高中理科数学知识点总结

新人教版高中数学知识点总结


高中数学 必修1知识点
第一章 集合与函数概念

【1.1.1】集合的含义与表示

（1）集合的概念
定义：研究对象统称为元素，元素组成的总体叫做集合（简称集）。
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
（2）常用数集及其记法
N
表示自然 数集，
N
?
或
N
?
表示正整数集，
Z
表示 整数集，
Q
表示有理数集，
R
表示实数集.
（3）集合与元素间的关系
如果
a
是集合
M
的元素，就说
a
属于
M
，记做
a?M
；如果
a
不是集合
M
的元素，就说
a
不属
于
M
，记做
a?M
，两者必居其一.
（4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
③描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。具体方法是：在花括号内先写上表
示 这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后面写出这个集合中元素所具
有 的共同特征。
{
x
|
x
具有的性质}， 其中
x
为集合的代表元素.
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
（5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集 .③不含有任何元素的集合
叫做空集(
?
).

【1.1.2】集合间的基本关系
（6）子集、真子集、集合相等
名称 记号 意义
(1)A
?
A
A中的任意元素都属于
B
(2)
??
性质 示意图
A?B

子集
（或
B?A)

A
?
B
?
A

(3)若
A?B
且
B?C
，则
A?C

(4)若
A?B
且
B?A
，则
A?B

（1）
??A
（A为非空子集）
?
A(B)
BA
或
真子
集
A?B
，但存在元素
x?B,且x?A

A中的任一元素都属于
BA
（或B
?
A）
?
(2)若
A?B
且
B?C
，则
A?C

???

集合
相等
A?B

B，B中的任一元素都属
于A
(1)A
?
B
(2)B
?
A
A(B)

1

子集：对于两个集合A,B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元 素，就说这两个集合有包含关
系，称集合A为集合B的子集，记作：
A?B
（或
B?A)

Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。 集合相等：如果集合A是集合B的子集(
A?B
)，且集合B是集合A的子集(
B ?A
)，此时，集合A
与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作：
A?B

真子集：如果集合
A?B
，但存在元素
x?B,且x?A
，称集合
A
是集合
B
的真子集，记作：
A
?
B
?
（或
B
?
A
）

?
空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记为
?
，空集是任何集合的子集。
（7）已知集合
它有
2
n
A
有
n(n?1)
个元素，则它有
2
n
个子集，它有
2
n
?1
个真 子集，它有
2
n
?1
个非空子集，





【1.1.3】集合的基本运算
?2
非空真子集.
（8）交集、并集、补集
名称 记号 意义 性质 示意图
交集
AIB

{x|x?A,
且
x?B}

{x|x?A,
或
x?B}

并集
AUB

AIA?A

（2）
AI???

（3）
AIB?A


AIB?B

（1）
AUA?A

（2）
AU??A

（3）
AUB?A


AUB?B

（1）
1.
AB

A
B


A?
?
C
U
A
?
??
2.
A?
?
C
U
A
?
?U

补集
C
U
A
{x|x?U,且x?A}

C
U
?
A?B
?
?
?
C
U
A
?
?< br>?
C
U
B
?
C
U
?
A?B
?
?
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?



并集：由所有属于集合A或属于集合B组成的 集合，称为集合A与B的并集，记作：
AUB
（读作“A并
B”）,即：
AUB
=
{x|x?A,
或
x?B}

交集：由属 于集合A且属于集合B所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：
AI
B”）,即： < br>B
（读作“A交
AIB
=
{x|x?A,
且
x?B}


2

全集：如果一个集合中含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。 < br>补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，
简称集合A的补集，记作：
C
U
A
，即

C
U
A
=
{x|x?U,且x?A}



【补充知识】
一、集合中元素的个数：用
n
（
P
）表示集 合
P
中元素的个数，
U?A?B?C
,
则
n
?U
?
?n
?
A
?
?n
?
B
?
?n
?
C
?
?n
?
A?B
?
?n
?
A?C
?
?n
?
B?C
?
?n
?
A?B?C
?

二、
（1）含绝对值的不等式的解法
不等式 解集
|x|?a(a?0)

|x|?a(a?0)

把
{x|?a?x?a}

x|x??a
或
x?a}

ax?b
看成一个整体，化成< br>|x|?a
，
|ax?b|?c,|ax?b|?c(c?0)

|x|?a(a?0)
型不等式来求解
（2）一元二次不等式的解法
判别式
??b
2
?4ac

二次函数
??0

??0

??0

y?ax
2
?bx?c(a?0)
的图象
O



一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的根 < br>?b?b
2
?4ac
x
1,2
?
2a
（其中
x
1
x
1
?x
2
??
b

2a
无实根
?x
2
)

{x|
x??
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集
{x|x?x
1
或
x?x
2
}

b
}

2a
R

ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集
{x|x
1
?x?x
2
}



3
?

?

〖1.2〗函数及其表示
【1.2.1】函数的概念
（1）函数的概念
①函数的定义：设
A
、
B
是两个非空的数集，如果按照某种对应关系
f
，使对于集合
A
中的任意一
个数
x
，在集合
B< br>中都有唯一确定的数
一个函数，记作：
f(x)
和它对应，那么就称
f :A?B
为集合A到集合B的
y?f(x),x?A.

其中，x叫做自变量 ，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数的
集合
{f(x )|x?A}
叫做函数的值域。值域是集合B的子集。
②函数的三要素:定义域、对应关系和值域．
③函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，就称这两个函数相等．
（2）区间的概念及表示法
①设
a,b
是两个实数，且
a?b
，
满足不等式
a?
满足不等式
a?
满足不等式
a?
x?b
的实数
x
的集合叫做闭区间，表示为
[a,b]
；
x?b
的实数
x
的集合叫做开区间，表示为
(a,b)
；
x?b
，或
a?x?b
的实数
x
的集合叫做半开半闭区间， 分别表示为
[a,b)
，
(a,b]
；
实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为
(??,??)，“
?
”读作“无穷大”，“
??
”读作“负无穷大”，“
??
”
读作“正无穷大”。满足
x?a,x?a,x?b,x?b
的实数
x
的集合分别表示为
[a,??),(a,??),(??,b],(??,b)
．
注意：对于集合
{x|a?x?b}
与区间
(a,b)
，前者
a
可以大于或等于
b
，而后者必须
a?b
．
（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
①
②
③
f(x)
是整式时，定义域是全体实数．
f(x)
是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
f(x)
是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．
4

⑤
y?tanx
中，
x?k?
?
?
2
(k?Z)
．
⑥零（负）指数幂的底数不能为零．
⑦若则其定义域一般是各基本初等函数的
f(x)
是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，
定义域的交集．
⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知
定义域应由不等式
a?其复合函数
f[g(x)]
的
f(x)
的定义域为
[a,b]< br>，
g(x)?b
解出．
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．
⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
（4）求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的 ．事实上，如果在函数的值域中存在一个最
小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的 最值与值域，其实质是相同的，只是提问的
角度不同．求函数值域与最值的常用方法：
①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：将函数解 析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值
域或最值．
③判别式法：若函数
y?f(x)
可以化成一个系数含有
y
的关于
x
的二次方程
a(y)x
2
?b(y)x?c(y)?0
，则在
a(y)?0
时，由于
x,y
为实数，故必须有
??b
2
(y)?4a(y)?c(y)?0
，从而确定函数的值域或最值．
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．
⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、 化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三
角函数的最值问题．
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．
⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．
⑧函数的单调性法．


【1.2.2】函数的表示法
（5）函数的表示方法
函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．
解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．
图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．
列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．
分段函数
（6）映射的概念
①映射的定义：设
A
、
B
是非空的集合 ，如果按某一个确定的对应关系
f
，使对于集合
A
中任意一
个元素x ，在集合
B
中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应
5

f:A?B
为从集合A到集

合B的一个映射。（包括集合< br>②象：给定一个集合
A
，
B
以及
A
到
B的对应法则
f
）
A
到集合
B
的映射，且
a? A,b?B
．如果元素
a
和元素
b
对应，那么我们把
元素< br>b
叫做元素
a
的象，元素
a
叫做元素
b
的原 象．



〖1.3〗函数的基本性质
【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
①定义及判定方法
函数的
性 质
定义
如果对于定义域I内某个区间
D上的任意两 个自变量的值x
1
、
x
2
,当x
1
< x
2
时，都有
f(x
1
)2
)，那么就说f(x)在
这个区间D上是增函数．
函数的
单调性
如果对于定义域I内某个区间< br>上D的任意两个自变量的值x
1
、
x
2
，当x
1< x
2
时，都有
f(x
1
)>f(x
2
)， 那么就说f(x)在
这个区间D上是减函数．
图象 判定方法
（1）利用定义
y
y=f(X)
f(x )
1
f(x )
2
（2）利用已知函数的单调性
（3）利用函数图象（在某个
区间图象上升为增）
（4）利用复合函数

（1）利用定义
（2）利用已知函数的单调性
（3）利用函数图象（在某个
区间图象下降为减）
o
y
x
1
x
2
x
y=f(X)
f(x )
1
f(x )
2
o
x
1
x
2
x
（4）利用复合函数

单调区间：如果函数
y?f(x)
在区间D上是增函数或减函数，那么就说 函数
y?f(x)
在这一区间
y?f(x)
的单调区间。 具有（严格的）单调性，区间D叫做
（2）最大（小）值定义
①最大值定义：一般地，设函数
（1）对于任意的
x?I
，都有
（2）存在
x
0
?I
，使得
那么，我们称
M
是函数
y?f(x)
的定义域为
I
f(x)?M
．
；
，如果存在实数
M
满足：
f(x
0
)?M< br>f(x)
的最大值，记作
f
max
(x)?M
y?f(x)< br>的定义域为
I
．
②最小值定义：一般地，设函数
（1）对于任意的< br>x?I
，都有
（2）存在
x
0
?I
，使得

