重点高中数学知识点总结(精华版)

重点高中数学知识点总结(精华
版)

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2

高中数学必修+选修知识点归纳
新课标人教A版





















- 0 -

一、集合
1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总
2、 一个函数的构 成要素为：定义域、对应关系、值
域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完
体叫做集合 。集合三要素：确定性、互异性、无
全一致，则称这两个函数相等.
序性。
2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个
集合相等。
3、 常见集合：正整数集合：< br>N
*
或
N
?
，整数集合：
§1.2.2、函数的表示 法
1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.
§1.3.1、单调性与最大（小）值
1、注意函数单调性的证明方法：
(1)定 义法：设
x
1
、x
2
?[a,b],x
1
?x2
那么
Z
，有理数集合：
Q
，实数集合：
R
.
4、集合的表示方法：列举法、描述法.
§1.1.2、集合间的基本关系
1、 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任
意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是
集合B的子集。记作
A?B
.
2、 如果集合
A?B
，但存在元素
x?B
，且
x?A
，
则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.
f(x
1
)?f(x
2
)?0?f(x)在[a,b]
上是 增函
数；
f(x
1
)?f(x
2
)?0?f(x)在[a ,b]
上是减函
数.
步骤：取值—作差—变形—定号—判断
格式：解：设
x
1
,x
2
?
?
a,b
?
且x
1
?x
2
，则：
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
=…
(2)导数法：设函数< br>y?f(x)
在某个区间内可
导，若
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为增函数；
若
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为减函数.
§1.3.2、奇偶性
3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：
?
.并规定：
空集合是任何集合的子集.
4、 如果集合A中含有n个元素，则集合A有
2
个子
集，
2?1< br>个真子集.
§1.1.3、集合间的基本运算
1、 一般地，由所有属于集合A或集 合B的元素组成
的集合，称为集合A与B的并集.记作：
A?B
.
2、 一 般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素
组成的集合，称为A与B的交集.记作：
A?B< br>.
3、全集、补集？
C
U
A?{x|x?U,且x?U}

§1.2.1、函数的概念
1、 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应
关系
f
，使对于集合A中的任意一个数
x
，在集
合B中都有惟一确定 的数
f
?
x
?
和它对应，那么就
称
f:A?B为集合A到集合B的一个函数，记
作：
y?f
?
x
?
, x?A
.

n
1、 一般地，如果对于函数
f
?
x
?
的定义域内任意一个
x
，都有
f
?
?x
?
?f
?
x
?
，那么就称函数
f
?
x< br>?
为
n
偶函数.偶函数图象关于
y
轴对称.
2、 一般地，如果对于函数
f
?
x
?
的定义域内任意一个
x，都有
f
?
?x
?
??f
?
x
?，那么就称函数
f
?
x
?
为
奇函数.奇函数图象关于原 点对称.
知识链接：函数与导数
1、函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义： < br>函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f( x)
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率< br>f
?
(x
0
)
，相应的切
线方程是
y?y< br>0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.




- 0 -

2、几种常见函数的导数
'
①
C
?0
；②
(x) ?nx
'
n'n?1
；
2、 当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
；
当
n
为偶数时，
a?a
.
3、 我们规定：
⑴
a
n
m
n
n
③
(sinx)?cosx
；
④
(cosx)??sinx
；
⑤
(a)?alna
； ⑥
(e)?e
；
x'xx'x
'
?a

m
n
y
y=ax
*
?
a?0,m,n?N
⑵
a
?n
,m?1
；
0?
a>1
1
o
x
1
1
'
⑦
(log
a
x )?
；⑧
(lnx)?

x
xlna
'
3、导数的运算法则
（1）
(u?v)?u?v
.
（2）
(uv)?uv?uv
.
'''
'''
1?
n
?
n?0
?
；
a
sr?s
4、 运算性质：
⑴
aa?a
⑵
a
r
r
?a?0,r,s?Q
?
；
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)
. （3）
()?
vv
2
4、复合函数求导法则
复合函数
y? f(g(x))
的导数和函数
y?f(u),u?g(x)
的导数间的关系为
y
x
?
?y
u
?
?u
x
?
，即
y
对
x
的导数等于
y
对
u
的导数与
u
对
x
的导数的
乘积.
解题步骤:分层—层层求导—作积还原.
5、函数的极值
(1)极值定义：
极值是在
x
0
附近所有的点，都有
f(x)
＜
f( x
0
)
，
则
f(x
0
)
是函数
f (x)
的极大值；
极值是在
x
0
附近所有的点，都有f(x)
＞
f(x
0
)
，
则
f(x
0
)
是函数
f(x)
的极小值.
(2)判别方法：
①如果 在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)
＞0，右侧
f
'
(x)
＜0，
那么
f(x
0
)
是极大 值；
②如果在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)
＜0，右侧
f
'
(x)
＞0，
那么
f(x
0)
是极小值.
6、求函数的最值
(1)求
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值（极大或者极小值）
??
s
?a
rs
?
a?0,r,s?Q
?
； rr
⑶
?
ab
?
?ab
?
a?0,b?0,r ?Q
?
.
r
§2.1.2、指数函数及其性质
1、记住图象：
y?a
?
a?0,a?1
?

x




2、性质：
§2.2.1、对数与对数运算
x
1、指数与对数互化式：
a?N?x?log
a
N
；
2、对数恒等式：
a


log
a
N
?N
.
a?1

0?a?1

图
象
1
-4-2
1
0
-1

-4-2
0
-1

(1)定义域：R
(2)将
y?f(x)
的各极值点与
f(a),f(b)
比较，其中
最大的一个为最大 值，最小的一个为极小值。
§2.1.1、指数与指数幂的运算
1、 一般地，如果
x?a
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根。
其中
n?1,n?N
?
.

n
性
（2）值域：（0，+∞）
质
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
(5)
x?0,a?1
;
x?0,0?a?1

x
x
(5)
x?0,0?a?1
;
x?0,a?1

x
x
3、基本性质：
log
a< br>1?0
，
log
a
a?1
.

