高一数学知识点汇总讲解全套整合

_
高中数学知识点汇总（高一）
高中数学知识点汇总（高一） .... .................................................. .................................................. ................. 1

一、集合和命题 .............. .................................................. .................................................. ................................ 2

二、不等式 . .................................................. .................................................. .................................................. .... 4

三、函数的基本性质 ......................... .................................................. .................................................. ............. 6

四、幂函数、指数函数和对数函数 .......... .................................................. .................................................. 14

（一）幂函数 ................................ .................................................. .................................................. ................ 14

（二）指数&指数函数 ........... .................................................. .................................................. .................... 15

（三）反函数的概念及其性质 .... .................................................. .................................................. .............. 16

（四）对数&对数函数 ............. .................................................. .................................................. .................. 18

五、三角比 .............. .................................................. .................................................. ...................................... 21

六、三角函数 ....................................... .................................................. .................................................. ......... 29

_
一、集合和命题
一、集合：
（1）集合的元素的性质：
确定性、互异性和无序性；
（2）元素与集合的关系：
①
a?A
?
a
属于集合
A
；
②
a?A
?
a
不属于集合
A
．
（3）常用的数集：

N
?
自然数集；
N
*
?
正整数集；
Z?
整数集；

Q
?
有理数集；
R
?
实数集；
?
?
空集；
C?
复数集；
???
?
?
Z?正整数集
?
?Q?正有理数集
?
?
R?正实数集

?
?
；
?
?
；
?
?
．
?
?
Z?负整数集
?
?
Q?负有理数集
?
?
R?负实数集
（4）集合的表示方法：
?
有限集?列举法
集合
?
；
无限集?描述法
?
例如：①列举法：
{z,h,a,n,g}
；②描述法：
{xx?1}
．
（5）集合之间的关系：
?
A?B
①
A? B
?
集合
A
是集合
B
的子集；特别地，
A?A；
?
?A?C
．
?
B?C
?
A?B
?
集合
A
与集合
B
相等；
②
A?B
或
?
?
A?B
③
A?
?
B
?
集合
A
是集合
B
的真子集．
例：
N?Z?Q?R
?C
；
N
??
Z
?
?
Q
?
?
R
?
?C
．
④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（6）集合的运算：

_
①交集：
A?B?{x x?A且x?B}
?
集合
A
与集合
B
的交集；
②并集：
A?B?{xx?A或x?B}
?
集合
A
与集合
B
的并集；
③补集：设
U
为全集，集合
A
是
U
的子集，则由
U
中所有不属于
A
的元素组成的集合，叫
做集合
A
在全集
U
中的补集，记作
C
U
A
．
④得摩根定律：
C
U
(
AB
)
?C
U
AC
U
B
；
C
U
(AB )?C
U
AC
U
B


（7）集合的子集个数：
若集合
A
有
n(n?N
*
)
个元素，那么该集合有
2
n
个子集；
2
n?
1
个真子集；
2
n
?1
个非空子集；
2n
?2
个非空真子集．
二、四种命题的形式：
（1）命题：能判断真假的语句．
（2）四种命题：如果用
?
和
?< br>分别表示原命题的条件和结论，用
?
和
?
分别表示
?
和
?
的否定，
那么四种命题形式就是：
命题
表示形式
逆命题关系
否命题关系
逆否命题关系
原命题
?
逆否命题
同真同假关系
（3）充分条件，必要条件，充要条件：
①若
?
?
?，那么
?
叫做
?
的充分条件，
?
叫做
?
的必要条件；
②若
?
?
?
且
?
?
?
，即
?
?
?
，那么
?
既是
?
的充分条件，又是
?
的必要条件，也就是
说，
?
是
?
的充分必要条件，简称充要条件．
③欲证明条件
?
是结论
?
的充分必要条件，可分两步来证：
逆命题
?
否命题
原命题
若
?
，则
?

逆命题 否命题 逆否命题
若
?
，则
?
； 若
?
，则
?
； 若
?
，则
?
．
逆否命题
?
否命题
逆否命题
?
逆命题
原命题
?
逆命题
原命题
?
否命题

_
第一步：证明充分性：条件
?
?
结论
?
；
第二步：证明必要性：结论
?
?
条件
?
．
（4）子集与推出关系：
设
A
、
B
是非空集合，
A?{xx具有性质
?
}
，
B?{yy具有性质
?
}
，
则
A?B
与
?
?
?
等价．
结论：小范围
?
大范围；例如：小明是上海人
?
小明是中国人．
小范围是大范围的充分非必要条件；
大范围是小范围的必要非充分条件．






二、不等式
一、不等式的性质：
1、
a?b,b?c?a?c
； 2、
a?b?a?c?b?c
；
3、
a?b,c?0?ac?bc
； 4、
a?b,c?d?a?c?b?d
；
5、
a?b?0,c?d?0?ac?bd
； 6、
a?b?0?0?
不等式的性质
11
?
；
ab
7、
a?b?
0
?a
n
?b
n(
n?N
*
)
； 8、
a?b?0?
n
a?
n
b(n?N
*
,n?1)
．
二、一元一次不等式：
一元一次不等式
ax?b

a?0

a?0

a?0

b?0

b?0

_
解集
三、一元二次不等式：
ax
2
?bx?c?0(a?0)

x?
b

a
x?
b

a
?

R

△?b
2
?4ac?0

△?b
2
?4ac?0

△?b
2
?4ac?0

的根的判别式
y?ax
2
?bx?c(a?0)


ax
2
?bx?c?0(a?0)

ax
2
?bx?c?0(a?0)

ax
2
?bx?c?0(a?0)

ax
2
?bx?c?0(a?0)

ax
2
?bx?c?0(a?0)


{x
0
}

(??,x
0
)?(x
0
,??)


{ x
1
,x
2
}
，
x
1
?x
2
(??,x
1
)(x
2
,??)

?

R

(x
1
,x
2
)

(??,x
1
][x
2
,??)

?

R

{x
0
}

?

R

[x
1
,x
2
]

?