，如果存在实数
m
满足：
f(x)?m
；
f(x
0
)?m
．那么，我们称
m
是函数
f(x)
的最小值，记 作
f
min
(x)?m
．
6

【补充知识】

①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函 数，增函数减去一个减函数为
增函数，减函数减去一个增函数为减函数．
②对于复合函数若
若
若
若
y?f[g(x)]
，令
u?g(x)
，
y?f(u)
为增，
u?g(x)
为增，则
y?f[g(x) ]
为增；
y?f(u)
为减，
u?g(x)
为减，则
y? f[g(x)]
为增；
y?f(u)
为增，
u?g(x)
为减，则< br>y?f[g(x)]
为减；
y?f(u)
为减，
u?g(x)
为增，则
y?f[g(x)]
为减．
（复合函数单调性：同增异减）
③打“√”函数
a
f(x)?x?(a?0)
的图象与性质
x
f( x)
分别在
(??,?a]
、
[a,??)
上为增函数，分别在[?a,0)
、
(0,a]
上为减函数．

【1.3.2】奇偶性
（1）函数的奇偶性
①定义及判定方法
函数的
性 质
定义
如果对于函数f(x)定义域内
任意一个x，都有f(－x) =f(x),
那么函数f(x)就叫做偶函数．
图象 判定方法
（1）利用定义（要先
判断定义域是否关于
原点对称）
（2）利用图象（图象
关于y轴对称）
函数的
奇偶性
如果对于 函数f(x)定义域内
任意一个x，都有f(－x)=－
f(x),那么函数f(x)就叫做奇 函
数．

②若函数

（1）利用定义（要先
判断定义域是否关于
原点对称）
（2）利用图象（图象
关于原点对称）
f(x)
为奇函数，且在
x ?0
处有定义，则
f(0)?0
．
③奇函数在
y
轴 两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在
y
轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或
奇 函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．



7

〖补充知识〗函数的图象
（1）作图
利用描点法作图：
①确定函数的定义域； ②化解函数解析式；
③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．
利用基本函数图象的变换作图：
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对 数函数、幂函数、三角函数等各种基本
初等函数的图象．
①平移变换
h?0,左移 h个单位
y?f(x)????????y?f(x?h)
h?0,右移|h|个单位
k?0,上移k个单位
y?f(x)????????y?f(x)?k

k?0,下移|k|个单位
②伸缩变换
0?
?
?1,伸
y ?f(x)?????y?f(
?
x)

?
?1,缩
0?A?1,缩
y?f(x)?????y?Af(x)

A?1,伸
③对称变换
y轴
x轴
??y?f(?x)

y?f(x)????y??f(x)

y?f(x)? ?
直线y?x
原点
y?f(x)????y??f(?x)

y?f(x)?????y?f
?1
(x)

去掉y轴左边图象
y?f(x)????????????????y?f(|x|)

保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象
y?f(x)???? ??????y?|f(x)|

将x轴下方图象翻折上去
（2）识图
对于 给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义
域、值域 、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．
（3）用图
函数图象 形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，
获得问题结 果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．


8

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
（1）根式的概念 ①如果
x
n
?a
，那么
x
叫做
a
的< br>n
次方根,其中，
n?1,且n?N
*
．
n
a的
n
次方根用符号当
n
是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，
表示；
当
n
是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个 数互为相反数。正数
a
的正的
n
次方根用符号
表示，负的
n
次方根用符号
?
有偶次方根；
0的任何次方根都是0，记作
②式子
n
n
a
n
a
a
表示，正的
n
次方 根和负的
n
次方根可以合并写成
?
n
a
。负数没
n
0?0
。
a
叫做根式，这里
n
叫做根指数，
a< br>叫做被开方数．当
n
为奇数时，
a
为任意实数；当
n
为偶数时，
a?0
．
③根式的性质：
(
当
n
为奇 数时，
n
n
a)
n
?a
；
a
n
?a
；
n
当
n
为偶数时，

（2）分数指数幂的概念
?
a (a?0)
．
a
n
?|a|?
?
?a (a?0)
?
① 正数的正分数指数幂的意义是：
a
m
n
?
n
a
m< br>(a?0,m,n?N
?
,
且
n?1)
．
m
n
②正数的负分数指数幂的意义是：
a
?
1
m
1
?()
n
?
n
()
m
(a?0,m,n ?N
?
,
且
n?1)
．
aa
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
注意口诀：底数取倒数，指数取相反数（底倒指反）．
（3）分数指数幂的运算性质
①
a
r
?a
s
?a
r?s
(a?0,r,s?R )
②
(a
r
)
s
?a
r s
(a?0,r,s?R)

r
③
(ab)



?a
r
b
r
(a?0,b?0,r?R)

9

【2.1.2】指数函数及其性质
（4）指数函数
指数函数的定义：函数
函数名称
定义
函 数
y?a
x
(a?0
且
a?1)
叫做指数函数，其中x是自 变量，函数的定义域是R。
指数函数
y?a
x
(a?0
且
a?1)
叫做指数函数
a?1


0?a?1

x
y
图象

y?a



(0,1)
y?a
x
y
y?1

y?1

(0,1)

O

定义域
值域

x
R

(0,??)

O
x
过定点
奇偶性
单调性
图象过定点
(0,1)
，即当
x?0
时，
y?1
．
在
R
上是减函数
非奇非偶
在
R
上是增函数
a
x
?1(x?0)
函数值的
变化情况
a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)

a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)

a
x
?1(x?0)
a
变化对 图象的影响

在第一象限内，
a
越大图象越高；在第二象限内，
a
越大图象越低．
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
①若
a
x
?N(a?0,且a?1)
，那么数
x
叫做以a
为底
N
的对数，记作
x?log
a
N
，其中
a
叫做
对数的底数，
N
叫做真数．
②对数式与指数式的互化：
当a
③负数和零没有对数．
（2）几个重要的对数恒等式
?0，a?1时，a
x
?N?x?log
a
N
．
log
a
1?0
，
log
a
a?1
，
lo g
a
a
b
?b
．
10

（3）常用对数与自然对数
将以10为底的对数叫做常用对数，并 把
log
10
N
记为
lgN
；在科学技术中常使用无理数e =2.71828…
为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把
log
e常用对数：
lgN
，即
log
10
（4）对数的运算性质
如果
a
N
记为
lnN
。
N
；自然 对数：
lnN
，即
log
e
N
（其中
e?2.71 828
…）．
?0,a?1,M?0,N?0
，那么：
①加法：
log
a
(M
③数乘：
log
a< br>?N)?log
a
M?log
a
N
; ②减法：
log
a
M
?log
a
M?log
a
N< br>;
N
M
n
?nlog
a
M(n?R)
;
④换底公式：
log
a
b?
log
c
a(a?0,且a?1;c?0,且c?1;b?0)
;

log
c
b
⑤
log

a
b
M
n
?
n
log
a
M(b?0,n?R)
; ⑥
a
log
a
N
?N
.

b
【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数
对数函数的定义：函数
域是
(0,??)
函数名称
定义
函数

对数函数
y?log
a
x(a?0
且a?1)
叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义
。
y?log
a< br>x(a?0
且
a?1)
叫做对数函数
a?1

0?a?1

y?log
a
x
y
x?

1
y

x?1



y?log
a
x
图象
(1,0)





O
(1,0)
x
O
x
定义域
值域
过定点
(0,??)

R

图象过定点
(1,0)
，即当
x?1
时，
11
y?0
．

奇偶性
单调性
在
(0,??)
上是增函数
非奇非偶
在
(0,??)
上是减函数
log
a
x?0(x?1)
函数值的
变化情况
log
a
x?0(x?1)

log
a
x?0(x ?1)
log
a
x?0(0?x?1)
log
a
x?0(x ?1)
log
a
x?0(0?x?1)

a
变化对 图象的影响
(6)反函数的概念
设函数
果对于
子
x
在第 一象限内，
a
越大图象越靠低；在第四象限内，
a
越大图象越靠高．
值域为
C
，从式子
y?f(x)
中解出
x
，得式子
x?
?
(y)
．如
y?f(x)
的定义域为
A
，
y
在
C
中的任何一个值，通过式子
x?
?
(y)< br>，
x
在
A
中都有唯一确定的值和它对应，那么式
?
?
(y)
表示
x
是
y
的函数，函数
x?
?< br>(y)
叫做函数
y?f(x)
的反函数，记作
x?f
?1(y)
，
习惯上改写成
y?f
?1
(x)
．
（7）反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式
③将< br>x
y?f(x)
中反解出
x?f
?1
(y)
； ?f
?1
(y)
改写成
y?f
?1
(x)
，并 注明反函数的定义域．
（8）反函数的性质
①原函数
②函数
y?f(x)
与反函数
y?f
?1
(x)
的图象关于直线
y ?x
对称．
y?f(x)
的定义域、值域分别是其反函数
y?f
? 1
(x)
的值域、定义域．
y?f(x)
的图象上，则
P
'
(b,a)
在反函数
y?f
?1
(x)
的图象上． ③若
P(a,b)
在原函数
④一般地，函数












y?f(x)
要有反函数则它必须为单调函数．
12

〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义
一般地， 函数
y?x
?
叫做幂函数，其中
x
为自变量，
?
是 常数．
（2）幂函数的图象




