高中数学集合常见的题型-高中数学校本研修成果教学设计
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第一章 集合与函数概念
课时一：集合有关概念
1. 集合
的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些
东西，并且能判断一个给定的东西是
否属于这个整体。
2. 一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
3. 集合的中元素的三个特性：
（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集
合是确定的：属于或不
属于。例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所
有的人……
（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合
例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示：
{…}
如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
1）列举法：将集合中的元素一一列举出来
{a,b,c……}
2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。
4、集合的分类：
（1）有限集：含有有限个元素的集合
（2）无限集：含有无限个元素的集合
（3）空集：不含任何元素的集合 例：{x|x
2
=－5｝
5、元素与集合的关系：
（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a?A
（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A
? 注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
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课时二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
（1）
定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合
有包含关系，称集合A是集合B
的子集。记作：
A?B
（或
B
?
Ａ）
注意：
A?B
有两种可能（1）A是B的一部分，；
（2）A与B是同一集合。
?
B或B
?
?
A 反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
?
2．“相等”关系：A=B
(5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x
2
-1=0}
B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或
BA)
或若集合A?B，存在x
?
B且x
A，则称集合A是集合B的真子集。
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
?
有n个元素的集合，含有2
n
个子集，2
n-1
个真子集
课时三、集合的运算
运算类型 交 集 并 集
定 义
由所
有属于A且属于B由所有属于集合A或属
的元素所组成的集合,于集合B的元素所组成
叫做A,
B的交集．记作的集合，叫做A,B的并
A
?
B（读作‘A交B’），集．记作：A<
br>?
B（读作
补 集
全集：一般，若一个集合汉语我们
所研究问题
中这几道的所有元素，
我们就称这个集合为全集，记作：U
设S是一个集合，A是S的一个子
集，
由S中所有不属于A的元素组成的
集合，叫做S中子集A的补集（或
即A
?
B=｛x|x
?
A，且‘A并B’），即A
?
B
余集）记作
C
S
A
，
x
?
B｝．
={x|x
?
A，或x
?
B})．
C
S
A=
{x|x?S,且x?A}
韦恩图示
A
B
A
B
S
A
图1
图2
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性 质 A ∩ A=A
A ∩Φ=Φ
A
∩B=B
?
A
AUA=A AUΦ=A
(C
u
A)∩(C
u
B)= C
u
(AUB)
AUB=BUA
AUB
?
Ａ
(C
u
A) U
(C
u
B)= C
u
(A∩B)
AU(C
u
A)=U
A∩(C
u
A)=Φ． A
∩B
?
A A ∩B
?
B AUB
?
B
课时四：函数的有关概念
1． 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对
应关系f，
使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和
它对应，
那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：
y=f(x)，x∈A．
（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A
}
叫做函数的值域．
2． 函数的三要素：定义域、值域、对应法则
3．
函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域
（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图
像可
以是连续的曲线、直线、折线、离散的点
等等。
（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定
义域的特征。
4、函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数
y=f(x)
, (x
∈A)中的
x
为横坐标，
函数值
y
为纵坐标的点P
(x
，
y)
的集合C，叫做函数
y=f(x),(x
∈
A)的图象．C上每一点的坐标
(x
，
y)
均满足函数关系
y=f(x)
，反
过来，以满足
y=f(x)
的每一组有序实数对
x
、y
为坐标的点
(x
，
y)
，均在C上 .
(2)
画法
A、描点法： B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换。
（3）函数图像变换的特点：
1）函数y=f(x)
关于X轴对称y=-f(x)
2）函数y=f(x) 关于Y轴对称y=f(-x)
3）函数y=f(x) 关于原点对称y=-f(-x)
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课时五：函数的解析表达式，及函数定义域的求法
1、函数解析式子的求法
（1）
、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关
系时，一是要求出它们之间的对应法
则，二是要求出函数的定义域.
（2）、求函数的解析式的主要方法有：
1）代入法：
2）待定系数法：
3）换元法：
4)拼凑法：
2．定义域：能使函数式有意义的实数
x
的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过
四则运算结合而成的.那么，它的定义域
是使各部分都有意义的
x
的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
3、相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；
②定义域一致
(两点必须同时具备)
4、区间的概念：
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示
课时六：
1．值域 : 先考虑其定义域
（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；
（2）反表示法：
针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成X关于Y
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的函数关系式，由X的范围类似求Y的范围。
(3)配方法：针对二次
函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的
值域，注意定义域的范围。
(4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的
类型。
课时七
1.分段函数
（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
（2）各部分的自变量的取值情况．
（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则
y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称
为f、g的复合函数。
（4）常用的分段函数
1）取整函数：
2）符号函数：
3）含绝对值的函数：
2．映射
一般地，设A、B是两个非
空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，
使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确
定的元素y与之对
应，那么就称对应f：A
?