四、含有绝对值不等式的性质：
（1）
a?b?a?b?a?b
； （2）
a
1
?a
2
???a
n
?a
1
?a
2
???a
n< br>．
五、分式不等式：
（1）
ax?bax?b
?0?(ax
?
b
)(
cx
?
d
)?0
； （2）
?0?(
ax
?
b
)(
cx
?
d< br>)?0
．
cx?dcx?d
六、含绝对值的不等式：
x?a

x?a

x?a

x?a

a?0

a?0

a?0

a?0

a?0

?a?x?a

?

x?a或x??a

R

?a?x?a
a?0

a?0

a?0

a?0

a?0

x?0

?

x?a或x??a

R

_

七、指数不等式：
（1）
a
f(x)
?a
?
(x)
(
a?
1)
?f
(
x
)
?
?
(
x
)
； （2）
a
f(x)
?a
?
(x)
(0?a?1)?f(x)?
?< br>(x)
．
八、对数不等式：
?
?
(x)?0
（1）
log
a
f(x)?log
a
?
(x)(a?1)?
?
；
f(x)?
?
(x)
?
?
f(x)?0
（2 ）
log
a
f(x)?log
a
?
(x)(0?a?1)?
?
．
?
f(x)?
?
(x)
九、不等式的证明：
（1）常用的基本不等式：
①
a
2
?b< br>2
?2ab(a、b?R
，当且仅当
a?b
时取“
?
”号
)
；
②
a?b
?ab(a、b?R
?
，当且仅当
a?b
时取“
?
”号
)
；
2
2
a
2
?b
2
a?b
补充公式：．
?ab
?
?
11
2
2
?
ab
③
a
3
?b
3
?c
3
?3abc(a、b、c?R
?
，当且仅当
a?b?c
时取“
?
”号
)
；
a?b?c
3
?abc(a、b、c?R
?
，当且仅当
a?b?c
时取“
?
”号
)
；
3
a?a
2
?
?
?a
n
n
⑤
1
?
a
1
a
2
?
a
n
(
n
为大于1的自然数，
a
1
,a
2
,
?
,a
n
?R
?
，当且仅当
n
④

a
1
?a
2
???a
n< br>时取“
?
”号
)
；
（2）证明不等式的常用方法：
①比较法； ②分析法； ③综合法．


三、函数的基本性质
一、函数的概念：

_
f
????
因变量
y
，则
y
就是
x
的函数，记作y?f(x),x?D
； （1）若自变量
x
?
对应法则

x
的取值范围
D
?
函数的定义域；
y
的取值范围< br>?
函数的值域．
求定义域一般需要注意：
①
y?
1
，
f(x)?0
； ②
y?
n
f(x)
，
f(x)?0
；
f(x)
③
y?(f(x))
0
，
f(x)?0
； ④
y?log
a
f(x)
，
f(x)?0
；
⑤
y?log
f(x)
N
，
f(x)?0
且
f(x )?1
．
（2）判断是否函数图像的方法：任取平行于
y
轴的直线，与图像最多只有一个公共点；
（3）判断两个函数是否同一个函数的方法：①定义域是否相同；②对应法则是否相同．
二、函数的基本性质：
（1）奇偶性：
函数
y?f(x),x?D

“定义域
D
关于0对称”成立
前提条件
f(x)?f(?x)

f(x)??f(?x)

①“定义域
D
关于0对称”；
②“
f(x)?f(?x)
”；③ “
f(x)??f(?x)
”
成立
奇偶性
奇偶函数
图像性质
偶函数
成立
奇函数
?
①成立
①不成立或者
?

②、③都不成立
?
非奇非偶函数
关于
y
轴对称 关于
O(0,0)
对称
注意：定义域包括0的奇函数必过原点
O(0,0)
．
（2）单调性和最值：
前提条件
单调增函数
y?f(x),x?D
，
I?D
， 任取
x
1
,x
2
?区间I

?
x
1
?x
2
?
x
1
?x
2
或
??
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
f(x1
)?f(x
2
)
?
x
1
?x
2?
x
1
?x
2
或
??
?
f(x1
)?f(x
2
)
?
f(x
1
)?f(x2
)
单调减函数

_
最小值
y
min
?f
(
x
0
)

最大值
y
max
?f
(
x
0
)

注意：
①复合函数的单调性：
函数
外函数
y?f(x)

内函数
y?g(x)

复合函数
y?f[g(x)]





任取
x?D,存在x
0
?D,f(x)?f(x
0
)

任取x?D,存在x
0
?D,f(x)?f(x
0
)

单调性









②如果函数
y?f(x)
在某个区间
I
上是 增（减）函数，那么函数
y?f(x)
在区间
I
上是单调函
数，区间
I
叫做函数
y?f(x)
的单调区间．

（3）零 点：若
y?f(x),x?D
，
c?D
且
f(c)?0
，则
x?c
叫做函数
y?f(x)
的零点．
?
存在x
0
?(a,b)
?
y?f(x),x?[a,b]
零点定理：
?
；特别地，当
y?f(x),x?[a,b]
是单调函数， < br>?
?
?
f(a)?f(b)?0
?
f(x
0
)?0
且
f(a)?f(b)?0
，则该函数在区间
[a,b]
上有 且仅有一个零点，即存在唯一
x
0
?(a,b)
，使得
f(x
0
)?0
．
（4）平移的规律：“左加右减，下加上减”．
函数
y?f(x)

向左平移
k

y?f(x?k)

向右平移
k

y?f(x?k)

向上平移
h

y?h?f(x)

向下平移
h

y?h?f(x)

备注
k,h?0

（5）对称性：
①轴对称的两个函数：
函数
对称轴
函数
x
轴
y?f(x)

y
轴
y?f(?x)

y?x

x?f(y)

y??x

?x?f(?y)

x?m

y?n

2n?y?f(x)

?y?f(x)

y?f(2m?x)

_
②中心对称的两个函数：
函数
y?f(x)

对称中心
(m,n)

函数
2n?y?f(2m?x)

③轴对称的函数：
函数
对称轴
条件
y?f(x)

y
轴
f(x)?f(?x)

x?m

f(x)?f(2m?x)

注意：
f(a?x)?f(b?x)
?
f(x)
关于
x?
a?b
对称；
2

f(a?x)?f(a?x)
?
f(x)
关于
x?a
对称；

f(x)?f(?x)
?
f(x)
关于
x?0
对称，即
f(x)
是偶函数．
④中心对称的函数：
函数
对称中心
条件
y?f(x)

