合肥私立高中数学教师招聘-2017湖南普通高中数学学业考试
学业水平测试回扣提纲
一、集合
1.区分集合中元素的形式:如
:
?
x|y?lgx
?
—函数的定义域;
?
y|y?lgx
?
—函数的值域;
?
(x,y)|y?lgx
?
—函数图象
上的点集,如(1)设集合
M?{x|y?x?3}
,集合N=
?
y|y?x
2
?1,x?M
?
,则
M?N?
___(答:
[1
,??)
);(2)设
2.条件为
A?B
,在讨论的时候不要遗忘了
A?
?
的情况
如:
A?{x|ax
2
?2x?1?0}
,如果
A?R?
?
?
,求
a
的取值。(答:a≤0)
3.
A?B?{x|x?A且x?B}
;
A?B?{x|x?A或x?B}
C
U
A={x|x∈U但x
?
A};
A?B?x?A则x?B
;
真子集怎定义?含n个元素的集合的子集个数为2
n
,真子集个数为2
n
-1
;如满足
{1,2}
?
?
M?{1,2,3,
集合
4,M有______个。 (答:7)
4.C
U
(A∩B)=C
U
A∪C
U
B; CU
(A∪B)=C
U
A∩C
U
B;card(A∪B)=? A
∩B=A
?
A∪B=B
?
A
?
B
?
CU
B
?
C
U
A
?
A
∩C
U<
br>B=
?
?
C
U
A∪B=U
5.集合中元素的互异性
------注意检验重复元素.
6.集合的交并补运算-----注意利用数轴及韦恩图.
二、函数
m
7.指数式、对数式:
a
n
?
na
m
,
a
?
m
n
?
1
,a
0
?1
,
log
a
1?0
,
log
a
a?1
,
lg2?lg5?1
,
a
m
n
a
b
?N?log1,N?0)
,
a
log
a
N
?N
.如
(
1
2
)
log
2
8
的值为__(
1
a
N?b(
a?0,a?
64
) .
8.换底公式的正用及逆用
9.二次函数①三
种形式:一般式f(x)=ax
2
+bx+c(轴-b2a,a≠0,顶点?);顶点式f(x
)=a(x-h)
2
+k;零
点式f(x)=a(x-x
1
)(x-
x
2
)(轴?);②b=0时是偶函数;③区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对
称轴与区间的相对位置关系; 如:若函数
y?
1
2
2
x?2x?4
的定义域、值域都是闭区间
[2,2b]
,
则
b
=
(2).
④实根分布:先画图再研究△、轴与区间关系、区间端点函数值符号,特别注意等号.两根分
别分
布在一个区间时,只需看特殊值. 如:方程
x
2
?(m?2)x?5?
m?0
的两根都大于2,则m的
取值范围 (
(?5,?4]
).
若关于x的方程3x
2
-5x+a=0的一个根在(-2,0)内,另一个根
在(1,
3)内,则a的取值范围是
?
?12,0
?
10
.①反比例函数:
y?
c
c
x
(x?0)
平移
?<
br>y?a?
x?b
中心为(b,a));②函数
y?x?
a
x<
br>是奇函数,
a?0
时,在区间
?
??,0
?
,?
0,??
?
上是增函数;
a?0
时,在
?
0
,a
?
?
,
?
?
?a,0
?
上递减,1
?
??,?a
?
?
,
?
?
a,??
?
上递增.
11.单调性①定义法;②图像判定.作用:比较大小;解证不等式; 如函数
y?log1
?
?x
2
?2x
?
的单调递增区间是_____(答
:(1,2));
2
函数单调性与奇偶性逆用了吗?如已知奇函数
f(x)
是定义在
(?2,2)
上的减函数,若
f(m?1)?f(2m?1)?0<
br>,求实数
m
的取值范围。(答:
?
12
2
?m?3
);③复合函数
由同增异减判定④抽象函数单调性只能用定义;
12
.奇偶性:f(x)是偶函数
?
f(-x)=f(x)=f(|x|)或
f
?
x
?
?f
?
?x
?
?0
;f(x)是奇函
数
?
f(-x)=-f(x)或
f
?
x
?
?f?
?x
?
?0
;定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关
于原点对
称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件;
f
?
0
?<
br>?0
是
f
?
x
??
x?R
?
为奇函
数的必要而不
充分的条件;
f
?
0
?
?0
是
f
?
x
?
?Asin
?
?
x?
?
?
的充要条件.
13.周期性 :由周期函数的定义“函数
f(x)
满足
f
?
x
?
?f
?
a?x
?
(a?
0)
,则
f(x)
是周期为
a
的
周期函数”得:①函数f(x)
满足
?f
?
x
?
?f
?
a?
x
?
,则
f(x)
是周期为2
a
的周期函数;②若
f(x?a)?
