卫校出来能干嘛-作文200字左右
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第一节 平面向量的概念及其线性运算
[备考方向要明了]
考 什 么
1.了解向量的实际背景.
2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.
3.理解向量的几何表示.
4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含
义.
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
[归纳·知识整合]
1.向量的有关概念
名称
向量
零向量
单位向量
平行向量
相等向量
相反向量
[探究] 1.两向量共线与平行是两个不同的概念吗?两向量共线是指两向量的方向一
致吗?
提示:方 向相同或相反的一组非零向量,叫做平行向量,又叫共线向量,是同一个概念.显
然两向量平行或共线, 其方向可能相同,也可能相反.
定义
既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或称模)
长度为零的向量叫做零向量,其方向是任意的,零向量记作0
长度等于1个单位的向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,平行向量又叫共线向量.规定:0
与任一向量平行
长度相等且方向相同的向量
长度相等且方向相反的向量
1.主要考查平面向量的有 关
概念及线性运算、共线向量
定理的理解和应用,如20XX
年浙江T5,辽宁T3等 .
2.考查题型为选择题或填空
题.
怎 么 考
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2.两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同?
提示:平行向量也叫共线向量 ,这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同,两
向量平行时,两向量可以在同一条直线上.
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
(1)交换律:
a
+
b
=
b
加法
求两个向量和的运
算
求
a
与
b
的相反向
减法
量-
b
的和的运算
叫做
a
与
b
的差
(1)|
λa
|=|
λ
||
a
|
数乘
求实数
λ
与向量
a
的积的运算
< br>(2)当
λ
>0时,
λa
与
a
的方向
相同; 当
λ
<0时,
λa
与
a
的方
向相反;当
λ
=0时,
λa
=0
[探究]3.
λ
=0与a
=0时,
λa
的值是否相等?
提示:相等,且均为0.
4 .若|
a
+
b
|=|
a
-
b
|,你能给出 以
a
,
b
为邻边的平行四边形的形状吗?
提示:如图,说明平行四边形的两条对角线长度相等,故四边形是矩
形.
3.共线向量定理
向量
a
(
a≠0
)与
b
共线的充要条件是存在唯一一个实数
λ
,使得
b
=
λa
.
[探究] 5.当两个非零向量
a
,
b
共线时,一定有
b< br>=
λa
,反之成立吗?
提示:成立.
[自测·牛刀小试]
1.下列说法中正确的是( )
A.只有方向相同或相反的向量是平行向量
B.零向量的长度为零
C.长度相等的两个向量是相等向量
D.共线向量是在一条直线上的向量
解析:选B 由于零向量与任意向量平行,故选项A错误;长度相等且方向相同的两个
+
a (2)结合律:(
a
+
b
)
+
c
=
a
+(
b
+
c
)
a
-
b
=
a
+(-
b
)
λ
(
μa
)=(
λμ
)
a
(
λ
+
μ
)
a
=
λa
+
μa
λ< br>(
a
+
b
)=
λa
+
λb
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向量是相等向量,故C错误;方向相同或相反的两个非零向量是共线向量,故D错误.
uuu r
2.(教材习题改编)
D
是△
ABC
的边
AB
上 的中点,则向量
CD
等于( )
uuur
1
uu
uuu r
1
uuurur
A.-
BC
+
BA
B.-
BC
-
BA
22
uuur
1
uu
uu ur
1
uuurur
C.
BC
-
BA
D.
BC
+
BA
22
uuuruuur
uuu
rr
uuu
解析:选A 如图,由于
D
是
AB
的中点,所 以
CD
=
CB
+
BD
=
CB
uuur1
uuurur
1
uu
+
BA
=-
BC
+
BA
.
22
3.如图,
e
1
,
e< br>2
为互相垂直的单位向量,则向量
a
-
b
可表示为( )
A.3
e
2
-
e
1
B.-2
e
1
-4
e
2
C.
e
1
-3
e
2
D.3
e
1
-
e
2
解析:选C 连接< br>a
,
b
的终点,并指向
a
的终点的向量是
a
-
b
.
uuurr
uuur
uuu
AC
5
4.(教材习题改编)点
C
在线段
AB
上,且=,则
AC
=________
AB
,
BC
=
CB
2
uuur
________
AB
.
uuur
5
uuu
r< br>r
uuu
r
AC
52
uuu
解析:如图,∵=,∴< br>AC
=
AB
,
BC
=-
AB
.