(m,n)

f(x)?2n?f(2m?x)

a?bc
,)
对称；
22
a?b

f(a?x)?f(b?x)?0
?
f(x)
关于点
(,0)
对称；
2
注意：
f(a?x)?f(b?x)?c
?f(x)
关于点
(

f(a?x)?f(a? x)?2b
?
f(x)
关于点
(a,b)
对称；

f(x)?f(?x)?0
?
f(x)
关于点
(0,0)
对 称，即
f(x)
是奇函数．
（6）凹凸性：
?
x?x?
f(x
1
)?f(x
2
)
设函数
y ?f(x),x?D
，如果对任意
x
1
,x
2
?D
，且
x
1
?x
2
，都有
f
?
12
?
?
，则称
22
??
函数
y?f(x)
在
D
上是凹函数；例如：
y?x
2
．
进一步，如果对任意< br>x
1
,x
2
,
?
x?x?
x
n?D
，都有
f
?
12
n
?
?x
n?
f(x
1
)?f(x
2
)?
?
?
n
?
f(x
n
)
，则称函
数
y?f(x)
在
D
上是凹函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式；

_ ?
x?x
?
f(x
1
)?f(x
2
)
设函数
y?f(x),x?D
，如果对任意
x
1
,x
2?D
，且
x
1
?x
2
，都有
f
?12
?
?
，则称
2
?
2
?
函数
y?f(x)
在
D
上是凸函数．例如：
y?lgx
．
进一步，如果对任意
x
1
,x
2
,
?
x?x?x
n
?D
，都有
f
?
12
n
?
?x
n
?
f(x
1
)?f(x
2
)?
?
?
n
?
f(x
n
)
，则称函
数
y ?f(x)
在
D
上是凸函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式．





（7）翻折：
函数 翻折后 翻折过程
将
y?f(x)
在
y
轴右边的图像不变，并将其翻折到
y< br>轴左边，并覆盖．
将
y?f(x)
在
x
轴上边的图像不变， 并将其翻折到
x
轴下边，并覆盖．
第一步：将
y?f(x)
在y
轴右边的图像不变，并将其翻折到左边，并覆盖；
y?f(x)

y?f(x)

y?f(x)

y?f(x)

第二步：将
x
轴上边的图像不变，并将其翻折到
x
轴下边，并覆盖．
将
y?f(x)
在
x
轴上边的图像保持不变，并将
x
轴下边的图像翻折到
x
轴上
y?f(x)

边，不覆盖．
（8）周期性：
若
y?f(x),x?R
，
?T?0
，
任取x?R
，恒有
f(x?T)?f(x)
，则称T
为这个函数的周期．
注意：若
T
是
y?f (x)
的周期，那么
kT(k?Z,k?0)
也是这个函数的周期；
周期函数的周期有无穷多个，但不一定有最小正周期．
①
f(x?a)?f (x?b)
，
a?b
?
f(x)
是周期函数，且其中一个周期
T?a?b
；
（阴影部分下略）

_
②
f(x)??f(x?p)
，
p?0
?
T?2p
；
③
f(x?a)??f(x?b)
，
a?b
?T?2a?b
；
④
f(x)?
11
或
f(x)??
，
p?0
?
T?2p
；
f(x?p)f(x?p)
1?f(x?p)f(x?p)?1
或
f(x)?
，
p?0
?
T?2p
；
1?f(x?p)f(x?p)?1
1?f (x?p)f(x?p)?1
或
f(x)?
，
p?0
?
T? 4p
；
1?f(x?p)f(x?p)?1
⑤
f(x)?
⑥
f(x)?
⑦
f (x)
关于直线
x?a
，
x?b
，
a?b
都对称< br>?
T?2a?b
；
⑧
f(x)
关于两点< br>(a,c)
，
(b,c)
，
a?b
都成中心对称
?< br>T?2a?b
；
⑨
f(x)
关于点
(a, c)
，
a?0
成中心对称，且关于直线
x?b
，
a?b对称
?
T?4a?b
；
⑩若
f(x)?f(x?a)?f(x?2a)?
为周期的周期函数；
若
f(x)?f(x?a)?f(x?2a)?
2(n?1)a
为周期的周期函数．
，则
f(x)
是以
(n?1)a
?f(x?na)?m
（< br>m
为常数，
n?N
*
）
，则
f(x)
是以< br>?f(x?na)?m
（
m
为常数，
n
为正偶数）
三 、V函数：
定义
分类
形如
y?ax?m?h(a?0)
的函数，称作V函数．
y?ax?m?h,a?0

y?ax?m?h,a?0

图像

定义域
值域
对称轴
[h,??)

x??m


R

(??,h]

_
开口
顶点
向上
(?m,h)

向下
单调性
在
(??,?m]
上单调递减；
在
[?m,??)
上单调递增．
在
(??,?m]
上单调递增；
在
[?m,??)
上单调递减．
注意



















当
m?0
时，该函数为偶函数

_
四、分式函数：
定义
分类
a
形如
y?x?
(
a?
0)
的函数，称作分式函数．
x
aa
y?x?,a?0
（耐克函数）
y?x?,a?0

xx
图像

定义域
值域
渐近线
(??,?2a][2a,??)


(??,0)(0,??)

