【高一数学知识点总结】 高一数学知识点大全

圆梦教育中心 高一数学知识总结

必修一 一、集合

一、集合有关概念 集合的含义

集合的中元素的三个特性

(1)元素的确定性如世界上最高的山

(2)元素的互异性如由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如{a,b,c}
和{a,c,b}是表示同一个集合

集合的表示{ ? } 如{我校的篮球队员}，{太平洋, 大西洋, 印度洋, 北

冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法列举
法与描述法。 ◆ 注意常用数集及其记法

非负整数集（即自然数集） 记作N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法{a,b,c}

2）描述法将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方

法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}

3）语言描述法例{不是直角三角形的三角形} 4）Venn 图:

4、集合的分类

(1)有限集 含有有限个元素的集合 (2)无限集 含有无限个元素的集合

(3)空集 不含任何元素的集合 例{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系 “包含”关系—子集

注意A ?B 有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。

B 或B ?A 反之: 集合A 不包含于集合B, 或集合B 不包含集合A, 记作A ?

2．“相等”关系A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即① 任何一个集合是它本
身的子集。A ?A ②真子集:如果A ?B, 且A ≠ B那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B
A)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果A ?B 同时 B?A 那么A=B

不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 ◆ 有n 个元素的集
合，含有2n 个子集，2n-1个真子集

二、函数

1、函数定义域、值域求法综合

、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题
型及方法

B(或

5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x

a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b 属于Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a、b 属于Q)
(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b 属于Q) 指数函数对称规律

1、函数y=a^x与y=a^-x关于y 轴对称 2、函数y=a^x与y=-a^x关于x 轴对称

3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称 &对数函数y=loga^x

如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 1 log a (M ·N )=log a M ＋log a N ； ○

M

2 log a=log a M －log a N ； ○

N

3 log a M n=n log a M (n ∈R ) ． ○

注意换底公式

log c b

（a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0）． log a b=

log c a

幂函数y=x^a(a属于R) 1、幂函数定义一般地，形如y=x α(a ∈R ) 的函数称为幂函
数，其中α为常数． 2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0, +∞) 上是增函数．特别地，当
α>1时，幂函数的图象下凸；当0

1、函数零点的概念对于函数y=f (x )(x ∈D ) ，把使f (x )=0成立的实数x 叫做函
数y=f (x )(x ∈D ) 的零点。

2、函数零点的意义函数y=f (x ) 的零点就是方程f (x )=0实数根，亦即函数y=f (x )
的图象与x 轴交点的横坐标。

即方程f (x )=0有实数根?函数y=f (x ) 的图象与x 轴有交点?函数y=f (x ) 有零
点． 3、函数零点的求法

1 （代数法）求方程f (x )=0的实数根； ○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f (x ) 的图象联○

系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、二次函数的零点

二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0) ．

（1）△＞０，方程ax 2+bx +c=0有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，
二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程ax 2+bx +c=0有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，
二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程ax 2+bx +c=0无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无
零点．

三、平面向量

向量既有大小，又有方向的量． 数量只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素起点、方向、长度． 零向量长度为0的向量．

单位向量长度等于1个单位的向量． 相等向量长度相等且方向相同的向量 &向量的运算

加法运算

AB ＋BC ＝AC ，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。

已知两个从同一点O 出发的两个向量OA 、OB ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，
则以O 为起点的对角线OC 就是向量OA 、OB 的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边
形法则。 对于零向量和任意向量a ，有0＋a ＝a ＋0＝a 。 |a＋b|≤|a|＋|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。

减法运算

与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，－(－a) ＝a ，零向量的相反向
量仍然是零向量。 （1）a ＋(－a) ＝(－a) ＋a ＝0（2）a －b ＝a ＋(－b) 。

数乘运算

实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，|λa|＝|λ
||a|，当λ > 0时，λa 的方向和a 的方向相同，当λ

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的数量积

已知两个非零向量a 、b ，那么|a||b|cos θ叫做a 与b 的数量积或内积，记作a?b ，
θ是a 与b 的夹角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的
投影。零向量与任意向量的数量积为0。

a?b 的几何意义数量积a?b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘
积。 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 四、三角函数

1、善于用“1“巧解题

2、三角问题的非三角化解题策略 3、三角函数有界性求最值解题方法 4、三角函数向量
综合题例析 5、三角函数中的数学思想方法

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质

函 y=cos x y=tan x 数 y=sin x 性

质

图象

定义域 值域
R
R
?π?x x ≠k π+, k ∈Z
2
R
[-1,1]
当x=2k π+
[-1,1]
(k ∈Z)
当x=2k π(k ∈Z)时，
π
2
最
值
时，y max=1；当
x=2k π-
y max=1；当x=2k π+π
π
2
(k ∈Z)时，y min=-1．
2π

既无最大值也无最小
值
(k ∈Z)时，y min=-1．
周期性 奇偶性
2π
π
奇函数 偶函数 奇函数
ππ
在?2k π-,2k π+?
22在
[2k π-π,2k π](k ∈Z)
ππ
单(k ∈Z)上是增函数；在 上是增函数；在在 k π-, k π+?
22
调
[2k π,2k π+π]
π3π?性 ?
2k π+,2k π+? (k ∈Z)上是增函数． ?22(k ∈Z)上是减函数．
(k ∈Z)上是减函数．
对
称
中

心对

称

中

心

对

称

中

心

π对(k π,0)(k ∈Z)

k π+,0?(k ∈Z) 称2

对称轴性

π

对称轴x=k π(k ∈Z) x=k π+(k ∈Z)

2

?k π?

