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三角函数公式初中高考数学知识点总结:平面向量公式

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 10:40
tags:向量公式

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高考数学知识点总结:平面向量公式
定比分点
定比分点公式(向量P1P=λ?向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意
一点。则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ?向量PP2,λ叫做
点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)(1+λ),
y=(y1+λy2)(1+λ)。(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b≠0,则ab的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb。
ab的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 a?b=0。
a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。
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零向量0垂直于任何向量.
设a=(x,y),b=(x',y')。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x',y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律:
交换律:a+b=b+a;
结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的
反向量为0
AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且
∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。
当λ0时,λa与a同方向;
当λ0时,λa与a反方向;
当λ=0时,λa=0,方向任意。
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。
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注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表
示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向
(λ0)上伸长为原来的∣λ ∣倍;
当∣λ∣1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向
(λ0)上缩短为原 来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律:(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。
② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。
3、向量的的数量积
定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称
作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义:两个向量的数量 积(内积、点积)是一个数量,记作a?b。
若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a ,b〉;若a、b共线,则
a?b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示:a?b=x?x'+y?y'。
向量的数量积的运算律
a?b=b?a(交换律);
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(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律);
(a+b)?c=a?c+b?c(分配律);
向量的数量积的性质
a?a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a?b=0。
|a?b|≤|a|?|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的 数量积不满足结合律,即:(a?b)?c≠a?(b?c);例如:
(a?b)^2≠a^2?b^2 。
2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a?b=a?c (a≠0),推
不出 b=c。
3、|a?b|≠|a|?|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。
4、向量的向量积
定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一 个向量,
记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|?|b|?sin
〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这
个次序构成右手系。若a、b共 线,则a×b=0。
向量的向量积性质:
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
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向量的向量积运算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注:向量没有除法,“向量AB向量CD”是没有意义的。
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;
② 当且仅当a、b同向时,右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
语文课本中的文章都是精选的比较 优秀的文章,还有不少名
家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、
精彩段落, 对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教
师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的 技巧方
面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效
甚微,没过几天便忘的一干 二净。造成这种事倍功半的尴尬局
面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、
跳读,或听读、范读、轮读、分角色 朗读,学生便可以在读中
自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强
语感,增强 语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技
巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在 写作
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中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。① 当且仅当a、b
同向时,左边取等号;
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分,我常采用范 读,
让幼儿学习、模仿。如领读,我读一句,让幼儿读一句,边
读边记;第二通读,我大声读, 我大声读,幼儿小声读,边
学边仿;第三赏读,我借用录好配朗读磁带,一边放录音,
一边幼儿 反复倾听,在反复倾听中体验、品味。
② 当且仅当a、b反向时,右边取等号。
观察内容 的选择,我本着先静后动,由近及远的原则,有目
的、有计划的先安排与幼儿生活接近的,能理解的观察 内容。
随机观察也是不可少的,是相当有趣的,如蜻蜓、蚯蚓、毛
毛虫等,孩子一边观察,一边 提问,兴趣很浓。我提供的观
察对象,注意形象逼真,色彩鲜明,大小适中,引导幼儿多
角度多 层面地进行观察,保证每个幼儿看得到,看得清。看
得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助 幼儿学
习正确的观察方法,即按顺序观察和抓住事物的不同特征重
点观察,观察与说话相结合, 在观察中积累词汇,理解词汇,
如一次我抓住时机,引导幼儿观察雷雨,雷雨前天空急剧变
化, 乌云密布,我问幼儿乌云是什么样子的,有的孩子说:
乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。 ”我加以肯
定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时,我告诉他“这叫电
光闪闪。”接着幼儿 听到雷声惊叫起来,我抓住时机说:“这
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就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨, 我问:“雨下得怎样?”
幼儿说大极了,我就舀一盆水往下一倒,作比较观察,让幼
儿掌握“倾 盆大雨”这个词。雨后,我又带幼儿观察晴朗的天
空,朗诵自编的一首儿歌:“蓝天高,白云飘,鸟儿飞 ,树儿
摇,太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情,幼儿不仅印
象深刻,对雷雨前后气象变 化的词语学得快,记得牢,而且
会应用。我还在观察的基础上,引导幼儿联想,让他们与以
往学 的词语、生活经验联系起来,在发展想象力中发展语言。
如啄木鸟的嘴是长长的,尖尖的,硬硬的,像医 生用的手术
刀―样,给大树开刀治病。通过联想,幼儿能够生动形象地
描述观察对象。
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