R

x?0
，
y?x

单调性
在
(??,?a]
，
[a,??)
上单调递增；
在
[?a,0)
，
(0,a]
上单调递减．
在
(??,0)
，
(0,??)
上单调递增；
五、曼哈顿距离：
在平面上，
M(x
1
,y
1< br>)
，
N(x
2
,y
2
)
，则称
d? x
1
?x
2
?y
1
?y
2
为
MN
的曼哈顿距离．
六、某类带有绝对值的函数：
1、对于函数
y?x?m
，在
x?m
时取最小值；
2、对 于函数
y?x?m?x?n
，
m?n
，在
x?[m,n]
时 取最小值；
3、对于函数
y?x?m?x?n?x?p
，
m?n? p
，在
x?n
时取最小值；
4、对于函数
y?x?m?x ?n?x?p?x?q
，
m?n?p?q
，在
x?[n,p]
时取最 小值；
5、推广到
y?x?x
1
?x?x
2
?

y?x?x
1
?x?x
2
?
?x?x
2n
，
x
1
?x
2
?
?x?x
2n?1
，x
1
?x
2
?
?x
2n
，在
x?[x
n
,x
n?1
]
时取最小值；
?x
2n?1
，在
x?x
n
时取最小值．
思考： 对于函数
y?x?1?2x?3x?2
，在
x
_________时取最小值 ．

_



四、幂函数、指数函数和对数函数
（一）幂函数
（1）幂函数的定义：
形如
y?
x
a
(a
?
R)
的函数称作幂函数，定义域因
a
而异．
（2）当
a?0,1
时，幂函数
y
?< br>x
a
(a
?
R)
在区间
[0,??)
上的图 像分三类，如图所示．

（3）作幂函数
y?x
a
(a?0,1)
的草图，可分两步：
①根据
a
的大小，作出该函数在区间
[0,??)
上的图像；
②根据该函数的定义域及其奇偶性，补全该函数在
(??,0]
上的图像．
（ 4）判断幂函数
y
?
x
a
(a
?
R)
的< br>a
的大小比较：
方法一：
y
?
x
a
(a
?
R)
与直线
x?m(m?1)
的交点越靠上，a
越大；
方法二：
y
?
x
a
(a
?
R)
与直线
x?m(0?m?1)
的交点越靠下，
a
越大

ax?b
(
c?0
)
的变形幂函数的作图：
cx?d
d
a
①作渐近线（用虚线）：
x??
、
y?
；
c
c
（5）关于形如
y?
b
②选取特殊点：任取该函数图像上一点，建议取
(0,)
；
d
③画出大致图像：结合渐近线和特殊点，判断图像的方位（右上左下、左上右下）．

_





（二）指数&指数函数
1、指数运算法则：
①
a?a?a
xyx?y
a
x
a
x
；②
(a)?a
；③
(a?b)?a?b
；④
()?
x
，其中
(a,b?0,x、y?R)
．
bb
xyxyxxx
2、指数函数图像及其性质：

y?a
x
(a?1)

y?a
x
(0?a?1)

图像

定义域
值域
奇偶性
渐近线
单调性 在
(??,??)
上单调递增；

R

(0,??)

非奇非偶函数
x
轴
在
(??,??)
上单调递减；
性质
①指数函数
y?a
x
的函数值恒大于零；
②指数函数
y?a
x
的图像经过点
(0,1)
；

_
③当
x?0
时，
y?1
；
当
x?0
时，
0?y?1
．
3、判断指数函数
y?a
x
中参数
a
的大小：
③当
x?0
时，
0?y?1
；
当
x?0
时，
y?1
．
方法一：
y?a
x
与直线
x?m(m?0)
的交点越靠上，
a
越大；
方法二：
y?a
x
与直线
x?m(m?0)
的交点越靠下，
a
越大．




（三）反函数的概念及其性质
1、反函数的概念：
对于函数
y?f(x)
，设它的定义域为
D
，值域为
A
，如果对于
A
中任意一个值
y
，在
D
中总有唯
一确定的
x
值与它对应，且满足
y?f(x)< br>，这样得到的
x
关于
y
的函数叫做
y?f(x)
的反 函数，记作
x?f
?1
(y)
．在习惯上，自变量常用
x
表 示，而函数用
y
表示，所以把它改写为
y?f
?1
(x)(x?A)
．
2、求反函数的步骤：（“解”
?
“换”
?
“求”）
①将
y?f(x)
看作方程，解出
x?f(y)
；
②将
x
、
y
互换，得到
y?f
?1
(x)
；
③标出反函数的定义域（原函数的值域）．
3、反函数的条件：
定义域与值域中的元素一一对应．
4、反函数的性质：
①原函数
y?f(x)
过点
(m,n)
，则反函数
y?f
②原函数
y?f(x)
与反函数
y?f
?1
?1
(
x
)
过点
(n,m)
；
(
x
)
关于
y?x
对称，且单调性相同；

_
③奇函数的反函数必为奇函数．
5、原函数与反函数的关系：

定义域
值域

















函数
y?f(x)

y?f
?1
(
x
)

D

A

A

D

_
（四）对数&对数函数
1、指数与对数的关系：

a
b
?N

a

b

指数
N

幂
真数
底数
log
a
N?b

对数
2、对数的运算法则：
①
log
a
1?0
，
log
a
a?1
，< br>a
log
a
N
?
N
；②常用对数
lg
N
?log
10
N
，自然对数
lnN?log
e
N
；
③
log
a
(
MN
)?log
a
M
?log
a
N
，
log
a
④
log
b
N?
M
?log
a
M?log
a
N
，
log
a
M
n
?nlog
a
M
；
N
log
a
N
1
m
，
lo g
a
b?
，
log
a
n
b
m
?l og
a
b
，log
a
c
b
c
?loga
b，
a
log
N
b
?b
log
N< br>a
．
log
b
a
n
log
a
b< br>3、对数函数图像及其性质：

y?log
a
x(a?1)

y?log
a
x(0?a?1)

图像

定义域
值域
奇偶性
渐近线
单调性 在
(0,??)
上单调递增；
(0,??)


R

非奇非偶函数
y
轴
在
(0,??)
上单调递减；
性质
①对数函数
y
?log
a
x
的图像在
y
轴的右方；
②对数函数
y
?log
a
x
的图像经过点
(1,0)
；

_
③当
x?1
时，
y?0
；
当
0?x?1
时，
y?0
．

4、判断对数函数
y?
log
a
x
,
x?
0
中参数
a
的大小：
③当
x?1
时，
y?0
；
当
0?x?1
时，
y?0
．
方法一：
y?
log
a
x
,
x?
0
与直线
y?m(m?0)的交点越靠右，
a
越大；
方法二：
y?
log
a
x
,
x?
0
与直线
y?m(m?0)
的交点越靠 左，
a
越大．

_

_
五、三角比
1、角的定义：
（1）终边相同的角：
①
?
与
2k
?
?
?
,k?Z
表示终边相同的角度；
②终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；
③
?
与k
?
?
?
,k?Z
表示终边共线的角（同向或反向）．
（2）特殊位置的角的集合的表示：
位置
在
x
轴正半轴上
在
x
轴负半轴上
在
x
轴上
在
y
轴正半轴上
角的集合
{
??
?2k
?
,k?Z}

