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房贷利息的计算公式高考数学一轮汇总训练《第一节平面向量的概念及其线性运算》理新人教A版

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 09:45
tags:向量平行公式

卫校出来能干嘛-作文200字左右


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第一节 平面向量的概念及其线性运算


[备考方向要明了]

考 什 么

1.了解向量的实际背景.
2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.
3.理解向量的几何表示.
4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含
义.
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.




[归纳·知识整合]
1.向量的有关概念
名称

向量

零向量

单位向量

平行向量

相等向量

相反向量


[探究] 1.两向量共线与平行是两个不同的概念吗?两向量共线是指两向量的方向一
致吗?
提示:方 向相同或相反的一组非零向量,叫做平行向量,又叫共线向量,是同一个概念.显
然两向量平行或共线, 其方向可能相同,也可能相反.
定义
既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或称模)
长度为零的向量叫做零向量,其方向是任意的,零向量记作0
长度等于1个单位的向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,平行向量又叫共线向量.规定:0
与任一向量平行
长度相等且方向相同的向量
长度相等且方向相反的向量
1.主要考查平面向量的有 关
概念及线性运算、共线向量
定理的理解和应用,如20XX
年浙江T5,辽宁T3等 .
2.考查题型为选择题或填空
题.
怎 么 考
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2.两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同?
提示:平行向量也叫共线向量 ,这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同,两
向量平行时,两向量可以在同一条直线上.
2.向量的线性运算
向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律
(1)交换律:
a

b

b
加法

求两个向量和的运




a

b
的相反向
减法

量-
b
的和的运算
叫做
a

b
的差

(1)|
λa
|=|
λ
||
a
|
数乘

求实数
λ
与向量
a
的积的运算
< br>(2)当
λ
>0时,
λa

a
的方向
相同; 当
λ
<0时,
λa

a
的方
向相反;当
λ
=0时,
λa
=0

[探究]3.
λ
=0与a
=0时,
λa
的值是否相等?
提示:相等,且均为0.
4 .若|
a

b
|=|
a

b
|,你能给出 以
a

b
为邻边的平行四边形的形状吗?
提示:如图,说明平行四边形的两条对角线长度相等,故四边形是矩
形.
3.共线向量定理
向量
a
(
a≠0
)与
b
共线的充要条件是存在唯一一个实数
λ
,使得
b

λa
.
[探究] 5.当两个非零向量
a

b
共线时,一定有
b< br>=
λa
,反之成立吗?
提示:成立.
[自测·牛刀小试]
1.下列说法中正确的是( )
A.只有方向相同或相反的向量是平行向量
B.零向量的长度为零
C.长度相等的两个向量是相等向量
D.共线向量是在一条直线上的向量
解析:选B 由于零向量与任意向量平行,故选项A错误;长度相等且方向相同的两个


a (2)结合律:(
a

b
)

c

a
+(
b

c
)
a

b

a
+(-
b
)

λ
(
μa
)=(
λμ
)
a
(
λ

μ
)
a

λa

μa
λ< br>(
a

b
)=
λa

λb

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向量是相等向量,故C错误;方向相同或相反的两个非零向量是共线向量,故D错误.
uuu r
2.(教材习题改编)
D
是△
ABC
的边
AB
上 的中点,则向量
CD
等于( )
uuur
1
uu
uuu r
1
uuurur
A.-
BC