- 1 -

4、运算性质：当
a?0,a?1,M?0,N?0
时：
⑴
log
a
?
MN
?
?log
a
M?log
a
N
；
⑵
log
a
?
?M
?
?
?log
a
M?log
a
N
；
?
N
?

n
⑶
log
a
M?nlog
a
M
.
5、换底公式：
log
a
b?
log
c
b

log
c
a

§3.1.1、方程的根与函数的零点
1、方程
f
?
x
?
?0
有实根
< br>?
函数
y?f
?
x
?
的图象与
x
轴 有交点

?
函数
y?f
?
x
?
有零点.
2、 零点存在性定理：
如果函数
y?f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断
的一条曲线，并且有
f
?
a
?
?f
?
b
?
?0
，那么函数
?
a?0,a?1,c?0,c?1,b?0
?
.
m
m
6 、重要公式：
log
a
n
b?log
a
b

n
7、倒数关系：
log
a
b?
1
?
a?0,a ?1,b?0,b?1
?
.
log
b
a
§2..2.2、对数函数及其性质

1、记住图象：
y?log
a
x
?
a?0,a?1
?< br>
y





2、性质：


图
-1
2.5
1.5
y=log
a
x
0o
y?f
?
x
?
在区间
?a,b
?
内有零点，即存在
c?
?
a,b
?
，
x
1
a>1
使得
f
?
c
?
?0< br>，这个
c
也就是方程
f
?
x
?
?0
的根.
第一章：空间几何体
1、空间几何体的结构
⑴
常见的多面体有： 棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：
圆柱、圆锥、圆台、球。

⑵棱柱：
有 两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且
每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

a?1

2.5
1.5
0?a?1

1
0.5
1
0
0.5
象
-0.5
1-1
0
-0.5
1
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2.5

-2
-2.5


(1)定义域：（0，+∞）
⑶棱台：
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面 与
截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

2、空间几何体的三视图和直观图 < br>把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投
影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射 下的投
影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。
性
（2）值域：R
，即x=1时，y=0
质
（3）过定点（1，0）
（4）在 （0，+∞）上是增函数 （4）在（0，+∞）上是减函数
(5)
x?1,log
a
x?0
； (5)
x?1,log
a
x?0
；
0?x?1,log
a
x?00?x?1,log
a
x?0


§2.3、幂函数
1、几种幂函数的图象：
3、空间几何体的表面积与体积

- 2 -

⑴圆柱侧面积；
S
侧面
?2
?
?r?l

则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。
⑶性质：
垂直于同一个平面的两条直线平行。
12、面面垂直：
⑴定义：
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面
角，就说这两个平面互相垂直。

⑵圆锥侧面积：
S
侧面
?
?
?r?l

⑶ 圆台侧面积：
S
侧面
?
?
?r?l?
?
?R?l< br>
⑷体积公式：
⑵判定：
一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。
⑶性质：
两个平面互相垂直，则一个平面内垂 直于交线的
直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。

直线与方程
1、倾斜角与斜率：
k?tan
?
?
2、直线方程：
⑴点 斜式：
y?y
0
?k
?
x?x
0
?

⑵斜截式：
y?kx?b

V
柱体
?S?h
；V
锥体
?
1
S?h
；
3
V
台体?
1
S
上
?S
上
?S
下
?S
下
h

3
??
y
2
?y
1

x
2
?x
1
⑸球的表面积和体积：
4
S
球
?4
?
R
2
，V
球
?
?
R3
.
3
第二章：点、直线、平面之间的位置关系
1、公理1：
如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条
直线在此平面内。
⑶两点式：
2、公理2：
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3 、公理3：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它
们有且只有一条过该点的公共直线。
y?y
1
y
2
?y
1
?

x?x
1
x
2
?x
1
⑷截距式：
xy
??1
ab
4、公理4：
平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这
两个角相等或互补。
⑸一般式：
Ax?By?C?0

3、对于直线：
6、线线位置关系：
平行、相交、异面。
7、线面位置关系：
直线在平面内、直线和平面平行、直
线和平面相交。
l
1
:y?k
1
x?b
1
,
l
2
: y?k
2
x?b
2
⑴
l
1
l
2
?
?
有：
8、面面位置关系：
平行、相交。
9、线面平行： ⑴判定：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则
该直线与此平面平行（简称线线平 行，则线面平行）。

⑵性质：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一
平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则
线线平行）。
?
k
1
?k
2
；
?
b
1
?b
2
⑵
l
1
和
l
2
相交
?k
1
?k
2
；
10、面面平行：
⑴判定：
一个平 面内的两条相交直线与另一个平面平行，
则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。
?
k
1
?k
2
ll
?
⑶
1
和2
重合；
?
b?b
2
?
1
⑷
l1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
4、对于直线： ⑵性质：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么
它们的交线 平行（简称面面平行，则线线平行）。
11、线面垂直：
⑴定义：
如果一条直线垂 直于一个平面内的任意一条直线，
那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，

l
1:A
1
x?B
1
y?C
1
?0,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
有：
- 3 -

?
A
1
B
2
?A
2
B
1
⑴
l
1
l
2
??
；
BC?BC
21
?
12
⑵
l
1
和
l
2
相交
?A
1
B
2
?A2
B
1
；
⑶
l
1
和
l
2< br>重合
?
?
d?r?相交???0
.
弦长公式：
l?2r
2
?d
2

?1?k
2
(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2

3、两圆位置关系：
d?O
1
O
2

⑴外离：
d?R?r
；
⑵外切：
d?R?r
；
⑶相交：
R?r?d?R?r
；
⑷内切：
d?R?r
；
⑸内含：
d?R?r
.
3、空间中两点间距离公式：
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
；
BC? BC
21
?
12
⑷
l
1
?l
2
? A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
.

5、两点间距离公式：
P
1
P
2
?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2


6、点到直线距离公式： d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
P
1
P
2
?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2?
?
z
2
?z
1
?
2

7、两平行线间的距离公式：
l
1
：
Ax?By?C
1< br>?0
与
l
2
：
Ax?By?C
2
?0
平行，
则
d?
C
1
?C
2
A?B
22< br>
统计
1、抽样方法：
①简单随机抽样（总体个数较少）
②系统抽样（总体个数较多）
③分层抽样（总体中差异明显）
注意：在N个个体的 总体中抽取出n个个体组成样本，
每个个体被抽到的机会（概率）均为
n
。
N





第四章：圆与方程
1、圆的方程：
⑴标准方程：
?
x?a
?
?
?< br>y?b
?
?r
2

22
其中圆心为
(a,b)
，半径为
r
.
⑵一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?0
.
其中圆心为
(?
22
D
22
2、直线与圆的位置关系 ,?
E
)
，半径为
r?
1
2
D
2?E
2
?4F
.
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种:
222
2、总体分布的估计：
⑴一表二图：
①频率分布表——数据详实
②频率分布直方图——分布直观
③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势
注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图：
①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据
的分布，以及中位数、众位数等。
②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大
书写，相同的数据重复写。
3、总体特征数的估计：
x?x?x???x
n
⑴平均数：
x?
123
；
n
取值为
x
1
,x
2
,?,x
n
的频率分 别为
p
1
,p
2
,?,p
n
，则其
平均数 为
x
1
p
1
?x
2
p
2
???x
n
p
n
；
注意：频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵ 方差与标准差：一组样本数据
x
1
,x
2
,?,x
n

d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
- 4 -

方差：
s
2
?
1
n
?
(x
i?1
n
2
i
?x)
；
标准差：
s?
1
n
?
(x
i?1
n
2
i< br>?x)

⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，
等于事件A，B发生的概率的和，
即：
P(A?B)?P(A)?P(B)

⑷如果事件
A
1
,A
2
,?,A
n
彼此互斥，则有：
P(A
1< br>?A
2
???A
n
)?P(A
1
)?P(A
2
)???P(A
n
)

⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称
这两个事件为对立事件。
①事件
A
的对立事件记作
A

P(A)?P(A)?1,P(A)?1?P(A)

注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的
稳定水平。
⑶线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：
y?bx?a
（最小二乘法）
n
?
x< br>i
y
i
?nxy
?
?
i?1
?
?< br>b?
n
2
注意：线性回归直线经过定
(x,y)
。
2
?
x?nx
?
i
?
i?1
?
?
?
a?y?bx
②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事
件。
?
必修4数学
知识点

第一章：三角函数
§1.1.1、任意角
1、 正角、负角、零角、象限角的概念.
2、 与角
?
终边相同的角的集合：

第三章：概率
1、随机事件及其概率：
随机事件A的概率：
P(A)?
m
,0?P(A)?1
.
n
?
??
?
?
?2k
?
,k?Z
?
.

§1.1.2、弧度制
1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度
的角.
2、
?
?
2、古典概型：
⑴特点：
①所有的基本事件只有有限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事
件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则
事件A发生的概率
P(A)?
m
.
n
l
.
r
3、弧长公式：
l?
n< br>?
R
?
?
R
.
180


3、几何概型：
⑴几何概型的特点：
①所有的基本事件是无限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑵几何概型概率计算公式：
P(A)?
d的测度
；
D的测度
n
?
R
2
1
?lR
. 4、扇形面积公式：
S?
3602
§1.2.1、任意角的三角函数
1、 设
?
是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P
?
x,y
?
，那么：
sin
?
?y,cos
?
?x,tan
?
?
2、 设点
A
?
x,y
y

x
那么：（设
?
为角
?
终边上任意一点，
其中测度根据题目确定，一般 为线段、角度、面积、
体积等。
4、互斥事件：
⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；
⑵如果事件
A
1
,A
2
,?,A
n
任意两个都是互斥事件，则称
事件
A
1
,A
2
,?,A
n
彼此互斥。

r?x
2
?y
2
）

sin
?
?
x
y
xy
cot
?
?

cos
?
?
，
tan
?
?
，，
y
r
r x
- 5 -

3、
sin
?
，cos
?
，
tan
?
在四个象限的符号和三角
函数线的 画
y
T
法.
P

§1.2.2、同角三角函数的
O
M
A
x
基本关系式
1、 平方关系：


5、诱导公式五：

??
?
sin
?
?
?
?
?cos
?,
?
2
?
?
?
?
cos
?
?
?
?
?sin
?
.
?
2
?

sin
2
?
?cos
2
?
?1
.
sin
?
2、 商数关系：
tan
?
?
.
cos
?
3、 倒数关系：
tan
?
cot
?
?1

§1.3、三角函数的诱导公式
（概括为
“奇变偶不变，符号看象限”
k?Z
）
1、 诱导公式一：
6、诱导公式六：
?
?
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
,
?
2
?

?
?
?
cos
?
?
?
?
??si n
?
.
?
2
?
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质
1、记住正弦、余弦函数图象：

y
y=sinx

?
3
?
-5
?
-
1

2
2
2
o
?
?-2
?
-3
?
-
?< br>2
?
5
?3
?

-4
?
-7
?
-3
?
-1
22
2
2

y

y=cosx
?
3
?
-5
?

-
-
?
2
1
3
?-3
?
2
?
2
-7
?
o
?
-2
?
-3
?
2
?5
?
-4
?
-1
2

2
2< br>2
sin
?
?
?2k
?
?
?sin
?
,
cos
?
?
?2k
?
?
?cos?
,
（其中：
k?Z
）
tan
?
?
?2k
?
?
?tan
?
.
2、 诱导公式二：
7
?
2
4
?
x
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
,

cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,

7
?
2
4
?
x
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
.


3、诱导公式三：
2、能 够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定
义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、
奇偶性、单调性、周期性.
3、会用五点法作图.
sin
?
?
?
?
??sin
?
,

cos
?
?
?
?
?cos
?
,

tan
?
?
?
?
??tan
?
.
4、诱导公式四：
y?sinx
在
x?[0,2
?
]
上的五个关键点为： < br>sin
?
?
?
?
?
?sin
?
,< br>
cos
?
?
?
?
?
??cos?
,

?
3
?
（0，0）（，，1）（，
?< br>，0）（，，-1）（，2
?
，0）.

22
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
.

§1.4.3、正切函数的图象与性质


1、记住正切函数的图象：
- 6 -

y
y=t anx
-
3
?
2
-
?
-
?
2o
?
2
?
3
?
2
x

3、正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

周期函数定义：对于函数
f
?
x
?
，如果存在一个非零常数T，使得 当
x
取定义域内的每一个值时，都有
f
?
x?T
?
?f
?
x
?
，那么函数
f
?
x
?
就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

y?sinx

y?cosx

y?tanx


图象

定义域
值域
x?2k
?
?

R

[-1,1]
?
2
R

[-1,1]

{x|x?
?
2
?k
?
,k?Z}

R



无
,k?Z时，y
max
?1
最值
x?2k
?
?
?
2

,k?Z时，y
mi n
??1
x?2k
?
,k?Z时，y
max
?1
x ?2k
?
?
?
,k?Z时，y
min
??1

周期性
奇偶性
2
T?2
?

奇
在< br>[2k
?
?
?
,2k
?
?
?
]上单调递增
2
T?2
?

偶
在
[2k?
?
?
,2k
?
]
上单调递增
T?
?

奇
单调性
在
(k
?
?
?
,k
?
?
?
)
上单调递增
22
k?Z

在
[2k
?
?
?
, 2k
?
?
3
?
]
上单调递减
在
[2k< br>?
,2k
?
?
?
]
上单调递减
22
?
对称性
对称轴方程：
x?k
?
?

