高一数学知识点总结及典型例题解析

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新课标必修3概率部分知识点总结及典型例题解析
? 事件：随机事件，确定性事件: 必然事件和不可
能事件
? 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机
事件
A
在
n
次 实验中发生了
m
次，当实验的次数
n
很大
时，我们称事件A发生的概 率为
P
?
A
?
?
m

n
说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又
存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事< br>件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性
又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可
能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③
随机事件的频率是指事件发生的 次数和总的试验次
数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近
摆动，且随着试验次数的 不断增多，这个摆动的幅度
越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事
件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出
的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体
的统计 的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率
的近似值
? 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随
机事件
A
，有
0?P
?
A
?
?1

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②
用?和?分别表示必然事件和不 可能事件,则有P
?
?
?
?1,P
?
?
?
?0
③如
果事件
A和B互斥,则有:P
?
A?B
?
?P
?
A
?
?P
?
B
?

? 古典概率：① 所有基本事件有限个 ② 每个基
本事件发生的可能性都相等 ， 满足这两个条件的
概率模型成为古典概型
如果一次试验的等可能的基本事件的个 数为个
n
，则每一个基本事件发生的概率都是
1
，如果某个
n
事件
A
包含了其中的
m
个等可能的基本事件，则事件
A
发 生的概率为
m
P
?
A
?
?
n

? 几何概型：一般地，一个几何区域
D
中随机地取一
点，记事件“改点落在 其内部的一个区域
d
内”
为事件
A
，则事件
A
发生 的概率为
d的侧度
P
?
A
?
?

D的侧度

（ 这里要求
D
的侧度不为0，其中侧度的意义 由
D
确
定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面
多变形的侧度为该图形 的面积；立体图像的侧度
为其体积 ）

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几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本
事件无限多
为了便于研究互斥 事件，我们所研究的区域都是指的
开区域，即不含边界，在区域
D
内随机地取点，指< br>的是该点落在区域
D
内任何一处都是等可能的，落
在任何部分的可能性大小只与 该部分的侧度成正
比，而与其形状无关。
?互斥事件：不能同时发生的两个事件称为互斥事件
对立事件：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个
事件为对立事件 ，事件
A
的对立事件 记为：
A

① 若
A , B 为互斥事件,则 A , B 中最多有一个发生,
可能都不发
生，但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事
件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 ②
对立事件是指的 两个事件，而且必须有一个发生，
而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发
生，可能都 不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件
④ 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集
合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全
集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤ 两
个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事
件的概率之和小于或者等于1 ⑥ 若事件
A,B
是
互斥事 件，则有
P
?
A?B
?
?P
?
A
?
?P
?
B
?
⑦ 一般地，如果

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A
1
,A
2
,...,A
n
两两互斥，

则

n
有
⑧
P
?
A
1
?A
2
?...?A
n
?
?P
?
A
1
?
?P
?
A
2
?
?.. .?P
?
A
n
?
P
?
A
?
?1? PA
12
??
⑨ 在本教材中
A?A?...?A
指的是
中至少发生一个 ⑩ ★ 在具体做题中，
A
1
,A
2
,...,A
n
希望大家一定要注意书写过程，设出事件来，利用
哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重
要的是要设出所求的事件来 ，具体的格式请参照
我们课本上的例题
?例题选讲：
例1. 在大小相同的6个球中，4个是红球，若从
中任意选2个，求所选的2个球至少有一个 是红球的
概率？
【分析】题目所给的6个球中有4个红球，2个其
它颜色的球，我们 可以根据不同的思路有不同的解法
解法：（基本事件一一列举略）
设事件
A
为“选取2个球至少有1个是红球” ，则
其互斥事件为
A
意义为“选取2个球都是其它
颜色球”

? P
?
A
?
?
(6?
1
5)
?
2
1114
? P
?
A
?
?1 - PA?1 - ?
151515
??

