高中数学经典函数知识点总结(重要)

高中数学函数知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如 ：集合A?
?
x|y?lgx
?
，B?
?
y|y?lgx< br>?
，C?
?
(x,y)|y?lgx
?
，A、B、C

中元素各表示什么？
A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹

2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A?x|x
2
?2x?3?0，B?
?
x |ax?1
?


若B?A，则实数a的值构成的集合为

（答：
?
?1，0，
?
）

显然，这里很容易解出 A={-1,3}.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件，
可以得到a=-1,a =13. 但是， 这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把
它搞忘记了。

3. 注意下列性质：

??
?
?
1
?
3
?
（1）集合
?
a
1
，a
2
，……，a
n
?
的所有子集的个数是2
n
；

要 知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a
1
来说，有2种选择（在或者不在）。同
样，对于元素a
2
, a
3
,……a
n
,都有2种选择，所以，总共有
2
种选择， 即集合A有
2
个子集。
当然，我们也要注意到，这
2
种情况之中， 包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，
故真子集个数为
2?1
，非空真子集个数 为
2?2

n
n
nn
n
（2）若A?B?A?B?A，A?B?B；

（3）德摩根定律：
C
U
?
A?B
?
?
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?
，
C
U
?
A?B
?
?
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?

有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于x的不等式
的取值范围。
ax?5
?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a

2
x?a

（∵3?M，∴
a·3?5
?0
3
2
?a< br>a·5?5
?0
2
5?a
5
??
?a?
?< br>1，
?
?
?
9，25
?
）

3
?
?

∵5?M，∴
注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数
f(x)=ax
2
+bx+c(a>0) 在
(??,1)上单调递减，在
(1,??)
上单调递增，就应该马上知道函数对
称轴是x=1. 或者，我说在上 ，也应该马上可以想到m，n实际上就是方程 的2个根
5、熟悉命题的几种形式、
可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(?)，“且”(?)和“非”(?).

若p?q为真，当且仅当p、q均为真


若p?q为真，当且仅当p、q至少有一个为真


若?p为真，当且仅当p为假

命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）

A?{x|x
满足条件
p}
，
B?{x|x
满 足条件
q}
，
若 ；则
p
是
q
的充分非必要条件
?A_____B
；
若 ；则
p
是
q
的必要非充分条件
?A_____B
；
若 ；则
p
是
q
的充要条件
?A_____B
；
若 ；则
p
是
q
的既非充分又非必要条件
?___________；
7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元
素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。） 注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的
映射个数有n< br>m
个。
如：若
A?{1,2,3,4}
，
B?{a,b,c }
；问：
A
到
B
的映射有 个，
B
到
A
的映射有
个；
A
到
B
的函数有 个，若
A?{1,2,3}
，则
A
到
B
的一一映射有 个。
函数
y?
?
(x)
的图象与直线
x?a
交点 的个数为 个。
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
例：函数y?
x
?
4?x
?
lg
?
x?3
?
2
的定义域是

（答：
?
0，2
?
?
?
2 ，3
?
?
?
3，4
?
）

函数定义域求法：
? 分式中的分母不为零；
? 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
? 指数式的底数大于零且不等于一；
?
数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
? 正切函数
y?tanx

?
?
x?R,且x?k
?
?
?
?
2
,k?
?
?
?
?

? 余切函数
y?cotx

?
x?R,且x?k
?
,k?
?
?