BA
B.-
BC

BA

22
uuur
1
uu
uu ur
1
uuurur
C.
BC

BA
D.
BC

BA

22
uuuruuur
uuu
rr
uuu
解析:选A 如图,由于
D

AB
的中点,所 以
CD

CB

BD

CB
uuur1
uuurur
1
uu

BA
=-
BC

BA
.
22
3.如图,
e
1

e< br>2
为互相垂直的单位向量,则向量
a

b
可表示为( )
A.3
e
2

e
1

B.-2
e
1
-4
e
2

C.
e
1
-3
e
2

D.3
e
1

e
2

解析:选C 连接< br>a

b
的终点,并指向
a
的终点的向量是
a

b
.
uuurr
uuur
uuu
AC
5
4.(教材习题改编)点
C
在线段
AB
上,且=,则
AC
=________
AB

BC

CB
2
uuur
________
AB
.
uuur
5
uuu
r< br>r
uuu
r
AC
52
uuu
解析:如图,∵=,∴< br>AC

AB

BC
=-
AB
.
CB
277
52
答案: -
77
uuur
uuu
r
uuuu
r
uuu
r
5.(教材习题改编)化简
OP

QP

MS

MQ
的结果为______.
uuur
uuu
r
uuuu
r
uuu
r
解 析:
OP

QP

MS

MQ

uuur
uuu
uuur
uuuu
r
r
=(
OP< br>+
PQ
)+(
MS

MQ
)
r
u uur
uuur
uuu

OQ

QS

O S
.
uuur
答案:
OS




向量的概念

[例1] 给出下列命题:
①若|
a
|= |
b
|,则
a

b

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r
uuur
uuu
②若
A

B

C

D
是不共线的四点,则
AB

DC
是四边形
ABCD
为平行四边形的充要条
件;
③若
a
=< br>b

b

c
,则
a

c


a

b
的充要条件是|
a
|=|
b|且
a

b

⑤若
a

b

b

c
,则
a

c
.
其中正确命题的序号是( )
A.②③B.①②
C.③④D.④⑤
[自主解答] ①不正确,长度相等,但方向不同的向量不是相等向量.
ruuurr
uuur
uuu
uuuruuur
uuu
②正确.∵
AB

DC
,∴|
AB
|=|
DC
|且
AB

DC
,又
A

B

C

D
是不共线的
r
uuur
uuu
四点,∴四边形
ABCD
为 平行四边形;反之,若四边形
ABCD
为平行四边形,则
AB

DC

uuurr
uuuruuur
uuu
|
AB
|= |
DC
|,因此,
AB

DC
.
③正确.∵a

b
,∴
a

b
的长度相等且方向相同;

b

c
,∴
b

c
的长度相等 且方向相同,

a

c
的长度相等且方向相同,故
a
c
.
④不正确.当
a
=-
b
时,也有|< br>a
|=|
b
|且
a

b
,故|
a< br>|=|
b
|且
a

b
不是
a
b
的充要
条件,而是必要不充分条件.
⑤不正确.未考虑
b
=0这种特殊情况.
综上所述,正确命题的序号是②③.
[答案] A
———————————————————
解决平面向量概念辨析题的方法
解决与 向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度,如,共线向量的核
心是方向相同或相反,长 度没有限制;相等向量的核心是方向相同且长度相等;单位向量的
核心是方向没有限制,但长度都是一个 单位长度;零向量的核心是方向没有限制,长度是0;
规定零向量与任意向量共线.只有紧紧抓住概念的 核心才能顺利解决与向量概念有关的问
题.


1.设
a
0
为单位向量,①若
a
为平面内的某个向量,则
a
=|
a< br>|
a
0
;②若
a

a
0
平行,则< br>a
=|
a
|
a
0
;③若
a

a
0
平行且|
a
|=1,则
a

a
0< br>.上述命题中,假命题的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
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解析:选D 向量是既有大小又有方向 的量,
a
与|
a
|
a
0
的模相同,但方向不一定相 同,
故①是假命题;若
a

a
0
平行,则
a

a
0
的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向

a
=-|
a
|
a
0
,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是 3.