答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为
14
.
15
评价：本题重点考察我们对于概率基本知识的理解，

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综合所学的方法，根据自己的理解用不同的方法，但
是基本的解题步骤不能少!
变式训练1： 在大小相同的6个球中，2个是红球，
4 个是白球，若从中任意选取3个，求至少有1个是
红球的概率？
答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为
4
.
5
变式训练 2：盒中有6只灯泡，其中2只次品，4
只正品，有放回的从中任抽2次，每次抽取1只，试
求 下列事件的概率：
（1）第1次抽到的是次品
（2）抽到的2次中，正品、次品各一次
解：设事件
A
为“第1次抽到的是次品”， 事件
B
为“抽
到的2次中，正品、次品各一次”
则
P
?
B
?
?
P
?
A
?
?
21
?
63
，
P
?
B
?
?
4?2?2?4 4
?
6?69
（或者
24424
????
）
66669
答：第1次抽到的是次品的概率为
1
，抽到的2次中，
3
正品、次品各一次的概率为
4

9
变式 训练3：甲乙两人参加一次考试共有3道选择题，
3道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求（1）

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甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2）求至少1
人抽到选择题的概率？
【分析 】（1）由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲
抽到选择题而乙抽到填空题是独立的，所以可以用独立事件的概率（2）事件“至少1人抽到选择题”和
事件“两人都抽到填空题”时互斥事件，所以可 以用
互斥事件的概率来
解：设事件
A
为“甲抽到选择题而乙抽到填空题”， 事
件
B
为“至少1人抽到选择题”，则
B

为“两人都抽到填空题”

?
P
3
1
P3
1
3?33
?
333
（1）
P
?
A
?
???
?

或者P
?
A
?
???
?
2
?
6510
?
6?510
?< br>P
6
?
（2）
P
3
2
1
?
321
?
?
PB??? 或者PB?
2
?
?
?
655
?
5
?
P
6
?
????
则
P
?
B
?
?1?PB?1?
??
14< br>?

55
3
，少
10
答：甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为
人抽到选择题的概率为
4
.
5
1
变式训练4：一只口袋里装有5个大小形状相同的球，
其中3个红球，2 个黄球，从中不放回摸出2个
球，球两个球颜色不同的概率？
【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是1红1球，
要么是1黄1球

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略解:0.6
变式训练5：设盒子中有6个球，其中4个红球，2
个白球，每次人抽一个，然后放回，若连续抽两次，
则抽到1个红球1个白球的概率是多少？
略解:
P
?
A
?
?
4
?
2?
2
?
4
?
4?2
?
2?4
?
4


66666?66?69

高中数学必修三
第一章 算法初步
1.1 算法与程序框图

1、算法的概念
（1）算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”
通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是
程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效
的，而且能够在有限步之内完成.
（2）算法的特点:
①有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须
在有限操作之后停止，不能是无限的.
②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能
有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.
③顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若

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干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后
继步骤，前一步是后一步的前提，只 有执行完前
一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，
才能完成问题.
④不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯
一的，对于一个问题可以有不同的算法. ⑤普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的
算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有
限、事先设计好的步骤加以解决.
2、程序框图
（1）程序框图基本概念：
① 程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种
用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观
地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序
框；带箭头的流程线 ；程序框外必要文字说明。
②构成程序框的图形符号及其作用


程序框


名称
起止框
功能
表示一个算法的起始和结束，
是任何流程图不可少的。

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输入、输出
框
表示一个算法输入和输出的
信息，可用在算法中任何需要
输入、输出的位置。
赋值、计算，算法中处理数据
需要的算式、公式等分别写在
不同的用以处理数据的处理
框内。
判断某一条件是否成立，成立
处理框



判断框 时在出口处标明“是”或“Y”；
不成立时标明“否”或“N”。
学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作
用及使用规则，画程序框图的规则如下：
1、使用标准的图形符号。
2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
3、除 判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点
和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符
号。
4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两
分支的判断，而且有且仅有两个结 果；另一类是多分
支判断，有几种不同的结果。
3：算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、

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循环结构。
（1）顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语
句与语句 之间，框与框之间是按从上到下的顺序
进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成
的，它是 任何一个算法都离不开的一种基本算法
结构。
顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程 序框
自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示
意图中，A框和B框是依次执行的，只 有在执行完A
框指定的操作后，才能接着执行B框所
指定的操作。
（2）条件结构：
条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P
条件是否成立，只 能执行A框或B框之一，不可能同
时执行
A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。一
个判断结构可以有多个判断框。
（3）循环结构：
①一类是当型循环结构，它的功能是当给定的条件
P成立时，执行A框。
②另一类是直到型循环结构，直到某
A
P
成立
不成立
A
B

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一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，
离开循环结构。



当型循环结
循环结构
注意：1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需 要条件结构来判断。因此，循环结
构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。2在循环结构中都有一 个计数变量和累加变
量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般 是同步
执行的，累加一次，计数一次。
A
P
成
立
不成
立
构 直 到 型