B为从集合A到集合B的一个映射。记作
“f（对应
关系）：A（原象）
?
B（象）”
对于映射
f
：
A
→
B
来说，则应满足：
(1)集合
A
中的每一个元素，在集合
B
中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合
A
中不同的元素，在集合
B
中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合
B
中的每一个元素在集合
A
中都有原象。
注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说
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的。所以函数是映射，而映射不一定的函数
课时八函数的单调性(局部性质)及最值
1、增减函数
（1）设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内 的
任意两个自变量x
1
，x
2
，当x
1
时，都有f(x
1
)
)，那么就说f(x)
在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
（2）如果对于区间D上的任意两个自 变量的值x
1
，x
2
，当x
1
时 ，都有
f(x
1
)
＞
f(x
2
)，那么就说
f(x)
在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)
的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单
调不减两种
2、 图象的特点
如果函数
y=f(x)
在某个区间是增函数或减函数，那 么说函数
y=f(x)
在这一
区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图 象从左到右是上升的，
减函数的图象从左到右是下降的.
3、函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1 任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
；
○
2 作差f(x
1
)－f(x
2
)；
○
3 变形（通常是因式分解和配方）；
○
4 定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；
○
5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
○
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数< br>f
[
g(x)
]的单调性与构成它的函数
u=g(x)
，y=f(u)
的单调性密切
相关，其规律：“同增异减”
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注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间
,不能把单调性相同的区间
和在一起写成其并集.
课时九：函数的奇偶性（整体性质）
（1）、偶函数
一般地，对于函数
f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，
那么f(x)就叫做偶函数．
（2）、奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f
(x)，
那么f(x)就叫做奇函数．
（3）、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则
○
是非奇非偶
的函数；若对称，则进行下面判断；
2确定f(－x)与f(x)的关系；
○
3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) =
0，则f(x)是偶
○
函数；
若f(－x) =－f(x) 或
f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇
函数．
（4）利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性
1）在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；
奇函数的加减仍为奇函数；
奇数个奇函数的乘除认为奇函数；
偶数个奇函数的乘除为偶函数；
一奇一偶的乘积是奇函数；
2）复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇。
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数
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的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，
(1)再根据定义判定;
(2)由
f(-x)
±
f(x)=0或
f(x)
／
f(-x)=
±1来判定;
(3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
课时十、函数最值及性质的应用
1、函数的最值
1
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
○
2 利用图象求函数的最大（小）值
○
3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
○
如果函数y=f(x
)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数
y=f(x)在x=b处有最大值
f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数
y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
2、函数的奇偶性与单调性
奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；
偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。
3、判断含糊单调性时也可以用作商法，
过程与作差法类似，区别在于作差法是
与0作比较，作商法是与1作比较。
4、绝对值函数求最值，先分段，再通过各段的单调性，或图像求最值。
5、在判
断函数的奇偶性时候，若已知是奇函数可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0
并不一定可以判断函
数为奇函数。（高一阶段可以利用奇函数f(0)=0）。
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课时十四
1、 指数与指数幂的运算：
复习初中整数指数幂的运算性质：
mnm+n
a*a=a
mnmn
(a)=a
nnn
(a*b)=ab
2、根
式的概念：一般地，若
x
n
?a
，那么
x
叫做
a<
br>的
n
次方根，其中
n
>1，且
n
∈
*
N
．
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。
此
时，a的n次方根用符号 表示。
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反
数。此时正数
a的正的n次方根用符号 表示，负的n的次方根用符号
表示。正的n
次方根与负的n次方根可以合并成 （a>0）。
注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
n
0?0
。
当
n
是奇数时，
n
a
n
?a
，当
n是偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
?
a(a?0
)
?a(a?0)
?
式子
叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。
3、 分数指数幂
正数的分数指数幂的
a
m
n
?a(a?0,m,n?N,n?1)
，
a
n
m*
?
m
n
?
1
a
m
n
?