向量的线性运算

[例2] 在△
ABC
中,
r
1
uuuruuur
uuuruuur
uuu
(1)若
D

AB
边上一点,且
AD
=2
DB

CD

CA

λ
CB
,则
λ
=( )
3
21
A.B.
33
12
C.-D.-
33
uuuruuuruuur
( 2)若
O
是△
ABC
所在平面内一点,
D

BC< br>边中点,且2
OA

OB

OC
=0,那么( )
uuuruuuruuuruuur
A.
AO

OD
B.< br>AO
=2
OD

uuuruuuruuuruuur
C.AO
=3
OD
D.2
AO

OD

r uuuruuuruuuruuur
1
uuur
uuuruuur
uuu[自主解答] (1)法一:由
AD
=2
DB

CD

CA
=2(
CB

CD
),即
CD
CA

3
r
2
uuu
2
CB
,所以< br>λ
=.
33
uuuruuur
uuu
ur
2
uuu
ur
2
uuuruuurur
2
uuur
r
uu
r
uu
1
uu
法二:因为
CD

C A

AD

CA

AB

CA
+ (
CB

CA
)=
CA

CB
,所
3333
2

λ
=.
3
uuuruuuruuuruu uruuuruuuruuur
(2)因为
D

BC
边的中点,所以 有
OB

OC
=2
OD
,所以2
OA
+< br>OB

OC
=2
OA
uuuruuuruuuruuuruu uruuuruuur
ODOAODOAODAOOD
+2=2(+)=0?+=0?=.
[答案] (1)A (2)A
uuurrr
uuuruuur
uuuuuur
uuu
在本例条件下,若|
AB
|=|
AC
| =|
AB

AC
|=2,则|
AB

AC
|为何值?
uuurr
uuuruuur
uuu
解:∵|
AB|=|
AC
|=|
AB

AC
|,
∴△
ABC
为正三角形.

r
uuur
uuu< br>∴|
AB

AC
|=23.
———————————————————
平面向量线性运算的一般规律
(1)用 已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功,除利用向量的加法、减法、
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数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理.
(2)在求向量时,要尽可能转 化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角
形法则,利用三角形中位线、相似三角形对应边 成比例等平面几何的性质,把未知向量转化
为与已知向量有直接关系的向量来求解.


uuur
1
2.如图,在△
OAB
中,延长
BA

C
,使
AC

BA
,在
OB
上 取点
D
,使
DB

OB
.设
OA

3
uuuruuuruuur
a

OB

b
,用
a

b
表示向量
OC

DC
.
uuuruuuruuuruuurruuuruuur
uuur
uuu
解:
OC

OB

BC

OB
+2
BA

OB
+2(
OA

OB
)
uuuruuur
=2
OA

OB
=2
a

b
.
uuuruuuruuuruuur
2
uuur
DC

OC

OD

OC

OB

3
2
=(2
a

b
)-
b

3
5
=2
a

b
.
3



共线向量定理的应用

[例3] 设两个非零向量
a

b
不共线,
uuuruuur
uuu r
(1)若
AB

a

b

BC
=2
a
+8
b

CD
=3(
a

b
),求证:
A

B

D
三点共线.
( 2)试确定实数
k
,使
ka

b

a
+< br>kb
共线.
uuur
uuur
[自主解答] (1)∵
AB

a

b

BC
=2
a
+8b

uuur
CD
=3(
a

b
),
ruu ur
uuur
uuu

BD

BC

CD
=2
a
+8
b
+3(
a

b
),
uuur
=2
a
+8
b
+3
a
-3
b
=5(
a

b
)=5
AB
.
uuu ruuur

AB

BD
共线,又∵它们有公共点
B


A

B

D
三点共线.
(2) ∵
ka

b

a

kb
共线,
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∴存在实数
λ
,使< br>ka

b

λ
(
a

kb
),

ka

b

λa

λkb
.
∴(
k

λ
)
a
=(
λk
-1)
b
.

a

b
是不共线的两个非零向量,
k

λ

λk
-1=0,∴
k
-1 =0,∴
k
=±1.
———————————————————
2
1.共线向量定理及其应用
(1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的值.
(2)若
a

b
不共线,则
λa

μb
=0的充要条件是
λ

μ
=0,这一结论结合待定系数
法应用非常广泛.
2.证明三点共线的方法
uuur
uuur

AB
λ
AC
,则
A

B

C
三点共线.