CB
277
52
答案: -
77
uuur
uuu
r
uuuu
r
uuu
r
5.(教材习题改编)化简
OP
-
QP
+
MS
-
MQ
的结果为______.
uuur
uuu
r
uuuu
r
uuu
r
解 析:
OP
-
QP
+
MS
-
MQ
uuur
uuu
uuur
uuuu
r
r
=(
OP< br>+
PQ
)+(
MS
-
MQ
)
r
u uur
uuur
uuu
=
OQ
+
QS
=
O S
.
uuur
答案:
OS
向量的概念
[例1] 给出下列命题:
①若|
a
|= |
b
|,则
a
=
b
;
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r
uuur
uuu
②若
A
,
B
,
C
,
D
是不共线的四点,则
AB
=
DC
是四边形
ABCD
为平行四边形的充要条
件;
③若
a
=< br>b
,
b
=
c
,则
a
=
c
;
④
a
=
b
的充要条件是|
a
|=|
b|且
a
∥
b
;
⑤若
a
∥
b
,
b
∥
c
,则
a
∥
c
.
其中正确命题的序号是( )
A.②③B.①②
C.③④D.④⑤
[自主解答] ①不正确,长度相等,但方向不同的向量不是相等向量.
ruuurr
uuur
uuu
uuuruuur
uuu
②正确.∵
AB
=
DC
,∴|
AB
|=|
DC
|且
AB
∥
DC
,又
A
,
B
,
C
,
D
是不共线的
r
uuur
uuu
四点,∴四边形
ABCD
为 平行四边形;反之,若四边形
ABCD
为平行四边形,则
AB
∥
DC
且
uuurr
uuuruuur
uuu
|
AB
|= |
DC
|,因此,
AB
=
DC
.
③正确.∵a
=
b
,∴
a
,
b
的长度相等且方向相同;
又
b
=
c
,∴
b
,
c
的长度相等 且方向相同,
∴
a
,
c
的长度相等且方向相同,故
a=
c
.
④不正确.当
a
=-
b
时,也有|< br>a
|=|
b
|且
a
∥
b
,故|
a< br>|=|
b
|且
a
∥
b
不是
a
=b
的充要
条件,而是必要不充分条件.
⑤不正确.未考虑
b
=0这种特殊情况.
综上所述,正确命题的序号是②③.
[答案] A
———————————————————
解决平面向量概念辨析题的方法
解决与 向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度,如,共线向量的核
心是方向相同或相反,长 度没有限制;相等向量的核心是方向相同且长度相等;单位向量的
核心是方向没有限制,但长度都是一个 单位长度;零向量的核心是方向没有限制,长度是0;
规定零向量与任意向量共线.只有紧紧抓住概念的 核心才能顺利解决与向量概念有关的问
题.
1.设
a
0
为单位向量,①若
a
为平面内的某个向量,则
a
=|
a< br>|
a
0
;②若
a
与
a
0
平行,则< br>a
=|
a
|
a
0
;③若
a
与
a
0
平行且|
a
|=1,则
a
=
a
0< br>.上述命题中,假命题的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
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解析:选D 向量是既有大小又有方向 的量,
a
与|
a
|
a
0
的模相同,但方向不一定相 同,
故①是假命题;若
a
与
a
0
平行,则
a
与
a
0
的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向
时
a
=-|
a
|
a
0
,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是 3.
向量的线性运算
[例2] 在△
ABC
中,
r
1
uuuruuur
uuuruuur
uuu
(1)若
D
是
AB
边上一点,且
AD
=2
DB
,
CD
=
CA
+
λ
CB
,则
λ
=( )
3
21
A.B.
33
12
C.-D.-
33
uuuruuuruuur
( 2)若
O
是△
ABC
所在平面内一点,
D
为
BC< br>边中点,且2
OA
+
OB
+
OC
=0,那么( )
uuuruuuruuuruuur
A.
AO
=
OD
B.< br>AO
=2
OD
uuuruuuruuuruuur
C.AO
=3
OD
D.2
AO
=
OD
r uuuruuuruuuruuur
1
uuur
uuuruuur
uuu[自主解答] (1)法一:由
AD
=2
DB
得
CD
-
CA
=2(
CB
-
CD
),即
CD
=CA
+
3
r
2
uuu
2
CB
,所以< br>λ
=.
