解方程的公式法复数的加法与减法(篇三)

复数的加法与减法
教学目标
（1）掌握复数加法与减法运算法则，能熟练地进行
加、减法运算；
（2）理解并掌握复数加法与减法的几何意义，会用
平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题；
（3）能初步运用复平面两点间的距离公式解决有关
问题；
（4）通过学习平行四边形法则和三角形法，培养学
生的数形结合的数学思想；
（5）通过本节内容的学习，培养学生良好思维品质
（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）．
教学建议一、知识结构 二、重点、难点分析
本节的重点是复数加法法则 。难点是复数加减法的
几何意义。复数加法法则是教材首先规定的法则，它是
复数加减法运算的 基础，对于这个规定的合理性，在教
学过程中要加以重视。复数加减法的几何意义的难点在
于复 数加减法转化为向量加减法，以它为根据来解决某
些平面图形的问题，学生对这一点不容易接受。三、教
学建议
（1）在中，重点是加法．教材首先规定了复数的加
法法则．对于 这个规定，应通过下面几个方面，使学生
逐步理解这个规定的合理性：①当 时，与实数加法法则
一致；②验证实数加法运算律在复数集中仍然成立；③
符合向量加法的平行四边形法则．
（2）复数加法的向量运算讲解设 ，画出向量 ， 后，
提问向量加法的平行四边形法则，并让学生自己画出和
向量（即合向量） ，画出向量 后，问与它对应的复数是
什么，即求点Z的坐标OR与RZ（证法如教材所示）．
（3）向学生介绍复数加法的三角形法则．讲过复数
加法可按向量加法的平行四边形法则来进行后，可以 指
出向量加法还可按三角形法则来进行：如教材中图8－5
（2）所示，求 与 的和，可以看作是求 与 的和．这时
先画出第一个向量 ，再以 的终点为起点画出第二个向
量 ，那么，由第一个向量起点O指向第二个向量终点Z
的向量 ，就是这两个向量的和向量．
（4）向学生指出复数加法的三角形法则的好处．向
学生介绍一下向量加法的三角形法则是有好处的：例如
讲到当 与 在同一直线上时，求它们的和，用三 角形法
则来解释，可能比“画一个压扁的平行四边形”来解释
容易理解一些；讲复数减法的几何 意义时，用三角形法
则也较平行四边形法则更为方便．
（5）讲解了教材例2后，应强调 （注意：这里 是
起点， 是终点）就是同复数 － 对应的向量．点 ， 之
间的距离 就是向量 的模，也就是复数 － 的模，
即 ．
例如，起点对应复数－1、终点对应复数 的那个向
量（如图），可用 来表示．因而点 与 （ ）点间的距离
就是复数 的模，它等于 。教学设计示例
复数的减法及其几何意义 教学目标
1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义．
2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分
析、解决问题能力．
3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，
灵活性等）．教学重点和难点
重点：复数减法法则．
难点：对复数减法几何意义理解和应用．教学过程
设计（一）引入新课
上节课我们 学习了复数加法法则及其几何意义，今
天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．（板书课题：
复数减法及其几何意义）（二）复数减法
复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（ + i）
-（ + i）=（ - ）+（ - ）i，1．复数减法法则
（1）规定：复数减法是加法逆运算；
（2）法则：（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i
（ ， ， ， ∈R）．
把（ + i）-（ + i）看成（ + i）+（-1）（ + i）
如何推导这个法则．（ + i）-（ + i）=（ + i）+（-1）
（ + i）=（ + i）+（- - i）=（ - ）+（ - ）i．
推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算．
推导：设（ + i）-（ + i）= + i（ ， ∈R）．即
复数 + i为复数 + i减去复数 + i的差．由规定，得（ +
i）+（ + i）= + i，依据加法法则，得（ + ）+（ + ）
i= + i，依据复数相等定义，得
故（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i．这样推导
每一步都有合理依据．
我们得到了复数减法法则，两个复数的差仍是复
数．是唯一确定的复数．
复数的加 （减）法与多项式加（减）法是类似的．就
是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（ + i）±（ + i）=（ ± ）+（ ± ）i．（三）复数
减法几何意义
我们有了做复数减法的依据——复数减法法则，那
么复数减法的几何意义是什么？
设z= + i（ ， ∈R），z1= + i（ ， ∈R），对应
向量分别为 ， 如图
由于复数减法是加法的逆运算，设z=（ - ）+（ - ）
i，所以z-z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以
为一条对角线， 1为一条边画平行四边形，那么这个平
行四边形的另一边 2所表示的向量OZ2就与复数z-z1的
差（ - ）+（ - ）i对应，如图．