（3）幂函数的性质
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．
幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于
是非奇非偶函数时，图象只分布在第一 象限．
②过定点：所有的幂函数在
(0,??)
都有定义，并且图象都通过点
(1,1)
．
③单调性：如果
?
如果
?
y
轴对称)；
幂函数是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；
?0
，则幂函数的图象过原点，并且在
[0,??)
上为增函数；
?0
，则幂函数的图象在
(0,??)
上为减函数；
y
轴．
q
在第一象限内，图象无限接近
x
轴与
④ 奇偶性：当
?
为奇数时，幂函数为奇函数；当
?
为偶数时，幂函数为偶函数；
q
p
当
?
?
（其中
p,q
互质，
p
和
q?Z
），若
p
为奇数
q
为奇数时，则
y?x
是奇函数；若
p
为奇
p
13

q
p
q
p
数
q
为偶数时 ，则
y?x
是偶函数；若
p
为偶数
q
为奇数时，则
y?x
是非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数
当
?
当
?< br>y?x
?
,x?(0,??)
，
?1
时，若
0?x ?1
，其图象在直线
y?x
下方；若
x?1
，其图象在直线
y?x
上方；
?1
时，若
0?x?1
，其图象在直线
y? x
上方；若
x?1
，其图象在直线
y?x
下方．


【补充知识】二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式：
f( x)?ax
2
?bx?c(a?0)
②顶点式：
f(x)?a(x?h)2
?k(a?0)
③两根式：
f(x)?a(x?x
1
)(x? x
2
)(a?0)
（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
③若已知 抛物线与
x
轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求
（3）二次函数图象的性 质
①二次函数
f(x)
更方便．
f(x)?ax
2
?b x?c(a?0)
的图象是一条抛物线，对称轴方程为
x??
b
,
顶 点坐标是
2a
b4ac?b
2
(?,)
．
2a4a
②当
a?0
时，抛物线开口向上，函数在
(??,?
bb
b
时，
]
上递减，在
[?,??)
上递增，当
x??
2a< br>2a2a
bb
]
上递增，在
[?,??)
上
2a2a
4ac?b
2
f
min
(x)?
4a
；当
a?0
时，抛物线开口向下，函数在
(??,?
4ac?b
2
b递减，当
x??
时，
f
max
(x)?
4a
2 a
③二次函数
．
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
当
??b
2
?4ac?0
时，图象与
x
轴有两个交点
M
1
(x
1
,0),M
2
(x
2
,0) ,|M
1
M
2
|?|x
1
?x
2
|?（4）一元二次方程
ax
2
?
．
|a|
?bx?c?0(a?0)
根的分布
一元二次方程根的分布是二次函 数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不
够系统和完整，且解决的方法偏重于二次 方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，
下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析 一元二次方程实根的分布．
设一元二次方程
ax

2
? bx?c?0(a?0)
的两实根为
x
1
,x
2
，且
x
1
?x
2
．令
14

f(x )?ax
2
?bx?c
，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：
a< br> ②对称轴位置：
x??
③判别式：
?
④端点函数值符号．
①k＜x
1
≤x
2

?

b

2a
y
f(k)?0
?
y
a?0x??
b
2a
x
2
k
x
1
O
x
2
x
k
?
x
1
O
x
b
x??
2a
②x
1
≤x
2
＜k
?

f(k)?0

a?0

y
a?0
f(k)?0
?
y
x??
O
b
2a
x
1
O
x
2
k
x
x
1
x
2
?
k
x
x??
b
2a
a?0

f(k)?0

③x
1
＜k＜x
2

?
af(k)＜0
y
a?0
y
?
f(k) ?0
x
2
x
1
O
k
x
2
x
x
1
O
k
x
?
f(k)?0
a?0




④k
1
＜x
1
≤x
2
＜k
2

?



y
?
f(k
1
)?0
?
a?0
f(k
2
)?0
x
2
k
2
y
k
1
x??
b
2a
k
2
O< br>k
1
x
1
x
O
?
x
1
f( k
1
)?0
x
2
?
x
b
x??
2 a
f(k
2
)?0

a?0
⑤有且仅有 一个根x
1
（或x
2
）满足k
1
＜x
1
（ 或x
2
）＜k
2

?
f(k
1
)f(k
2
)
?
0，并同时考虑f(k
1
)=0
1 5

或f(k
2
)=0这两种情况是否也符合

y
?
f(k
1
)?0
a?0
y
f(k
1
)?0
?
O
k
1
x
1
?
k
2
x
2
x
O
x
1
k
1
x
2
?
k
2
x
f(k
2
)?0< br>
a?0
f(k
2
)?0

⑥k< br>1
＜x
1
＜k
2
≤p
1
＜x
2＜p
2

?

此结论可直接由⑤推出．
（5）二次函数
设
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0 )
在闭区间
[p,q]
上的最值
f(x)
在区间
[p,q ]
上的最大值为
M
，最小值为
m
，令
x
0
?
（Ⅰ）当
a
1
(p?q)
．
2
?0
时（开口向上）
①若
?
bbb
b
?q
，则
?p
，则
m?f(p)
②若
p???q
，则
m?f(?)
③若
?
2a
2a2a2a
m?f(q)


①若
?
bb
?x
0
，则
M?f(q)
②
??x
0
，则
M?f(p)

2a2a
(Ⅱ)当
a?0
时(开口向下)
①若
?

bbb
b
?q
，则
?p
，则
M?f(p)
②若
p???q
，则
M?f(?)
③若
?
2a
2a2a2a
16

M?f(q)






①若
?
bb
?x
0
，则
m?f(q)
②
??x
0
，则
m?f(p)
．
2a2a


第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念： 对于函数
y?f(x)(x?D)
，把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫做函数
y?f(x)(x?D)
的零点。
2、函数零点的意义：函数y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根，亦即函数
y?f(x )
的
图象与
x
轴交点的横坐标。即：
方程
f(x)?0< br>有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点< br>?
函数
y?f(x)
有零点．
3、函数零点的求法：
y?f(x)
的零点：
1
（代数法）求方程
f(x)?0
的实数根； ○
求函数
2
（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数○
用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数
y?f(x)
的图象联系起来，并利
y?ax
2
?bx?c(a?0)
．
2
１）△＞０，方程
ax
函数有两个零点．
?bx?c?0
有两不等实根，二次函数的图象与
x
轴有两个交点，二次
２）△＝０，方程
ax?bx?c?0
有两相等实根（二重根），二次函数的图象与
x
轴有一个
交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
３）△＜０，方程
ax
2
2< br>?bx?c?0
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交点，二次函数无零点．

17

高中数学 必修2知识点
第一章 空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征
多面体：有若干个平面 多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻
两个面的公共边叫做多 面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
旋转体：把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直 线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。这条定直
线叫做旋转体的轴。
棱柱：有两个面互相平 行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面
所围成的多面体叫做棱 柱。棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧
面；相邻侧面的公共边 叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。底面是三角形、四边形、
五边形……分别叫做 三棱柱、四棱柱、五棱柱……
棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这 些面所围成的多面体叫做棱锥。
这个多面体叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的 侧面；各侧面的公共顶点叫做棱
锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。底面是三角形、四边形、 五边形……分别叫做三棱锥、四
棱锥、五棱锥……其中，三棱锥又叫做四面体。
棱台：用一个 平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。原棱锥的底面和截面分
别叫做棱台的 下底面和上底面。由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱锥、四棱锥、五
棱锥……。
圆柱：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转所形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。旋转轴叫做圆
柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；
无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
圆柱和棱柱统称为柱体。
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为对称轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
棱锥和圆锥统称为椎体。
圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
棱台和圆台统称为台体。
球：以半圆的直径所在直线为旋转体，半圆面旋转一周形成的旋转体 叫做球体，简称球。半圆的圆心叫做
球心，半圆的直径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。 简单组合体的构成的两种基本形式：一种是由简单几何题拼接而成；一种是由简单几何题截去或挖去一部分而成。

1.2空间几何体的三视图和直观图
1、投影：由于光的照射，在 不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影。其中，
光线叫做投影线，留下物 体影子的屏幕叫做投影面。
中心投影：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影。
平 行投影：把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。平行投影的投影线是平行的。在平行投
影 中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。
2、三视图：光线从几何体的前面向后面 正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图；光线从几
何体的左面向右面正投影，得到投影图 ，这种投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面正
投影，得到投影图，这种投影图叫做几 何体的俯视图。几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的
三视图。
正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下
3、画三视图的原则：一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度 一样，侧视图与俯视图
18

宽度一样。
长对正、高平齐、宽相等
4、直观图：斜二测画法
5、斜二测画法的步骤：
（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；
（3）.画法要写好。
6、用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

1.3 空间几何体的表面积与体积
（一 ）空间几何体的表面积
1、棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和
①圆柱的表面积
S
②圆锥的表 面积
S
③圆台的表面积
S
?2
?
r
2
?2
?
rl?2
?
r
?
r?l
?

?
?
rl?
?
r
2
?
?
r
?
r?l
?

?
?
r
2
?
?< br>R
2
?
?
rl?
?
Rl?
?
(r< br>2
?R
2
?rl?Rl)

(
记 忆技巧：等于用各个圆的半径乘以
rl和
?
r
的和，即
?
r l
做其中一个圆的半径为
0)
2、空间几何体的体积
①柱体的体积
?
?
r
2
，圆柱看做半径相等的两个圆，圆锥看
V?S底
?h

1
V?S
底
?h

3
1
③台体的体积
V?（S
上
?S
上
S
下
?S
下
) ?h

3
②锥体的体积
3、球的体积和表面积
①球的表面积
S
②球体的体积



?4
?
R
2

41
V?
?
R
3
?SR
33

第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平面
1 平面含义：平面是无限延展的
2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平的平面通常画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面，平
0
D
α
A B
C
行四边形的锐角画成45，且横边长等于其邻边长的2倍（ 如图）。如果一个平面被另一个平面遮挡住，为
了增强它的立体感，通常把被遮挡部分用虚线画出来。
19

（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如 平面α、平面β等，也可以用代表平面的平行四边形的四
个顶点，或者相对的两个顶点的大写字母来表示 ，如平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面
BD。
（3）点与平面的关系：点A在平面
?
内，记作
3 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
符号表示为：
A?
?
；点B在平面
?
外，记作
B?
?
。
A
α
·


L
A?l，B?l，且A?
?
，B?
?
?l?
?