1
f(x)
(a?0)
恒成立,则
T?2a
;③若
f(x?a)??
1
f(x)
(a?0)
恒成立,则
T?2a
.
如(1) 设
f(x)
是
(??,??)
上的
奇函数,
f(x?2)??f(x)
,当
0?x?1
时,
f(x)?
x
,则
f(47.5)
等于__(
?0.5
);(2)定义在
R
上的偶函数
f(x)
满足
f(x?2)?f(x)
,且在
[?3,?2]
上
是减函数,若
?
,
?
是锐角三角形的两
个内角,则
f(sin
?
),f(cos
?
)
的大小关系为
(
f(sin
?
)?f(cos
?
)
);(3)已
知定义在
R
上的函数
f(x)
是以2为周期的奇函数,则方程
f(x
)?0
在
[?2,2]
上至少有__________个实数根(答:5)
14.常见的图象变换
①函数
y?f
?
x?a
?
的图象是把函数
y?f
?
x
?
的图象沿
x
轴向左<
br>(a?0)
或向右
(a?0)
平
移
a
个单位得到的。
如要得到
y?lg(3?x)
的图像,只需作
y?lgx
关于__轴对称的图
像,再向
____平移3个单位而得到(答:
y
;右);(3)函数
f(x)
?x?lg(x?2)?1
的图象与
x
轴的交点个
数有 个(2).
②函数
y?f
?
x
?
+
a
的图象是把函数
y?f
?
x
?
助图象沿
y
轴向上
(a?0
)
或向下
(a?0)
平
移
a
个单位得到的;
③函数
y?f
?
ax
?
(a?0
)
的图象是把函数
y?f
?
x
?
的图象沿
x
轴伸缩为原来的
1
a
得到的。
如(1)将函数
y?f(x)
的图像上所有点的横坐标变为原来的
1
3
(纵坐标不变),再将此图像沿
x
轴方向向左平移2个单位,所得图像对应的函数为_____(答: y=
f(3x?6));(2)如若函数
y?f(2x?1)
是偶函数,则函数
y?f(2x)
的对称轴方程是_______(答:
x??
1
2
).
④函数<
br>y?af
?
x
?
(a?0)
的图象是把函数
y?f<
br>?
x
?
的图象沿
y
轴伸缩为原来的
a
倍得到
的.
⑤函数
f
?
x
?
按向量
?
m,n<
br>?
得到的解析式为
y?f
?
x?m
?
?n
.
15.函数的对称性。
①满足条件
f
?
x?a
?
?f
?
b?x
?
的函数的图象关于直线
x?
a?b
2
对称。如已知二次函数
f(x)?ax
2
?bx(a?0)
满足条
件
f(5?x)?f(x?3)
且方程
f(x)?x
有等根,则
f(
x)
=
_____(
答:
?
1
2
x
2
?x
);
②
点
(x,y)
关于
y
轴的对称点为
(?x,y)
;函数y?f
?
x
?
关于
y
轴的对称曲线方程为
y?
f
?
?x
?
;
③点
(x,y)
关于
x<
br>轴的对称点为
(x,?y)
;函数
y?f
?
x
?关于
x
轴的对称曲线方程为
y??f
?
x
?
;
④点
(x,y)
关于原点的对称点为
(?x,?y)
;函数
y?f
?
x
?
关于原点的对称曲线方程
y??f
?
?x
?
;
⑤点
(x,y)
关于直线
y??x?a
的对称点为
(?(y?a),?x?a)
;
⑥曲线
f(x,y)?0关于直线
y??x?a
的对称曲线的方程为
f(?(y?a),?x?a)?0<
br>。特别
地,点
(x,y)
关于直线
y?x
的对称点为
(y,x)
;曲线
f(x,y)?0
关于直线
y?x
的对称曲线的方
程为
f(y,x)?0
;点
(x,y)
关于直线
y??x<
br>的对称点为
(?y,?x)
;曲线
f(x,y)?0
关于直线
y??x
的对称曲线的方程为
f(?y,?x)?0
。若f(a-x)=f(b+x)
,则f(x)图像关于直线x=
a?b
2
对称;两函数y=f(a+x)与y=f(b
-x)图像关于直线x=
b?a
2
对称。
⑦曲线
f(x,y)?0
关于点
(a,b)
的对称曲线的方程为
f(2a?x,2b?y)?0
。如若函数
y?x
2
?x
与
y?g(x)
的图象关于点(
-2,3)对称,则
g(x)
=______(答:
?x
2
?7x?
6
)
⑧形如
y?
ax
cx?
