高中数学23知识点总结

高中数学必修1知识点总结
第一章 集合与函数概念
【1.1.1】集合的含义与表示
（1）集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
（2）常用数集及其记法
N
表示自然 数集，
N
?
或
N
?
表示正整数集，
Z
表示 整数集，
Q
表示有理数集，
R
表示实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象
a
与集合
M
的关系是a?M
，或者
a?M
，两者必居其一.
（4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
③描述法：{
x
|
x
具有的性质}，其中
x
为集合的代表元素.
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
（5）集合的分类
①含有有限个元素的集 合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做
空集(
?< br>).
【1.1.2】集合间的基本关系
（6）子集、真子集、集合相等
名称 记号 意义 性质
(1)A
?
A
(2)
??A

或A中的任一元素都
属于B
(3)若
A?B
且
B?C
，则
A?C

(4)若
A?B
且
B?A
，则
A?B

A
A(B)
BA
示意图
A?B

子集
（
B?A)

或
?
?
真子集
B A?B
，且B中至
（1）
(2)若
??A
?
?
（A为非空子集）
少有一元素不属于
?
（或B
?
A）
A
A?B
且
B?C
?
，则
A?C
?
BA

集合
相等
A?B

A中的任一元素都
(1)A
?
B
属于B，B中的任
(2)B
?
A
一元素都属于A
nn
A(B)

n
（7）已知集合
A
有
n (n?1)
个元素，则它有
2
个子集，它有
2?1
个真子集，它有< br>2?1
个非空子集，它
有
2?2
非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算
（8）交集、并集、补集
n

名称 记号 意义 性质
（1）
AIA?A

示意图
交集
AIB

{x|x?A,
且
（2）
AI???

（3）
AIB?A


AIB?B

（1）
AUA?A

AB
x?B}


并集
AUB

{x|x?A,
x?B}

或
（2）
AU??A

（3）
AUB?A


AUB?B

A
B

补集
?
U
A

{x|x?U,且x?A}

痧
U
(AIB)?(
U
A)U(?
U
B)
痧
U
(AUB)?(
U
A)I(?
U
B)
1
AI(?
U
A)??

2
AU(?
U
A)?U


【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
（1）含绝对值的不等式的解法
不等式 解集
|x|?a(a?0)

|x|?a(a?0)

{x|?a?x?a}

x|x??a
或
x?a}

把
ax?b
看成一个整 体，化成
|x|?a
，
|ax?b|?c,|ax?b|?c(c?0)

（2）一元二次不等式的解法
判别式
|x|?a(a?0)
型不等式来求解
??b
2
?4ac

二次函数
??0

??0

??0

y?ax
2
?bx?c(a?0)
的图象
一元二次方程
O



ax
2
?bx?c?0(a?0)
的根
?b?b
2
?4ac
x
1,2
?
2a
（其中
x
1
? x
2
??
x
1
?x
2
)
b
2a< br>
无实根

ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集
{x|x?x
1
或
x?x
2
}

{x|
x??
b
}
2a

R

ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集
〖1.2〗函数及其表示
【1.2.1】函数的概念
（1）函数的概念
{x|x
1
?x?x
2
}

?

?

①设
A
、
B
是两个非空的数集，如果按照某种 对应法则
f
，对于集合
A
中任何一个数
x
，在集合
B
中都有
唯一确定的数
f(x)
和它对应，那么这样的对应（包括集合
A
，
B
以及
A
到
B
的对应法则
f
）叫做集合
A
到
B
的一个函数，记作
f:A?B
．
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．
（2）区间的概念及表示法
①设
a,b
是两个实数，且
a?b
，满足
a?x?b
的实数
x
的集合叫做闭区间，记做
[a,b]
；满足
a?x?b< br>的
实数
x
的集合叫做开区间，记做
(a,b)
；满足
a?x?b
，或
a?x?b
的实数
x
的集合叫做半开半闭区间，分别记做
[a,b)
，
(a,b]
；满足
x?a,x?a,x? b,x?b
的实数
x
的集合分别记做
[a,??),(a,??),(??, b],(??,b)
．
注意：对于集合
{x|a?x?b}
与区间
(a,b)
，前者
a
可以大于或等于
b
，而后者必须
a?b
．
（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
①
f(x)
是整式时，定义域是全体实数．
②
f(x)
是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
③
f(x)
是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．
⑤
y?tanx
中，
x?k
?
?
?
2
(k ?Z)
．
⑥零（负）指数幂的底数不能为零．
⑦若
f(x)
是由 有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义