? 反三角函数的定义域
函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y＝arccosx的定义域是 [－
1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是.，函数y＝arcctgx
的定义域是 R ，值域是 (0, π) .
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条 件的自变量的范
围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。
10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是
?
a，b
?
，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定

义域是_____________。
（答：
?
a，?a
?
）

复合函数定义域的求法： 已知
y?f(x)
的定义域为
?
m,n
?
，求
y? f
?
g(x)
?
的定义域，可由
m?g(x)?n
解出x的 范围，即为
y?f
?
g(x)
?
的定义域。
例 若函 数
y?f(x)
的定义域为
?
?
1
,2
?
?
?
2
?
，则
f(log
2
x)
的定义域 为 。
分析：由函数
y?f(x)
的定义域为
?< br>?
1
,2
?
?
可知：
1
?
2
?
2
?x?2
；所以
y?f(log
2
x)
中有
对

1
?log
2
x?2
。
2
解：依题意知：
解之，得
1
?log
2
x?2

2
2?x?4

∴
f(log
2
x)
的定义域为
x|
?
2?x?4

?
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 求函数y=
1
的值域
x
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=
x
2
-2x+5，x
?
[-1，2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分 式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以
用其他方法进行化简，不必拘泥 在判别式上面
下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂
b
型：直接用不等式性质
2
k+x
bx
b. y?
2
型,先化简，再用均值不等式
x?mx?n
x11
例： y???
1
2
1+x
2
x+
x
x
2
?m
?
x?n
?
c.. y?
2
型 通常用判别式
x?mx?n
x
2
?mx?n
d. y?型
x?n
法一：用判别式
a. y?
法二：用换元法，把分母替换掉
2
x
2
?x?1（x+1）?（x+1）+1 1
例：y???（x+1）??1?2?1?1
x?1x?1x?1

4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例 求函数y=
3x?4
值域。
5x?6

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性， 来确定函数的值域。我们所说的
单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
e
x?1
2sin
?
?12sin
?
?1
例 求函数y=
x
，
y?
，
y?
的值域。
e?11?sin
?
1?cos
?
e
x
?11?y
y ?
x
?e
x
??0
1?y
e?1
2sin
?
?11?y
y??|sin
?
|?||?1,
1?sin
?
2?y
2sin
?
?1
y??2sin
?
?1? y(1?cos
?
)
1?cos
?
2sin
?
?y cos
?
?1?y
4?y
2
sin(
?
?x)?1 ?y,即sin(
?
?x)?
1?y
4?y
2

1 ?y
4?y
2
又由sin(
?
?x)?1知?1
解不等式， 求出y，就是要求的答案
6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=
2
x?5
?
log
3
x?1
（2≤x≤10）的值域

7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发
挥作用。
例 求函数y=x+
x?1
的值域。

8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这
类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
22
例：已知点P（x.y）在圆x+y=1上，

y
的取值范围
x?2
(2)y-2x的取值范围
y
解:(1)令?k,则y?k(x?2),是一条过(-2,0)的直线.

x?2

(1)
d?R(d为圆心到直线的距离,R为半径)
(2)令y-2x?b,即y?2x?b?0,也是直线d d?R
例求函数y=
(x?2 )
2
+
(x?8)
2
的值域。
解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。
由上图可知：当点P在线段AB上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10
故所求函数的值域为：[10，+∞）
例求函数y=

x
2
?6x?13
+
x
2
?4x?5
的值域
22
解：原函数可变形为：y=< br>(x?3)
?
(0?2)
+
(x?2)
?
(0?1)
22


上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，
由图可知当点P为线段与x轴的交点时， y
=
min
=∣AB∣
(3?2)
2
?
(2?1)
=
43
，
2
故所求函数的值域为[
43
，+∞）。
注：求两距离之和时，要将函数
9 、不等式法
利用基本不等式a+ b≥2
ab
，a+b+c≥3
3abc
（a，b，c∈
R
?
），求函数的最值，

其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要 求和为定值，不过有时须要用到
拆项、添项和两边平方等技巧。
例：


x
2
(3-2x)(0x?x+3-2x
3
)?1
3
a?b?c
3
(应用公式abc?()时，应注意使3者之和变成常数）
3

=x?x?(3-2x)?(
倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例 求函数y=
x?2
的值域
x?3
x?2
x?3
x?2?0 时，
1x?2?1
??x?2?
y
x?2
y?
x?2?0时 ，y=0
1
?0?y?
2
1
x?2
?2?0?y?
1

2
多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、 认真观察其题型特征，然后再选择恰
当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然 后才考虑用其他各种特
殊方法。


12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协
商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂

如：f

令t?
?
2
x?1?e
x
?x，求f(x).

x?1，则t?0

?