公理1作用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
使A∈α、B∈α、C∈α。
推论：①一条直线和直线外一点确定一个平面；
②两条平行直线确定一个平面；
③两条相交直线确定一个平面。
公理2作用：确定一个平面的依据。
α
·

C
·

·

A B
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：
P?
?
且P?
?
?
?
?< br>?
?l，且P?l.

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

β
α
·

L
P
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1、异面直线：不在任何一个平面内的直线叫做异面直线。
2、空间的两条直线的位置关系有且只有三种：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
3、公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
ab,ac?bc

强调：公理4也叫做空间平行线的传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
4、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
注意：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在 两直
线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0，
?
)；
2
③ 如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
异面直线的夹角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线
a
20

'
a，b
'
b
，把
a
'
与b< br>'
所成的

锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面的位置关系有且只有三种：
?
?
；
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点，字母表示为
a?
?
?A
；
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点，字母表示为
a
?
。
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点，字母表示为
a
注意：直线与平面相交或 平行的情况统称为直线在平面外，字母表示为
a?
?
。

2、两个平面之间的位置关系有且只有两种：
（1）两个平面平行 —— 没有公共点，字母表示为
?

?
；
； （2）两个平面相交 —— 有一条公共直线，字母表示为
l



?
?
?
?
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a?
?
，b?
?
，且ab?a
?
.


2.2.2 平面与平面平行的判定
1、平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：
a?
?
，b?
?
，a?b?P，a
?< br>，b
?
?
?

?
.


2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义（没有公共点）；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、线面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，则 过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
21

符号表示：
a
?
，a?
?，
?
?
?
?b?ab.

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、面面平行性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表 示：
?

?
，
?
?
?
?a，
??
?
?b?ab.

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行


2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、直线与平面垂直定义：如果直线
l
与 平面
?
内的任意一条直线都垂直，我们就说直线
l
与平面
?
互相
垂直，记作
l?
?
，直线
l
叫做平面
?
的垂线，平面
?
叫做直线
l
的垂面。如图，直线与平面垂直时,它
们唯一公共点P叫做垂足。

2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条 相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意：（1）定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
（2）定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
3、直线与平面的 夹角：一条直线PA和一个平面
?
相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的
斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线叫做斜线在这个平面上的射影。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
一条直线垂直于平面，则说直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在 平面内，则说直线与
平面所成的角是0°的角。


2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这
两个半平面叫做二面角的面。
22

2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱
l
上任取一点O，以点O为垂足，在半 平面α和β内分别作垂直
于棱
l
的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的
?AOB
叫做二面角的平面角。二面角的大小可以用它的平
面角来衡量，二面角的平面角多少度 ，就说这个二面角多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。两
个平面相交，如果它们所成的二面角 是直二面角，就说两个平面互相垂直。
4、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2，面面垂直性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

本章知识结构框图








直线与直线的位置关系



直线与平面的位置关系
平面（公理1、公理2、公理3、公理4）
空间直线、平面的位置关系
平面与平面的位置关系
第三章 直线与方程
3.1直线的倾斜角和斜率
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成
的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时 , 规定α= 0°.
2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正 切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,
即： k = tanα
注意：⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
（3）由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、 直线的斜率公式:经过两点
P
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2(x
2
,y
2
)
（
x
1
?x
2
）的直线的斜率公式：
k?
y
2
?y
1

x
2
?x
1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两直线 平行判定：两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它
们的斜率 相等，那么它们平行，即
l
1
l
2

?k
1
?k
2

23

注意: ①上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．
②若 直线
l
1
，l
2
可能重合时，则有
k
1
?
ll

?k
2
?
?
12
?
或l< br>1
与l
2
重合
?l
2
?k
1
k2
??1

2、两直线垂直判定：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它 们的斜率互为负倒数；反之，如果它
们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
l
1

3.2. 直线的方程

3.2.1 直线的点斜式方程
1、 直线的点斜式方程：直线
l
经过点
P
0
(x
0
,y
0
)
，且斜率为
k
，直线
l
方程 为：
y?y
0
注意：①当直线
l
倾斜角为0°时，直线与x轴平行或 重合，直线
l
方程为：
?k(x?x
0
)

y?y
0
；


②当直线
l
倾 斜角为90°时，直线与y轴平行或重合，不能用点斜式表示，直线
l
方程为：
x?x
0
。

2、直线的斜截式方程：已知直线
l
的斜率为
k
，且与
直线
l
在
y
轴的交点为
(0,b)
，直线
l
方程为：
y?kx?b

y
轴上的截距：直线
l
与
y
轴交点
(0,b)
的纵坐标b叫做直线
l
在
y
轴上的截距。
注意：截距不是距离，是一个带符号的实数。

3.2.2 直线的两点式方程
1、直线的两点式方程：已知两点
P
1
(x
1< br>,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)< br>其中
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2< br>)
，直线
l
方程为：
y?y
1
x?x
1?
y
2
?y
1
x
2
?x
1

注意：当
x
1
?x
2
或y
1
?y
2
时，直线没有两点式方程。当
x
1
?x
2
时，直线平行于

y轴，直线方程为：
x?x
0
；当
y
1
?y
2
时，直线平行于x轴，直线方程为：
y?y
0
。
2、 直线的截距式方程：已知直线
l
与
x
轴的交点为
A(a,0)
，与
y
轴的交点为
B(0,b)
，其中
a?0,b?0
， 直线
l
方程为：
xy
??1

ab
直线l
在
x
轴上的截距：直线
l
与
x
轴交点
(a,0)
的纵坐标a叫做直线
l
在
x
轴上的截距。
3 、中点坐标公式：点
P
1
(x
1
,y
1
),P2
(x
2
,y
2
)
的中的M的坐标为
(
x
1
?x
2
y
2
?y
2
,)

22
3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：关于
x,y
的二元一次方程
2、各种直线方程之间的互化。
24

Ax?By?C?0
（A，B不同时为0）

3.3直线的交点坐标与距离公式
3.3.1两直线的交点坐标
1、两直线交点坐标求法：联立解方程组，例：
L
1
：3x+4y-2=0 L
2
：2x+y +2=0
?
3x?4y?2?0
解：解方程组
?

2x?y?2?0
?
解得
?
x??2

?
?
y?2
所以L
1
与L
2
的交点坐标为M（-2，2）

3.3.2 两点间距离
两点间的距离公式：
PP
12
?
?
x
2
?x
2
?
?
?
y
2
?y
1
?
22


3.3.3 点到直线的距离公式
1．点到直线距离公式：
点
P(x
0
,y< br>0
)
到直线
l:Ax?By?C?0
的距离为：
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

2、两 平行线间的距离公式：已知两条平行线直线
l
1
和
l
2
的一 般式方程为
l
1
：
Ax?By?C
1
?0
， l
2
：
Ax?By?C
2
?0
，则
l
1
与
l
2
的距离为
d?
C
1
?C
2
A
2
?B
2

两平行线间的距离:两平行线间的距离是指夹在两条直线间公垂线段的长。








第四章
4.1.1 圆的标准方程
圆与方程
2
1、圆的标准方程：圆心为A(a,b),半径为r的圆 的方程为：
(x?a)
2、点
M(x
0
,y
0
)< br>与圆
(x?a)
（1）
(x
0

2
?(y?b)
2
?r
2

?(y?b)
2
?r
2
的关系的判断方法：
?a)
2
?(y
0
?b)
2
>
r
2
，点在圆外 ；
25

（2）
(x
0
（3）
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
=< br>r
2
，点在圆上；
?a)
2
?(y
0
?b )
2
<
r
2
，点在圆内。
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0 （
D
2
?E
2
?4F?0
）
2、圆的一般方程判定方法：
DE1
为圆心，
,?）D
2
?E
2
?4F
222
DE
22
②当
D?E?4F? 0
时，方程只有一个解，它表示一个点；
（?,?）
22
①当
D< br>2
?E
2
?4F?0
时，方程表示以
（?
为半径长的 圆；
③当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程没有实 数解，它不表示任何图形。
3、圆的一般方程的特点：
(1)①
x
2
和
y
2
的系数相同，不等于0； ②没有
xy
这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指
出了 圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4.2 直线、圆的位置关系

4.2.1 圆与圆的位置关系
1、判断直线
l
与圆
C
的位置关系方法：
①直线
l
与圆
C
的方程组成的方程组是否有解：

（1）有两组实数解时，直线
l
与圆
C
相交；
（2）有一组实数解时，直线
l
与圆
C
相切；

（3）无实数解时，直线
l
与圆
C
相离。

②用点 到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线
l
：
ax?by?c?0
， 圆
C
：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
，圆的半径为
r
，圆心
(?
的位置关系的依据有以下几点：
（1）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相交；
（2）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相切；
（3）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相离。

DE
,?)
到直线的距离为
d
，则判别直线与圆
22
4.2.2 圆与圆的位置关系
1、判断两圆的位置关系方法：
①两圆的方程组成的方程组是否有解：

（1）有两组实数解时，两圆相交；
（2）有一组实数解时，两圆相切；

（3）无实数解时，两圆相离。

②设两圆的连心线长为
l
，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（ 1）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆< br>C
2
相离；
26

（2）当< br>l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
外切；
（3）当
|r
1
?r
2
|?l ?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
相交；
（4）当
l?|r
1
?r
2
|
时，圆
C
1
与圆
C
2
内切；
（5）当
l ?|r
1
?r
2
|
时，圆
C
1
与圆
C
2
内含；
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题 中的几何元素，将平面几何问题转化为
代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．