uuuruuuruuuruuuruuur
3.已知
a

b
不共线,
OA

a

OB

b

OC

c

OD

d

OE

e
,设
t
∈R,如
果3
a

c ,
2
b

d

e

t
(
a

b
),是否存在实数
t
使
C

D
E
三点在一条直线上?若存在,求
出实数
t
的值,若不存在, 请说明理由.

uuuruuur
解:由题设知,
CD

d

c
=2
b
-3
a

CE
=< br>e

c
=(
t
-3)
a

tb
C

D

E
三点在一条
uuuruuur< br>直线上的充要条件是存在实数
k
,使得
CE

k
CD
,即(
t
-3)
a

tb
=-3
ka+2
kb

整理得(
t
-3+3
k
)
a
=(2
k

t
)
b
.
?
?
t
-3+3
k
=0,
因为
a

b
不共线,所以有
?
?
t
-2
k
=0,
?


6
解之得
t
=.
5
6
故存在实数t
=使
C

D

E
三点在一条直线上.
5

1个规律——向量加法规律
一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于 从第一个向量起点指向最后一个向量终点的
uuuuruuuuruuuuruuuuuuuruuuu r
向量,即
A
一个封闭图形首尾连接而成
1
A
2

A
2
A
3

A
3
A
4
+ …+
A
n-1
A
n

A
1
A
n< br>.特别地,
的向量和为零向量.
2个结论——向量的中线公式及三角形的重心
(1)向量的中线公式
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uu ur
1
uuuruuur

P
为线段
AB
的中点,
O
为平面内一点,则
OP
=(
OA

OB
).
2
(2)三角形的重心
uuur
1
uu
r
uruuur
uuu
已知平面内不共线的三点
A

B
C

PG
=(
PA

PB

PC)?
G
是△
ABC
的重心,
3
r
uuuruu ur
uuu
特别地,
PA

PB

PC
= 0?
P
为△
ABC
的重心.
3个等价转化——与三点共线有关的等价转化
uuuruuuruuur
uuuru uur
A

P

B
三点共线?
AP
λ
AB
(
λ
≠0)?
OP
=(1-
t

OA

t
OB
(
O
为平面内
uu uruuuruuur
异于
A

P

B
的任一点,
t
∈R)?
OP

x
OA

y
O B
(
O
为平面内异于
A

P

B
的任一点,
x
∈R,
y
∈R,
x

y
= 1).
4个注意点——向量线性运算应注意的问题
(1)用平行四边形法则进行向量加法和减法运算时,需将向量平移至共起点;
(2)作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被减向量的终点;
(3)在向量共线的重 要条件中要注意“
a
≠0”,否则
λ
可能不存在,也可能有无数个;
(4)要注意向量共线与三点共线的区别与联系.


创新交汇——以平面向量为背景的新定义问题

1.从近几年新课标省份的高考可以 看出,高考以新定义的形式考查向量的概念及线性
运算的频率较大,且常与平面几何、解析几何、充要条 件等知识交汇,具有考查形式灵活,
题材新颖,解法多样等特点.
2.解决此类问题,首先需 要分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,
通过转化思想解决,这是破解新定义信息题 难点的关键所在.
[典例] (2011·山东高考)设
A
1

A
2

A
3

A
4
是平面直角坐标系中两两 不同的四点,若
uuuuruuuuruuuuruuuur
11
A
1
A
3

λ
A
1
A
2
(
λ
∈R),
A
1
A
4

μ
A
1
A
2
(
μ
∈R),且
λ

μ
=2,则称< br>A
3

A
4
调和分割
A
1

A

已知点
C
(
c,
0),
D
(d,
0)(
c

d
∈R)调和分割点
A
(0, 0),
B
(1,0),则下面说法正确的是
( )
A.
C
可能是线段
AB
的中点
B.
D
可能是线段
AB
的中点
C.
C