2
k?Z

对称中心
(k
?
,0)

对称轴方程：
x?k
?

对称中心
(k
?
?
无对称轴
对称中心
(
?
2
,0)

k
?
2
,0)

§1.5、函数
y?Asin?
?
x?
?
?
的图象

1、对于函数：
- 7 -

y?Asin
?
?
x??
?
?B
?
A?0,
?
?0
?
的周期
T?
2
?
?

对于
y?Asin(
?x?
?
)
和
y?Acos(
?
x?
?
)
来
说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.
求函数
y?Asi n(
?
x?
?
)
图像的对称轴与对称中心，
只需令
?
x?
?
?k
?
?
?
2
2、能够讲出函数
y?sinx
的图象与
(k?Z)
与
?
x?
?< br>?k
?
(k?Z)

y?Asin
?
?
x?
?
?
?B
的图象之间的平移伸缩
变换关系.
① 先平移后伸缩：
解出
x
即可.
4、由图像确定三角函数的解析式
利用图像特征：
A?
y?sinx

平移
|
?
|
个单位

y?sin
?
x?
?
?

y?Asin
?
x?
?
?

y?Asin
?
?
x?
?
?

?
要根据周期来求,
?
要用图像的关键点来求.
第三章、三角恒等变换
§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、< br>sin
?
?
?
?
?
?sin
?
co s
?
?cos
?
sin
?

2、
sin< br>?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?< br>?cos
?
sin
?

3、
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

4、
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?sin
?

5、
tan
?
?
?
??
?
6、
tan
?
?
?
?
?
?
y
max
?y
min
y?y
min
，
B ?
max
.
22
（左加右减）

横坐标不变

纵坐标变为原来的A倍

纵坐标不变
横坐标变为原来的
|
平移
|B|
个单位

（上加下减）
1
?
|
倍
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B

tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?.
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
.

② 先伸缩后平移：
y?sinx

横坐标不变
y?Asinx

纵坐标变为原来的A倍
§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、
sin2
?
?2sin
?
cos
?
，
变形：
sin
?
cos
?
?
1
.
2
sin2
?

纵坐标不变
横坐标变为 原来的
|
平移
?
?
y?Asin
?
x

2、
cos2
?
?cos
?
?sin
?

22
1
?
|
倍
?2cos
2
?
?1

?1?2sin
2
?
.
变形如下：
2
?
?
1?cos2
?
?2cos
?
升幂公式：
?

2
?
?
1?cos2
?
? 2sin
?
个单位

y?Asin
?
?
x?
?
?

（左加右减）
平移
|B|
个单位

（上加下减）
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B

3、三角函数的周期，对称轴和对称中心
函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
，
x∈R(A,
?
,
?
为常数，且A≠0)的周期T?
数
y?tan(
?
x?
?
)
，
x ?k
?
?
常数，且A≠0)的周期
T?
2
?
；函< br>|
?
|
?
cos
2
?
?
1
(1?cos2
?
)
?
2
降幂公式：
?

2
1
?
sin
?
?(1?cos2
?
)
? 2
3、
tan2
?
?
?
2
,k?Z
(A, ω,
?
为
?
.
|
?
|
- 8 -
2tan
?
.
2
1?tan
?

4、
tan
?
?
sin2
?1?cos2
?

?
1?cos2
?
sin2
?
平面向量基本定理：如果
e
1
,e
2
是同一平面内的两个 不
共线向量，那么对于这一平面内任一向量
a
，
有且只有一对实数
?
1
,
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
.
§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表
1、
a?xi?yj?
?
x,y
?
.
§2.3.3、平面向量的坐标运算
1、 设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2< br>?
，则：
⑴
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
，
⑵
a?b ?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2< br>?
，
⑶
?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1
?
，
⑷
ab?x
1
y
2
?x
2
y
1
.
2、
A
?x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
, y
2
?
则：
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
.
△ABC中：
1、设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,C
?
x
3
,y
3
?
，则
⑴线段AB中点坐标为
§3.2、简单的三角恒等变换
1、 注意正切化弦、平方降次.

2、辅助角公式
y?asinx?bcosx?a< br>2
?b
2
sin(x?
?
)

（其中辅助 角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决
定,
tan
?
?
b
).
a
第二章：平面向量
1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.






2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.






向量数乘运算及其几何意义
1、 规定：实数
?
与向量
a
的积是一个向量，这种运
算叫做向量的数乘.记作：
?
a
，它的长 度和方向
规定如下：
⑴
?
a?
?
a
,
?
x
1
?x
2
2
y
2
，
,
y
1
?
2
?
⑵△ABC的重心坐标为
?
x
1
?x
2
?x
3
3
,
y
1< br>?y
3
2
?y
3
.
?
§2.4.1、平面向量数量积
1、
a?b?abcos
?
.
2、
a
在
b
方向上的投影为：
acos
?
.
3、
a?a
.
4、
a?
2
2
a
.
2
⑵当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
5、
a?b?a?b?0
.
§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、 设
a?
?
x
1
,y
1
?
, b?
?
x
2
,y
2
?
，则：
⑴
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反.
2、 平面向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当
且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
.
??
- 9 -

⑵
a?x
1
2
?y
1
2

rrr r
⑶
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

rrrr
⑷
ab?a?
?
b ?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

2、 设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则：
⑵已知三角形三边，求其它元素。
做题中两个定理经常结合使用
.
3、三角形面积公式：
S
?ABC
?
111
absinC ?bcsinA?acsinB

222
4、三角形内角和定理：
在△ ABC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)

?
.
.
AB?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y? x
2
?y
2
2
1
2
1
22
C?
A?B
??
?2C?2
?
?2(A?B)
2223、 两向量的夹角公式
rr
a?b

cos
?
?
rr
?
ab




5、一个常用结论：
在
?ABC
中，
a?b?sinA?sinB?A?B;

若
sin2A?sin2B,则A?B或A?B?
?

必修5数学
知识点
第一章：解三角形
1、正弦定理：
2
在三角函数中，
sinA?sinB?A?B
不成立。


第二章：数列
1、数列中
a
n
与
S
n
之间的关系：
.
特别注意，
abc
???2R
.
sinAsinBsi nC
（其中
R
为
?ABC
外接圆的半径）
?a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC;

,(n?1)
?
S
1
a
n
?
?
注意通项能否合并。
?
S
n
?S
n?1
,(n?2).
2、等差数列：
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前
一项的差等于同一个常数，即
a< br>n
－
a
n?1
=d ，（n≥
2，n∈N），
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数
a、A、b
成等差数列
?
?sinA?
abc
,sinB?,sinC?;

2R2R2R
?a:b:c?sinA:sinB:sinC.