{
??
?2k
?
?
?
,k?Z}

{
??
?k
?
,k?Z}

{
??
?2k
?
?
?
2
,k?Z}

在
y
轴负半轴上
{
??
?2k
?
?3
?
,k?Z}

2
在
y
轴上
{
??
?k
?
?
?
2
,k?Z}

在坐标轴上
{
??
?
k
?
,k?Z}

2
在第一象限内
{
?
2k
?
?
?
?2k
?
?
?
2
,k?Z}

在第二象限内 < br>{
?
2k
?
?
?
2
?
?
? 2k
?
?
?
,k?Z}

3
?
,k?Z}

2
在第三象限内
{
?
2k
?
?
?
?
?
?2k
?
?在第四象限内
{
?
2k
?
?
3
?
?
?
?2k
?
?2
?
,k?Z}

2

_

（3）弧度制与角度制互化：
①
?
rad?180?
； ②
1rad?
（4）扇形有关公式：
①
?
?
l
；
r
180
?
?
； ③
1??
?
180
rad
．
②弧长公式：
l?
?
r
；
11
③扇形面积公式：
S?lr?
?
r
2
（想象三角形面积公式）．
22

（5）集合中常见角的合并：
?
?
?
?
?
x?k
?
?
x?2k
?
?
?
?
?
?
k
?
?
?
?
?
?
x?
?
x?2k
?
?
?
2
?
?
2
?
?
x?k
?
?
?
?
?
?
2
?
x?2k
?
?
??
?
2?
?
?
x?2k
?

x?2k
?
x?2k
?
x?2k
?
x?2k
?
?
?
?
??
?
?
?
?
k
?
?
?
??
?
,k?Z
?
x?
?
?
?
4
?

4
?
x?k
?
?
?
?
?< br>?
?
?
5
?
?
4
?
?
?< br>?
?
?
?
k
??
?4
?
??
?
?
?
?
x?
24
?
3
?
?< br>?
?
?
?
??
?
4
?
x?k
?
?
?
?
??
?
?
?
4
??< br>?
?
?
4
?
?
?
?
?
?< br>
（6）三角比公式及其在各象限的正负情况：
以角
?< br>的顶点为坐标原点，始边为
x
轴的正半轴建立直角坐标系，在
?
的终边 上任取一个异
于原点的点
P(x,y)
，点
P
到原点的距离记为
r
，则

_








（7）特殊角的三角比：
角度制
弧度制

0?

0
30?

45?

60?

90?

180?

270?

3
?

2
360?

2
?

?

?

6
1

2
?

4
2

2
?

3
3

2
?

2
1
?

sin
?

0
0
?1

0
cos
?

1
3

2
3

3
2

2
1

2
0
?1

0 1
tan
?




0 1
3

无 0 无 0
（8）一些重要的结论：（注意 ，如果没有特别指明，
k
的取值范围是
k?Z
）

_
①角
?
和角
?
的终边：
角
?
和角
?
的终边
关于
x
轴对称 ?
sin
?
??sin
?
?
?
cos
?
?cos
?

?
tan
?
??tan
?
?
关于
y
轴对称 关于原点对称
?
sin
??sin
?
?
sin
?
??sin
?
??cos
?
??cos
?

??
cos
?
??cos
?

?
tan< br>?
??tan
?
?
tan
?
?tan
???
②
?
的终边与
?
的终边的关系．
2

?
的终边在第一象限
?
?
?
(2
k
?
,2
k
?
?
)
?
?(k
?
,k
?
?)
；
224

?
的终边在第二象限
?
?
?
(2
k
??
,k
?
?)
；
242
2
3
?
??
3
?

?
的终边在第三象限
?
?
?(2k
?
?
?
,2k
?
?)
?
?(k
?
?,k
?
?)
；
224
2
3
?
?
3
?

?
的终边在第四象限
?
?
?(2k
?
?
, k
?
?
?
)
．
,2k
?
?2
?
)
?
?(k
?
?
24
2
?
??< br>?
,2
k
?
?
?
)
?
?
? (k
?
?
??
③
sin
?
与
cos
?
的大小关系：
3
??
；
,2k
?
?)
?
?
的 终边在直线
y?x
右边（
x?y?0
）
44
?
5< br>?

sin
?
?cos
?
?
?
?(2k
?
?,2k
?
?)
?
?
的终 边在直线
y?x
左边（
x?y?0
）；
44
?
5
?

sin
?
?cos
?
?
?
?{2k
?
?，
．
2k
?
?}
?
?
的终边在直线
y?x
上（
x? y?0
）
44

sin
?
?cos
?
?
?
?(2k
?
?
④
sin
?
与
cos
?
的大小关系：
?
x?y?0
?
x?y?0

sin?
?cos
?
?
?
?
(
k
?
?
,
k
?
?
)
?
?
的终边在
?< br>或
?
；
44
x?y?0
x?y?0
?
?
??

sin
?
?cos
?
?
?
?(k
?
?

sin
?
?cos
?
?
?
?{k
?
?


2、三角比公式：
?
4
,k
?
?
,k
?
?
?
x?y?0
?
x?y?0
3
?
)
?
?
的终边在
?或
?
；
4
?
x?y?0
?
x?y?0
3
?
}
，
k?Z
?
?
的终边在
y??x
．
4
?
4
（1）诱导公式：（诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限）
第一组诱导公式： 第二组诱导公式： 第三组诱导公式：

_
（周期性） （奇偶性） （中心对称性）
?
sin( 2k
?
?
?
)?sin
?
?
cos(2k
?
?
?
)?cos
?
?

?

tan(2k
?
?
?
)?tan
?
?
?< br>?
cot(2k
?
?
?
)?cot
?
?sin(?
?
)??sin
?
?
cos(?
?
)?cos
?
?

?
tan(?
?
)??t an
?
?
?
?
cot(?
?
)??cot
?
?
sin(
?
?
?
)??sin
?
?< br>cos(
?
?
?
)??cos
?
?