1.2基本算法语句
1、输入、输出语句和赋值语句
（1）输入语句
①输入语句的一般格式

INPUT “提示内容”；变量

②输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；③“提
示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指 程序
在运行时其值是可以变化的量；④输入语句要求输入
的值只能是具体的常数，不能是函数、 变量或表达式；
⑤提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个
变量，变量与变量之间用 逗号“，”隔开。
（2）输出语句
①输出语句的一般格式
PRINT “提示内容”；变量

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②输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；③
“提示内容”提示用户输入什么样的信息， 表达式是
指程序要输出的数据；④输出语句可以输出常量、变
量或表达式的值以及字符。
（3）赋值语句
①赋值语句的一般格式
变量=表达式

②赋值 语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；
③赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号
的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将
赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量； ④
赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边
表达式可以是一个数据、常量或算式；⑤ 对于一个变
量可以多次赋值。
注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达
式 。如：2=X是错误的。②赋值号左右不能对换。如
“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。③ 不能
利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、
解方程等）④赋值号“=”与数学 中的等号意义不同。
5：条件语句
（1）条件语句的一般格式有两种：

①IF 条件 THEN
语句体
END IF

否
满足条件？
是
满足条件？
否
语句

是
语
语

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②IF条件 THEN
语句体1
ELSE
语句体2
END IF
6：循环语句
（1）WHILE语句
①WHILE语句的一般格式是 对
循环
应的程序框图是
是

WHILE 条件
循环体


WEND
否
（2）UNTIL语句
①UNTIL语句的一般格式是 对
应的程序框图是

DO

循环体
循环体

LOOP UNTIL 条件
否

满足条件？

是


满足条件？
第二章 统计
2.1 随机抽样
1：简单随机抽样
（1）总体和样本
①在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．
②把每个研究对象叫做个体．

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③把总体中个体的总数叫做总体容量．
④为了研究总体
质，一般从总体中
的有关性
随机抽取一部分：
，

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，
，
研究，我们称它为样本．其

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中个体的个数称为样本容量．
（2）简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体
中 不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调
查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同< br>（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一
定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它 各种抽样
形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小
和数目较少时，才采用这种方法。
（3）简单随机抽样常用的方法：
①抽签法②随机数表法③计算机模拟法③使用统计
软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容量 设计中，主要考虑：①总
体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。
（4）抽签法:
①给调查对象群体中的每一个对象编号；
②准备抽签的工具，实施抽签；
③对样本中的每一个个体进行测量或调查
（5）随机数表法：
2：系统抽样
（1）系统抽样（等距抽样或机械抽样）：
把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后
按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采

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用简单随机抽样的办法抽取。 K（抽样距离）
=N（总体规模）n（样本规模）
前提条件：总体中个体的排列对于研究的变 量来
说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的
规则分布。可以在调查允许的条件下，从 不同的样
本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差
别，说明样本在总体中的分布承某种 循环性规律，
且这种循环和抽样距离重合。
（2）系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的 抽
样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施
也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调 查
指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助
变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以 大
大提高估计精度。
3：分层抽样
（1）分层抽样（类型抽样）：
先将 总体中的所有单位按照某种特征或标志（性
别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各
个 类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的
办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来
构成总体的样本。
两种方法：

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①先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层
在总体中的比例从各层中抽取。
② 先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中
的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样
的方法抽取样本。
（2）分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同
质性较强的子总体，再 抽取不同的子总体中的样
本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总
体。
分层标准：
①以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变
量作为分层的标准。
②以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、
突出总体内在
结构的变量作为分层变量。
③以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。
样本容量各层样 本容量
?
（3）分层的比例问题：抽样比=
个体容量各层个体容量

①按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位
数目占总体单位
数目的比重来抽取子样本的方法。
②不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太

学习必备 欢迎下载 小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主
要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时，则
需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际
的比例结构。
4：用样本的数字特征估计总体的数字特征
（1）样本均值：
x?
x
1
?x
2
???x
n
n
2


(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
??? (x
n
?x)
2
s?s?
n
（2）样本标准差：
（ 3）众数：在样本数据中，频率分布最大值所对应
的样本数据（可以是多个）。
（4）中位数：在样本数据中，累计频率为1.5时所
对应的样本数据值（只有一个）。
注意：
①如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同
一个共同的常数，标准差不变
②如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的
常数k，标准差变为原来的k倍
③ 一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，
区间
(x?3s,x?3s)
的应用；
“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学