用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；
⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它
元素。

2、余弦定理：
? A?
?
a
2
?b
2
?c
2
?2bccos A,
?
222
?
b?a?c?2accosB,

?
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC.
?
a?b

2
⑶通项公式：
a
n
?a
1
? (n?1)d?a
m
?(n?m)d

或
a
n
?pn?q(p、q是常数）.

⑷前
n
项和公式：
?
b
2
?c
2
?a
2
,
?
cosA?
2bc
?
a
2< br>?c
2
?b
2
?
,

?
cosB?
2ac
?
?
a
2
?b
2
?c
2< br>.
?
cosC?
2ab
?
用途：⑴已知三角形两边及其夹角， 求其它元素；

S
n
?na
1
?
n
?< br>n?1
?
n
?
a
1
?a
n
?
d?

22
⑸常用性质：
①若
m?n?p?q??
?< br>m,n,p,q?N
?
?
，则
- 10 -

a
m
?a
n
?a
p
?a
q
； < br>②下标为等差数列的项
?
a
k
,a
k?m
,a
k?2m
,?
?
，仍组成
等差数列；
③数列
?
?
a
n
?b
?
（
?
,b
为常数）仍为等差 数列；
④若
{a
n
}
、
{b
n
}
是等差数列，则
{ka
n
}
、
{ka
n
?pb< br>n
}

(
k
、
p
是非零常数)、
{ a
p?nq
}(p,q?N
*
)
、，…也成等
差数列。
⑤单调性：
?
a
n
?
的公差为
d
，则：
ⅰ）
d?0?
?
a
n
?
为递增数列；
ⅱ）
d?0?
?
a
n
?
为递减数列；
ⅲ）
d?0?
?
a
n
?
为常数列；
⑥数 列{
a
n
}为等差数列
?a
n
?pn?q
（p,q 是常数）
⑦若等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
，则
S
k
、
S
2k
?S
k
、
④若
?
a
n
?
是等比数列，则
?
ca
n
?
，

?
a
n
2
，
??
?
1
?

?
，
a
?
n
?
2
1
r
q ，q，，q
r
.
是等比数列，公比依次是
a(r?Z)
?
n
?
q
⑤单调性：
a
1
?0,q?1或a
1
?0,0?q?1
?
?< br>a
n
?
为递增数列；
a
1
?0,0?q?1或a1
?0,q?1?
?
a
n
?
为递减数列；
q?1?
?
a
n
?
为常数列；
q?0?
?
a
n
?
为摆动数列；
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
，则
S
k< br>、
S
2k
?S
k
、
S
3k
?S2k
… 是等差数列。
3、等比数列
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每 一项与它的前
一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
比数列。
S
3k
?S
2k
… 是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法
类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列< br>的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从
而根据规律写出此数列的一个通项。
类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前
n
项和
S
n
与
a
n
的关系，求数列
?
a
n
?
的通项
a< br>n
可用公式
G、b
成等比数列
?G ?ab,
⑵等比中项：若三数
a、
（
ab
同号）。反之不一定成立。
n?1n?m
⑶通项公式：
a
n
?a
1
q?am
q

2
,(n?1)
?
S
1
an
?
?
构造两式作差求解。
S?S,(n?2)
n?1
?
n

类型Ⅲ 累加法：
形如
a
n?1
?a
n
?f(n)
型的递推数列（其 中
f(n)
是关
1n
⑷前
n
项和公式：
S
n
?
⑸常用性质
a
1
?
1?q
1?q
n
?
?
a?aq

1?q
①若
m?n?p?q??< br>?
m,n,p,q?N
?
?
，则
a
m
?a< br>n
?a
p
?a
q
；
②
a
k
,a
k?m
,a
k?2m
,?
为等比数列，公比为
q(下标成
等差数列,则对应的项成等比数列)
③数列
?
?
a< br>n
?
（
?
为不等于零的常数）仍是公比为
q
的
等比数列；正项等比数列
?
a
n
?
；则
?
lga
n
?
是公差为
k
?
a
n
?a
n? 1
?f(n?1)
?
a?a?f(n?2)
?
n?1n?2
于
n
的函数）可
构造：
?

...
?
?
?
a
2
?a
1
?f(1)
类型Ⅳ 累乘法：
?
a
n?1
?
a?a?f(n)
?f(n)
?型的递推数列形如
n?1
（其
?
n
a
?
n?
lgq
的等差数列；
- 11 -

?
a
n
?
a
?f(n?1)
?
n?1
?a< br>n?1
?f(n?2)
?
中
f(n)
是关于
n
的函数）
可构造：
?
a
n?2

?
...?
?
a
2
?
a
?f(1)
?
1
类型Ⅴ 构造数列法：
㈠形如
a
n?1
?pa
n
? q
（其中
p,q
均为常数且
p?0
）
型的递推式：
（1）若
p?1
时，数列{
a
n
}为等差数列;
（2）若
q?0
时，数列{
a
n
}为等比数列;

类型Ⅶ 倒数变换法：
形如
a
n?1
?a
n
?pa
n?1
a
n
（
p
为常数且
p?0
） 的递推
式：两边同除于
a
n?1
a
n
，转化为
(a ,b
1
,b
2
,c为常数）
时，往往可将
a
n变成两项的差，
采用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项：
设
a
n
?
?
an?b
1
?
?
an?b
2
，通分整理后与原式相
比较，根据对应项系数相等得
?
?
c，从而可得
b
2
?b
1
cc11
=(?).

(an?b
1
)(an?b
2
)(b
2
?b
1
)an?b
1
an?b
2

常见的拆项公式有：
①
111
??；

n(n?1)nn?1
②
1111
?(?);

(2n?1)(2n?1)22n?12n?1
11
?(a?b);

a?b
a?b
11
??p
形式，
a
n
a
n?1
③
化归为
a
n?1
?pa
n
?q
型 求出
1
的表达式，再求
a
n
；
a
n



5、非等差、等比数列前
n
项和公式的求法
⑴错位相减法
①若数列
?
a
n
?
为等差数列，数 列
?
b
n
?
为等比数列，
则数列
?
an
?b
n
?
的求和就要采用此法.
②将数列
?
a
n
?b
n
?
的每一项分别乘以
?
b
n
?
的公比，
然后在错位相减，进而可得到数列
?
a
n
?b
n
?
的前
n
项
和.