?
tan(
?
?
?
)?tan
?
?
?< br>?
cot(
?
?
?
)?cot
?
第四组诱导公式： 第五组诱导公式： 第六组诱导公式：
（轴对称） （互余性）
?
?
sin(?
?
)?cos
?
?
2
?
?
sin(
?
??
)?sin
?
?
cos(
?
?
?
) ?sin
?
?
cos(
?
?
?
)??cos
?
?
?
2

?

?

?
tan(
?
?
?
)??tan
?
?tan(
?
?
?
)?cot
?
?
?
2
?
cot(
?
?
?
)??cot
?
??
?
cot(?
?
)?tan
?
2
?
（2）同角三角比的关系：
?
?
sin(?
?
)?cos
?
?
2
?
?
cos(
?
?
?
)? ?sin
?
?
2

?
?
tan(
?
?
?
)??cot
?
?
2
?
?
?
cot(?
?
)??tan
?
2
?
倒数关系： 商数关系： 平方关系：
?
sin
?
?csc
?
?1
?

?
cos
?
?sec
?
?1

?
tan
?
?cot
?
?1
?
sin
??
tan
?
?(cos
?
?0)
?
?
cos
?

?
cos
?
?
cot
?
?(sin
?
?0)
?
sin
?
?
?< br>sin
2
?
?cos
2
?
?1
?
2 2
?
1?tan
?
?sec
?

?
1?c ot
2
?
?csc
2
?
?
（3）两角和差的正 弦公式：
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos?
?cos
?
sin
?
；
两角和差的 余弦公式：
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos< br>?
?sin
?
sin
?
；
两角和差的正切公式：
tan(
?
?
?
)?

（4）二倍角的正弦公式：
sin2
?
?2sin
?
cos
?
；
二倍角的余弦公式：
cos2
?
?
c os
2
?
?
sin
2
?
?
1
?< br>2sin
2
?
?
2cos
2
?
?
1
；
二倍角的正切公式：
tan2
?
?
ta n
?
?tan
?
．
1
?
tan
?
tan
?
2tan
?
；
2
1?tan
?
降次公式： 万能置换公式：

_
?
2
?
1?cos
?
?2sin
?
2
1?cos2
?
?
2
?
?
sin
?
?
?
1?cos
?
?2co s
2
?
2
?
?
2
1?cos2
?
?
2
?
2
；
?
cos
?
??
?
??
??
2
??
1?sin
?< br>?
?
sin?cos
?
22
?
1?cos2
?
?
2
?
?
tan
?
?
??
2< br>1?cos2
?
?
??
??
?
1?sin
?
?sin?cos
??
?
22
??
?
?
s in
?
1?cos
?
半角公式：
tan?
；
?
21?cos
?
sin
?
（5）辅助角公式：
①版本一：
2tan
?
?
sin2
??
?
1?tan
2
?
?
1?tan
2
?
?

?
cos2
?
?
2
1?tan?
?
2tan
?
?
tan2
?
?
?< br>1?tan
2
?
?
b
?
sin
?
?
?
a
2
?b
2
?
22

a
sin
?
?b
cos
?
?a?b
sin (
?
?
?
)
，其中
0?
?
?2
?
,
?
．
a
?
cos
?
?
?a
2
?b
2
?
②版本二：

asin
?
?bcos
?
?a
2
?b
2< br>sin(
?
?
?
)
，其中
a,b?0,0?
?
?
3、正余弦函数的五点法作图：
以
y?sin(
?x?
?
)
为例，令
?
x?
?
依次为
0 ,

4、正弦定理和余弦定理：
（1）正弦定理：
?
2
,tan
?
?
b
．
a
?
2
,
?
,
3
?
,2
?，求出对应的
x
与
y
值，描点
(x,y)
作图． 2
abc
???2
R
(
R
为外接圆半径
)；
sinAsinBsinC
其中常见的结论有：
①
a?2RsinA
，
b?2RsinB
，
c?2RsinC
；
②
sinA?
abc
，
sinB?
，
sinC?
；
2R2R2R
③
sinA:sinB:sinC?a:b:c
；
④
S△ABC
?2R
2
sinAsinBsinC
；
S
△A BC
?
aRsinBsinC
abc
?
?
?
bRs inAsinC
；
S
△ABC
?
．
4R
?
cRsinAsinB
?

_
?< br>b
2
?c
2
?a
2
cosA?
?
2 bc
?
a
2
?b
2
?c
2
?2bccos A
?
?
2
?a
2
?c
2
?b
2< br>22
（2）余弦定理：版本一：
?
b?a?c?2accosB
； 版本二：
?
cosB?
；
2ac
?
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
?
?
?
b
2
?a
2
?c
2
?
cosC?
2ab?
?
a?bcosC?ccosB
?
（3）任意三角形射影定理（第一余弦定理）：
?
b?ccosA?acosC
．
?
c?acosB?bcosA
?
5、与三角形有关的三角比：
（1）三角形的面积：
1
①
S
△ABC
?dh
；
2
111
②
S
△ABC
?absinC?bcsinA?acsinB
；
222
③
S
△ABC
?
l
?
l
??
l
??
l
?
?
?
?a
? ?
?b
??
?c
?
，
l
为
△ABC
的周长．
2
?
2
??
2
??
2
?
（2）在
△ABC
中，
①
a?b?A?B?sinA?sinB?cosA?cosB?cotA?cotB
；
②若
△ABC
是锐角三角形，则
sinA?cosB
；
?
sin(A?B)?sinC
?
cos(A?B)??cosC
?
tan(A ?B)??tanC
???
③
?
sin(B?C)?sinA
；
?
cos(B?C)??cosA
；
?
tan(B?C) ??tanA
；
?
sin(A?C)?sinB
?
cos(A?C )??cosB
?
tan(A?C)??tanB
???
B?C
?< br>AB?C
?
A
sin?costan?cot
?
2
?
222
??
A?C
?
BA?C
?
B
④
?
sin?cos
；
?
tan?cot
；
22 2
?
2
?
A?B
?
CA?B
?
C
sin?costan?cot
??
2222
??
?
sin
?
?
⑤
?
?
sin
?
?
A B
?
BA
?
CA
?cossin?cossin?cos
?
2
?
22
；
?
2
；
?
22
；
??
AC
?
BC
?
CB
?cossin?c ossin?cos
22
?
?22
?
?22

