
要鄙视当时的本科教育了),矢量的求导运 算是研究刚体运动学和相对运动的基础(除
非只会刨木头),在理论力学中有讲。需要注意的是,矢量叉 乘的结果仍是一个矢量,
这个新矢量的坐标(向量)的计算是与被乘矢量对应的一个反对称矩阵有关。同 一个
矢量在不同坐标系下坐标(向量)不同,坐标的变换需要依赖一个方向余弦阵,机器
人学中 又称旋转矩阵。

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