∴x?t?1


∴f(t)?e
t
2
?1
?t
2
?1

?x
2
?1
?
x?0
?

∴f(x)?e
x
2
?1

13. 反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

如：求函数f(x) ?
?
?
?
1?x
2
?x
?
?
?< br>x?0
?
的反函数

?
x?0
?

?
?
x?1
?
x?1
?
（答：f(x)?
?）

?
?
??x
?
x?0
?
?1< br>在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方
便。请 看这个例题：
(2004.全国理)函数
y?
A．y=x
2
－2x+2(x<1)
C．y=x
2
－2x (x<1)
x?1?1(x?1)
的反函数是（ B ）
B．y=x
2
－2x+2(x≥1)
D．y=x
2
－2x (x≥1)
当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想， 一番心血之后，如果不出现计算问题
的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。
下 面请看一下我的思路：
原函数定义域为 x〉=1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D.现在看值域。原函数至于
为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.
我题目已经做完了， 好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？
14. 反函数的性质有哪些？
反函数性质：
1、 反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）
2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）
3、 反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x
对称
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y?f(x)的定义域为A，值域为C，a?A，b?C，则f(a)=b?f(b)?a


?f
?1
?
f(a)
?
?f
?1
(b)?a，ff
?1
(b)?f(a)?b

由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如
（04. 上海春季高考）已知函 数
f(x)?log
3
(
?1
??
4
?2)
，则方程
f
x
?1
(x)?4
的解
x?
____ ______.
15 . 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法有三种：
(1)定义法：
根据定 义，设任意得x
1
,x
2
，找出f(x
1
),f(x
2
)之间的大小关系

可以变形为求
f(x
1
)< br>f(x
1
)?f(x
2
)
的正负号或者与1的关系
f(x
2
)
x
1
?x
2
(2)参照图象：
①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相< br>同的单调性； （特例：奇函数）
②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x )在关于点(a，0)的对称区间里具
有相反的单调性。（特例：偶函数）
(3)利用单调函数的性质：
①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的 < br>②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是
反向变化的。
③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们 同向变化；（函数相加）
④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2( x)和它们同向变化；如果负
值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和 它们反向变化；（函数相乘）
⑤函数f(x)与
1
f(x)
在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),< br>φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ
( x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变< br>化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）
－1
⑦若 函数y＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f(y)也是严格单调的，而且，它们的
增减性相同。

f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x)

都是正
增
增
减
减

增
减
增
减
增
减
减
增
增


减
数
增


减
如：求y?log
1
?x
2
?2x
2
??


（设u??x
2
?2x，由u?

且log
1
u?，u??
?
x?1
?
?1，如图：

2
2
u




O 1 2 x



当x?(0，1]时，u?，又log
1
u?，∴y?

2

当x?[1，2)时，u?，又log
1
u?，∴y?

2
∴……）


16. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

??
零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？


如：已知a?0，函数f(x)?x?ax在1，??上是单调增函数，则a的最大

值是（ ）
A. 0

（令f'(x)?3x?a ?3
?
x?
2
3
?
?

?
?a
??
a
?
??
x?
?
?0

3
??
3
?

则x??
aa

或x?
33
a
?1，即a?3

3

由已知f(x)在[1，??)上为增函数，则
∴a的最大值为3）
17. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）

若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称


若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称

注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶 函数；一
个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。

a·2
x
?a?2
为奇函数，则实数a?