域的交集．
⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知
f(x)
的定义域 为
[a,b]
，其复合函数
f[g(x)]
的定义
域应由不等式a?g(x)?b
解出．
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．
⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
（4）求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实 上，如果在函数的值域中存在一个最小
（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与 值域，其实质是相同的，只是提问的角
度不同．求函数值域与最值的常用方法：
①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：将函数解析式化 成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域
或最值．
2a(y)x?b(y)x?c(y)?0
，
y?f(x)
y
x
③ 判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程
2
??b(y)?4a(y)?c( y)?0
，从而确定函数的值域或最值．
a(y)?0
x,y
则在时，由于为 实数，故必须有
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．
⑤换元法：通过变量 代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角
函数的最值问题．
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．
⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．
⑧函数的单调性法．

【1.2.2】函数的表示法
（5）函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．
解析法：就是用数学表 达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之
间的对应关系．图象法：就 是用图象表示两个变量之间的对应关系．
（6）映射的概念
①设
A
、B
是两个集合，如果按照某种对应法则
f
，对于集合
A
中任何一 个元素，在集合
B
中都有唯一的
元素和它对应，那么这样的对应（包括集合
A
，
B
以及
A
到
B
的对应法则
f
） 叫做集合
A
到
B
的映射，
记作
f:A?B
． ②给定一个集合
A
到集合
B
的映射，且
a?A,b?B
．如果元素
a
和元素
b
对应，那么我们把元素
b
叫做元素
a
的象，元素
a
叫做元素
b
的原象．

〖1.3〗函数的基本性质
【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
①定义及判定方法
函数的
性 质
定义
如果对于属于定义域I内
某个区间上的任意两个
自变量的值x1、x2,当x1<
x2时，都有f(x1)那么就说f(x)在这个区间
上是增函数．

如果对于属于定义域I内
某个区间上的任意两个
自变量的值x1、x2，当
x1< x2时，都有
f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)
在这个区间上是减函数．
图象 判定方法
（1）利用定义
（2）利用已知函数
的单调性
（3）利用函数图象
（在某个区间图
象上升为增）

（4）利用复合函数
（1）利用定义
（2）利用已知函数
的单调性
（3）利用函数图象
（在某个区间图
象下降为减）
（4）利用复合函数
y
y=f(X)
f(x )
1
f(x )
2
o
x
1
x
2
x
函数的
单调性
y
f(x )
1
y=f(X)
f(x )
2
o
x
1
x
2
x

②在公共定 义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函
数，减函数 减去一个增函数为减函数．
③对于复合函数
y?f[g(x)]
，令
u?g (x)
，若
y?f(u)
为增，
u?g(x)
为增，则
y? f[g(x)]
为增；若
y?f(u)
为减，
u?g(x)
为减，则
y?f[g(x)]
为增；若
y?f(u)
为增，
u?g(x)为减，则
y?f[g(x)]
为减；若
y?f(u)
为减，
u? g(x)
为增，则
y?f[g(x)]
为减．
y
a
f(x)?x?(a?0)
x
（2）打“√”函数的图象与性质
f(x)
分别在
(??,?a]
、
[a,??)
上为增函数，分别在
[?a,0)
、
(0,a]
上为减
函数．
（3）最大（小）值定义
①一般地，设函数
y?f(x)
的定义 域为
I
，如果存在实数
M
满足：（1）对
任意的
x?I，都有
f(x)?M
；
（2）存在
o
于
x
x
0
?I
，使得
f(x
0
)?M
．那么，我们称
M
是函数
f(x)
的最大值，记作
f
max
(x)?M
．
②一般地，设函数
y?f(x)
的定义域为
I
，如果存在实数
m
满足：（1）对于任意 的
x?I
，都有
f(x)?m
；