⑶分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，
若将这类数列适当拆 开，可分为几个等差、等比或常
见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两
步：①找 通向项公式②由通项公式确定如何分组.

⑷倒序相加法
如果一个数列
?
a
n
?
，与首末两项等距的两项之和等于
首末两项之和，则可用把正 着写与倒着写的两个和式
相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为
倒序相加法。特征 ：
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?...

⑸记住常见数列的前
n
项和：
①
1?2?3? ...?n?
此法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的方
法
.
⑵裂项相消法
一般地，当数列的通项
a
n
?

n(n?1)
;

2
2
②
1?3?5?...?(2n?1)?n;

③
1?2?3?...?n?
2222
c

(an?b1
)(an?b
2
)
1
n(n?1)(2n?1).

6
第三章：不等式
§3.1、不等关系与不等式
- 12 -

1、不等式的基本性质
①（对称性）
a?b?b?a

②（传递性）
a?b,b?c?a?c

③（可加性）
a?b?a?c?b?c

（同向可加性）
a
?
b
,
c
?
d
?
a
?
c
?
b
?
d

（异向可减性）
a
?
b
,
c
?
d
?
a
?
c
?
b
?
d

④（可积性）
a
?
b
,
c
?0?
ac
?
bc

a
?
b
,
c
?0?
ac
?
bc

⑤
（同向正数可乘性）
a?b?0,c?d?0?ac?bd

（异向正数可除性）
a?b?0,0?c?d?
a
?
b

cd
求一元二次不等式
ax?bx?c?0(或?0)

2
(a?0,??b
2
?4ac?0)
解集的步骤：
一化：化二次项前的系数为正数.
二判：判断对应方程的根.
三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
规律：
当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.
6、高次不等式的解法：穿根法.
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿
（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的
解集.




7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
⑥（平方法则）
a?b? 0?a
n
?b
n
(n?N,且n?1)

⑦（开方法则）< br>a?b?0?
n
a?
n
b(n?N,且n?1)

⑧
（倒数法则）
a?b?0?

2、几个重要不等式
①< br>a?b?2ab
?
a，b?R
?
,（当且仅当
a?b
时取
22
1111
?;a?b?0??

abab
a
2
?b
2
.

?
号）. 变形公式：
ab?
2
②（基本不等式）
f(x)
?0?f(x)?g(x)?0
g(x)
?
f(x)?g(x)?0
f(x)
?0?
?
g(x)
?
g(x)?0
（时同理）
“?或?”
a?b
?ab

?
a，b?R?
?
,（当
2
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
9、指数不等式的解法：
⑴当
a?1
时,
a
f(x)且仅当
a?b
时取到等号）.
?
a?b
?
变形公式：
a?b?2ab

ab?
??
.

?
2
?
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最
大），要注意满足三个条件“一正 、二定、三相等”.

⑥
若ab?0,则
2
?a
g(x)
?f(x)?g(x)

f(x)
⑵当
0?a?1
时,
a?a
g(x)
?f(x)?g(x)

规律：根据指数函数的性质转化.
10、对数不等式的解法
⑴当
a?1
时,
ba
??2
（当仅当a=b时取等号）
ab
ba
若ab?0,则???2
（当仅当a=b时取等号）
ab
22
?
a?b
?
a?b
ab?
?
;

?
?
22
??
2
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x )?0

?
f(x)?g(x)
?
⑵当
0?a?1
时,
3、几个著名不等式
(a?b)
2
a?b?.

2
22
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0.

?
f(x)?g(x)
?
规律：根据对数函数的性质转化.
11、含绝对值不等式的解法：
5、一元二次不等式的解法
- 13 -

?
a(a?0)
⑴定义法：
a?
?
.

? a(a?0)
?
⑵平方法：
f(x)?g(x)?f
2
(x)?g< br>2
(x).

⑶同解变形法，其同解定理有：
①
x?a??a?x?a(a?0);

②
x?a?x?a或x??a(a?0);

③
f(x)?g(x)??g(x)?f(x)?g(x)(g(x)?0)

④
f(x)?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)??g(x)(g(x)?0)

规律：关键是去掉绝对值的符号.
12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：
规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中
取交集，最后取各段的并集.

13、含参数的不等式的解法
解形如
ax?bx?c?0
且含参数的不等式 时，要
对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：
⑴讨论
a
与0的大小；
⑵讨论
?
与0的大小；
⑶讨论两根的大小.

14、恒成立问题
⑴不等式
ax?bx?c?0
的解集是全体实数（或恒成
立）的条件是：
①当
a?0
时
?b?0,c?0;

2
2
f(x)?a
恒成立
?f(x)
max
?a;

⑷
f(x)?a
恒成立
?f(x)
min
?a;

f(x)?a
恒成立
?f(x)
min
?a.

专题一：常用逻辑用语
1、四种命题及其相互关系








四种命题的真假性之间的关系：
⑴、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
⑵、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性
没有关系．
3、充分条件、必要条件与充要条件
若
p?q
，但
q

p
，则
p
是
q
充分而不必要条件;
若
p

q
，但
q?p
，则
p
是
q
必要而不充分条件;
若
p?q
且
q?p
，则< br>p
是
q
的充要条件；
若
p

q
且
q

p
，则
p
是
q
的既不充分也不必要条
件.
4、复合命题
⑴复合命题有三种形式：
p
或
q
（
p?q
）；
p
且
q
（
p?q
）；非
p（
?p
）.
⑵复合命题的真假判断
“
p
或
q
”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；
“
p
且
q
”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；
“非
p
”形式复合命题的真假判断方法：真假相对.
5、全称量词与存在量词
⑴全称量词与全称命题
短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫做全称
量词，并用符号“
?
”表示.含有全称量词的命题，叫
做全称命题.
⑵存在量词与特称命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做< br>存在量词，并用符号“
?
”表示.含有存在量词的命题，
叫做特称命题.
⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定
①全称命题
p
：
?x?? ,p(x)
，它的否定
?p
：
- 14 -
②当
a?0
时
?
?
2
?
a?0

??0.
?
⑵不等式
ax?bx?c?0
的解集是全体实数（或恒成
立）的条件是：
①当
a?0
时
?b?0,c?0;

?
a?0
②当
a?0
时
?
?

? ?0.
?
⑶
f(x)?a
恒成立
?f(x)
max
?a;

?x
0
??,?p(x
0
).
全称命题的否定是特称命题．
②特称命题
p
：
?x
0
??,p(x
0
) ,
，它的否定
?p
：
?x??,?p(x).
特称命题的否定是全称 命题.
专题二：圆锥曲线与方程
1．椭圆



焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形


标准方程
x
2
y
2
?
2< br>?1
?
a?b?0
?