如：若f(x)?
x
2?1

（∵f(x)为奇函数，x?R，又0?R，∴f(0)?0


a·2
0
?a?2
?0，∴a?1）

即
2
0
?1

2
x
，

又如：f(x)为定义在(?1，1)上的奇函数，当x?(0，1)时，f(x)?
x
4?1
求f(x)在
?
?1，1
?
上的解析式。

2
?x

（令x?
?
?1，0
?
， 则?x?
?
0，1
?
，f(?x)?
?x

4?1
2
?x
2
x
??

又f(x)为奇函数，∴f(x)??
?x

x
4?11?4

?
2
x
?
?
x
?
4?1

又f(0)?0，∴f(x)?
?
x
?
2
?
?4
x
?1
判断函数奇偶性的方法
x?(?1，0)
x?0x?
?
0，1
?
）

一、 定义域法
一个函 数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.
若函数的定义域不 关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
二、 奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原 点对称的前提下，计算
f(?x)
，然后根据函数的奇偶性的定义判
断其奇偶性.
这种方法可以做如下变形
f(x)+f(-x) =0 奇函数
f(x)-f(-x)=0 偶函数

f(x)
?1 偶函数
f(-x)
f(x)
??1 奇函数
f(-x)
三、 复合函数奇偶性

f(g)
奇
奇
偶
偶
g(x)
奇
偶
奇
偶
f[g(x)]
奇
偶
偶
偶
f(x)+g(x)
奇
非奇非
偶
非奇非
偶
偶
f(x)*g(x)
偶
奇
奇
偶






18.
你
熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T（T?0），在定义域内总有f
?
x ?T
?
?f(x)，则f(x)为周期

函数，T是一个周期。）

如：若f
?
x?a
?
??f(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T?2a为f(x)的一个周期）

我们在做题的时候， 经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这
f(x)?f( x?t)?0
?
时说这个函数周期2t. 推导：
f(x?t)?f(x?2t)?0
?
??f(x)?f(x?2t)
，
?
同时可能也会遇到这种样子 ：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：
函数 f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，
f(x)=f(2 a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。

又如： 若f(x)图象有两条对称轴x?a，x?b
即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b? x)
?
f(x)?f(2a?x)
?
??
??
??f(2a ?x)?f(2b?x)
?
f(x)?f(2b?x)
?
令t?2a?x,则 2b?x?t?2b?2a,f(t)?f(t?2b?2a)
即f(x)?f(x?2b?2a)所以,函数f(x)以2|b?a|为周期(因不知道a,b的大小关系,
为保守起见,我加了一个 绝对值

如：





19. 你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称
联想点（x,y）,(-x,y)

f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称
联想点（x,y）,(x,-y)

f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称
联想点（x,y）,(-x,-y)

f(x)与f
?1
(x)的图象关于直线y?x对称
联想点（x,y）,(y,x)

f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称
联想点（x,y）,(2a-x,y)

f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称
联想点（x,y）,(2a-x,0)

y?f(x?a)
左移a(a?0)个单位

将y?f(x)图象????????

??
y?f(x?a)
右移 a(a?0)个单位
上移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b

??? ???????
下移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b
（这是书上的方法，虽 然我从来不用， 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种
题目，其实根本不用这么麻烦。你要 判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令
y-b=0,x+a=0,画出点 的坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）
注意如下“翻折”变换：
f(x)???|f(x)|把x轴下方的图像翻到上面

f(x)???f(|x|)把y轴右方的图像翻到上面


如：f(x)?log
2
?
x?1
?

< br>作出y?log
2
?
x?1
?
及y?log
2
x?1的图象


y

y=log
2
x


O 1 x



19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
(k<0) y

(k>0)


y=b
O’(a,b)

O x

x=a

（1）一次函数：y?kx?b
?
k?0
?


（2）反比例函数：y?
的双曲线。

(k为斜率，b为直线与y轴的交点)
kk
k?0推广为y?b?
???< br>k?0
?
是中心O'(a，b)

xx?a

b
?
4ac?b
2
?