?
d
b(c?0,ad?bc)
的图像是双曲线,对称中心是点
(?
d
c
,
a
c
)
。
⑨
|f(x)|
的图象先保留f(x)
原来在
x
轴上方的图象,作出
x
轴下方的图象关于x
轴的对称
图形,然后擦去
x
轴下方的图象得到;
f(|x|)
的图象先保留
f(x)
在
y
轴右方的图象,擦去
y
轴
左方的图象,然后作出
y
轴右方的图象关于
y
轴的对称图形得到。
如(1)作出函数
y?|log
2
(x?1)|
及
y?log
2
|x?1|
的图象;
16.求解抽象函数问题的常用方法是:借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 :
2
①正比例函数型:
f(x)?kx(k?0)
---------------
f(x?y)?f(x)?f(y)
;
②幂函数型:
f(x)?x
2
--------------
f(
xy)?f(x)f(y)
,
f(
xf(x)
y
)?
f(y
)
;
③指数函数型:
f(x)?a
x
----------f(x?y)?f(x)f(y)
,
f(x?y)?
f(x)
f(y)<
br>;
④对数函数型:
f(x)?log
x)?f(y)
,
f
(
x
a
x
---
f(xy)?f(
y
)?f(x)?f(y)
;
⑤三角函数型:
f(x)?tanx
-----
f(x?y)?
f(x)?f(y)
1?f(x)f(y)
;
f<
br>?
x
?
?sinx
??
f
?
x
?<
br>f
?
?
?
?
?
?y
?
?f
?
?
?
?
2
?x
?
2
?
?
?
f
?
y
?
?f
?
x?y
?
.
17.求解分段函数问题的常用方法是:先分后合,即先研究各段,在总起来考虑;注意作图象. 18.幂、指、对、函数的图像及性质?特别是过定点问题.如(1)
y?a
2x?1?
a?0,a?1
?
的图
象过定点 .
?
?
1
?
2
,1
?
2x?1
?
?
(2)
y?1?log
a
?
a?0,a?1
?
的图象过定点
.
?
1,1
?
19.反函数:①函数存在反函数的条件一一映射
;②互为反函数的两函数具相同单调性;③原函
数定义域是反函数的值域,原函数值域是反函数的定义域
;④图像关于直线
y?x
对称,
?
x,y
?
?
?<
br>y,x
?
.如:已知函数
y?f(x)
的图象过点(1,1),那么<
br>f
?
4?x
?
的反函数的图象一定经
过点___(答:(1,
3));
20.题型方法总结:
Ⅰ判定相同函数:定义域相同且对应法则相同;
Ⅱ求函数解析式的常用方法:
(1)待定系数法――已知所求函数的类型(二次函数的表达形
式有三种:一般式:
f(x)?ax
2
?bx?c
;顶点式:
f(x
)?a(x?m)
2
?n
;零点式:
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)
).如
已知
f(x)
为二次函数,且 <
br>f(x?2)?f(?x?2)
,且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2
2<
br>,
求
f(x)
的解析式
.(答:
f(x)?
1
2
x
2
?2x?1
) (2)代换(配凑)法――已知形如
f(g(x))
的表达式,求
f(x)
的表达式。如(1)已知
f(1?cosx)?sin
2
x,
求
f
?
x
2
?
的解析式(答:
f(x
2
)??
x
4
?2x
2
,x?[?2,2]
);(2)若
f(x?<
br>1
x
)?x
2
?
1
x
2
,则函数<
br>f(x?1)
=_____(答:
x
2
?2x?3
);(3)
若函数
f(x)
是定义在R
上的奇函数,且当
x?(0,??)
时,
f(x)?x(1?
3
x)
,那么当
x?(??,0)
时,
f(x)
=________
(答:
x(1?
3
x)
). 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,即
f(x)
的定义域应是
g(x)
的值域。
(3)方程(组)的思想――对已知等式进行赋值,从而得到关于
f(x)
及另外一个函数的方程
组。如(1)已知
f(x)?2f(?x)?3x?2
,求
f(x)
的解析式(答:
f(x)
??3x?
2
3
);(2)已
知
f(x)
是奇函数,
g(x)
是偶函数,且
f(x)
+
g(x)
=
1
x
x?1
,则
f(x)
=
(答:
x
2
?1
)。
Ⅲ求定义域:使函数解析式有意义(如:分母
?;偶次根式被开方数?;对数真数?,底数?;零指数幂的
底数?);实际问题有意义;若f(x)定
义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a≤g(x)≤b解出;
若f[g(x)]定义域
为[a,b],则f(x)定义域相当于x∈[a,b]时g(x)的值域;
如:若函数
y?
f(x)
的定义域为
?
?
1
?
?
?
2,2
?
?
,则
f(lo
2
gx)
的定义域为_
______(答:
x|2?x?4
?
);若函数
f(x
2
?1)
的定义域为
[?2,1)
,则函数
f(x)
的定义域为___
_____
(答:[1,5]).