33
uuuruuur
uuu
ur
2
uuu
ur
2
uuuruuurur
2
uuur
r
uu
r
uu
1
uu
法二:因为
CD
=
C A
+
AD
=
CA
+
AB
=
CA
+ (
CB
-
CA
)=
CA
+
CB
,所
3333
2
以
λ
=.
3
uuuruuuruuuruu uruuuruuuruuur
(2)因为
D
是
BC
边的中点,所以 有
OB
+
OC
=2
OD
,所以2
OA
+< br>OB
+
OC
=2
OA
uuuruuuruuuruuuruu uruuuruuur
ODOAODOAODAOOD
+2=2(+)=0?+=0?=.
[答案] (1)A (2)A
uuurrr
uuuruuur
uuuuuur
uuu
在本例条件下,若|
AB
|=|
AC
| =|
AB
-
AC
|=2,则|
AB
+
AC
|为何值?
uuurr
uuuruuur
uuu
解:∵|
AB|=|
AC
|=|
AB
-
AC
|,
∴△
ABC
为正三角形.
r
uuur
uuu< br>∴|
AB
+
AC
|=23.
———————————————————
平面向量线性运算的一般规律
(1)用 已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功,除利用向量的加法、减法、
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数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理.
(2)在求向量时,要尽可能转 化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角
形法则,利用三角形中位线、相似三角形对应边 成比例等平面几何的性质,把未知向量转化
为与已知向量有直接关系的向量来求解.
uuur
1
2.如图,在△
OAB
中,延长
BA
到
C
,使
AC
=
BA
,在
OB
上 取点
D
,使
DB
=
OB
.设
OA
=
3
uuuruuuruuur
a
,
OB
=
b
,用
a
,
b
表示向量
OC
,
DC
.
uuuruuuruuuruuurruuuruuur
uuur
uuu
解:
OC
=
OB
+
BC
=
OB
+2
BA
=
OB
+2(
OA
-
OB
)
uuuruuur
=2
OA
-
OB
=2
a
-
b
.
uuuruuuruuuruuur
2
uuur
DC
=
OC
-
OD
=
OC
-
OB
3
2
=(2
a
-
b
)-
b
3
5
=2
a
-
b
.
3
共线向量定理的应用
[例3] 设两个非零向量
a
与
b
不共线,
uuuruuur
uuu r
(1)若
AB
=
a
+
b
,
BC
=2
a
+8
b
,
CD
=3(
a
-
b
),求证:
A
、
B
、
D
三点共线.
( 2)试确定实数
k
,使
ka
+
b
和
a
+< br>kb
共线.
uuur
uuur
[自主解答] (1)∵
AB
=
a
+
b
,
BC
=2
a
+8b
,
uuur
CD
=3(
a
-
b
),
ruu ur
uuur
uuu
∴
BD
=
BC
+
CD
=2
a
+8
b
+3(
a
-
b
),
uuur
=2
a
+8
b
+3
a
-3
b
=5(
a
+
b
)=5
AB
.
uuu ruuur
∴
AB
、
BD
共线,又∵它们有公共点
B
,
∴
A
、
B
、
D
三点共线.
(2) ∵
ka
+
b
与
a
+
kb
共线,
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∴存在实数
λ
,使< br>ka
+
b
=
λ
(
a
+
kb
),
即
ka
+
b
=
λa
+
λkb
.
∴(
k
-
λ
)
a
=(
λk
-1)
b
.
∵
a
、
b
是不共线的两个非零向量, ∴
k
-
λ
=
λk
-1=0,∴
k
-1 =0,∴
k
=±1.
———————————————————
2
1.共线向量定理及其应用
(1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的值.
(2)若
a
,
b
不共线,则
λa
+
μb
=0的充要条件是
λ
=
μ
=0,这一结论结合待定系数
法应用非常广泛.