R
M
O
P
Q
M'
y
4.3.1空间直角坐标系
1、空间直角坐标系：以单 位正方体一个顶点为原点，以过这个顶点的三条棱的长度
为单位长，建立三条数轴：
x
轴、
y
轴、
z
轴，这样的坐标系叫做空间直角坐标系
x
Ox yz
，其中点O叫做坐标原点，
x
轴、
y
轴、
z
轴 叫做坐标轴。通过每个坐标轴的平面叫做坐标平面，
分别称为
xOy
平面、
y Oz
平面、
zOx
平面。
z
2、空间中任意点M的坐标都可以用有 序实数组
(x,y,z)
来表示，该数组叫做
点M在此空间直角坐标系中的坐标，记< br>M(x,y,z)
，
x
叫做点M的横坐标，
P
1
O< br>M
1
N
1
x
M
P
2
M
2< br>H
N
2
y
N
y
叫做点M的纵坐标，
z
叫做点M的竖坐标。有序实数组
(x,y,z)
与空间
直角坐标系中的点一一对应。
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中:点
P
1
(x
1
,y
1
,z
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
之间的距离公式：
222
PP?(x?x)?(y?y)?(z?z)
12121212


27

高中数学 必修3知识点
第一章 算法初步

1.1.1 算法的概念
1、算法概念：
在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或
步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.
2. 算法的特点:
(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.
( 2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.
(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，
前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.
(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.
(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.
1.1.2 程序框图
1、程序框图基本概念：
（ 一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地
表 示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。
（二）构成程序框的图形符号及其作用
程序框

起止框


输入、输出框


处理框


判断框
分别写在不同的用以处理数据的处理框内。
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”
何需要输入、输出的位置。
赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等
的。
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任
名称 功能
表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少
28

或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。
学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：
1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图
符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、
在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
（三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
1、顺序结构：顺序结 构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，
它是由若干个依次执 行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。
顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而
下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B
框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执
行B框所指定的操作。
2、条件结构：
条件结构是指在算法中通过对条件的判断
根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。
条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论 P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同
时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行 。一个判断结构可以有多个判断框。
3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定 条件，反复执行某一处理步骤的情况，
这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构 中一定包含条件结构。循环结构又称重
复结构，循环结构可细分为两类：
（1）、一类是当型 循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行
完毕后，再判断条件 P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P
不成立为止，此时不再 执行A框，离开循环结构。
（2）、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然 后判断给定的条件P是否成立，
如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止 ，此时不再执行A框，离开循环
结构。


A
B
A

A
29
P
不成立
成立
成立
P
不成立

当型循环结构 直到型循环结构
注意：1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结 构中一定包含
条件结构，但不允许“死循环”。2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量 用于记录循环
次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一 次。
1.2.1 输入、输出语句和赋值语句
1、输入语句
（1）输入语句的一般格式
INPUT“提示内容”；变量
图形计算器
格式
INPUT “提示内容”，变量
（2）输入语句的作用 是实现算法的输入信息功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量
是指程序在运行时其 值是可以变化的量；（4）输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变
量或表达式；（5 ）提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”
隔开。
2、输出语句
（1）输出语句的一般格式
PRINT“提示内容”；表达式
图形计算器
格式
Disp “提示内容”，变量
（2）输出语句的作用是 实现算法的输出结果功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达
式是指程序要输出的数 据；（4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。
3、赋值语句
（1）赋值语句的一般格式


变量＝表达式

图形计算器
格式
表达式
?
变量
（2）赋值语句的作用是 将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中
的等号的意义是不同的 。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变
量；（4）赋值语句左 边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（5）
对于一个变量可以 多次赋值。
注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。②赋值号左 右不能对换。如
“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算 。（如化简、因式分
解、解方程等）④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。
1．2．2条件语句
1、条件语句的一般格式有两种：（1）IF—THEN—ELSE语句 ；（2）IF—THEN语句。2、IF—THEN—ELSE语
句
IF—THEN—ELSE语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2。
30

IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2

否
满足条件？
是
语句1
语句2

END IF
图1 图2
分析：在IF—THEN—ELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件 时执行的操作内容；
“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF表示条件语句的结束 。计算机在执行时，首先对IF
后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN后面的语句1；若条 件不符合，则执行ELSE后面的语句2。
3、IF—THEN语句
IF—THEN语句的一般格式为图3，对应的程序框图为图4。
IF 条件 THEN
语句
END IF
（图3）




是
满足条件？
否
语句


注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时， 结束程序；
END IF表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断，如果条 件符合就执行THEN
后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。
（图4）
1．2．3循环语句
循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中 的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当
型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结 构。即WHILE语句和UNTIL语句。
1、WHILE语句
（1）WHILE语句的一般格式是 对应的程序框图是







循环体
WHILE 条件
循环体
WEND
满足条件？

否
是
（2）当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合， 就执行WHILE与WEND之间
的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体， 这个过程反复进行，直到某一次条
件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句 后，接着执行WEND之后的语句。
因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。
31

2、UNTIL语句
（1）UNTIL语句的一般格式是 对应的程序框图是





（2）直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL 型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次
循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继 续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过
程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环 体，跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先执行
循环体后进行条件判断的循环语句。
分析：当型循环与直到型循环的区别：（先由学生讨论再归纳）
（1） 当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；
在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
循环体
满足条件？
是
否
1.3.1辗转相除法与更相减损术
1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
（1）：用较 大的数m除以较小的数n得到一个商
最大公约数；若
S
0
和一个余数
R
0
；（2）：若
R
0
＝0，则n为m，n的
R
0
≠0，则用除数n除以余数
R
0
得到一个商
S
1
和 一个余数
R
1
；（3）：若
R
1
＝0，则
R
1
为m，n的最大公约数；若
次计算直至
R
1
≠0，则用除数R
0
除以余数
R
1
得到一个商
S
2
和 一个余数
R
2
；…… 依
R
n
＝0，此时所得 到的
R
n?1
即为所求的最大公约数。
2、更相减损术
我国早期 也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数
的步骤： 可半者半之，不可半者，副置分母?子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
翻译为： （1）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。（2）：
以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得
的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.
分析：（略）
3、辗转相除法与更相减损术的区别：
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以 除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转
相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别 较大时计算次数的区别较明显。
32

（2）从结果体 现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相
等而得到
1.3.2秦九韶算法与排序
1、秦九韶算法概念：
f(x)=a
nx
n
+a
n-1
x
n-1
+….+a
1
x+a
0
求值问题
f(x)=a
n
x
n
+a< br>n-1
x
n-1
+….+a
1
x+a
0
=( a
n
x
n-1
+a
n-1
x
n-2
+…. +a
1
)x+a
0
=(( a
n
x
n-2
+a
n-1
x
n-3
+….+a
2
)x+a
1< br>)x+a
0

=......=(...( a
n
x +a
n-1
)x+a
n-2
)x+...+a
1
)x+a< br>0

求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v
1
=a
n
x+a
n-1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v
2
=v
1
x+a
n-2
v
3
=v
2
x+a
n-3
......

v
n
=v
n-1
x+a
0
这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。
2、两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序
1、直接插入排序
基本思想：插入排 序的思想就是读一个，排一个。将第１个数放入数组的第１个元素中，以后读入的数与
已存入数组的数进 行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置．将该位置以及以后的元素向后推移一
个位置，将读入的 新数填入空出的位置中．（由于算法简单，可以举例说明）
2、冒泡排序
基本思想：依次比 较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第1个数和第2个数,大数放前,
小数放后. 然后比较第2个数和第3个数......直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最后.重
复上过程,仍从第1个数开始,到最后第2个数...... 由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡
上升,所以叫冒泡排序.
1.3.3进位制
1、概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的 数值。可使用数字符号的个数称
为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进 制，通常使用10个阿拉伯数字0-9
进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比 如：十进数57，可以用二进制表示为
111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为3 9，它们所代表的数值都是一样的。
一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：
a
na
n?1
...a
1
a
0(k)
(0?a
n< br>?k,0?a
n?1
,...,a
1
,a
0
?k)< br>，
而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001
(2)
表示二进制数,34
(5)
表示5进制数
第二章 统计
33

2.1.1简单随机抽样
1．总体和样本：在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．把每个研究对象叫做个体．把总体中个体的
总数叫做总体容量．为了研 究总体
x
的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：
x
1
,x2
我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．
2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随
机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独
立 ，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之
间 差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
3．简单随机抽样常用的方法：
（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容 量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保
证程度。
4．抽签法:
（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；
（2）准备抽签的工具，实施抽签
（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查
例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。
5．随机数表法：
例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。
,???,x
n
研究，
2.1.2系统抽样
1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：
把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按 照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采
用简单随机抽样的办法抽取。
K（抽样距离）=N（总体规模）n（样本规模）
前提条件：总体中个体的排列对于研究的变 量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规
则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样 本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，说
明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这 种循环和抽样距离重合。
2．系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样 框的要求较低，实施也比较简
单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体 单元按辅助变量的大小顺序排
队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。
34

2.1.3分层抽样
1．分层抽样（类型抽样）：
先将 总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个
类型或层 次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体
的样本。
两种方法：
1．先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
2．先以 分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样
的方法抽取样 本。
2．分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样 本分别代
表该子总体，所有的样本进而代表总体。
分层标准：
（1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。
（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。
（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。
3．分层的比例问题：
（1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。
（2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法， 主要
是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时，则需要先 对各
层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
1、本均值：
x?x
1
?x
2
???x
n
n
2

(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?? ?(x
n
?x)
2
2、．样本标准差：
s?s?
n

3．用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息 会
有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。
虽然我们用样本数据得到的分布、均值和 标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准
差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本 量很大时，它们确实反映了总体的信
35