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道理
5、用样本的频率分布估计总体分布
（1）频率分布表与频率分布直方图
频率分布表盒频率分布直方图，是从各个小组数据
在样本容量中所占比例大小的角度，来表 示数据分布
规律，它可以使我们看到整个样本数据的频率分布情
况。
具体步骤如下：
第一步：求极差，即计算最大值与最小值的差.
第二步：决定组距和组数：组距与组数的确定 没有固
定标准，需要尝试、选择，力求有合适的组
数，以能把数据的规律较清楚地呈现为准.< br>太多或太少都不好，不利对数据规律的发现.
组数应与样本的容量有关，样本容量越大组
数越多.一般来说，容量不超过100的组数
在5至12之间.组距应最好“取整”，它与
有关 .
注意：组数的“取舍”不依据四舍五入，而是当
极差
极差
组距
极 差
组距
不
是整数时，组数=［
组距
］+1.
②频率分布折线图 ：连接频率分布直方图中各个小长

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方形上端的重点，就得到频率分布折线图。
③总体密度曲线：总体密度曲线反映了 总体在各个范
围内取值的半分比，它能给我们提
供更加精细的信息。
（2）茎叶图：茎是指中间的一列数，叶是指从茎旁
边生长出来的数。
.
6：变量间的相关关系：自变量取值一定时因变量的
取值带有一定随机性的两个变量之间的关系交相关关
系。对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法
叫做回归分析。
（1）回归直线 ：根据变量的数据作出散点图，如果
各点大致分布在一条直线的附近，就称这两个变
量之间具有 线性相关的关系，这条直线叫做回归
直线方程。如果这些点散布在从左下角到右上角
的区域，我 们就成这两个变量呈正相关；若从左
上角到右下角的区域，则称这两个变量呈负相
关。

第三章 概率
3.1 随机事件的概率
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，

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叫相对于条件S的
必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事
件，叫相对于条件
S的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对
于条件S的确定事
件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生
的事件，叫相对于
条件S的随机事件；
（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，
观察某一事件A
是否出现，称n次试验中事件A出现的次数
n
为事件
A
A出现的频数 ；称事件A出现的比例
次数的增加，事件A发生的频率
f
f
n
(A) ?
n
A
n
为事件A
出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试 验
n
(A)
稳定在某个常数
上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率 。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，
指此事件发生的次数
n
与试验总次数n的比值
A
n
A
n
，它具有一定的稳定性，总在某个 常数附近摆

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动，且随着试验次数的不断增多， 这种摆动幅度
越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概
率，概率从数量上反映了随机事件发 生的可能性
的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似
地作为这个事件的概率
2：概率的基本性质
（1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此
0≤P(A)≤1
（2）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（3）若A∩B为不可能事件，即A∩B=
?
，那么称事
件A与事件B互斥；
（4）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那
么称事件A与事件B互为对立事件；
（5）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪
B)= P(A)+ P(B)；
若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所
以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—
P(B)
（6）互斥事件与对立事件的区别与联系，互 斥事件
是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其
具体包括三种不同的情形：① 事件A发生且事件B
不发生；②事件A不发生且事件B发生；③事件A

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与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事
件B有且仅有一个发生，其包括 两种情形；④事件A
发生B不发生；⑤事件B发生事件A不发生，对立
事件互斥事件的特殊情形 。
3：基本事件
（1）基本事件：基本事件是在一次试验中所有可能
发生的基本结 果中的一个，它是试验中不能再分的最
简单的随机事件。
（2）基本事件的特点：①任何两个 基本事件是互斥
的②任何事件（除不可能事件外）都可以表示成基本
事件的和。
4：古典概型：
（1）古典概型的条件：古典概型是一种特殊的数学
模型，这种模型满足两个条件：
①试验结果的有限性和所有结果的等可能性。②所有
基本事件必须是有限个。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本 事件数，然后利用公式
p(A)?
A所包含的基本事件的个数
总的基本事件个数

5：几何概型

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（1）几何概率 模型：如果每个事件发生的概率只与
构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称
这样的 概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
p(A)?
构成事件A的区 域长度（面积或体积）
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
；
（3）几 何概型的特点：①试验中所有可能出现的结
果（基本事件）有无限多个；②每个基本事件出现的
可能性相等．
注意：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的
区别是试验的可能结果不是 有限个。其特点是
在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率
大小与随机事件所在区域的形状 位置无关，值
域该区域的大小有关。如果随即事件所在区域
是一个单点，由于单点的长度、面积 、体积均
为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能
事件；如果一个随机事件所在区域是全部 区域
扣除一个单点，则它出现的概率为1，但他不
是必然事件。
综上可得：必然事件的概率为1；不可能事件的概率
为0。
概率为1的事件不一定为必然事件；概率

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为0的事件不一定为不可能事件。