（2）存在
x
0
?I
，使得
f(x
0
)?mf(x)?m
．那 么，我们称
m
是函数
f(x)
的最小值，记作
max
．
【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
①定义及判定方法
函数的
性 质
定义
如果对于函数f(x)定义域
内任意一个x，都有f(－x)=－f(x),那么函数f(x)叫
做奇函数．
函数的
奇偶性

如果对于函数f(x)定义域
内任意一个x，都有f(－
x)=f(x),那么函数f (x)叫做
偶函数．

②若函数
f(x)
为奇函数，且在
x?0
处有定义，则
f(0)?0
．
③奇函数在
y
轴两侧 相对称的区间增减性相同，偶函数在
y
轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定 义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函
数）的积 （或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
〖补充知识〗函数的图象
（1）作图
利用描点法作图：
①确定函数的定义域； ②化解函数解析式；
③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．
利用基本函数图象的变换作图：
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对 数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等
函数的图象．
①平移变换
h?0,左移 h个单位k?0,上移k个单位
y?f(x)????????y?f(x?h)y?f(x)???? ????y?f(x)?k
h?0,右移|h|个单位k?0,下移|k|个单位
图象 判定方法
（1）利用定义（要
先判断定义域是否
关于原点对称）
（2）利用图象（图
象关于原点对称）
（1）利用定义（要
先判断定义域是否
关于原点对称）
（2）利用图象（图
象关于y轴对称）

②伸缩变换
0?
?
?1,伸
y?f(x)?????y?f(
?
x)
?
? 1,缩
0?A?1,缩
y?f(x)?????y?Af(x)
A?1,伸


③对称变换

y轴
x轴
??y?f(?x)

y?f(x)????y??f(x)

y?f(x)? ?
直线y?x
原点
y?f(x)????y??f(?x)

y?f(x)?????y?f
?1
(x)

去掉y轴左边图象y?f(x)????????????????y?f(|x|)
保留y轴右边图象，并作其关于 y轴对称图象
保留x轴上方图象
y?f(x)??????????y?|f(x)|
将x轴下方图象翻折上去


（2）识图
对于给定函数的图象，要能从图象 的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、
值域、单调性、奇偶性，注意图象 与函数解析式中参数的关系．
（3）用图
函数图象形象地显示了函数的性质，为 研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，
获得问题结果的重要工具．要重视数形结 合解题的思想方法．





























高中数学必修2知识点

一、直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：
x
轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的 倾斜角。特别地，当直线与
x
轴平行或
重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾 斜角的取值范围是0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线 ，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k
表示。即
k?tan
?< br>。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当
?
?0
?
,90
?
?
时，
k?0
； 当
?
?
?
90
?
,180
?
?
时，
k?0
； 当
?
?90
?
时，
k
不存在。
y?y
1
(x
1
?x
2
)
②过两点的 直线的斜率公式：
k?
2
x
2
?x
1
注意下面四点 ：(1)当
x
1
?x
2
时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾 斜角为90°；
(2)
k
与
P
1
、
P
2
的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点 斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)
直线斜率
k，且过点
?
x
1
,y
1
?

注意：当 直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是
y
=
y
1
。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因
l
上
每一点的横坐标都等于
x
1
，所以它的方程是
x
=
x
1
。
②斜截式：
y?kx?b
，直线斜率为
k
，直线在
y
轴上的截距为
b

③两点式：
y?y
1
x?x
1
?
（
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
）直线两点
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?