2
ab
y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
第一定义
范围
F
2
的距离之和等于常数 2
a
，即
|MF
1
|?|MF
2
|?2a
（
2a?|F
1
F
2
|
） 到两定点
F
1
、
?a?x?a
且
?b?y?b

?b?x?b
且
?a?y?a

?
1
?
? a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

顶点
?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?

轴长
对称性
焦点
焦距
?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?

长轴的长
?2a
短轴的长
?2b

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c(c2
?a
2
?b
2
)

cc
2
a
2
?b
2
b
2
e????1?
2
aa< br>2
a
2
a
(0?e?1)

离心率
（焦点）弦长公式
A(x
1,
y
1
), B(x
2,
y
2
)
，
AB?1?k
2
x< br>1
?x
2
?1?k
2
(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2

- 15 -

焦点的位置 焦点在
x
轴上

焦点在
y
轴上
图形

标准方程

x
2
y
2
??1
?
a?0,b?0
?
a
2
b
2
y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
第一定义
范围
顶点
轴长
对称性
焦点
焦距
F2
的距离之差的绝对值等于常数
2a
，即
|MF
1
|? |MF
2
|?2a
（
0?2a?|F
1
F
2
|
）到两定点
F
1
、

x??a
或
x?a
，
y?R

y??a
或
y?a
，
x?R

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

实轴的长
?2a
虚轴的长
?2b

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c(c2
?a
2
?b
2
)

cc
2
a
2
?b
2
b
2
e????1?
222
a aaa
y??
b
x

a


离心率
(e?1)

y??
a
x

b
渐近线方程
3．抛物线

图形




y
2
?2px

标准方程
y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

?
p?0
?

对称轴
焦点
?
p?0
?

x
轴
?
p?0
?

y
轴
?
p?0
?

?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
?
p
?
F
?
?,0
?
?
2
?
p
??
F
?
0,
?

2
??
p
??
F
?
0,?
?

2
??
准线方程
x??
p

2
x?
p

2
- 16 -
y??
p

2
y?
p

2

专题五：数系的扩充与复数
1、复数的概念
⑴虚数单位
i
；
⑵复数的代数形式
z?a?bi
1、基本计数原理
⑴ 分类加法计数原理：(分类相加)
做一件事情，完成它有
n
类办法，在第一类办法中 有
(a,b?R)
；
⑶复数的实部、虚部，虚数与纯虚数.
2、复数的分类
复数
z?a?bi
m
1
种不同的方法，在 第二类办法中有
m
2
种不同的方
法……在第
n
类办法中有< br>m
n
种不同的方法.那么完成
这件事情共有
N?m
1
?m
2
???m
n
种不同的方法.
⑵ 分步乘法计数原理：(分步相乘)
做一件事情，完成它需要
n
个步骤，做第一个步骤 有
?
a,b?R
?

?
实数
(b?0)
?
?
纯虚数
(a?0,b?0)

?
?
虚数
(b?0)
?
非纯虚数
(a?0,b?0)
?
?
3、相关公 式
⑴
a?bi?c?di?a?b,且c?d

⑵
a?bi?0?a?b?0

⑶
z?a?bi?
m
1
种不同的方法，做第二个步骤有
m
2
种不同的方
法……做第n
个步骤有
m
n
种不同的方法.那么完成这
件事情共有
N?m
1
?m
2
???m
n
种不同的方法.
⑸排列数公式：
m
①
A
n
?n
?
n?1
??
n?2
?
?
?
n?m?1
?

m
A
n
?
a
2
?b
2

n！
；
?
n?m
?
!
⑷
z?a?bi

z，z
指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为
共轭复数）.

4、复数运算
⑴复数加减法：
?
a?bi
?
?
?
c?di
?
?
?
a?c
?
?
?
b ?d
?
i
；
⑵复数的乘法：
n
②
A
n< br>?n!
，规定
0!?1
.
⑹组合数公式：
①
C< br>n
?
m
C
n
?
m
n
?
n? 1
??
n?2
?
?
?
n?m?1
?
或m!
n！
；
m!
?
n?m
?
!
?< br>a?bi
??
c?di
?
?
?
ac?bd
?
?
?
bc?ad
?
i
；
a?bi
?a?bi
??
c?di
?
?
⑶复数的除法：
c?di
?
c?di
??
c?di
?
?
0
mn?m
②
C
n
，规定
C
n
?1
.
?C
n
⑺排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序.
mmm
⑻ 排列与组合的联系：
A
n
，即排列就是先
?C
n
?A
m
?
ac?bd
?
?
?
bc?ad
?
i
?
ac?bd
?
bc?ad
i
c
2
?d< br>2
c
2
?d
2
c
2
?d
2

组合再全排列.
m
A
n
n?(n?1)?
L< br>?(n?m?1)n!
C?
m
??(m?n)
A
m
m ?(m?1)?
L
?2?1m!
?
n?m
?
!
m< br>n
6、复数的几何意义
复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中
x
轴叫
做复平面的实轴，
y
轴叫做复平面的虚轴.
一一对应
复数z?a?bi?????
复平面内的点
Z（a,b)
⑼排列与组合的两个性质性质
mmm?1mmm?1
排列
A
n
；组合
C
n
.

?1
?A
n
?mA
n?1
?C
n< br>?C
n

uuur
复数
z?a?bi?????
平面向量
OZ

一一对应


专题六：排列组合与二项式定理

⑽解排列组合问题的方法
①特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑
有限制 条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优
先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他
位置）.

②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再
- 17 -

把不符合条件的所有情况去掉）.
③相邻问题捆绑法（把相邻的若 干个特殊元素“捆绑”
为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，
最后再“松绑”，将 特殊元素在这些位置上全排列）.
④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某
些元 素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好
没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）.
⑤有序问题组合法.
⑥选取问题先选后排法.
⑦至多至少问题间接法.
⑧相同元素分组可采用隔板法.
⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，
平均分成n组问题别忘除以n！.
3、二项式定理
⑴二项展开公式：
⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件. 当
A、B
是互斥事件时，那么事件
A?B
发生（即
A、B
中有一个发生）的概率，等于事件
A、B
分别发
生的概率的和，即

P(A?B)?P(A)?P(B)
.
⑵对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事 件.事件
A
的对立事件通常记着
A
.
对立事件的概率和等于1.
P(A)?1?P(A)
.
⑶相互独立事件：事件
A
（或
B
）是否发生对事件
B
（或
A
）发生的概率没有影响，（即其中一 个事件是
否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两
个事件叫做相互独立事件. < br>当
A、B
是相互独立事件时，那么事件
A?B
发生
（即
A、B
同时发生）的概率，等于事件
A、B
分别发
生的概率的积.即 ?
a?b
?
n
0n1n?12n?22rn?rr
?C
n
a?C
n
ab?C
n
ab?L?C
n
ab

?L?C
n
b
nn
?
n?N
?
?
.