息。
4．（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变
（2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k倍
（3） 一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间
(x?3s,x?3s)
的应用；
“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理
2.3.2两个变量的线性相关
1、概念:
（1）回归直线方程
（2）回归系数
2．最小二乘法
3．直线回归方程的应用
（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系
（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进
行估 计，即可得到个体Y值的容许区间。
（3）利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化， 通过控制x的范围来实现统计控制的目标。如已
经得到了空气中NO
2
的浓度和汽车流 量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中
NO
2
的浓度。
4．应用直线回归的注意事项
（1）做回归分析要有实际意义；
（2）回归分析前,最好先作出散点图；
（3）回归直线不要外延。
第三章 概 率

3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义
1、基本概念：
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
（
5
）频数与频率：在相同的条件
S
下重复
n
次试验，观察某 一事件
A
是否出现，称
n
次试验中事件
A
出
现的次 数
nA
为事件
A
出现的频数；称事件
A
出现的比例
fn(A)=
n
A
n
为事件
A
出现的概率：对
36

于给定的随机事件
A
，如果随着试验次数的增加 ，事件
A
发生的频率
fn(A)
稳定在某个常数上，
把这个常数记作
P
（
A
），称为事件
A
的概率。

nA
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比 值
n
，
它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这 种摆动幅度
越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能< br>性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
3.1.3 概率的基本性质
1、基本概念：
（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；
（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；
（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必
然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
2、概率的基本性质：
1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；
4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是 指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其
具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B 不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）
事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；
（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不 发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生
1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本 事件数，然后利用公式P（A）=
A包含的基本事件数
总的基本事件个数

3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生
1、基本概念：
（1）几何 概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则
37

称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
构成事件A的区域长度（面积或体积）
P（A）=试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
；
（2） 几何概型的特点：1）试验 中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出
现的可能性相等．


38

高中数学 必修4知识点
第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制
1、任意角的概念：包括正角、负角和 零角。按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成
的角叫做负角。如果一条射线没有作 任何旋转形成的角叫做零角。
2、象限角和轴线角
象限角：使角
?
的顶点 与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称
?
是 第
几象限角．
?
?
k?360?
?
?k?360?90, k??
?

第二象限角的集合为
?
?
k?360?90?k ?360?180,k??
?

第三象限角的集合为
?
?
k ?360?180?
?
?k?360?270,k??
?

第四象限 角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k ??
?

第一象限角的集合为
ooo
oooo
oooooooo
轴线角：角的终边在坐标轴上，则称这个角为轴线角。
?
??
?k?180,k??
?

终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
o
oo
o
3、所有与角
?
终边相同的角，连同角
?
在内，可以构成一个集合：
S?{
?
|
?
?
?
?k?360?，k?Z}

即任一与角
?
终边相同的角，都可以表示成角
?
与整数个周角的和。
4、弧度制的概念
角度制与弧度制：用度作为单位度量角的单位制叫做角度制。用弧度作为单 位度量角的单位制叫做弧度制。
弧度：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度 的角，用符号rad表示，读作弧度．
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
弧度数的计算：如 果半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，那么角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
l
．
r
?
的正负由角
?
的终边的旋转方向决定。
?
1 80
?
o
o
5、弧度制与角度制的换算公式：
2
?
?360
，
1?
，
1?
?
?57.3
o
．
?
180
?
?
?
【补充内容】
1、若扇形的圆心 角为
?
?
o
?
?
为弧度制
?
，半径为r
，弧长为
l
，周长为
C
，面积为
S
，则l?r
?
，
11
C?2r?l
，
S?lr?
?
r
2
．
22


39

1.2 任意角的三角形函数
1、任意角三角函数的定义： 单位圆定义法：以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆。设
?
是一个任意角， 它的终边与单
位圆交于点
?
?
x,y
?
,那么：
?y
； ①y叫做
?
的正弦，记作
sin
?
，即< br>sin
?
②x叫做
?
的余弦，记作
cos
?
，即
cos
?
③
?x
；
yy
叫做
?的正切，记作
sin
?
，即
sin
?
?(x?0)。
xx
正弦、余弦、正切统称为三角函数。
终边定义法：设角
?终边上任意一点
?
的坐标是
则
sin
?
?
x, y
?
，它与原点的距离是
r
?
r?x
2
?y
2
?0
?
，
?
yxy
，
cos
?
?
，
tan
?
?
?
x?0
?
．
rrx
2、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四 象限余弦为
正．
3、三角函数线：与单位圆有关的有向线段
MP、OM、AT
，分别叫做角
?
的正弦线、余弦线、正切
线，统称为三角函数线。即：
s in
?
???
，
cos
?
???
，
tan
?
???
．
y
P
O
T
M
A
x

4、同角三角函数的基本关系：同一个角
?
的正弦、余弦的 平方和等于1，商等于角
?
的正切。

?
1
?
si n
2
?
?cos
2
?
?1
?
sin
2
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
? 1?sin
2
?
?
；
?
2
?

1.3 三角函数的诱导公式
1、函数的诱导公式：
sin
?
? tan
?
cos
?
sin
?
??
sin
?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??< br>．
tan
?
??
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
，
co s
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
．
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan?
?
?
?
?
?tan
?
．
?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?，
cos
?
?
?
?
?cos
?
，tan
?
?
?
?
??tan
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??co s
?
，
tan
?
?
?
?
?
??t an
?
．
40

?
5
?
sin
?
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
? sin
?
?
2
??
2
?
?
．
?
6
?
sin
?
?
??
?
?
??
?
?cos
?
，
cos
?
?
??
??sin
?
．
?
2
??
2
?< br>?
口诀：奇变偶不变，符号看象限。（注释：
sin(
k
?
?
?
)
，当k为奇数时，函数名改变；当k为偶数时，
2
函数名不变。 变化后的函数的符号跟把
?
看成锐角时原函数的符号一致。）

1.4 三角函数的图象与性质
1、正弦（余弦）曲线：正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和和余弦曲线。
2、正弦函数、余弦函数的性质
周期函数的概念：对于函数
f(x)
，如果 存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x?T)?f(x)
，那么 函数
f(x)
就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。如果在周期函
数f(x)
的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
f(x)
的 最小正周期。
?0)
都是它的周期，最小正周期是
2
?
。 ①周期 性：正弦函数（余弦函数）是周期函数，
2k
?
(k?Z且k
②奇偶性：正弦 函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
③单调性：正弦函数在每一个闭区间
[?
在每一 个闭区间
[
?
2
?2k
?
,
?
2
其值从-1增大到1；
?2k
?
](k?Z)
上都是增函数，
?2
?2k
?
,
3
?
?2k
?
](k? Z)
上都是减函数，其值从1减小到-1。
2
?2k
?
,2k?
](k?Z)
上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区余弦函数在每一个闭区 间
[?
?
间
[2k
?
,
?
?2k
?
](k?Z)
上都是减函数，其值从1减小到-1。
④最大值与最小值：正弦函数 当且仅当
x?
?
2
?2k
?
(k?Z)
时取得最大 值1，当且仅当
x??
?
2
?2k
?
(k?Z)
时 取得最小值-1；

?2k
?
(k?Z)
时取得最大值1，当且仅 当
x?
?
?2k
?
(k?Z)
时取得最小值-1。余弦函数 当且仅当
x
3、正切函数的性质与图象
①周期性：正切函数是周期函数，周期是
?
。
②奇偶性：正切函数是奇函数。
③单调性：正切函数在开区间
[?
?
2
?k
?
,
?
2
?k
?
],k?Z内都是增函数。
④值域：正切函数的值域是实数集R。


41

1.5 函数
1、函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象
）的图象：函数
y??sin
?
?
x?
?
?
（
A?0,
?
?0
y??sin
?
?
x?
?
?
（其中
A?0 ,
?
?0
）的图象，可以看作用下面的方法得到：先画出函数
y?sinx< br>的图象；再把正弦曲线向
左（右）平移
?
个单位长度，得到函数
y?s in
?
x?
?
?
的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来
的
1
?
倍，得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的
?
倍（横坐标不
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象． 变），这时的曲线 就是函数
2、函数
y??sin
?
?
x?
?
??< br>??0,
?
?0
?
的性质：
振幅：做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离。
频率：做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数。
相位：
?
x??
称为相位；x=0时的相位
?
称为初相。
①振幅：
?
；②周期：
??
【知识拓展】
函数
2
?
?
；③频率：
f?
1
?
?
?2
?
；④相位：
?
x?
?
；⑤初相：
?
．
y??sin
?
?
x?
?
?
??
，当
x? x
1
时，取得最小值为
y
min
；当
x?x
2< br>时，取得最大值为
y
max
，
11?
?
y
m ax
?y
min
?
，
??
?
y
max?y
min
?
，
?x
2
?x
1
?x
1
?x
2
?
．
222
则
??

3、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
性
质

函
数
y?sinx

y?cosx

y?tanx

图
象

定
义
域
值
域
当
时

R

R

?
?
?
?
xx?k?
?,k??
?

2
??
?
?1,1
?

x?2k
?
?
，
?
?1,1
?

?
k??
?
；当
当
x?2k
?
R

?
2
最
值
?
k??
?
时，
既无最大值也无最小值
y
max
?1y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?

42

x?2k
?
?
?
2

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
?

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周
期
性
奇
偶
性
奇函数 偶函数 奇函数
2
?

2
?

在
??
??
2k
?
?,2k
?
?

??
22
??
在
单
调
性
?
k??
?
上是增函数；在
?
3
?
??
2k
?
?,2k
?
?

??
22
??
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

在
?
k
?
是增函数；在
?
?
?
?
2
,k
?
?
?
?
?

2
?
?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是增函数．
?
k??
?
上是减函数．
对称中心
对
称
性
对称轴
x
?
k
?
,0
??
k??
?

?k
?
?
对称中心
对称中心
?
无对称轴
?
2
?
k??
?

?
??
k?
?,0
?
?
k??
?

?
2
??
对称轴
x?k
?
?
k
?
?
,0?
?
k??
?