Ⅳ求值域: ①配方法:如:求函数
y?x
2
?2x?5,x?[?1,2]
的值域(答:[4,8]);
②换元法:如(1
)
y?2sin
2
x?3cosx?1
的值域为_____(答:
[
?4,
17
8
]
);(2)
y?2x?1?x?1
的值域为
_____(答:
?
3,??
?
)(令
x?1?t
,
t?0
。运用换元法时,要特
别要注意新元
t
的范围);
③不等
式法――利用基本不等式
a?b?2ab(a,b?R
?
)
求函数的最值。
Ⅵ恒成立问题:①分离参数转化为最值问题; a≥f(x)恒成立
?
a≥[f(x)
]
max,
;a≤f(x)恒成立
?
a
≤[f(x)]
mi
n
;②数形结合.
21.利用一些方法(如赋值法(
令
x
=0或1,求出
f(0)
或
f(1)
、令
y?
x
或
y??x
等)、递推
法、反证法等)进行逻辑探究。如(1)若
x?R
,
f(x)
满足
f(x?y)?f(x)?f(y)
,则f(x)
的奇偶性是______(答:奇函数);(2)若
x?R
,
f
(x)
满足
f(xy)?f(x)?f(y)
,则
f(x)
的
奇偶性是______(答:偶函数);(3)设
f(x)
的定义域为
R
?
,对任意
x,y?R
?
,都有
f(
x
y
)
?f(x)?f(y
,且
)
x?1
时,
f(x)?0
,又<
br>f(
1
2
)?1
,①求证
f(x)
为减函数;②解不
等
式
f(x)?f(5?x)
??2
.(答:
?
0,1?
?
?
4,5
?
).
三、数列
22.a
(n?1)
n
={
S
1
S
的公式中,
s
0
?0
则一定可以合并.
n
?S
n?1
(n?2,n?N
*
)
注意验证a
1
是否包含在a
n
23.
{a
n
}等差?a
n
?a
n?1
?d(常数)?2a
n
?a
n?1
?a
n?1
(n?2,n?N*)
?a
n
?an?b(
一次)?s
n
?An
2
?Bna;b,A,B,?
?
{a
?
a
2
n
?a
n-1<
br>?a
n?1
(n?2,n?N)
n
}等比?
?
?a
n
?q?0
?
a
?
n?2
?
n
?0
a
n?1
3
如若
{an
}
是等比数列,且
S
n
?3
n
?r
,则
r
= (答:-1)
24.首项为正的递减(或首项为负的递增)等
差数列前n项和最大(或最小)问题,转化为解不等式
?
a
n
?0
?
?a
?
(或
?
?
a
n
?0
a)
,或用二次函数处理;求一般数列中的最大或最小项常用
?
nn?1
?
a
n?1
?
0
?
a
n?1
?0
?
a
n
?a
或研究数列
n?1
的单调性.如(1)
等差数列
{a
n
}
中,
a
1
?25
,S
9
?S
17
,问此数列前多少项和最大?并求此最大
值。(答
:前13项和最大,最大值为169);
25.等差数列中a
n?m
?
d<
br>;S
n(n?1)
n
=a
1
+(n-1)d=
an
=
na
n(a
m
?
?
1
?a
n
)
1
?
2
d
=
2
等比数列中a
n-1
n
= a
1
q=
a
n?m
;当q=1,S
a
n
=na
1
当q≠1,S
n
=
1
(1?q
n
)
a
1
?a
n
q
m
q
1?q
=
1?q
26.常用性质:等差数列中, a
n
=a
m
+ (n-m)d,
d?
a
m
?a
n
m?n
;当m+n=p+q,m,n,p,q?N
?
,则a
m
+a
n
=a
p
+a
q
;
等比数列中,a
n-m
n
=a
m
q;
当m+n=p+q,
m,n,p,q?N
?
,则a
m
a
n
=a
p
a
q
.
如
(1)在等比数列
{a
n
}
中,
a
3
?a
8
?124,a
4
a
7
??512
,公比q是整数,则a
10
=___(答:
512);(2)各项均为正数的等比数列
{a<
br>n
}
中,若
a
5
?a
6
?9
,则<
br>log
3
a
1
?log
3
a
2
??
?log
3
a
10
?
(答:10).
27.常
见数列:{a
n
}等差,则
?
c
a
n
?
(
c>0)成等比.{b
n
}(b
n
>0)等比,则{log
c
b
n
}(c>0且c
?
1)等差。
28.等差三数为a-d,a
,a+d;四数a-3d,a-d,,a+d,a+3d;等比三数可设aq,a,aq;
如有四个
数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,
第二个数与第三
个数的和为12,求此四个数。(答:15,,9,3,1或0,4,8,16)设
x,y,12?y,
16?x
好求.