y
2
?y
1
x
2
?x
1
?
④截矩式：?
x
a
y
?1

b
其中直线
l
与
x
轴交于点
(a,0)
,与
y
轴交于点
(0, b)
,即
l
与
x
轴、
y
轴的截距分别为
a ,b
。
⑤一般式：
Ax?By?C?0
（
A
，
B
不全为0）
注意：
○
1各式的适用范围
○
2特殊的方程如：
平行于
x
轴的直线：
y?b
（
b
为常数）； 平行于
y
轴的直线：
x?a
（
a
为常数）；
（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线
（一）平行直线系
A
0< br>x?B
0
y?C?0
平行于已知直线
A
0
x?B0
y?C
0
?0
（
A
0
,B
0
是不全为0的常数）的直线系：
（
C
为常数）
（二）过定点的直线系 < br>（ⅰ）斜率为
k
的直线系：
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
，直线过定点
?
x
0
,y
0< br>?
；
（ⅱ）过两条直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
，
l
2
:A
2< br>x?B
2
y?C
2
?0
的交点的直线系方程为
?< br>A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
??
A
2
x?B
2
y?C
2
?
?0（
?
为参数），其中直线
l
2
不在直线系中。
（6）两直线平行与垂直
当
l
1
:y?k
1
x? b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
时，
l
1
l
2
?k
1
?k
2
, b
1
?b
2
；
l
1
?l
2
?k< br>1
k
2
??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（7）两条直线的交点
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
? 0

l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
相交

A
1
x?B
1
y?C
1
?0
交点坐标即方程组
?
的一组解。
?
?A
2
x?B
2
y?C
2
?0
方程组无解
?l
1
l
2
； 方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重合
（8 ）两点间距离公式：设
A(x
1
,y
1
)，（
是平面直角坐 标系中的两个点，
Bx
2
,y
2
）
则
|AB|? (x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

（9）点到直线距离公式：一点
P
?
x
0
,y
0
?
到直线
l
1
:Ax?By?C ?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0
?C
A< br>2
?B
2

（10）两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
二、圆的方程
1、圆 的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半
径。
2、圆的方程
22
（1）标准方程
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
2
，圆心
?
a,b
?
，半径为r；
（2）一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

1
DE
?
，半径为当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程表示圆，此时圆心为
?
r?
?
?,?
?
?
22
?
2222
2
D
2
?E
2
?4F

当
D?E?4F?0
时，表示一个点； 当
D?E?4F?0
时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1）设直 线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心
C
?
a,b
?
到
l
的距离为
d?
Aa?Bb ?C
A?B
22
，则有
d?r?l与C相离
；
d?r?l与 C相切
；
d?r?l与C相交

（2）设直线
l:Ax?By?C? 0
，圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y ?b
?
2
?r
2
，先将方程联立消元，得到一个一元
二次方 程之后，令其中的判别式为
?
，则有
??0?l与C相离
；
??0 ?l与C相切
；
??0?l与C相交

2
注：如果圆心的位置在原点 ，可使用公式
xx
0
?yy
0
?r
去解直线与圆相切的问题 ，其中
?
x
0
,y
0
?
表示切点坐标，r表示半径 。
(3)过圆上一点的切线方程：
①圆
x
2
+y
2< br>=r
2
，圆上一点为(x
0
，y
0
)，则过此点的切 线方程为
xx
0
?yy
0
?r
2
(课本命题)．
222
②圆
(x-a)+(y-b)=r
，圆上一点为
(x
0
，y
0
)
，则过此点的切线方程为
(x
0
-a) (x-a)+(y
0
-b)(y-b)=
2
r
(课本命题的推广)．
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（
d）之间的大小比较来确定。
设圆
C
1
:
?
x?a1
?
2
?
?
y?b
1
?
2
? r
2
，
C
2
:
?
x?a
2
?2
?
?
y?b
2
?
2
?R
2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（
d
）之间的大小比较来确定。
当
d?R?r
时两圆外离，此时有公切线四条；
当
d?R?r
时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当
R?r?d?R?r
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当
d?R?r
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当
d?R?r
时，两圆内含； 当
d?0
时，为同心圆。

三、立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征












（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边
都 互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点 字母，如五棱柱
ABCDE?A
'
B
'
C
'
D'
E
'
或用对角线的端点字母，如五棱柱
AD
'
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相
等；平 行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字 母，如五棱锥
P?A
'
B
'
C
'
D
'E
'

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相 似比等于顶点到截
面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字 母，如五棱台
P?A
'
B
'
C
'
D
'E
'

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的 曲面所围成的几何
体
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂 直；④侧面展开图是
一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图
定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、
俯视图（从上向下）
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
'
（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，
h
为斜高，l为母 线）
S
直棱柱侧面积
?ch

S
圆柱侧
?2
?
rh

S
正棱锥侧面积
?
1
ch'

S
圆锥侧面积
?
?
rl

2
S
正棱台侧面积
?

S
圆柱表
?2
?
r
?
r?l
?