在这个平行四边形中与z-z1差对应的向量是只有向
量 2吗？
还有 ． 因为OZ2 Z1Z，所以向量 ，也与z-z1差对
应．向量 是以Z1为起点，Z为终点的向量．
能概括一下复数减法几何意义是：两个复数的差
z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对
应．（四）应用举例
在直角坐标系中标Z1（-2，5），连接OZ1，向量 1
与多数z1对应，标点Z2（3，2），Z2关于x轴对称点
Z2（3，-2），向量 2与复数对应，连接，向量与的差对
应（如图）．

例2 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内
两点间的距离公式．
解：设复平面内 的任意两点Z1，Z2分别表示复数z1，
z2，那么Z1Z2就是复数对应的向量，点之间的距离就是
向量的模，即复数z2-z1的模．如果用d表示点Z1，Z2
之间的距离，那么d=|z2- z1|．
例3 在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z
的轨迹是什么．
（1）|z-1-i|=|z+2+i|；
方程左式可以看成|z-（1+i）|，是复数Z与复数1+i
差的模．
几何意义 是是动点Z与定点（1，1）间的距离．方程
右式也可以写成|z-（-2-i）|，是复数z与复数- 2-i差
的模，也就是动点Z与定点（-2，-1）间距离．这个方程
表示的是到两点（+1， 1），（-2，-1）距离相等的点的
轨迹方程，这个动点轨迹是以点（+1，1），（-2，-1）< br>为端点的线段的垂直平分线．
（2）|z+i|+|z-i|=4；
方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到两个
定点（0，-1）和（0，1）距离 和等于4的动点轨迹．满
足方程的动点轨迹是椭圆．
（3）|z+2|-|z-2|=1．
这个方程可以写成|z-（-2）|-|z-2|= 1，所以表示到
两个定点（-2，0），（2，0）距离差等于1的点的轨迹，
这个轨迹是双曲 线．是双曲线右支．
由z1-z2几何意义，将z1-z2取模得到复平面内两点
间距离公式d=|z1-z2|，由此得到线段垂直平分线，椭
圆、双曲线等复数方程．使有些曲线方程 形式变得更为
简捷．且反映曲线的本质特征．
例4 设动点Z与复数z= + i对应，定点P与复数p=
+ i对应．求
（1）复平面内圆的方程；
解：设定点P为圆心，r为半径，如图

由圆的定义，得复平面内圆的方程|z-p|=r．
（2）复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的点Z
的集合是什么图形？
解：复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的点的
集合是以P为圆心，r为半径的圆面部分（ 不包括周
界）．利用复平面内两点间距离公式，可以用复数解决解
析几何中某些曲线方程．不等 式等问题．（五）小结
我们通过推导得到复数减法法则，并进一步得到了
复数减法 几何意义，应用复数减法几何意义和复平面内
两点间距离公式，可以用复数研究解析几何问题，不等式以及最值问题．（六）布置作业P193习题二十七：2，
3，8，9．探究活动
复数等式的几何意义
复数等式 在复平面上表示以 为圆心，以1为半径
的圆。请再举三个复数等式并说明它们在复平面上的几
何意义。 分析与解
1． 复数等式 在复平面上表示线段 的中垂线。
2． 复数等式 在复平面上表示一个椭圆。
3． 复数等式 在复平面上表示一条线段。
4． 复数等式 在复平面上表示双曲线的一支。
5． 复数等式 在复平面上表示原点为O、 构成一
个矩形。 说明 复数与复平面上的点有一一对应的关系，
如果我们对复数的代数形式工（几何意义）之此文章共有
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