P(A?B)?P(A)?P(B)
.
若A、B两事件相互独立，则A与
B
、
A
与B、
A
与
B
也都是相互独立的.
⑷独立重复试验
①一般地，在相同条件下重复做的
n
次试验称为
n
次独立重复试验.
②独立重复试验的概率公式
如果在1次试验中某事件发生的概率是
p
，那么
在
n
次独立重复试验中这个试验恰好发生
k
次的概率

kkn?k
P(k)?Cp(1?p)
nn
⑵二项展开式的通项公式：
rn?rr
T
r?1
?C
n
ab
?
0?r?n, r?N,n?N
?
?
.主要用途
是求指定的项.
⑶项的系数与二项式系数
项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当
二项式的两 个项的系数都为1时，系数就是二项式系
数.如
在
(ax?b)
的展开式中 ，第
r?1
项的二项式系数
r
为
C
n
，第
r?1
项的系数为
Ca
r
n
n?r
n
1
b
；而
(x?)
n
的
x
r
?
k?0,1,2 ,Ln
?
.

展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为
正，而项的系数不一定为正.
⑷
?
1?x
?
的展开式：
n
1n?12n?2n0
?
1?x
?
n
?C
n
0
x
n
?C< br>n
x?C
n
x???C
n
x
，

2、离散型随机变量
⑴随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量
来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用
字母
X,Y,
?
,
?
等表示.
⑵离 散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可
以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型
随机变量.
⑶连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，
可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续
型随机变量.
⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联
系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用 变量表
示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以
按一定次序一一列出，而连续性随机 变量的结果不可
- 18 -
若令
x?1
，则有
12n
.
?
1?1
?
n
?2
n
?C
n
0
?C
n
?C
n
???C
n






1、基本概念

以一一列出.
若
X
是随机变量，则
Y
Y?aX?b(a,b
是常数）
也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）.
3、离散型随机变量的分布列
⑴概率分布（分布列）
⑷超几何分布
一般地, 在含有
M
件次品 的
N
件产品中，任取
n
件,其中恰有
X
件次品数,则事件< br>?
X?k
?
发生的
kn?k
C
M
C
N?M
概率为
P(X?k)?(k?0,1,2,L,m)
,于
n
C
N
设离散型随机变量
X
可能取的不同值为
x
1
,x
2
，…，
x
i
，…，
x
n
，
X
的每一个值
x
i
（
i?1,2,?,n
）的概率
P (X?x
i
)?p
i
，则称表
是得到随机变量
X
的概率分布如下：
X


0 1 …

m

X

x
1

x
2

…
x
i

…
x
n

P

p
1

p
2

…
p
i

…
p
n


0n?01n?1mn?m
C
M
C
N
C
M
C
N
C
M
C
N?M?M ?M

…

P
nnn
C
N
C
N
C
N
为随机变量
X
的概率分布，简称
X
的分布 列.
性质：①
p
i
?0,i?1,2,...n;
②
⑵两点分布
其中
m?min
?
M,n
?
,n≤N,M≤N,n,M,N?N
.
*
?
p
i?1
n
i
?1.

我们 称这样的随机变量
X
的分布列为超几何分布列,
且称随机变量
X
服从 超几何分布.
注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样；
如果随机变量
X
的分布列为
⑵超几何分布中的参数是
M,N,n.
其意义分别是

0 1
X

总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量.

p

4、离散型随机变量的均值与方差

P

1?p

⑴离散型随机变量的均值


一般地，若离散型随机变量
X
的分布列为
则称
X
服从两点分布，并称
p?P(X?1)
为成功概
率.
X

x
1

x
2

…
x
i

…
x
n

⑶二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在
P

p
1

p
2

…
p
i

…
p
n

n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
则称
kkn?k
P(X?k)?C
n
p(1?p).

E
?
X
?
?x
1
p
1
?x
2
p< br>2
?L?x
i
p
i
?L?x
n
p
n
为离散型
其中
k?0,1,2,...,n,q?1?p
，于是得到随机随机变量
X
的均值或数学期望（简称期望）.它反映了
变量
X
的 概率分布如下：
离散型随机变量取值的平均水平.
X

0 1 …
…
k
k
… n
00n
11n?1
P

C
n
pq

C
n
pq

C
n
pq
kn?k

…
C
n
pq

nn
0
性质：①
E(aX?b)?aE(X)?b.

②若
X
服从两点分布，则
E(X)?p.

③若
X~B?
n,p
?
，则
E(X)?np.

⑵离散型随机变量的方差
一般地，若离散型随机变量
X
的分布列为
我们称这样的随机变量
X
服从二项分布，记作
X~B
?
n,p?
，并称p为成功概率.
判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：
①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；
②重复性：即试验是独立重复地进行了
n
次;
③等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等.
注：⑴二项分布的模型是有放回抽样；
⑵二项分布中的参数是
p,k,n.

- 19 -
X

x
1

x
2

…
x
i

…
x
n

P

p
1

p
2

…
p
i

…
p
n

则称
D(X)?
?(x
i
?E(X))
2
p
i
为离散型随机变量
X
的
i?1
n
方差，并称其算术平方根
D(X)
为随机变量
X
的标
准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集
中与离散的程度 .

D(X)
越小，
X
的稳定性越高，波动越小，取值
越集中；
D(X)
越大，
X
的稳定性越差，波动越大，
取值越分散
.
性质：①
D(aX?b)?aD(X).

②若
X
服从两点分布，则
D(X)?p(1?P).

③若
X~B
?
n,p
?
，则
D(X)?np(1?P).

5、正态分布
：
2
n(ad?bc)
2
值
K?
，其中
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
2
n?a?b?c?d< br>为样本容量，K
2
的值越大，说明“X
与Y有关系”成立的可能性越大.
随机变量
K
越大，说明两个分类变量，关系越强；
反之，越弱。
2
K
2
?3.841
时，X与Y无关；
K
2
?3.8 41
时，X
与Y有95%可能性有关；
K?6.635
时X与Y有99%可能性有关.








2
- 20 -