D
可能同时在线段
AB

D.
C

D
不可能同时在线段
AB
的延长线上
[解析] 根据已知得(
c,
0)-(0,0)=
λ
[(1,0)- (0,0)],即(
c,
0)=
λ
(1,0),从而得
c
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λ
;(
d,
0)-(0,0)=
μ
[(1,0)-(0,0)],即(
d,
0)=
μ
(1,0),得
d

μ
.根据
1
λμ
1
+=2,
11111
得+=2.线段
AB
的方程是
y=0,
x
∈[0,1].若
C
是线段
AB
的中点,则< br>c
=,代入+=
cd
2
cd
1
2得,=0,此等式不 可能成立,故选项A的说法不正确;同理选项B的说法也不正确;若
d
C

D
同时在线段
AB
上,则0<
c
≤1,0<
d
≤1, 此时≥1,≥1,+≥2,若等号成立,则只
cdcd

c

d=1,根据定义,
C

D
是两个不同的点,故矛盾,故选项C的说法也不 正确;若
C

1111
D
同时在线段
AB
的延长线 上,若
c
>1,
d
>1,则+<2,与+=2矛盾,若
c
< 0,
d
<0,则
cdcd
1111111111
+是负值,与+=2 矛盾,若
c
>1,
d
<0,则<1,<0,此时+<1,与+=2矛盾;1111
cdcdcdcdcd
故选项D的说法是正确的.
[答案] D
[名师点评]

1.本题具有以下创新点
(1)命题背景新颖:本题为新定义题目,用新定义考查考生阅读能力与知识迁移能力.
(2 )考查知识新颖:本题把坐标系、向量、点与线段的位置关系通过新定义有机结合在
一起,能较好地考查 学生的阅读理解能力和解决问题的能力.
2.解决本题的关键有以下两点
11
解决 本题的关键是抓住两条:一是
A
1

A
2

A3

A
4
四点共线;二是+=2,同时应用
λμ
排除法 .
[变式训练]

1.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的
a
=(
m

n
),
b
=(
p
,< br>q
),令
a

b

mq

np,下面说法错误的是( )
A.若
a

b
共线,则
a

b
=0
B.
a

b

b

a

C.对任意的
λ
∈R,有(
λa
)⊙
b

λ
(
a

b
)
D.(
a

b
) +(
a·b
)=
|a||b|

解析:选B 若
a

b
共线,则有
mq

np
=0,故A正确;因为
b

a

pn

qm
,而
a
⊙< br>b

mq

np
,所以有
a

b< br>≠
b

a
,故B错误;因为
λa
=(
λm< br>,
λn
),所以(
λa
)⊙
b

λmq
λnp
.又
λ
(
a

b
)=
λ
(
mq

np
)=(
λa
)⊙
b,故C正确;因为(
a

b
)+(
a
·
b)=(
mq

np
)
+(
mp

nq
)=(
m

n
)(
p

q
)=|
a
||
b
|,故D正确.
2222222
222
2222
uuur
2.已知点
A

B

C
是直线
l
上不同的三个点,点
O
不在直线
l
上,则关于x
的方程
x
OA
2
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uuuruuur

x
OB

AC
=0的解集为( )
A.?B.{-1}
?
?
-1-5-1+5
?
?
?
D.{-1,0} C.
?

22
??
??
uuuruuuruuur
解析:选A 由条件可知,
x
OA

x
OB
不能和
AC
共线,即使
x
=0时,也不满足条
2
件,所以满足条件的
x
不存在.