2.证明三点共线的方法
uuur
uuur
若
AB
=λ
AC
,则
A
、
B
、
C
三点共线.
uuuruuuruuuruuuruuur
3.已知
a
,
b
不共线,
OA
=
a
,
OB
=
b
,
OC
=
c
,
OD
=
d
,
OE
=
e
,设
t
∈R,如
果3
a
=
c ,
2
b
=
d
,
e
=
t
(
a
+
b
),是否存在实数
t
使
C
,
D,
E
三点在一条直线上?若存在,求
出实数
t
的值,若不存在, 请说明理由.
uuuruuur
解:由题设知,
CD
=
d
-
c
=2
b
-3
a
,
CE
=< br>e
-
c
=(
t
-3)
a
+
tb,
C
,
D
,
E
三点在一条
uuuruuur< br>直线上的充要条件是存在实数
k
,使得
CE
=
k
CD
,即(
t
-3)
a
+
tb
=-3
ka+2
kb
,
整理得(
t
-3+3
k
)
a
=(2
k
-
t
)
b
.
?
?
t
-3+3
k
=0,
因为
a
,
b
不共线,所以有
?
?
t
-2
k
=0,
?
6
解之得
t
=.
5
6
故存在实数t
=使
C
,
D
,
E
三点在一条直线上.
5
1个规律——向量加法规律
一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于 从第一个向量起点指向最后一个向量终点的
uuuuruuuuruuuuruuuuuuuruuuu r
向量,即
A
一个封闭图形首尾连接而成
1
A
2
+
A
2
A
3
+
A
3
A
4
+ …+
A
n-1
A
n
=
A
1
A
n< br>.特别地,
的向量和为零向量.
2个结论——向量的中线公式及三角形的重心
(1)向量的中线公式
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uu ur
1
uuuruuur
若
P
为线段
AB
的中点,
O
为平面内一点,则
OP
=(
OA
+
OB
).
2
(2)三角形的重心
uuur
1
uu
r
uruuur
uuu
已知平面内不共线的三点
A
、
B
、C
,
PG
=(
PA
+
PB
+
PC)?
G
是△
ABC
的重心,
3
r
uuuruu ur
uuu
特别地,
PA
+
PB
+
PC
= 0?
P
为△
ABC
的重心.
3个等价转化——与三点共线有关的等价转化
uuuruuuruuur
uuuru uur
A
,
P
,
B
三点共线?
AP
=λ
AB
(
λ
≠0)?
OP
=(1-
t
)·
OA
+
t
OB
(
O
为平面内
uu uruuuruuur
异于
A
,
P
,
B
的任一点,
t
∈R)?
OP
=
x
OA
+
y
O B
(
O
为平面内异于
A
,
P
,
B
的任一点,
x
∈R,
y
∈R,
x
+
y
= 1).
4个注意点——向量线性运算应注意的问题
(1)用平行四边形法则进行向量加法和减法运算时,需将向量平移至共起点;
(2)作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被减向量的终点;
(3)在向量共线的重 要条件中要注意“
a
≠0”,否则
λ
可能不存在,也可能有无数个;
(4)要注意向量共线与三点共线的区别与联系.
创新交汇——以平面向量为背景的新定义问题
1.从近几年新课标省份的高考可以 看出,高考以新定义的形式考查向量的概念及线性
运算的频率较大,且常与平面几何、解析几何、充要条 件等知识交汇,具有考查形式灵活,
题材新颖,解法多样等特点.
2.解决此类问题,首先需 要分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,
通过转化思想解决,这是破解新定义信息题 难点的关键所在.
[典例] (2011·山东高考)设
A
1
,
A
2
,
A
3
,
A
4
是平面直角坐标系中两两 不同的四点,若
uuuuruuuuruuuuruuuur
11
A
1
A
3
=
λ
A
1
A
2
(
λ
∈R),
A
1
A
4
=
μ
A
1
A
2
(
μ
∈R),且
λ
+
μ
=2,则称< br>A
3
,
A
4
调和分割
A
1
,
A
2·
已知点
C
(
c,
0),
D
(d,
0)(
c
,
d
∈R)调和分割点
A
(0, 0),
B
(1,0),则下面说法正确的是
( )
A.
C
可能是线段
AB
的中点
B.
D
可能是线段
AB
的中点
C.
C
,
D
可能同时在线段
AB
上
D.