29.等差数列{a
n
}的任意连续m项的和构成的数列S
m
、S
2m
-S
m
、S
3m
-S
2m
、S
4m
- S
3m
、?仍为等差
数列。
等比数列{a
n
}的任意连续m项的和且不为零时构成的数列S
m
、S
2m
-S
m
、S
3m
-S
2m
、S
4m
- S
3m
、??
仍为等比数列。如:公比为-1时,
S
4
、
S
8
-
S
4
、
S
12
-
S
8
、?不成等比数列
30.等差数列{a
n
},项
数2n时,S
偶
-S
奇
=nd;项数2n-1时,S
奇
-S
偶
=a
n
; 等比数列项数为
2n
时,则
S偶
S
?q
;项数为奇数
2n?1
时,
S
奇?a
1
?qS
偶
.
奇
31.求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键分析通项结构.
分组法求数列的和:如a
n
=2n+3
n
、错位相减法求和:如a
n
=(2n-1)2
n
、裂项法求和:如
1?
111
2n
1?2
?
1?2?3
?
?
?
1?2?3?<
br>?
?n
?
(答:
n?1
)、倒序相加法求和
:如已知
f(x)?
x
2
111
1?x
2
,则f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(
2
)?f(
3
)?f(
4
)
=___(答:
7
2
)
a
?
?
S
1
(n?1)
n
?
32. 求通项常法: (1)已知数列的前n项和
s
n
,求通项
a
n
,可利用公式:
?
S
n
?S
n?1
(n?2)
如:(1)数列
{a
1
n
}
满足
2
a
11
?
14,n?1<
br>1
?
2
2
a
2
???
2
n
a
n
?2n?5
,求
a
n
(答:
a
n?
2
n?1
,n?2
)
(2)已知
S
2?
?
4,n?1?
2
n
?n?2n?1
,则
a
n
=
?
?
?
n
(3)已知
?
2n?1,?
?
;
S
n
?n?2n
,则
a
n
=
?
2
?
2n?1
?
(2)先
猜后证(3)递推式为
a
n+1
=
a
n
+f(n)
(采用累加法);
a
n+1
=
a
n
×f(n)
(采用累积法);
如已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?1
,
a
n
?a
1
n?1
?
n?
1?n
(n?2)
,则
a
n
=___(答:
a
n<
br>?n?1?2?
)
1
.
(4)构造法形如
a
nn
?ka
n?1
?b
、
a
n
?ka
n
?1
?k
(
k,b
为常数)的递推数列如①已知
a
1
?1,a
n
?3a
n?1
?2
,求
a
n?1n
(答:
a
n
?2?3?1
);
(5)倒数法形如
a
a
n?1
n
?
ka
的递推数列都可以用倒数法求
通项。
n?1
?b
如①已知
a
a
n?1
1
?1,a
n
?
3a
,求
a
1
n
(答:<
br>a
n
?
n?2
);
n?1
?1
3
四、三角函数
33.终边相同(β=2kπ+α);
弧长公式:
l?|
?
|R
,扇形面积公式:
S?
1
2
lR?
1
2
|
?
|R
2
,1弧度
(1rad)
?57.3
?
. 如已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形的中心角
是1弧度,求该扇形的面积
(2
cm
2
)
34.函数y=
Asin(
?
?x?
?
)?
b(
?
?0,A?0
)①五点法作图;②振幅?相位?初相?周期T=
2
?
?
,频率?;
φ=kπ+
?
2
时偶函数.③对称轴处y取最值.如(1)函数
y?
sin
?
?
5
?
?
2
?2x
?
?
?
的奇偶性是______(答:
偶函数);(2)已知函数
f(x)?ax
?bsin
3
x?1(a,b
为常数),且
f(5)?7
,则
f(?5)?
______
(答:-5);(3)函数
y?2cosx(sinx?
cosx)
的图象的对称中心和对称轴分别是__________、
___________
_(答:
(
k
??
k
?
2
?
8
,
1)(k?Z)
、
x?
2
?
?
8
(k?Z)
);(4)已知
f(x?)s?
?
in?(3x)?
?
为偶函数,
求
cos(x
?
的值。
)
(答:
?
?k
?
?
?
6
(k?Z)
)
④变换:φ正左移负右移;b正上移负下移;
4
y?sinx??
???
左或右平移|?|
?y?sin(x??)???????
横坐标伸缩到原来的
1
?
倍
??y?sin(
?
x??)
y
?sinx????????
横坐标伸缩到原来的
1
?
倍
y?sin
?
x?????
左或右平移|
?
?
|
?y?sin
(
?
x??)
???????
纵坐标伸缩到原来的A倍
?
y?Asin(
?
x??)?????
上或下平移|b|
?y?Asin(<
br>?
x??)?b
35.正弦定理:2R=
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
;
2
余弦
定理:a
2
=b
2
+c
2
-2bc
cosA
,
cosA?
b?c
2
?a
2
111
2bc;
S?