一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
uuuruuur
uuuruuuruuur
1.如图,已知
AB

a

AC

b

BD
=3
DC
, 用
a

b
表示
AD

uuur

AD
=( )
313
A.
a

b
B.
a

b

444
1131
C.
a

b
D.
a

b

4444
uuur
uu u
ruuur
r
uuu
uuur
解析:选B ∵
CB

AB

AC

a

b
,又
B D
=3
DC

uuur
1
uuur
1
r uuur
uuur
uuu
113

CD

CB=(
a

b
),∴
AD

AC
CD

b
+(
a

b
)=
a

b
.
44444
uuur
uuuruuur
2.设P
是△
ABC
所在平面内的一点,
BC

BA
=2
BP
,则( )
uuur
uuuuuruuurur
A.< br>PA

PB
=0 B.
PC

PA
=0
rr
uuur
uuu
uuuruuur
uuu
C.
PB

PC
=0 D.
PA

PB

PC
=0
uuur
uuuruuur
解析:选B 如图,根据向量加法的几何意义,
B C

BA
=2
BP
?
P
r
uuur
uuu

AC
的中点,故
PA

PC
=0. < br>3.已知向量
p
=+,其中
a

b
均为非零向量,则 |
p
|的取值范
|
a
||
b
|
围是( )
A.[0,2] B.[0,1]
C.(0,2] D.[0,2]
解析:选D
ab
ab
与均为单位向量,当它们同向时,|
p
|取得最值2,当它们反向时,
|
a
||
b
|
|
p
|取得最小值0.故|
p
|∈[0,2].
uuur
uuuuuur
ruuur
4.已知四边形
ABCD
中,
DC

AB
,|
AC
|=|
BD
|,则这个四边形的形状是( )
A.平行四边形 B.矩形
C.等腰梯形 D.菱形
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uuur
uuu
uuur
r
解析:选B 由
DC

AB
可知
AB

CD
,所以四边形
AB CD
为平行四边形.由|
AC
|
uuur
=|
BD
|知对角线相等,所以平行四边形
ABCD
为矩形.
5.(2013·保定模拟)如 图所示,已知点
G
是△
ABC
的重心,过
G
作直线与
AB

AC
两边
ruuur
uuuuruuur
uuu< br>x
·
y
分别交于
M

N
两点,且
A M

x
AB

AN

y
AC
,则 的值为( )
x

y
1
A.3 B.
3
1
C.2 D.
2
解析:选B (特例法)利用等边三角形, 过重心作平行于底面
BC
的直线,易得
x
·
y
1
= .
x

y
3
uuurr
uuur
uuu
uuur
6.设
D

E

F
分别是△
AB C
的三边
BC

CA

AB
上的点,且
D C
=2
BD

CE
=2
EA

ruuur
uuuruuuruuuruuur
uuu
AF
=2
FB
, 则
AD

BE

CF

BC
( )
A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
r
uuuruuuruuuruuur
1
uuu
解析:选A 由题意 得
AD

AB

BD

AB

B C

3
r
uuuruuuruuuruuur
1
uuu< br>BE

BA

AE

BA

AC< br>,
3
uuuruuur
uuu
r
1
uur
uuu
ur
CF

CB

BF

CB
BA

3
ruuur
1
uuuruuur
uuuuuuruuur
uuu
r
因此
AD

BE

CF

CB
+(
BC

AC

AB
)
3
uuur
2
uuurr
1
uuu

CB

BC
=-
BC

33
ruu ur
uuuruuur
uuu

AD

BE
CF

BC
反向平行.
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
uuuruuuruuuur
uuuruuur
7.在?
ABCD
中,
AB