_
BAB
?
A
sinsin?coscos
?
2222< br>?
ABCABC
CAC
?
A

?< br>?
sinsin?coscos
?
sinsinsin?coscoscos< br>；
222222
222
?
2
CBC
?
B< br>sinsin?coscos
?
2222
?
ABC
?
sinA?sinB?sinC?4coscoscos
?
222
?
ABC< br>?
⑥
?
cosA?cosB?cosC?1?4sinsinsin
；
222
?
ABC
?
sinA?sinB?sinC?4sinsincos
?
222
?
?
sin2A?sin2B?sin2C?4sinAsinBs inC

?
；
?
cos2A?cos2B?co s2C??4cosAcosBcosC?1
?
33
sinAsinBsinC?(0 ,]
?
?
33
8
sinA?sinB?sinC?(0,]
?
?
?
?
2
；
sinAsinBsinC?cosAcos BcosC
． ⑦
?
?
?
cosA?cosB?co sC?(1,
3
]
?
1
?
?
cosAcosBco sC?(?1,]
?2
8
?
?
其中，第一组可以利用琴生不等式来证明；第二组可以结合第一组及基本不等式证明．
（3）在< br>△ABC
中，角
A
、
B
、
C
成等差数列?
B?
（4）
△ABC
的内切圆半径为
r?
6、仰角、俯角、方位角：
略
7、和差化积与积化和差公式（理科）：
?
3
．
2S
．
a?b?c
1
?
sin
?
cos
?
?[sin(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
)]
?
2
?
?
cos
?
sin
?
?
1
[sin(
?
?
?
)?sin(< br>?
?
?
)]
?
2
（1）积化和差公式：
?
；
1
?
cos
?
cos
?
? [cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
) ]
?
2
?
1
?
sin
?
sin
?
?[cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)]
?2

_
?
?
??
?
?
?
sin
?
?sin
?
?2sincos
?< br>22
?
?
sin
?
?sin
?
?2cos< br>?
?
?
sin
?
?
?
?
22
（2）和差化积公式：
?
．
?
?
??
?
?
?
cos
?
?cos
?
?2coscos
?
22
?
?
?
??
?
?
?
cos
?
?cos
?
??2sinsin
?22





六、三角函数
1、正弦函数、余弦函数和正切函数的性质、图像：

定
义
域
值
[?1,1]

[?1,1]

y?sinx

y?cosx

y?tanx

R

R

{xx?k
?
?
?
2
,k?Z}

R

域
奇
偶
性
周
期
奇函数 偶函数 奇函数
最小正周期
T?2
?
最小正周期
T?2
?
最小正周期
T?
?

_
性
单
调
性
最
值
,2k
?
?]
22
?
3
?
[2k
??,2k
?
?]
22
[2k
?
?
??
；
．
[2k
?
?
?
,2k
?
]
[2k
?
,2k
?
?
?
]
；
(k
?
?
?
．
,k
?
?)
22
?
（
k?Z
）
当
x?2k
?
?
（
k?Z
）
当
x?2k
?
?
?
时，
y
min
??
1；
当
x?2k
?
时，
y
max
?
1
；
（
k?Z
）
?
2
时，
y
min
??1
；
时，
y
max
?1
；
当
x?2k
?
?
?
2
无
图
像



例1：求函数
y?
5sin(2
x?)
的周期、单调区间和最值．（当
x
的系数为负数时，单调性相反）
3
解析：周期
T?

2
k
??
2
?
??
?
?
，由函数
y?sinx
的递增区间
[2k
?
?,2k
?
?]
，可得
2
22
?
5
??
?x?k
?
?
，
1212
232
?
5
??
于是，函数
y?
5sin(2
x?
)
?
7
的递增区间为
[k
?
?,k
?
?]
．
31212
?
?
7
?
同理可得函数
y?
5sin(2
x?
)
?
7
递减区间为
[k?
?,k
?
?]
．
31212
?
?
2
x?
?
?
2
k
?
?
?
，即k
?
?
当
2
x?
时，函数
y?5sin(2x?)
取最大值5；
32123
??
5
?
?
当
2
x??
2
k
?
?
，即
x?k
?
?
时，函数
y?5sin(2x?)
取最大值
?5
．
32123
例2：求函数
y?
5sin(2
x?
)
?
7,
x?
[0,]
的单调区间和最值．
32
?
??
4
?
解析：由
x?
[0,]
，可得
2x??[,]
．
2333
然后画出
2
x?
当
2
x?
?
?
2
k
?
?
?
，即x?k
?
?
?
?
??
?
3
的终边图， 然后就可以得出
?
[,]
，即
x?[0,]
时，函数
y? 5sin(2x?)?7
单调递增；
332123
??
4
?
??
?
当< br>2x??[,]
，即
x?[,]
时，函数
y?5sin(2x?)?7
单调递减．
3231223
同时，当
2
x?
???
?
?
?
3
?
?
2
，即
x?
时，函数
y?5sin(2x?)?7
取最大值12；
12
3
?
?

_
当
2x?
?
3
?
53
4
?
?
?
， 即
x?
时，函数
y?5sin(2x?)?7
取最小值
7?
；
2
2
33
注意：当
x
的系数为负数时，单调性的分析正好相反．

2、函数
y?Asin(
?
x?
?
)?h
&
y?Acos(
?
x?
?
)?h
&
y?Atan(
?
x?
?
)?h
，其中
A?0,
?
?0
：
（1）复合三角函数的基本性质：
y?Asin(
?
x?
?
)?h

y?Acos(
?
x?
?
)?h

y?Atan(
?
x?
?
)?h

三角函数
其中
A?0,
?
?0
其中
A?0,
?
?0
其中
A?0,
?
?0

无 振幅
基准线
定义域
值域
最小正周期
A

y?h

(??,??)

[A?h,A?h]

T?
2
?
{x
?
x?
?
?k
?
?
?
2,k?Z}

(??,??)

T?
?

?

?
频率
相位
初相





f?
1
?
?

T2
?
f?
1
?
?

T
?
?
x?
?

?