?
2
?
?
k??
?



第二章 平面向量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
1、平面向量的概念
向量：既有大小，又有方向的量叫做向量。（数量：只有大小，没有方向的量．只有大小，没有方向的量 ，
称为数量）
有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。以A为起点、B为终点的有向线段记 作
AB
,线段AB的长度也
叫做有向线段
AB
的长度，记作
|AB|
.
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
向量的表示：向量用有向 线段表示。向量
AB
的大小，也就是向量
AB
的长度（或称模），记作
|AB|
。长
度为0的向量叫做零向量，记作0（书写用
0
）。长度等于1 个单位的向量叫做单位向量。
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行 向量也叫做共线向量．向量
a
、
b
43

平行，通常记作
ab
。零向量与任一向量平行，即对于任意向量
a
， 都有
0b
．
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．

2.2 平面向量的线性运算

1、向量加法运算：
⑴向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
⑵向量加法运算法则：
①三角形法则的特点：首尾相连．
②平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：
⑷运算性质：
①
a?0?0?a
r
r< br>r
r
r
r
a?b?a?b?a?b
．
r
rr
rr
?a
；
r
rr
r
②交换律：
a?b?b?a
；
③结合律 ：
?
r
rr
r
rr
a?b?c?a?b?c
???
．
r
r
r
r
⑸坐标运算：设
a?
?x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
? x
2
,y
1
?y
2
?
．

2、向量减法运算：
⑴相反向量的概念：
相反向量：与
a
长度相 等，方向相反的向量，叫做
a
的相反向量，记作
?a
。零向量的相反向量仍是 零向
量。
相反向量的性质：①任一向量与其相反向量的和是零向量，即
a?(?a) ?(?a)?a?0
。
②如果
a
、
b是互为相反的向量，那么
a??b,b??a,a?b?0
。
⑵向量的减法运算及其几何意义
向量的减法运算：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：
a?b?a?(?b)

向量减法的几何意义：若
a
、
b< br>的起点相同，则
a?b
可以表示为从向量
b
的终点指向向量
a
的终点的向量。
三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
rr
r
r
⑶坐标运算：设
a?
?
x
1
, y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y< br>1
?y
2
?
．
uuur
设
?
、则
???
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
?
两点的坐标分别为
?
x
1,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，


44

C
r
a
r
b
?
?
ruuuruuur
r
r
uuu
a?b? ?C?????C

3、向量数乘运算及其几何意义：
⑴向量的数乘 ：实数
?
与向量
a
的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
rr
?
a?
?
a
rr
；
②当
?
rrrr
?0
时，
?
a
的方向与
a的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a< br>的方向相反；当
?
?0
时，
r
r
?
a?0< br>．
r
r
r
r
rrrrr
?
a?b?
?
a?
?
b
；②；③．
?
?
a
??
?
??
?
a
?
?
?
?
?< br>a?
?
a?
?
a
⑵运算律：①
?
??
⑶坐标运算：设
a
r
r
?
?
x,y
?
， 则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?< br>x,
?
y
?
．
rr
r
4、向量共线定理： 向量
aa?0
??
r
与
b
r
r
共线，当且 仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
．
r
r
r
r
向量共线定理坐标表示：设
a?
?
x
1< br>,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，其中
b?0
，则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时，
r
rr
r
向量
a
、
bb?0
??
共线．
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示

向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。

uruur< br>r
1、平面向量基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量
a
，
uruurur uur
r
有且只有一对实数
?
1
、
?
2
， 使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
．不共线的向量
e
1
、
e
2
叫做表示这一平面 内所有向量
的一组基底。
向量的夹角：已知两个非零向量
a
和
b< br>，做
OA?a,OB?b
则
?AOB?
?
(0??
?
?180?)
叫做向量
a
与
b
的
夹角。当
?
?0?
时，
a
与
b
同向；当
?
?180 ?
时，
a
与
b
反向。如果
a
与
b
的夹角是90°，
a
与
b
垂直，
记作
a?b
。
2、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解。
向 量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量
i
、
j
作为基底，
对于平面内的任一一个向量
a
，有且只有一对实数x、y，使 得
a?xi?yj
，我们把有序数对（x，y）叫
做向量
a
的坐标， 记作
a?(x,y)
，其中x叫做
a
在x轴上的坐标，y叫做
a在y轴上的坐标。
3、向量的坐标运算
①两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差），即：
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)?a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

②实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标，即：
a?(x
1
,y
1
)?
?
a?(
?
x
1< br>,
?
y
1
)

45

③一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标，即：
A(x1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)?AB?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
4、平面向量共线的坐标表示：设
a?(x
1
,y
1
),b?( x
2
,y
2
)
，当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时，向量
ab
。 5、分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1
?
2
上 的一点，
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x< br>1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，当
uuuruuur
?
x?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
,
?
1
??
?
??
2
时，点
?
的坐标是
?
1
?
．（当
?
?1
时，就为中点公式。）
1?
?
??
1?
?


2.4 平面向量的数量积

1、平面向量的数量积：
r
r
⑴已知两个非零 向量
a
和
b
r
r
，把数量
abcos
?< br>叫做
a
与
b
的数量积（或内积），记作
a?b
，即：
r
r
r
r
r
r
r
r
o
a ?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
o
? ?
，
r
方向上（
b
在
a
方向上）的投影。
r
r
其中，
?
是
a
与
b
r
r< br>的夹角，
acos
?
（或
bcos
?
）叫做向量a
在
b
r
零向量与任一向量的数量积为
0
．
a?b
的几何意义：数量积
a?b
等于
a
的长度
a
与
b
在
a
的方向上的投影
bcos
?
的乘积。 < br>；当
a
r
r
⑵性质：设
a
和
b
r< br>与
b
r
r
r
r
r
r
都是非零向量， 则①
a?b?a?b?0
．②当
a
与
b
r
r
r
r
同向时，
a?b?ab
．
r
r
r
r
r
反向时，
a?b??ab
rrr
2
r
2
rrr
；
a?a?a?a
或
a?a?a
．③
r
r
r
r
a?b?ab
r
r
rr
r
r
r
r
r
r
⑶运算律：①
a?b?b?a
；②
??
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
? ???
；③
?
r
r
rrr
r
r
a?b?c ?a?c?b?c
．
?
⑷坐标运算：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：
r
r
r
r
若非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
?

a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
．
推论：①若
a
r
r
r
2
?
?
x, y
?
，则
a?x
2
?y
2
，或
a?x2
?y
2
．
r
r
r
r
②设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
r< br>r
r
r
r
r
⑸向量夹角公式：设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，
?
是
a
与
b
r
r
x
1
x
2
?y
1
y
2
a?b
cos
?
?
r
r
?
．
2222
ab
x
1
?y1
x
2
?y
2

的夹角，则
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
46

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos⑶
sin
?
?
?
?
?
?cos
?cos
?
?sin
?
sin
?
；⑵
cos?
?
?
?
?
?cos
?
cos
??sin
?
sin
?
；
?
?
?
?< br>?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin< br>?
；⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
； ?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan?

?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
ta n
?
?
）；
1?tan
?
tan
?
⑸< br>tan
⑹
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
?tan
?

?
（
tan?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）．
1?tan
?
tan
?
和角公式和差角公式：任意角
?
,
?
的三角函数值与其和角
?
?
?
的三角函数值的关系公式
S
(
?
?
?
)
，
C
(
?
?
?
)
，
T
(
?
?
?
)
叫做和角公式 ；公式
S
(
?
?
?
)
，
C
(?
?
?
)
，
T
(
?
?
?)
叫做差角公式。
2、二倍角的正弦、余弦和正切公式（倍角公式）：
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
．
?sin
2
?
?cos
2
?
?2sin
?
cos
?
?(sin
?
?cos
?
)
2< br> 推论：
1?sin2
?
⑵
cos2
?
?cos2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
? 1?1?2sin
2
?

?2cos
2
推论：①升幂公式< br>cos
?
?
22
cos2
?
?11?cos2
?
22
②降幂公式
cos
?
?
，
sin
?
?
．
22
?1,cos
?
?1?2sin
2
?

⑶
tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?
．
3、半角公式：
sin
α
??
2
α
cos??
2
α
tan??
2
1?cosα
,
2
1?cosα

,
2
1?cosαsinα1?cosα
??
1?cosα1?cosαsinα

?
（后两个不用判断符号，更加好用）
?sin
?
?2sin
【知识拓展】
1、①
sin
?
?
?
?
22
?
?
??
?
?< br>cos

cos
?
?cos
?
?2cos
22
②万能公式：
cos
?
?
?
；
sin
?
?sin
?
?2cos
?
?
?
2
sin
?
??
2
2
；
。 ；
cos
?
?cos
?
??2sin
?
?
?
2
sin
?
??
47

αα
2tan1?tan
2
2
;cosα?
2
sinα?