a

AD

b

AN
=3
NC

M

BC
的中点,则
MN
=________(用
a

b
表示).
uuuruuuruuuruuur
解析:由
AN
=3
NC
得4
AN
=3
AC
=3(
a
b
),
uuuur
1
AM

a

b

2
uuuur
311
?
1
?
所以
MN
=(
a

b
)-
?
a

b
?
=-
a

b
.
444
?
2
?
1 1
答案:-
a

b

44
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8.设
a

b
是两个不共线的非零向量,若8
a

kb

ka
+2
b
共线,则实数
k=________.
解析:因为8
a

kb

ka
+2
b
共线,所以存在实数
λ
,使8
a

kb

λ
(
ka
+2
b
),即(8
??
8-
λk
=0,

λk
)
a
+(< br>k
-2
λ
)
b
=0.又
a

b是两个不共线的非零向量,故
?
?
?
k
-2
λ
=0,

解得
k
=±4.
答案:±4
ur
uu uruuur
uuu
9.(2013·淮阴模拟)已知△
ABC
和点
M
满足
MA

MB

MC
=0.若存在实数
m
使得
r
uuur
uuu
uuuur
AB
AC

m
AM
成立,则
m
=________. uuuur
2
uuur
解析:由题目条件可知,
M
为△
ABC
的重心,连接
AM
并延长交
BC

D
,则< br>AM

AD

3
r
uuur
uuu
uuuruuuur
因为
AD
为中线,则
AB

AC
=2
AD
=3
AM
,所以
m
=3.
答案:3
三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分)
uuur
uuuruuu ruuur
10.已知
P
为△
ABC
内一点,且3
AP+4
BP
+5
CP
=0,延长
AP

BC于点
D
,若
AB
uuur
uuuruuur

a

AC

b
,用
a

b
表示向 量
AP

AD
.
uuuruuuruuuruuur
解: ∵
BP

AP

AB

AP

a

uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
CP

AP

AC

AP

b

uuur
uuuruuur
又3
AP
+4
BP
+5
CP
=0.
uuuruuuruuuruuur
15
∴3
AP
+4(
AP

a
)+5(
AP

b< br>)=0,∴
AP

a

b
.
312
uuuruuur

AD

t
AP
(
t
∈R),
uuur
15

AD

t a

tb
.①
312
uuur
uuur
又设BD

k
BC
(
k
∈R),
uuuruu ur
uuuruuur

BC

AC

AB

b

a
,得
BD

k
(
b< br>-
a
).
uuuruuuruuuruuur

AD

AB

BD

a

BD
.
uuur

AD

a

k
(
b

a
)=(1-
k
)
a

kb

1
?
?
3
t
=1-
k

由①②得
?
5
?
?
12
t

k


4
解得
t
=.
3
uuur
45
代入①得
AD

a

b
.
99
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uuur
1
uuur
455

AP
=< br>a

b

AD

a

b
.
31299
11.设两个非零向量
e
1

e
2不共线.
uuuruuur
uuur
(1)如果
AB

e
1

e
2

BC
=3
e
1< br>+2
e
2

CD
=-8
e
1
-2< br>e
2

求证:
A

C

D
三点共线;
uuur uuur
uuur
(2)如果
AB

e
1

e
2

BC
=2
e
1
-3
e
2

CD
=2
e
1

ke
2
,且< br>A

C

D
三点共线,求
k
的值.
uuur
uuur
解:(1)证明:∵
AB

e
1

e
2

BC
=3
e
1
+2
e
2

uuur
CD
=-8
e
1
-2e
2

uuur
uuu
r
r
uuu

AC

AB

BC
=4
e
1

e
2

r
11
uuu
=-(-8
e
1
-2
e
2
)=-
CD

22
uuuruuur

AC

CD
共线. uuuruuur
又∵
AC

CD
有公共点
C
,∴
A

C

D
三点共线.
uuur
uuu
r
r
uuu
(2)
AC

AB

BC
=(
e
1

e
2< br>)+(2
e
1
-3
e
2
)=3
e
1
-2
e
2

uuuruuuruuuruuur

A

C

D
三点共线,∴
AC

CD< br>共线,从而存在实数
λ
使得
AC

λ
CD
, 即3
e
1
?
?
3=2
λ

-2
e
2

λ
(2
e
1

ke
2
),得
?
?
-2=-
λk

?