2
absinC?
2
bcsinA?
2
casinB
术语:坡度、仰角、俯角、方位角.
36.同角基本关系:如:已
知
tan
?
sin
?
?
tan
?
?1??1
,则
3cos
?
sin
?
?cos
?<
br>=____;
sin
2
?
?sin
?
cos
?
?2
=_________
(答:
?
513
3
;
5
);
37.诱导
公式简记:奇变偶不变
.....
,
.
符号看象限
.....
.(注意:公式中始终视
...
?
.
为锐角
...
).
38.重要公式:
sin
2
?
?
1?c
os2
?
;
cos
2
?
?
1?cos2
?
.
tan
?
??
1?cos
?
?
sin<
br>?
?
1?cos
?
2
;
1?sin
?
?(cos
?
?sin
?
2
)
2
?cos
?
2
21?cos
?
1?cos
?
sin
?22
?sin
?
2
如:函数
f(x)?5sinxcosx?5
3cos
2
x
?
5
2
3(x?R)
的单调递增区间
为___________(答:
[k
?
?
?
,k
?
?
5
?
1212
](k?Z)
)
巧变角:如
?
?(
?
?
?
)?
?
?(
?
??
)?
?
,
2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)
,
2
?
?(?
?
?
)?(
?
?
?
)
,
?
?
?
?2?
?
?
?
2
,
?
?
??
2
?
?
?
?
2
?
??
?
2
?
?
?
等),如(1)已知
tan(<
br>?
?
?
)?
2
?
1
?
3
5
,
tan(
?
?
4
)?
4
,那么
tan(
?
?
4
)
的值是_____(答:
22
)
;
39.辅助角公式中辅助角的确定:
asinx?bcosx?a
2
?
b
2
sin
?
x?
?
?
(其中
tan?
?
b
a
)
五、平面向量
40.向量定义、向量模
、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a
的相反向量是-<
br>a
。)、共线向量、相等向量
41.加、减法的平行四边形与三角形法则:
A
B?BC?AC
;
AB?AC?CB
42.向量数量积的性质:设两个非
零向量
a
,
b
,其夹角为
?
,则:
①
?
a?
?
b?
?
a?
?
b?0
;
②当
a
,
b
同向时,
a
?
b
=
?
ab
?
,特别地,
?
a
2
?
?
a?
?
a?
?
a
2<
br>,
?
a?
?
a
2
;当
a
与
b
反向时,
a
?
b
=-
?
ab
?
;当
?
为锐角时,
a
?
b
>0,且
?
a、
b
?
不同向,
?
a?b
?
?0
是
?
为锐角的必要非充分
条件
;当
?
为钝角时,
a
?
b
<0,且
?
a、 b
?
不反向,
?
a
?b
?
?0
是
?
为钝角的必要非充分条件;
③
|<
br>?
a?
?
b|?|
?
a||
?
b|
??
,2)
??
.如已知
a?(
?
,2
?
)
,
b?(3
?
,如果
a
与
b
的夹角为锐
角,则
?
的取值范围
是______(答:
?
??
4
3
或
?
?0
且
?
?
1
3
);
43.向量b在
a
方向上的投影︱b︱cos
?
=
a?b<
br>a
44.
e
?????
1
和
e
2
是平面一组基底,则该平面任一向量
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
(
?
1
,
?
2
唯一)
特别:.
OP
=
?
???
OA?
?
?
????
12
OB
则
?
1?
?
2
?1
是三点P、A、B共线的充要条件.如平面直角坐标系
??????
中,
O
为坐标原点,已知两点
A(3,1)
,
B(?1,3)
??
,若点
C
满足
OC
?
??
1
OA?
?
2
OB
,其中
?
1,
?
2
?R
且
?
1
?
?
2<
br>?1
,则点
C
的轨迹是_______(答:直线AB)
45.点<
br>P(x,y)
按
a
?
?(h,k)
平移得
P
?
(x
?
,y
?
)
,则
???
PP
?
?
=
a
?
或
?
?
x
??x?h
?
?
?y?k
函数
y?f(x)
按
a?(h,k)
平移
?
y
得函数方程为:
y?k?f(x?h)如(1)按向量
?
a
把
(2,?3)
平移到
(1,?2
)
,则按向量
?
a
把点
(?7,2)
?
平移到点_
_____(答:(-8,3));(2)函数
y?sin2x
的图象按向量
a
平移后,所得函数的
解析式是
y?cos2x?1
?
,则
a
=________(答:
(?
?