2
α
2
α1?tan1?tan
22
2、合一变形：把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数， 一个角，一次方”的
形式。
?sin
?
y?Asin(
?
x?
?
)?B
??cos
?
??
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
，其中
tan
?
?
?
．
?
3、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提 高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公
式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想 方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根 据角与角之间的和差，
倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获 解，对角的变形如：
①
2
?
是
?
的二倍；
4
?
是
2
?
的二倍；
?
是
?
2
的二倍；
?
2
是
?
4
的二倍；
30
o
②
15?45?30?60?45?
2
oo ooo
；问：
sin
?
12
?
；
cos
?
12
?
；
③
?
?(
?
?
?
)?
?
；④
?
4?
?
?
?
2
?(
?
4
?
?< br>)
；
⑤
2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)?(
?
4
?
?
) ?(
?
4
?
?
)
；等等
（2）函数名称变换：三 角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常
化切为弦，变异名为同 名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数 “1”的
代换变形有：

1?sin
2
?
?co s
2
?
?tan
?
cot
?
?sin90
o
?tan45
o

降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式
（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高 的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用
1?cos
?
常用升幂化为有理式，常 用升幂公式有： ； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
如：
1?tan
?
1?tan
?
?_______________
；
?______________
；
1?tan
?
1 ?tan
?
tan
?
?tan
?
?___________ _
；
1?tan
?
tan
?
?___________；
tan
?
?tan
?
?____________
；
1?tan
?
tan
?
?___________
；
2tan
?
?
；
1?tan
2
?
?
； tan20
o
?tan40
o
?3tan20
o
tan 40
o
?
；
sin
?
?cos
?
?
= ；
48

（其中
tan
?
?
）
asin
?
?bcos
?
?
= ；
1?cos
?
?
；
1?cos
?
?
；
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化 弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊
值与特殊角的三角函数互化 。
如：
sin50
o
(1?3tan10
o
)?
；
tan
?
?cot
?
?
。




49

高中数学 必修5知识点
第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。在
???C

中，
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C
的对边，则有
a
?
b
?
c
? 2R

sin?sin?sinC
(
R
为
???C
的外接圆的半径)
解三角形：把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素 。已知三角形的几个元素
求其他元素的过程叫做解三角形。
2、正弦定理的变形公式：①a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，
c?2RsinC
；
②
sin??
ab
c
； ，
sin??
，
sinC?
2R2R
2R
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC；
④
abca?b?ca?c

????
sinAsinBs inCsinA?sinB?sinCsinA?sinC
???C
3、三角形面积公式：S?
111
bcsin??absinC?acsin?
．
2224、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，< br>即：
a
2
?b
2
?c
2
?2bccos?< br>
222
b?c?a
推论：
cos??
2bc
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。
【补充内容】：
1、射影公式：
a?bcosC ?ccosB
，
2、其他公式：①
sin(A?B)?sinC
,
②
sin(
b?ccosA?acosC
，
c?acosB?bcosA

cos(A?B)??cosC
,
tan(A?B)??tanC
;
A?BCA?BC
)?cos
，
cos()?sin
；
2222
③
tanA?tanB?tanC?tanA?tanB?tanC

3、
A?B?C?a?b?c?sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cos C
.
sin2?A?sin2?B??A??B或?A??B?
；
4、< br>sin?A?sin?B??A??B
5、模尔外得公式：
?
2
。

a?b
?
c
①
cos< br>A?B
2
C
sin
2
A?B
a?b
2

?
C
; ②
c
cos
2
sin
50

第二章 数列：
2.1 数列的概念和简单表示法
1.数列的有关概念：
（1） 数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列中的每一项都与它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），
排在第二 位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。数列的
一般形式可以写成：
a
1
,a
2
,a
3
,?,a
n
, ?,
简记为
{a
n
}
。 数列是有序的。数列可以看成
?f(n)
。 以正整数集N*（或它的有限子集{1,2,…,n}）为定义域的函数
a
n
（2） 通项公式：如果数列
{a
n
}
的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来 表示，那么这个
公式叫做这个数列的通项公式。如:
a
n
?2n
2
?1
。
（3） 递推公式：已知数 列
{a
n
}
的第1项（或前几项），且任一项
a
n
与他的前一项
a
n?1
（或前
几项）可以用一个公式来表示，那么这个公式就 叫做这个数列的递推公式。
如:
a
1
?1,a
2
?2, a
n
?a
n?1
?a
n?2
(n?2)
。
2．数列的表示方法：
（1） 列举法：如1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, a
n
）孤立点表示。
（3） 解析法：用通项公式表示。 （4）递推法：用递推公式表示。
3．数列的分类：




?
有穷数列

按项数
?
?
无穷数列
?
常数列:a
n
?2
?
n

?
递增数列:a
n
?2n?1,a
n
?2

按单调性
?
2
?
递减数列:a
n
??n?1
?
摆动数列:a?(?1)
n
?2n
?
n
①项数有限的数 列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。
②从第2项起，每一项都不小于它的前一项的叫做递 增数列；从第2项起，每一项都不大于它的前一
项的叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于
它的前一项的数列叫做摆动数列。

4．数列{a
n
}及前n项和之间的关系:
S
1
,(n? 1)
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
? K?a
n

a?
?
?
n
?< br>S
n
?S
n?1
,(n?2)


【补充内容】：
1、解题思路：给出了
{a
n
}
的前n项 和公式
S
n
或
S
n
与
a
n
的关系 式，要求
{a
n
}
的通项公式常用思路有二：
一是先求出
S
n
，再用公式
a
n
?S
n
?S
n?1(n?2，且n?N
*
)
来求出
a
n
；二是由公式a
n
?S
n
?S
n?1
将它转化为
a
n
的递推关系式，再求
a
n
即可。
【注意】在
a
n

?S
n
?S
n?1中，必须有
n?2
这个条件。而求
a
1
时，则按照
a< br>1
?S
1
求解。
51

2、用递推公式求数列通项公式解题方法：
①累加法：当
a
n
?a
n?1
?f(n)
满足一定条件时，常用
a
n
?(an
?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)? ??(a
2
?a
1
)?a
1
累加来求通项公式
a< br>n
。
②累乘法：当
a
n
aa
a
?g(n)
满足一定条件时，常用
a
n
?
n
?
n?1
???
2
?a
1
累乘。

a
n?1
an?1
a
n?2
a
1
③迭代法
④辅助数列法

2.2-2.3 等差数列
1．等差数列的概念：

①等差数列 ：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做
等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
②等差中项：由三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
a
n
③通项公式：如果等差数列
{a
n
}
的首项是
a
1
，公差是d，那么等差数列的通项公式是：
2．等差数列前n项和公式：
?a
1
?(n?1)d

S
n
?
【补充内容】：

n
?
n?1?
n
?
a
1
?a
n
?
?na
1
?d

(n?N
*
)

2
2
1、等差数列
{a
n
}
通项公式的变形推广式：
a
n
?a
m
?(n?m)d
；
d?
a
n
?a
1
a
n
?a
m
?(n,m?N*
,n?m)
；
n?1n?m
2、判断一个数列为等差数列的方法：
①定义法：
a
n?1
?a
n
?d(常数（)n?N
*
）?{a
n
}为等差数列
；
*
②中项公式法（递推法） ：
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
(n?N)?{a
n
}为等差数列
；
③通项公式法：
a
n
为n的一 次函数
?{a
n
}为等差数列
；
④求和法：
S
n
?An
2
?Bn?{a
n
}为等差数列
（其中
S< br>n
为
{a
n
}
的前n项的和）
3、等差数列的性质：
设数列
{a
n
}
为等差数列，公差 为
d
，其前n项和为
S
n
，则：
①若
m?n?< br>*
p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p< br>?a
q
(m,n,p,q?N)
；
若
m?n?2k，则
a
m
?a
n
?2a
k
(m,n,k?N< br>*
)
；
②“片段和”性质：
S
k
,S
2k ?k
,S
3k?2k
,?
也是等差数列，公差为
k
2
d
；
52

d
S
n
}
为等差数列，公差为，
2
n
④ 若
S
m
?S
n
(m?n)
，则
S
m?n< br>?0
.
③数列
{ka
n
}
，
{
若
S
m
?n,S
n
?m(m?n)
，则
S
m?n
??(m?n)
.
4、有限等差数列的奇数项和与偶数项和之比问题： ①若项数为2n
(n?N
*
)
，则
S
2n
?n (a
n
?a
n?1
)
，
S
偶
-S
奇
?nd
，
S
奇
S
偶
S
奇
S偶
?
a
n
；
a
n?1
n
。
n?1
②若项数为2n-1
(n?N
*
)
，则
S
2n?1
?(2n?1)a
n
，
S
奇
-S
偶
?a
n
，
?
5、设等差数列
{a
n
}
，
{b
n
}
前n项和分别为
A
n
，
B
n
，且
A
n
?f(n)
，则：
B
n
a
n
(2n?1)a
n
A
??
2n?1
?f(2n? 1)
。
b
n
(2n?1)b
n
`B
2n?1【注意】如果由


S
n
7n?2
，设
Sn
与
T
n
时，应设
S
n
?(7n?2)kn< br>，
T
n
?(n?3)kn
.
?
`T
n
n?3
2.4-2.5 等比数列

1．等比数列的概念：
①等比数列：如果一个数列从第
2
项起，每一项与它 的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做
等比数列。这个常数叫做等差数列的公比，通常用字 母
q
表示。

②等比中项：如果在
a
，
b
间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数 列，那么
G
叫做
a
与
b
的等比中项。

③ 通项公式：如果等差数列
{a
n
}
的首项是
a
1
， 公差是
q
，那么等比数列的通项公式是：
a
n
2
．等比数列 前
n
项和公式：

?a
1
q
n?1
a
1
(1?q
n
)
a
1
?a
n
q
S
n
??(q?1).

1?q1?q
3. 等比数列的相关性质：
① 如果
{a
n
}
等比数列，c是不等于0 的常数，那么数列
{c?a
n
}
也是等比数列。
② 如果
{a
n
}
，
{b
n
}
是项数相等的等比数列，那么
{a
n

【补充内容】：

1
、常数列都是等差数 列，但却不一定是等比数列（例如各项都为
0
的数列）。

2、等比数列{a
n
}
通项公式的变形推广式：①
3、判断一个数列为等比数列的方法 ：
①定义法：
?b
n
}
也是等比数列。
a
n< br>?q
n?m
；②
a
n
?a
m
q
n? m

a
m
a
n?1
?q(常数（)n?N
*
）?{a
n
}为等比数列
；
a
n
2
*
②中项公式法（递推法）：
a
n?1
?a
n
?a
n?2(n?N)?{a
n
}为等比数列
；
53