C
,
D
不可能同时在线段
AB
的延长线上
[解析] 根据已知得(
c,
0)-(0,0)=
λ
[(1,0)- (0,0)],即(
c,
0)=
λ
(1,0),从而得
c
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=
λ
;(
d,
0)-(0,0)=
μ
[(1,0)-(0,0)],即(
d,
0)=
μ
(1,0),得
d
=
μ
.根据
1
λμ
1
+=2,
11111
得+=2.线段
AB
的方程是
y=0,
x
∈[0,1].若
C
是线段
AB
的中点,则< br>c
=,代入+=
cd
2
cd
1
2得,=0,此等式不 可能成立,故选项A的说法不正确;同理选项B的说法也不正确;若
d
C
,
D
同时在线段
AB
上,则0<
c
≤1,0<
d
≤1, 此时≥1,≥1,+≥2,若等号成立,则只
cdcd
能
c
=
d=1,根据定义,
C
,
D
是两个不同的点,故矛盾,故选项C的说法也不 正确;若
C
,
1111
D
同时在线段
AB
的延长线 上,若
c
>1,
d
>1,则+<2,与+=2矛盾,若
c
< 0,
d
<0,则
cdcd
1111111111
+是负值,与+=2 矛盾,若
c
>1,
d
<0,则<1,<0,此时+<1,与+=2矛盾;1111
cdcdcdcdcd
故选项D的说法是正确的.
[答案] D
[名师点评]
1.本题具有以下创新点
(1)命题背景新颖:本题为新定义题目,用新定义考查考生阅读能力与知识迁移能力.
(2 )考查知识新颖:本题把坐标系、向量、点与线段的位置关系通过新定义有机结合在
一起,能较好地考查 学生的阅读理解能力和解决问题的能力.
2.解决本题的关键有以下两点
11
解决 本题的关键是抓住两条:一是
A
1
,
A
2
,
A3
,
A
4
四点共线;二是+=2,同时应用
λμ
排除法 .
[变式训练]
1.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的
a
=(
m
,
n
),
b
=(
p
,< br>q
),令
a
⊙
b
=
mq
-
np,下面说法错误的是( )
A.若
a
与
b
共线,则
a
⊙
b
=0
B.
a
⊙
b
=
b
⊙
a
C.对任意的
λ
∈R,有(
λa
)⊙
b
=
λ
(
a
⊙
b
)
D.(
a
⊙
b
) +(
a·b
)=
|a||b|
解析:选B 若
a
与
b
共线,则有
mq
-
np
=0,故A正确;因为
b
⊙
a
=
pn
-
qm
,而
a
⊙< br>b
=
mq
-
np
,所以有
a
⊙
b< br>≠
b
⊙
a
,故B错误;因为
λa
=(
λm< br>,
λn
),所以(
λa
)⊙
b
=
λmq-
λnp
.又
λ
(
a
⊙
b
)=
λ
(
mq
-
np
)=(
λa
)⊙
b,故C正确;因为(
a
⊙
b
)+(
a
·
b)=(
mq
-
np
)
+(
mp
+
nq
)=(
m
+
n
)(
p
+
q
)=|
a
||
b
|,故D正确.
2222222
222
2222
uuur
2.已知点
A
、
B
、
C
是直线
l
上不同的三个点,点
O
不在直线
l
上,则关于x
的方程
x
OA
2
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uuuruuur
+
x
OB
+
AC
=0的解集为( )
A.?B.{-1}
?
?
-1-5-1+5
?
?
?
D.{-1,0} C.
?
,
22
??
??
uuuruuuruuur
解析:选A 由条件可知,
x
OA
+
x
OB
不能和
AC
共线,即使
x
=0时,也不满足条
2
件,所以满足条件的
x
不存在.
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
uuuruuur
uuuruuuruuur
1.如图,已知
AB
=
a
,
AC
=
b
,
BD
=3
DC
, 用
a
,
b
表示
AD
,
uuur
则
AD
=( )
313
A.
a
+
b
B.
a
+
b
444
1131
C.
a
+
b
D.
a
+
b
4444
uuur
uu u
ruuur
r
uuu
uuur
解析:选B ∵
CB
=
AB
-
AC
=
a
-
b
,又
B D
=3
DC
,
uuur
1
uuur
1
r uuur
uuur
uuu
113
∴
CD
=
CB=(
a
-
b
),∴
AD
=
AC
+CD
=
b
+(
a
-
b
)=
a
+
b
.
44444
uuur
uuuruuur
2.设P
是△
ABC
所在平面内的一点,
BC
+
BA
=2
BP
,则( )
uuur
uuuuuruuurur
A.< br>PA
+
PB
=0 B.
PC
+
PA
=0
rr
uuur
uuu
uuuruuur
uuu
C.