34
解得
λ
=,
k
=.
23
uuuru uuruuur
12.设点
O
在△
ABC
内部,且有4
OA

OB

OC
=0,求△
ABC
的面积与△
OBC
的面
积之比.
解:取
BC
的中点
D
,连接
OD

uu uruuuruuur

OB

OC
=2
OD

uuuruuuruuuruuur
又4
OA
=-(
OB

OC
)=-2
OD

uuurr
1
uuu

OA
=-
OD

2
uuuruuur

O

A

D
三点共线,且|
OD
|=2|
OA
|,

O
是中线
AD
上靠近
A
点的一个三等分点, < br>∴
S

ABC

S

OBC
=3∶ 2.

r
uuuuuuruuur
uuu
r
1.已知△< br>ABC
的三个顶点
A

B

C
及平面内一点
P
满足
PA

PB

PC

AB
,则点
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P
与△
ABC
的关系为( )
A.
P
在△
ABC
内部
B.
P
在△
ABC
外部
C.
P

AB
边所在直线上
D.
P

AC
边的一个三等分点
r
uuuuuuruuur
uuu
r
解析:选D ∵
PA

PB

PC

AB

r
uuu
uuur
uuuruuur
uuu
ruuuruuuruu ur

PA

PB

PC

PB

PA
,∴
PC
=-2
PA
=2
AP


P

AC
边的一个三等分点.
2.平面向量
a

b
共线的充要条件是( )
A.
a

b
方向相同
B.
a

b
两向量中至少有一个为0
C.存在
λ
∈R,使
b

λa

D.存在 不全为零的实数
λ
1

λ
2
,使
λ
1a

λ
2
b
=0
解析:选D
a

b
共线时,
a

b
方向相同或相反,故A错.
a< br>,
b
共线时,
a

b
不一定
是零向量,故B 错.当
b

λa
时,
a

b
一定共线,若
b
≠0,
a
=0,则
b

λa
不成立,故
C错.排除A、B、C.
uuuruuur
3.△
ABC
中,点< br>D
在边
AB
上,
CD
平分∠
ACB
.设CB

a

CA

b
,|
a
|=1,|
b
|=2,
uuur

CD
等于( ) 1221
A.
a

b
B.
a

b
3333
3443
C.
a

b
D.
a

b

5555
解析:选B ∵
CD
平分∠
ACB

∴=.
ACAD
BCB D
uuuruuur
又∵
CB

a

CA

b
,|
a
|=1,|
b
|=2,
AD
2
∴=.
BD
1
uuuruuur
uuur ur
1
uu
CDCB
BDBA
∴=+=
a
3
uruuur
1
uu

a
+(
CA

CB
)
3
121

a
+(
b

a
)=
a

b
.
333
4.如图所示 ,在五边形
ABCDE
中,点
M

N

P

Q
分别是
AB

CD

BC

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uuur
1
uuur
DE
的中点,
K

L
分别是
MN

PQ< br>的中点,求证:
KL

AE
.
4
ruuur
uuur
uuu
证明:任取一点
O

KL

OL

OK
.

K

L

MN

PQ
的中点.
uuur
1
uuuuruuuruuur
1
uuur
uuu r

OK
=(
OM

ON
),
OL
=(
OP

OQ
).
22
又∵
M
,< br>N

P

Q
分别为
AB

CD
BC

DE
中点,
uuuur
1
uuur uuuruuur
1
uuuruuur

OM
=(
OA
OB
),
ON
=(
OC

OD
),
22
uuur
1
uuuruuurruuur
uuur
1< br>uuu
OP
=(
OB

OC
),
OQ
=(
OD

OE
).
22
ruuur
1
uuuuruuuruuur
uuur
uuur
uuu

KL
OL

OK
=[-(
OM

ON
) +(
OP

OQ
)]
2
uuuruuuruuuruuu ruuuruuuruuuruuur
1
=[-(
OA

OB

OC

OD
)+(
OB

OC
OD

OE
)]
4
uuuruuur
r
11
uuu
=(-
OA

OE
)=
AE
.
44

顺其自然下一句是什么-一辈子


月份简写-英语书写美观标准图片


描写女子气质的诗句-那种防晒霜效果好


提示语在中间-三d立体画


当兵有工资吗-晚上陪女生聊什么话题


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