（3）二次函数y?ax?bx?c
?
a?0
?
?a
?x?图象为抛物线

?
?
??
2a4a
2
2< br>?
b4ac?b
2
?
b
，

顶点坐标为
?
?
?
，对称轴x??

4a
?
2a
?
2a

开口方向：a?0，向上，函数y
min
4ac?b
2
?

4a

a?0，向下，y
max
4ac?b
2
?

4a
根的关系：x?
?b?
2a
bc
x
1
?x
2
??,x
1
?x
2
?,|x
1
? x
2
|?
aa|a|
二次函数的几种表达形式：
f(x)?ax2
?bx?c(一般式)

f(x)?a(x?m)
2
?n(顶 点式，（m，n）为顶点
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)( x
1
,x
2
是方程的2个根）
f(x)?a(x?x
1)(x?x
2
)?h(函数经过点（x
1
,h)(x
2
,h)

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax
2?bx?c?0，??0时，两根x
1
、x
2
为二次函数y?ax
2
?bx?c的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax
2
?bx?c?0(?0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。
b
） fmax?f(m),fmin?f(n)
2a
b
区间在对称轴右边（m??） fmax?f(n),fmin?f(m)
2a
b
区间在对称轴2边 （n???m）

2a
4
a
c?b
2
fmin?,fma x?max(f(m),f(n))
4a
也可以比较m,n和对称轴的关系， 距离越远，值越大
区间在对称轴左边（n??
(只讨论a?0的情况）
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。

?
??0
?
?
b
2

如：二次方程ax?bx?c?0的两根都大于k?
?
??k

2a
?
?
?
f(k)?0
y


(a>0)


O k x
1
x
2
x


一根大于k，一根小于k?f(k)?0

?
??0
?< br>b
?
?n
?
m??
在区间（m，n）内有2根?
?< br>2a
?
f(m)?0
?
?
?
f(n)?0
在 区间（m，n）内有1根?f(m)f(n)?0


（4）指数函数：y?a
x
?
a?0，a?1
?


（5）对数函数y?log
a
xa?0，a?1

由图象记性质！ （注意底数的限定！）
y
y=a
x
(a>1)
(0a
x(a>1)
1

O 1 x

(0??


（6）“对勾函数”y?x?
k
?
k?0
?

x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注
y
意等号成立的条件）







?k

O x
k

20. 你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a
0
?1(a?0)，a
?p
?

a
m
n
1
(a?0)

a
p
?a
n
m
(a?0)，a
?
m
n
?
1
n
a
m
(a?0)


对数运算：log
a
(M?N)?log
a
M?log
a
N
?
M?0， N?0
?


log
a
M1
?log
a
M?log
a
N，log
a
n
M?log
a< br>M

Nn
log
a
x

对数恒等式：a?x

对数换底公式：log
a
b?

log
c
b
n
?log
a
m
b
n
?log
a
b
log
c
am
1
loga
x?
log
x
a


21. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）

如：（1）x? R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，证明f(x)为奇函数。


（先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，……）


（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。


（先令x?y??t?f
?
(?t)(?t)
?
? f(t·t)


∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)


∴f(?t)?f(t)……）

（3）证明单调性：f(x
2
)?f
?
x
2
?x
1
?
?x
2
?……

（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了
??

1、
2、
3、
代y=x，
令x=0或1来求出f(0)或f(1)

求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x
1



几类常见的抽象函数
1. 正比例函数型的抽象函数
f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）
2. 幂函数型的抽象函数
f（x）＝x
a
----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（
3. 指数函数型的抽象函数
f（x）＝a
x
------------------- f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝
4. 对数函数型的抽象函数
x
f(x)
）＝
y
f(y)
f(x)

f(y)
f（x）＝log
a
x（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x ）＋f（y）；f（
5.