1
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
4、 有理数指数米的运算性质
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（1）
a
·
a
rr
?a
r?s
(a?0,r,s?R)
；
(a?0,r,s?R)
；
rsrs
(a)?a
（2）
rrs
(ab)?aa
（3）
(a?0,r,s?R)
．
5、无理数指数幂
a
一般的，无理数指数幂
a
（a>0
,a是无理数）是一个确定的实数。有理数指
数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。
课时十五：指数函数的性质及其特点（1）
1、指数函数的概念：一般
地，函数
y?a
x
(a?0,且a?1)
叫做指数函数，其中x是自变
量，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？
2、在同以坐标平面内画出下列函数的图像：
（1） （2）
（3） （4） （5）
图像特征
a>1 a>1
向Ｘ、Ｙ轴正负方向无限延伸
图像关于原点和Y轴不对称
函数图像都在X轴的上方
函数图象都过定点（0，1）
自左向右看图像逐渐自左向右看图像逐渐
上升。
上升。
在第一象限内图像纵在第一象限内图像纵
坐标都大于1。 坐标都大于1。
在第二象限内图像纵在第二象限内图像纵
坐标都小于1。 坐标都大于1。
图像特征
0
非奇非偶函数
函数的值域为R
+
a
0
=1
增函数 减函数
x
a>1
x>0，a>1
x<0，a <1
x
x>0， a <1
x<0，a>1
x
x
函数值开始
增加较慢，函数值开始减小极快，
图像上升的趋势愈来图像上升的趋势愈来
到了某一值后增长速
到了某一值后减小速
愈陡。 愈陡。
度极快。 度较慢。
课时十六：指数函数的性质及其特点（1）
指数函数的图象和性质
a>1
0
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66
55
44
33
22
1
1
1
1
-4-2
0
-1
246
-4-2
0
-1
246
定义域 R 定义域 R
值域y＞0 值域y＞0
在R上单调递增 在R上单调递减
非奇非偶函数
非奇非偶函数
函数图象都过定点（0，1） 函数图象都过定点（0，1）
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是
[
f(a),f(b)]
或
[f(b),f(a)]
；
（2）若
x?
0
，则
f(x)?1
；
f(x)
取遍所有正数当且仅当
x?
R
；
（3）对于指数函数
f(x)?a
x
(a?0且a?1)，总有
f(1)?a
；
（4）当a>1时，若X
1
,则有f(X
1
)
)。
二、对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果
ax
?N
(a?0,a?1)
，那么数
x
叫做以
．
a
为底
．．
N
的对
数，记作：
x?log
aN
（
a
— 底数，
N
—
真数，
log
a
N
— 对数式）
说明：
○
1
注意底数的限制
a?0
，且
a?1
；
2
a
x
?N?log
a
N?x
；
○
3
注意对数的书写格式．
log
a
N
○
两个重要对数：
1 常用对数：以10为底的对数
lgN
；
○
2
自然对数：以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN
．
○
? 指数式与对数式的互化
幂值
真数
a
b
＝
N
?
log
a
N
＝ b
底数
指数 对数
（二）对数的运算性质
如果
a?0
，且
a?1
，
M?0
，
N?0
，那么：
1
log
a
(M
·
N)?
log
a
M
＋
log
aN
； ○
2
log
a
○
M
?
log
a
M
N
－
log
a
N
；
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3
log
a
M
n
?n
log
a
M
(n?R)
． ○
注意：换底公式
log
a
b?
log
c
b
（
a?0
，且
a?1
；
c?0
，且
c?1
；
b?0
）．
log
c
a
1
n
log
a
b
；（2）
log
a
b?
log
b
a
m<
br>利用换底公式推导下面的结论
（1）
log
a
m
b
n
?
．
（二）对数函数
1、对数
函数的概念：函数
y?log
a
x(a?0
，且
a?1)
叫
做对数函数，其中
x
是自变
量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：
○
1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：
y?2log
2
x
，
y?log
x
都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
5
5
2
对数函数对底数的限制：
(a?0
，且
a?1)
．
○
2、对数函数的性质：
a>1 0
3
2.
5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
-1
11
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
2
345678
-1
0
1
-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2.5
-2
-2.5
定义域x＞0
值域为R
在R上递增
函数图象都过定点（1，0）
定义域x＞0
值域为R
在R上递减
函数图象都过定点（1，0）
（三）幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如
y?x
?
(a?R)
的函数称为幂函数，其中
?
为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；
（2）
?
?0
时，幂函数的图象通过原点，并且在区间
[0,??)
上是增函数．特别
地，
当
?
?1
时，幂函数的图象下凸；当
0?
?
?
1
时，幂函数的图象上凸；
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（3）
?
?0
时，幂函数的图象在区间
(0,??)
上是减
函数．在第一象限内，当
x
从
右边趋向原点时，图象在
y
轴右方无限
地逼近
y
轴正半轴，当
x
趋于
??
时，
图象在x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴．
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