PB
+
PC
=0 D.
PA
+
PB
+
PC
=0
uuur
uuuruuur
解析:选B 如图,根据向量加法的几何意义,
B C
+
BA
=2
BP
?
P
r
uuur
uuu
是
AC
的中点,故
PA
+
PC
=0. < br>3.已知向量
p
=+,其中
a
、
b
均为非零向量,则 |
p
|的取值范
|
a
||
b
|
围是( )
A.[0,2] B.[0,1]
C.(0,2] D.[0,2]
解析:选D
ab
ab
与均为单位向量,当它们同向时,|
p
|取得最值2,当它们反向时,
|
a
||
b
|
|
p
|取得最小值0.故|
p
|∈[0,2].
uuur
uuuuuur
ruuur
4.已知四边形
ABCD
中,
DC
=
AB
,|
AC
|=|
BD
|,则这个四边形的形状是( )
A.平行四边形 B.矩形
C.等腰梯形 D.菱形
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uuur
uuu
uuur
r
解析:选B 由
DC
=
AB
可知
AB
綊
CD
,所以四边形
AB CD
为平行四边形.由|
AC
|
uuur
=|
BD
|知对角线相等,所以平行四边形
ABCD
为矩形.
5.(2013·保定模拟)如 图所示,已知点
G
是△
ABC
的重心,过
G
作直线与
AB
,
AC
两边
ruuur
uuuuruuur
uuu< br>x
·
y
分别交于
M
,
N
两点,且
A M
=
x
AB
,
AN
=
y
AC
,则 的值为( )
x
+
y
1
A.3 B.
3
1
C.2 D.
2
解析:选B (特例法)利用等边三角形, 过重心作平行于底面
BC
的直线,易得
x
·
y
1
= .
x
+
y
3
uuurr
uuur
uuu
uuur
6.设
D
、
E
、
F
分别是△
AB C
的三边
BC
、
CA
、
AB
上的点,且
D C
=2
BD
,
CE
=2
EA
,
ruuur
uuuruuuruuuruuur
uuu
AF
=2
FB
, 则
AD
+
BE
+
CF
与
BC
( )
A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
r
uuuruuuruuuruuur
1
uuu
解析:选A 由题意 得
AD
=
AB
+
BD
=
AB
+
B C
,
3
r
uuuruuuruuuruuur
1
uuu< br>BE
=
BA
+
AE
=
BA
+
AC< br>,
3
uuuruuur
uuu
r
1
uur
uuu
ur
CF
=
CB
+
BF
=
CB+
BA
,
3
ruuur
1
uuuruuur
uuuuuuruuur
uuu
r
因此
AD
+
BE
+
CF
=
CB
+(
BC
+
AC
-
AB
)
3
uuur
2
uuurr
1
uuu
=
CB
+
BC
=-
BC
,
33
ruu ur
uuuruuur
uuu
故
AD
+
BE
+CF
与
BC
反向平行.
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
uuuruuuruuuur
uuuruuur
7.在?
ABCD
中,
AB
=
a
,
AD
=
b
,
AN
=3
NC
,
M
为
BC
的中点,则
MN
=________(用
a
,
b
表示).
uuuruuuruuuruuur
解析:由
AN
=3
NC
得4
AN
=3
AC
=3(
a+
b
),
uuuur
1
AM
=
a
+
b
,
2
uuuur
311
?
1
?
所以
MN
=(
a
+
b
)-
?
a
+
b
?
=-
a
+
b
.
444
?
2
?
1 1
答案:-
a
+
b
44
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8.设
a
,
b
是两个不共线的非零向量,若8
a
+
kb
与
ka
+2
b
共线,则实数
k=________.
解析:因为8
a
+
kb
与
ka
+2
b
共线,所以存在实数
λ
,使8
a
+
kb
=
λ
(
ka
+2
b
),即(8
??
8-
λk
=0,
-
λk
)
a
+(< br>k
-2
λ
)
b
=0.又
a
,
b是两个不共线的非零向量,故
?
?
?
k
-2
λ
=0,
解得
k
=±4.