4
,1)
)
六、不等式
46.注意课本上的几个性质,另外需要特别注意:
①若ab>0,a
11
a
?
b
。即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不
等号方向要改变。②如
果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注
意分类讨论。
如:已知
?1?x?y?1
,
1?x?y?3
,则3x?y
的取值范围是______(答:
1?3x?y?7
);
47
.常用不等式:若
a,b?0
,(1)
a
2
?
2
b
2
?
a?
2
b
?ab?
1
2
(当
且仅当
a?b
时取等号) ;
a
?
1
b
(2)a、
b、c
?
R,
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca
(当且仅当
a?b?c
时,取等号);(3)若
5
a?b?0,m?0
,则
bb?m
a
?
a?m<
br>(糖水的浓度问题).如:若正数
a
、
b
满足
ab?a?b?
3
,则
ab
取值范围是 (
?
9,??
?
).
基本变形:①
a?b?
;
(
a?b
2
2
)?
.
注意:①一正
二定三取等;②积定和最小,和定积最大.如:①函数
y?4x?
9
2?4x
(x?
1
2
)
的最
小值 .(8)②若
x?2y?1<
br>,则
2
x
?4
y
的最小值是____(答:
22);
③正数
x,y
满足
x?2y?1
,则
1
x
?
1
y
的最小值为______(答:
3?22
);
七、立体几何
ab
?
48. 常用定理:①线面平行
b?
?
?
?
?a
?
;
?
?
?
a?
?
?
?
a?
?
?
?
?a
?<
br>;
a
?
②线线平行:
?
a?
?
?
?
?ab
;
a?
?
?
?
?
??
?
?
ab
?
?
?
?
?b
?
b?
?
ab
;
?
?
?
?
?
?a
?
?ab
;
?
?
?
?
?
?
b
?
ac
cb
?
?
a?
?
,b
?
?
?
③面面平行:
a?b?O
?
?
?
?
?
;
a?
?
?
?
?
?
<
br>?
;
a
?
,b
?
?
?
a?
?
?
④线线垂直:
a?
?
?
?
??a?b
;所成角90
0
b?
;
?
⑤线面垂直:a?
?
,b?
?
?
?
?
?
?
?
a?b?O
?
ab
?
?
?l?
?
;
?
?
?
?l
?
?
?a?
?
;
?
?
?
?a?
?
;
a?
?
??b?
?
l?a,l?b
?
?
a?
?
,a?l
?
a?
?
?
?
?
⑥面面垂直:
a?
?
?
a?
?
?
?
?
?
?<
br>;
?
49. 平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系
三棱锥中:侧棱长相等
?
顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱垂直
)
?
顶点在
底面射影为底面垂心;斜高相等
?
顶点在底面射影为底面内心;
50. 求球面两点A、B距离①求|AB|②算
球心角∠AOB弧度数③用公式L
球面距离
=θ
球心角
×R;纬线半
径r=Rcos纬度。S
2
4
球
=4πR;V
球
=
3
πR
3
.
51. 从点O引射线OA、OB、OC,若∠AOB=∠A
OC,则A在平面BOC的射影在∠BOC平分线上;若A到
OB与OC距离相等,则A在平面BOC的
射影在∠BOC平分线上;
52..长方体:对角线长定理
l
2
?a
2
?b
2
?c
2
?
?
a?b?c
?2
?2
?
ab?bc?ca
?
;正方体和长方体外
接球直径=体对角线长;常见几何体及组合体的三视图?多面体的表面积体积?
八、解析几何
53.倾斜角α∈
?
0,
?
?
,α
=90
0
斜率不存在;斜率k=tanα=
y
2
?y
1x
2
?x
1
54.直线方程:点斜式
y-y
1
=k(x-x
1
);斜截式y=kx+b; 一般式:Ax+By+
C=0两点式:
y?y
1
x?x
1
yy
?
x
;
2
?
1
x
2
?
1
截距式:
x
a
?
y
b
?1
(a≠0;b≠0);求直线方程时要防止由
于零截距和无斜率造成丢解,直线
Ax+By+C=0的方向向量为
a
=(B,-A)
55.两直线平行和垂直①若斜率存在l
1
:y=k
1
x+b
1
,l
2
:y=k
2
x+b
2
则l
1<
br>∥l
2
?
k
1
∥k
2
,b
1
≠b
2
;l
1
⊥
l
2
?
k
1<
br>k
2
=-1
②若l
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
=0,l
2
:A
2
x+B
2
y+C
2
=0,则l
1
⊥l
2
?
A
1
A
2
+B
1
B
2
=0
;
l<
br>1
l
2
?A
1
B
2
?A
2
B
1
,AC
12
?A
2
C
1
.
④l
1
∥l
2
则化x、y同系数后距离d=
|C
1
?C
2
|
;点线距d=
|Ax
0
?By
0
?C|
;
A
2
?B
2
A
2
?B
2
56.圆:标准方程(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
;一般方程:x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0(D
2+E
2
-4F>0) .