三角函数型的抽象函数
f（x）＝tgx-------------------------- f（x＋y）＝
x
）＝ f（x）－f（y）
y
f(x)?f(y)

1?f(x)f(y)
f（x）＝cotx ------------------------ f（x＋y）＝
f(x)f(y)?1

f(x)?f(y)

例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f （x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，
f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.
分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f （x
2
）＝f[（x
2
－x
1
）＋x
1
] ＝f（x
2
－
x
1
）＋f（x
1
））；再根据区间 求其值域.

例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f （y），且当x>0时，
f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a
2
－2a－2）<3的解.
分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.

例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1） ＝1，f（27）
＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].
（1） 判断f（x）的奇偶性；
（2） 判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；
（3） 若a≥0且f（a＋1）≤
3
9
，求a的取值范围.
分析：（1）令y＝－1；

（2）利用f（x
1
）＝f（
x
1
x
·x
2
）＝f（
1
）f（ x
2
）；
x
2
x
2
（3）0≤a≤2.

例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x< br>1
≠x
2
，使得f（x
1
）
≠f（x
2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：
（1） f（0）；
（2） 对任意值x，判断f（x）值的符号.
分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.

例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a） f
（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明 理
由.
分析：先猜出f（x）＝2
x
；再用数学归纳法证明.

例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：
（1） f（1）；
（2） 若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.
分析：（1）利用3＝1×3；
（2）利用函数的单调性和已知关系式.

例7设函数y＝ f（x）的反函数是y ＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a
＋b）＝g（a）·g（b）是否正确 ，试说明理由.
分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，
进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]….

例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：
① x
1、x
2
是定义域中的数时，有f（x
1
－x
2
）＝f(x
1
)f(x
2
)?1
；
f(x
2
)?f(x
1
)
② f（a）＝ －1（a＞0，a是定义域中的一个数）；
③ 当0＜x＜2a时，f（x）＜0.
试问：
（1） f（x）的奇偶性如何？说明理由；
（2） 在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.
分析：（1）利用f [－（x
1
－x
2
）]＝ －f [（x
1
－x
2
）]，判定f（x）是奇函数；
（3） 先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增
函数.
对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些
抽象函数问题， 对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行
适当变通，去寻求特殊模型 ，从而更好地解决抽象函数问题.
例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），

（1）
（2）
（3）
求证：f（1）＝f（－1）＝0；
求证：f（x）为偶函数；
若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－
1
）≤0.
2
分析：函数模型为：f（x）＝log
a
|x|（a＞0）
（1） 先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1；
（2） 令y＝ －1；
（3） 由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.

例10已知函数f（x）对一切实数x 、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当
x＜0时，f（x）＞1，求证：
（1） 当x＞0时，0＜f（x）＜1；
（2） f（x）在x∈R上是减函数.
分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；
（3） 受指数函数单调性的启发：
由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝
f(x)
，
f(y )
进而由x
1
＜x
2
，有
f(x
1
)＝f（x
1
－x
2
）＞1.
f(x
2
)
练习题：
1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（ ）
（A）f（0）＝0 （B）f（0）＝1
（C）f（0）＝0或1 （D）以上都不对
2. 若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（ ）
（A）f（1）＝0 （B）f（
1
）＝ f（x）
x
（C）f（
x
）＝ f（x）－f（y） （D）f（x
n
）＝nf（x）（n∈N）
y
3.已知函数f（x）对一切 实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，
f（x）＞1，则 当x＞0时，f（x）的取值范围是（ ）
（A）（1，＋∞） （B）（－∞，1）
（C）（0，1） （D）（－1，＋∞）
4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x
1、x
2
都有
f（x
1
－x
2
）＝
f (x
1
)?f(x
2
)
，则f（x）为（ ）
1?f(x
1
)f(x
2
)
（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y） ]，
则函数f（x）是（ ）
（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数