答案:±4
ur
uu uruuur
uuu
9.(2013·淮阴模拟)已知△
ABC
和点
M
满足
MA
+
MB
+
MC
=0.若存在实数
m
使得
r
uuur
uuu
uuuur
AB
+AC
=
m
AM
成立,则
m
=________. uuuur
2
uuur
解析:由题目条件可知,
M
为△
ABC
的重心,连接
AM
并延长交
BC
于
D
,则< br>AM
=
AD
,
3
r
uuur
uuu
uuuruuuur
因为
AD
为中线,则
AB
+
AC
=2
AD
=3
AM
,所以
m
=3.
答案:3
三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分)
uuur
uuuruuu ruuur
10.已知
P
为△
ABC
内一点,且3
AP+4
BP
+5
CP
=0,延长
AP
交
BC于点
D
,若
AB
uuur
uuuruuur
=
a
,
AC
=
b
,用
a
、
b
表示向 量
AP
,
AD
.
uuuruuuruuuruuur
解: ∵
BP
=
AP
-
AB
=
AP
-
a
,
uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
CP
=
AP
-
AC
=
AP
-
b
,
uuur
uuuruuur
又3
AP
+4
BP
+5
CP
=0.
uuuruuuruuuruuur
15
∴3
AP
+4(
AP
-
a
)+5(
AP
-
b< br>)=0,∴
AP
=
a
+
b
.
312
uuuruuur
设
AD
=
t
AP
(
t
∈R),
uuur
15
则
AD
=
t a
+
tb
.①
312
uuur
uuur
又设BD
=
k
BC
(
k
∈R),
uuuruu ur
uuuruuur
由
BC
=
AC
-
AB
=
b
-
a
,得
BD
=
k
(
b< br>-
a
).
uuuruuuruuuruuur
而
AD
=
AB
+
BD
=
a
+
BD
.
uuur
∴
AD
=
a
+
k
(
b
-
a
)=(1-
k
)
a
+
kb
②
1
?
?
3
t
=1-
k
,
由①②得
?
5
?
?
12
t
=
k
,
4
解得
t
=.
3
uuur
45
代入①得
AD
=
a
+
b
.
99
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uuur
1
uuur
455
∴
AP
=< br>a
+
b
,
AD
=
a
+
b
.
31299
11.设两个非零向量
e
1
和
e
2不共线.
uuuruuur
uuur
(1)如果
AB
=
e
1
-
e
2
,
BC
=3
e
1< br>+2
e
2
,
CD
=-8
e
1
-2< br>e
2
,
求证:
A
、
C
、
D
三点共线;
uuur uuur
uuur
(2)如果
AB
=
e
1
+
e
2
,
BC
=2
e
1
-3
e
2
,
CD
=2
e
1
-
ke
2
,且< br>A
、
C
、
D
三点共线,求
k
的值.
uuur
uuur
解:(1)证明:∵
AB
=
e
1
-
e
2
,
BC
=3
e
1
+2
e
2
,
uuur
CD
=-8
e
1
-2e
2
,
uuur
uuu
r
r
uuu
∴
AC
=
AB
+
BC
=4
e
1
+
e
2
r
11
uuu
=-(-8
e
1
-2
e
2
)=-
CD
,
22
uuuruuur
∴
AC
与
CD
共线. uuuruuur
又∵
AC
与
CD
有公共点
C
,∴
A
、
C
、
D
三点共线.
uuur
uuu
r
r
uuu
(2)
AC
=
AB
+
BC
=(
e
1
+
e
2< br>)+(2
e
1
-3
e
2
)=3
e
1
-2
e
2
,
uuuruuuruuuruuur
∵
A
、
C
、
D
三点共线,∴
AC
与
CD< br>共线,从而存在实数
λ
使得
AC
=
λ
CD
, 即3
e
1
?
?
3=2
λ
,
-2
e
2
=
λ
(2
e
1
-
ke
2
),得
?
?
-2=-
λk
,
?
34
解得
λ
=,
k
=.
23
uuuru uuruuur
12.设点
O
在△
ABC
内部,且有4
OA
+
OB
+
OC
=0,求△
ABC
的面积与△
OBC
的面
积之比.