S
圆锥表
?
?
r
?
r?l
?

S
圆台表
?
?
?
r
2
?rl?Rl?R< br>2
?

（3）柱体、锥体、台体的体积公式
1
(c
1
?c
2
)h'

S
圆台侧面积
?(r?R)
?
l

2
V
柱
?Sh

V
圆柱
?Sh?
?
r
2
h

V
锥
?
1
Sh

V
圆锥
?
1
?
r
2
h

3
3
1
'
1
1
'22
V
台
?(S
'
?S
'
S?S)h

V
圆台
?(S?SS?S)h?
?
(r?rR?R)h

33
3

（4）球体的表面积和体积公式：V=
4
3
； S=
4
?
R
2

球
3
?
R
球面
4、空间点、直线、平面的位置关系
（1）平面
① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；
② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；
也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。
③ 点与平面的关系：点
A在平面
?
内，记作
A?
?
；点
A
不在平面?
内，记作
A?
?

点与直线的关系：点
A
的 直线
l
上，记作：
A
∈
l
； 点
A
在直线
l
外，记作
A
?
l
；
直线与平面的关系：直线
l
在平面α内，记作
l
?
α；直线
l
不在平面α内，记作
l
?
α。
（2）公理1：如果一条直线的 两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线） 应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内用
符号语言表示公理1：
A?l,B?l,A ?
?
,B?
?
?l?
?

（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平
面。
公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据
（4 ）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号：平面α 和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。符号语言：
P?AIB?AIB?l,P?l

公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法。②它说明两个平面的交线与两个平面公共点
之间的关 系：交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
（6）空间直线与直线之间的位置关系

① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线
② 异面直线性质：既不平行，又不相交。
③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线
④ 异面直线所 成角：直线
a
、
b
是异面直线，经过空间任意一点
O
，分别 引直线
a
’∥
a
，
b
’
∥
b
，则 把直线
a
’和
b
’所成的锐角（或直角）叫做异面直线
a
和
b
所成的角。两条异面直线
所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的 角是直角，我们就说这两条异面直线互
相垂直。
说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理
（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。
②求异面直线所成角步骤：
A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移 到某个特殊的位置，顶点选
在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角
（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。
（8）空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点．



三种位置关系的符号表示：a
?
α a∩α＝A a∥α
（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α∥β
相交——有一条公共直线。α∩β＝
b
5、空间中的平行问题
（1）直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条 直线平行,则该直线与此平面平行。线
线平行
?
线面平行
线面平行的性质定 理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那
么这条直线和交线平行。线 面平行
?
线线平行
（2）平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理
（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这 两个平面平行（线面平行
→面面平行），
（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平 行，那么这两个平面平行。（线线平行→面
面平行），
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，
两个平面平行的性质定理
（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）
（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）
7、空间中的垂直问题
（1）线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成
的图形） 是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
（2）垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条 相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个
平面。
9、空间角问题
（1）直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角：规定为
0
?
。
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
③两 条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线
a
，
b
平行 的直线
a
?
,b
?
，
形成两条相交直线，这两条相交直线所 成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
（2）直线和平面所成的角
?
①平面的平行线与平面所成的角：规定为
0
。 ②平面的垂线与平面所成的角：规定为
90
?
。
③平面的斜线与平面所成的 角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直
线和这个平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。
在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，
在解题时， 注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点
或过斜线的平面与 已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。
（3）二面角和二面角的平面角
①二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面
角的棱，这两个半平面叫做二 面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射 线，
．．．．．
这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角 ，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面
垂直，那么所成的二面角为直二面角
④求二面角的方法
定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角
垂面法： 已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二
面角的平面角
7、空间直角坐标系
（1）定义：如图，
OBCD?D
,
A
,
B
,
C
,
是单位正方体.以A为原点，
分别以OD, O
A
,
,OB的方向为正方向，建立三条数轴
x轴.y轴.z轴
。
这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
1）O叫做坐标原点 2）x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴. 3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标
面。
（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为
x轴正方向，食指指向为y轴正 向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位
置。
（3）任意点坐标表示：空间 一点M的坐标可以用有序实数组
(x,y,z)
来表示，有序实数组
(x,y,z)< br>
叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作
M(x,y,z)
（x叫做点M 的横坐标，y叫做点M
的纵坐标，z叫做点M的竖坐标）
（4）空间两点距离坐标公式：d?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2