（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
参考答案：
1．A 2．B 3 ．C 4．A

5．B

23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的
R

弧长公式和扇形面积公式吗？

1弧度
11

（l??·R，S
扇
?l·R??·R
2
）
(和
O R
22
三角形的面积公式很相似， 可以比较记忆.要知道圆锥展开图面
积的求法)

aaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
1.用心感受数学，欣赏数学，掌握数学思想。 有位数学家曾说过：数学是用最小的空间集中了最大
的理想。
2.要重视数学概念的理解。高 一数学与初中数学最大的区别是概念多并且较抽象，学起来“味道”同以
往很不一样，解题方法通常就来 自概念本身。学习概念时，仅仅知道概念在字面上的含义是不够的，
还须理解其隐含着的深层次的含义并 掌握各种等价的表达方式。例如，为什么函数y=f(x)与y=f－1(x)
的图象关于直线y=x对 称，而y=f(x)与x=f－1(y)却有相同的图象；又如，为什么当f(x－1)=f(1－x)
时，函数y=f(x)的图象关于y轴对称，而y=f(x－1)与y=f(1－x)的图象却关于直线x=1对 称，不透彻
理解一个图象的对称性与两个图象的对称关系的区别，两者很容易混淆。
3.对数 学学习应抱着二个词——“严谨，创新”，所谓严谨，就是在平时训练的时候，不能一丝马虎，
是对就是 对，错了就一定要承认，要找原因，要改正，万不可以抱着“好像是对的”的心态，蒙混过
关。至于创新 呢，要求就高一点了，要求在你会解决此问题的情况下，你还会不会用另一种更简单，
更有效的方法，这 就需要扎实的基本功。平时，我们看到一些人，做题时从不用常规方法，总爱自
己创造一些方法以“偏方 ”解题，虽然有时候也能让他撞上一些好的方法，但我认为是不可取的。因
为你首先必须学会用常规的方 法，在此基础上你才能创新，你的创新才有意义，而那些总是片面“追
求”新方法的人，他们的思维有如 空中楼阁，必然是昙花一现。当然我们要有创新意识，但是，创新
是有条件的，必须有扎实的基础，因此 我想劝一下那些基础不牢，而平时总爱用“偏方”的同学们，
该是清醒一下的时候了，千万不要继续钻那 可怜的牛角尖啊!
4.建立良好的学习数学习惯，习惯是经过重复练习而巩固下来的稳重持久的条件反 射和自然需要。
建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是：多 质疑、勤
思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为 自
己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。另外还要保证每天有一定的自学时间，以便加宽知识面和培养自己再学习能力。
5.多听、多作、多想、多问：此“四多”乃培养数学能力的要诀 ，“听”就是在“学”，作是“练习”(作
课本上的习题或其它问题)，也就是把您所学的，应用到解决 问题上。“听”与“作”难免会碰到疑难，
那就要靠“想”的功夫去打通它，假如还想不通，解不来就要 “问”——问同学、问老师或参考书，务
必将疑难解决为止。这就是所谓的学问：既学又问。
6.要有毅力、要有恒心：基本上要有一个认识：数学能力乃是长期努力累积的结果，而不是一
朝一夕之 功所能达到的。您可能花一天或一个晚上的功夫把某课文背得滚瓜烂熟，第二天考背诵时
对答如流而获高 分，也有可能花了一两个礼拜的时间拼命学数学，但到头来数学可能还考不好，这
时候您可不能气馁，也 不必为花掉的时间惋惜，因为种什么“因”必能得什么“果”，只要继续努力，

持之有恒 ，最后必能证明您的努力没有白费!


最后祝各位考生：













古今名言
敏而好学，不耻下问——孔子
业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈
兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子
己所不欲，勿施于人——孔子
读书破万卷，下笔如有神——杜甫
读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹
立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修
读万卷书，行万里路——刘彝
黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿
书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦
书犹药也，善读之可以医愚——刘向

莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞
发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼
鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅
立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元
非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮
熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》
书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游
问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹
旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼
书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄




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