,0?(k ∈Z) 2无对称轴

必修四

角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α
为第几象限角．

{

第二象限角的集合为{αk ?360+90

第一象限角的集合为αk ?360

}

}

{}

第四象限角的集合为{αk ?360+270

终边在y 轴上的角的集合为{αα=k ?180+90, k ∈Z} 终边在坐标轴上的角的集合为
{α=k ?90, k ∈Z}

3、与角α终边相同的角的集合为{ββ=k ?360+α, k ∈Z}

第三象限角的集合为αk ?360 +180

4、已知α是第几象限角，确定

α

n ∈N)所在象限的方法先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半(n

*

轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为
在的区域．

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度． 口诀奇变偶不变，符号看象限．

公式一

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等 sin （2k π＋α）＝sin α cos
（2k π＋α）＝cos α tan （2k π＋α）＝tan α cot （2k π＋α）＝cot α 公式二

设α为任意角，π α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系 sin （π＋α）＝－
sin α cos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α cot （π＋α）＝cot α

公式三

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系 sin （－α）＝－sin α cos （－α）＝cos
α tan （－α）＝－tan α cot （－α）＝－cot α

公式四

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系 sin （π－α）＝sin
α cos （π－α）＝－cos α tan （π－α）＝－tan α cot （π－α）＝－cot α

公式五

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系

α

终边所落n

sin （2π－α）＝－sin α cos （2π－α）＝cos α tan （2π－α）＝－tan α cot
（2π－α）＝－cot α

公式六

π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系 sin （π2＋α）＝cos α cos
（π2＋α）＝－sin α tan （π2＋α）＝－cot α cot （π2＋α）＝－tan α

sin （π2－α）＝cos α cos （π2－α）＝sin α tan （π2－α）＝cot α cot
（π2－α）＝tan α

sin （3π2＋α）＝－cos α cos （3π2＋α）＝sin α tan （3π2＋α）＝－cot
α cot （3π2＋α）＝－tan α

sin （3π2－α）＝－cos α cos （3π2－α）＝－sin α tan （3π2－α）＝cot
α cot （3π2－α）＝tan α

(以上k ∈Z)

其他三角函数知识 同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式 倒数关系:

tan α ?cot α＝1 sin α ?csc α＝1 cos α ?sec α＝1 商的关系

sin αcosα＝tan α＝sec αcscα cos αsinα＝cot α＝csc αsecα 平方关
系

sin^2(α) ＋cos^2(α) ＝1 1＋tan^2(α) ＝sec^2(α) 1＋cot^2(α) ＝csc^2(α)

两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式

sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β sin （α－β）＝sin αcos β－cos α

sin β cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β cos （α－β）＝cos αcos β＋
sin αsin β

tan α＋tan β

tan （α＋β）＝—————— 1－tan α ?tan β

tan α－tan β

tan （α－β）＝—————— 1＋tan α ?tan β

倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式） sin2α＝2sin αcos α

cos2α＝cos^2(α) －sin^2(α) ＝2cos^2(α) －1＝1－2sin^2(α)

2tan α

tan2α＝————— 1－tan^2(α)

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cos α

sin^2(α2)＝————— 2

1＋cos α

cos^2(α2)＝————— 2

1－cos α

tan^2(α2)＝————— 1＋cos α

万能公式

⒌万能公式 2tan(α2)

sin α＝—————— 1＋tan^2(α2)

1－tan^2(α2)

cos α＝—————— 1＋tan^2(α2)

2tan(α2)

tan α＝—————— 1－tan^2(α2)

和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

α＋β α－β

sin α＋sin β＝2sin —----?cos —--- 2 2

α＋β α－β

sin α－sin β＝2cos —----?sin —---- 2 2

α＋β α－β

cos α＋cos β＝2cos —-----?cos —----- 2 2

α＋β α－β

cos α－cos β＝－2sin —-----?sin —----- 2 2

积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式

sin α ?cos β＝0.5[sin（α＋β）＋sin （α－β）] cos α ?sin β＝0.5[sin（α
＋β）－sin （α－β）] cos α ?cos β＝0.5[cos（α＋β）＋cos （α－β）] sin α ?sin
β＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos （α－β）]