高中数学必修3知识点

第一章 算法初步
第二章 统计

2.1.1简单随机抽样

1．
总体和样本
总体：在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．
个体：把每个研究对象叫做个体．
总体容量：把总体中个体的总数叫做总体容量．
为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：， ， ，
研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量。
．．．．．．
2．简单随机 抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随
机地抽取调查单位 。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独
立，彼此间无一定的 关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之
间差异程度较小和数 目较少时，才采用这种方法。
3．简单随机抽样常用的方法：
（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容 量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证
程度。
4．抽签法:
（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；
（2）准备抽签的工具，实施抽签
（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查
例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。
5．随机数表法：
例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。

2.1.2系统抽样

1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）： < br>把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采
用简单随机抽样的办法抽取。
K（抽样距离）=N（总体规模）n（样本规模）
前提条件 ：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规
则分布。可以 在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，说
明样本在总体 中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。
2．系统抽样，即等距抽样是实际中最为常 用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简
单。更为重要的是，如果有某种与调查指 标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排
队的话，使用系统抽样可以大大提高估计 精度。

2.1.3分层抽样

1．分层抽样（类型抽样）：
先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个
类型 或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体
的样 本。
两种方法：
1．先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
2．先以 分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的
方法抽取样 本。

2．分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子 总体中的样本分别代
表该子总体，所有的样本进而代表总体。
分层标准：
（1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。
（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。
（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。

3．分层的比例问题：
（1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。
（2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法， 主要
是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时，则需要先 对各
层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

1、本均值：
x?
x
1
?x
2
???x
n

n
2
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2< br>???(x
n
?x)
2
2、．样本标准差：
s?s?

n
3．用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本 得到的信息会
有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。
虽然我们用样本数据得到的分 布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，
而只是一个估计，但这种估计是合理的，特 别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息。
4．（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变
（2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k倍
（3） 一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间
(x?3s,x?3s)
的应用；
“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理
2.3.2两个变量的线性相关


1、概念:
（1）回归直线方程
（2）回归系数
2．最小二乘法
3．直线回归方程的应用
（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系
（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进
行估 计，即可得到个体Y值的容许区间。
（3）利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化， 通过控制x的范围来实现统计控制的目标。如已

经得到了空气中NO
2
的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中
NO
2
的浓度。
4．应用直线回归的注意事项
（1）做回归分析要有实际意义；
（2）回归分析前,最好先作出散点图；
（3）回归直线不要外延。

第三章 概 率

3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义

1、基本概念：
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
（ 5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现
n
A
的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)=
n
为 事件A出现的概率：对于
给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳 定在某个常数上，
把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。
n
A
（6 ）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值
n
，
它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度
越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能
性的大小。频 率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率

3.1.3 概率的基本性质

1、基本概念：
（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；
（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；
（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必
然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
2、概率的基本性质：
1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；
4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是 指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其
具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B 不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事
件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）
事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不 发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生

1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
A包含的基本事件数
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
总的基本事件个数


3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生

1、基本概念：
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称
这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
构成事件A的区域长度（面 积或体积）
P（A）=
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
；
（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现
的可能性相等．