57.若(x-a)
2
+(y
22
(=r
2
,>r
2
),则 P(x
222
0
0
-b)
,y
0
)在圆(x-a)+(y-b)=r内(上、
外).
58.直线与圆关系,常化为线心距与半径关系,如:用垂径定理,构造Rt△解决弦长问题
,又:
d>r
?
相离;d=r
?
相切;d
相
交.
59.圆与圆关系,常化为圆心距与两圆半径间关系.设圆心距为d,两圆半径分别为r,R,则
d>r+R
?
两圆相离;d=r+R
?
两圆相外切;|R-r|
两圆相交;d=|R-r|
?
两圆相内切;d<|R-
r|
?
两圆内含;d=0,同心圆。
60.把两圆x
2
+y
2
+D
22
1
x+E
1
y+C
1
=0与x+y+D
2
x+E
2
y+C
2
=0方程相减即得相交弦所在直线方程
程;过曲线
f
1
(x,y)=0与曲线f
2
(x,y)=0交点的曲
线系方程为: f
1
(x,y)+λf
2
(x,y)=0
61.圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心)
62.过圆x
2
+y
2
=r
2
上点P(x
0
,y
0
)的切线为:x
2
0
x+y
0
y=r;过圆外点作圆切
线有两条.若只求出一条,则另
一条垂直x轴.
63.对称①点(a,b)关于x轴、y轴、
原点、直线y=x、y=-x、y=x+m、y=-x+m的对称点分别是(a,-
b),(-a,b)
,(-a,-b),(b,a),(-b,-a),(b-m、a+m)、(-b+m、-a+m)②点(a,b
)关于直线
Ax+By+C=0对称点用斜率互为负倒数和中点在轴上解③曲线f(x,y)=0关于点
(a,b)对称曲线为
f(2a-x,2b-y)=0;关于y=x对称曲线为f(y,x)=0;关于
轴x=a对称曲线方程为f(2a-x,y)=0;关于
轴y=a对称曲线方程为:f(x,2a-y)
=0;可用于折叠(反射)问题.
64.轨迹方程:直接法(建系、设点、列式、化简、定范围)、
定义法、几何法、代入法(动点P(x,y)
依赖于动点Q(x
1
,y
1)而变化,Q(x
1
,y
1
)在已知曲线上,用x、y表示x
1
、y
1
,再将x
1
、y
1
代入已知曲线
即
得所求方程)、待定系数法等.
十、概率与统计
65.
古典概率:①有限性②等可能性③P(A)= mn=
事件A包含的基本事件数
试验的基本事件总数
;如: 设10件
产品中有4件
次品,6件正品,求下列事件的概率:①从中任取2件都是次品;②从中任取5件
6 <
br>恰有2件次品;③从中有放回地任取3件至少有2件次品;(答:①
2
15
;②
10
21
;
③
3*4
2
*6?4
3
44
10
3
?
125
;) 互斥事件(不可能同时发生的):
P(A+B)=P(A)+P(B);对立事件
(A、B不可能同时发生,但A、B中必然有一发生):
P(
A
)+P(
A
)=1; (几何概型:P(A)=
?
A
?
其中
?
分母表示区域
?
的几何度量,分子表示区域?
的几何度量(长度、角度、面积、体积)。
66.总体、个体、样本、样本容量;抽样
方法:①简单随机抽样(包括随机数表法,抽签法)②分层抽
样(用于个体有明显差异时)
③系统抽样(等距抽样). 共同点:每个个体被抽到的概率都相等
n
N
。如:某中学
有高一学生400人,高二学生300人,高三学生300人,现通过分层抽样抽取
一个容量为n的样本
,已知每个学生被抽到的概率为0.2,则n= _______(答:1000*0.2=200);
67.直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率),横轴一般是数据的大小,
小矩形的面积表示频率;所有矩形面积的和等于1;茎叶图;表示的数据有何特征?
样本平均数:样
本方差:
s
2
?
1
n
[(x
2
?x)2
???(x
2
1
n
2
1
?x)?(x
2n
?x)]
?
n
?
(x
i
?x)
;
i?1
方差和标准差用来衡量一组数据相对平均值的波动大小,方差越大,说明这组数据的波动
越大。
提醒:若
x,x
2
1
,x
2
,?
n
的平均数为
x
,方差为
s
,则
ax
1
?
b,ax
2
?b,?,ax
n
?b
的平均数为
ax?b,
方差为
a
2
s
2
。如已知数据
x
1
,x
2
,
?
,x
n
的平均数
x?5
,方差
S
2
?
4
,则数据
3x
1
?7,
3x
2
?7,?,3x
n
?7
的平均数和标准差分别为
A.15,36 B.22,6 C.15,6
D.22,36 (答:B)
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