解:取
BC
的中点
D
,连接
OD
,
uu uruuuruuur
则
OB
+
OC
=2
OD
,
uuuruuuruuuruuur
又4
OA
=-(
OB
+
OC
)=-2
OD
,
uuurr
1
uuu
即
OA
=-
OD
,
2
uuuruuur
∴
O
、
A
、
D
三点共线,且|
OD
|=2|
OA
|,
∴
O
是中线
AD
上靠近
A
点的一个三等分点, < br>∴
S
△
ABC
∶
S
△
OBC
=3∶ 2.
r
uuuuuuruuur
uuu
r
1.已知△< br>ABC
的三个顶点
A
、
B
、
C
及平面内一点
P
满足
PA
+
PB
+
PC
=
AB
,则点
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P
与△
ABC
的关系为( )
A.
P
在△
ABC
内部
B.
P
在△
ABC
外部
C.
P
在
AB
边所在直线上
D.
P
是
AC
边的一个三等分点
r
uuuuuuruuur
uuu
r
解析:选D ∵
PA
+
PB
+
PC
=
AB
,
r
uuu
uuur
uuuruuur
uuu
ruuuruuuruu ur
∴
PA
+
PB
+
PC
=
PB
-
PA
,∴
PC
=-2
PA
=2
AP
,
∴
P
是
AC
边的一个三等分点.
2.平面向量
a
,
b
共线的充要条件是( )
A.
a
,
b
方向相同
B.
a
,
b
两向量中至少有一个为0
C.存在
λ
∈R,使
b
=
λa
D.存在 不全为零的实数
λ
1
,
λ
2
,使
λ
1a
+
λ
2
b
=0
解析:选D
a
,
b
共线时,
a
,
b
方向相同或相反,故A错.
a< br>,
b
共线时,
a
,
b
不一定
是零向量,故B 错.当
b
=
λa
时,
a
,
b
一定共线,若
b
≠0,
a
=0,则
b
=
λa
不成立,故
C错.排除A、B、C.
uuuruuur
3.△
ABC
中,点< br>D
在边
AB
上,
CD
平分∠
ACB
.设CB
=
a
,
CA
=
b
,|
a
|=1,|
b
|=2,
uuur
则
CD
等于( ) 1221
A.
a
+
b
B.
a
+
b
3333
3443
C.
a
+
b
D.
a
+
b
5555
解析:选B ∵
CD
平分∠
ACB
,
∴=.
ACAD
BCB D
uuuruuur
又∵
CB
=
a
,
CA
=
b
,|
a
|=1,|
b
|=2,
AD
2
∴=.
BD
1
uuuruuur
uuur ur
1
uu
CDCB
BDBA
∴=+=
a
+ 3
uruuur
1
uu
=
a
+(
CA
-
CB
)
3
121
=
a
+(
b
-
a
)=
a
+
b
.
333
4.如图所示 ,在五边形
ABCDE
中,点
M
、
N
、
P
、
Q
分别是
AB
、
CD
、
BC
、
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uuur
1
uuur
DE
的中点,
K
和
L
分别是
MN
和
PQ< br>的中点,求证:
KL
=
AE
.
4
ruuur
uuur
uuu
证明:任取一点
O
,
KL
=
OL
-
OK
.
∵
K
、
L
为
MN
、
PQ
的中点.
uuur
1
uuuuruuuruuur
1
uuur
uuu r
∴
OK
=(
OM
+
ON
),
OL
=(
OP
+
OQ
).
22
又∵
M
,< br>N
,
P
,
Q
分别为
AB
,
CD,
BC
,
DE
中点,
uuuur
1
uuur uuuruuur
1
uuuruuur
∴
OM
=(
OA+
OB
),
ON
=(
OC
+
OD
),
22
uuur
1
uuuruuurruuur
uuur
1< br>uuu
OP
=(
OB
+
OC
),
OQ
=(
OD
+
OE
).
22
ruuur
1
uuuuruuuruuur
uuur
uuur
uuu
∴
KL=
OL
-
OK
=[-(
OM
+
ON
) +(
OP
+
OQ
)]
2
uuuruuuruuuruuu ruuuruuuruuuruuur
1
=[-(
OA
+
OB
+
OC
+
OD
)+(
OB
+
OC
+OD
+
OE
)]
4
uuuruuur
r
11
uuu
=(-
OA
+
OE
)=
AE
.
44
顺其自然下一句是什么-一辈子
月份简写-英语书写美观标准图片
描写女子气质的诗句-那种防晒霜效果好
提示语在中间-三d立体画
当兵有工资吗-晚上陪女生聊什么话题
上技校学厨师-视力检测
exercise的复数-陕师大研究生招生
鲁班发明了什么-矫正近视方法
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