（2） 函数
y?Asin(
?
x?
?
)?h
与函数
y?s inx
的图像的关系如下：
①相位变换：

_
?
y
?
sin(x
?
?
)
； 当
?
?0
时，
y
?
sinx
??????
向左平移
?
个单位
?
y
?
sin(x
?
?
)
； 当
?
?0
时，
y
?sinx
??????
向右平移
?
个单位
②周期变换：
?
?y?sin(
?
x?
?
)
； 当
?
?1
时，
y?sin(x?
?
)?????????? ????
?
?y?sin(
?
x?
?
)
； 当
0?
?
?1
时，
y?sin(x?
?
)???? ??????????
1
所有各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
1
所有各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
③振幅变换：
所有各点的纵 坐标伸长到原来的A倍（横坐标不变）
?y?A
sin(
?
x?
?< br>)
； 当
A?1
时，
y?
sin(
?
x?
?
)
??????????????
所有各点的纵坐标缩短 到原来的A倍（横坐标不变）
?y?A
sin(
?
x?
?
)
； 当
0?A?1
时，
y?
sin(
?
x?
?
)
??????????????
④最值变换：
所有各点向上平行移动h个单位
?y?A
sin(
?
x?
?
)
?h
； 当
h?0
时，
y?A
sin(
?
x?
?
)
?????????
所有各点向下平行移动h个单位
?y?A
sin(
?
x?
?
)
?h
； 当
h?0
时，
y?A
sin (
?
x?
?
)
?????????
注意：函 数
y?Acos(
?
x?
?
)?h
和函数
y?At an(
?
x?
?
)?h
的变换情况同上．

3、三角函数的值域：
（1）
y?asinx?b
型：
设
t?sinx
，化为一次函数
y?at?b
在闭区间
[?1,1]
上求最值．
（2）
y?asinx?bcosx?c
，
a,b?0
型：
引入辅助角
?
,tan
?
?
b
，化为
y?a
2
?b
2
sin(x?
?
)?c
．
a
（3）
y?asin
2
x?bsinx?c
型：
设
t?sinx?[?1,1]
，化为二次函数
y?at
2
?bt?c
求解．
（4）
y?asinxcosx?b(sinx?cosx)?c
型：
a(t
2
?1)
?bt?c
在闭
设
t?sinx?cosx?[?2,2]
，则
t?1?2sinxcosx
，化为二 次函数
y??
2
2
区间
t?[?2,2]
上求最值．

_


（5）
y?atanx?bcotx
型：
b
设
t?tanx
，化为
y?at?
，用“Nike函数”或“差函数”求解．
t
asinx?b
（6）
y?
型：
csinx?d
方法一：常数分离、分层求解；方法二：利用有界性，化为
?1?sinx?1
求解．
（7）
y?
asinx?b
型：
ccosx?d
化为
asinx?yccosx?b?dy
，合并
a
2
?y
2
c
2
sin(x?
?
)?b?dy
，利用有界性，

sin(x?
?
)?
b?dy
a?yc
22 2
?[?1,1]
求解．
（8）
asinxcosx?bsin
2
x?ccos
2
x
，（
a?0,b,c
不全为0）型：
ac?bb?c
利用降次公式，可得
asinxcosx?bsin< br>2
x?ccos
2
x?sin2x?
，然后利用辅
cos2x?
222
助角公式即可．
4、三角函数的对称性：

y?sinx

对称中心
(k
?
,0)
，
k?Z

对称轴方程
x?k
?
?
?
2
，
k?Z

y?cosx

y?tanx

y?cotx

( k
?
?
(
?
2
,0)
，
k?Z

x?k
?
，
k?Z



k
?
,0)
k?Z

2
k
?
(,0)
k?Z

2
备注：①
y?sinx
和
y?cosx
的对称中心在其函数图像上；
②
y?tanx
和
y?cotx
的对称中心不一 定在其函数图像上．（有可能在渐近线上）
例3：求函数
y?
5sin(2
x?
)
?
7
的对称轴方程和对称中心．
3
解析：由函数
y?sinx
的对称轴方程
x?k
?
?
解得
x?
?
?
2
，
k?Z
，可得
2x?< br>?
3
?k
?
?
?
2
，
k?Z

?
12
?
k
?
，
k?Z
．
2

_
?
?
k
?
所以，函数
y?
5sin(2
x?
)
?
7
的对称轴 方程为
x??
，
k?Z
．
3122
由函数
y?sinx
的中心对称点
(k
?
,0)
，
k?Z
，可得
2
x?
解得
x??
?
3
?k
?
，
k?Z

?
6
?
k
?
，
k?Z
．
2
?
?
k
?
所以，函数
y?
5sin(2
x?
)
?
7
的对称中心为
(??,7)，
k?Z
．
362
5、反正弦、反余弦、反正切函数的性质和图像：

定义域
值域
奇偶性
单调性
对称中心
y?arcsinx

[?1,1]

y?arccosx

[?1,1]

y?arctanx

(??,??)

[?
??
,]

22
[0,
?
]

(?
??
,)

22
奇函数
在
[?1,1]
上是增函数
点
(0,0)

非奇非偶函数
在
[?1,1]
上是减函数
点
(0,)

2
奇函数
在
(??,??)
上是增函数
点
(0,0)

?
图像

重要结论：
（1）先反三角函数后三角函数：
①
a?[?1,1]?sin(arcsina)?cos(arccosa)?a
；
②
a?R?tan(arctana)?a
．
（2）先三角函数后反三角函数：
①
?
?
[
?


??
,]
?arcsin(sin
?
)?
?
；
22
②
?
?[0,
?
]
?
arccos(cos
?)?
?
；
③
?
?
(
?
??
,)
?
arctan(tan
?
)?
?
．
22
（3）反三角函数对称中心特征方程式：

_
①
a?[?1,1]
?
arcsin(?a)??arcsina
；
②
a?[?1,1]
?
arccos(?a)?
?< br>?arccosa
；
③
a?(??,??)
?
arctan(?a)??arctana
．
6、解三角方程公式：
?
sinx?a,a?1x?k
?
?(?1 )
k
arcsina,k?Z
?
?
cosx?a,a?1x?2k< br>?
?arccosa,k?Z

?
?
tanx?a,a? Rx?k
?
?arctana,k?Z
．