高中数学师生互动问卷调查报告-高中数学圆与方程是哪本书
2020年高一数学知识点汇总
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1.集合的含义。
2.集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性;如:世界上最高的山
(2)元素的互异性;如:由happy的字母组成的集合{h,a,p,y}
(3)元素的无序性;如{a,b,c}和{b,a,c}是同一个集合
3.
元素与集合的关系:
①
a?A
?
a
,a属于集合A ;
②
a?A
?
a
,a不属于集合A .
4.集合的表示:
(1)用拉丁字母表示集合:A={我校全体教师}
(2)集合的表示方法:列举法、描述法、Venn图。
即集合的表示方法:
?
有限集?列举法
集合
?
;
?
无限集?描述法
例如:①列举法:
{z,h,a,n,g}
;②描述法:
{xx?1}
.
注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 :N*或 N+
整数集:
Z
有理数集: Q
实数集:R
*
N
?
自然数集;
N?
正整数集;
Z?
整数集;
Q
?
有理数集;
R
?实数集;
?
?
空集;
C?
复数集;
???
?
?
Z?正整数集
?
?
Q?正有理数集
?
?
R?正实数集
?
?
?
?
?
?
??
Z?负整
数集
?
Q?负有理数集
?
R?负实数集
?
;;
?
.
5.集合的分类:
(1)有限集:含有有限个元素的集合
(2)无限集:含有无限个元素的集合
(3)空集:不含任何元素的集合
二、集合间的基本关系
“包含”关系—子集
①
A?B
?
集合
A
是集合
B
的子集;特
别地,
A?A
;
?
A?B
?A?C
?
?
B?C
.
注意:A
?
B有两种可能(1)A是B的一部分;(2)A与B是同一个集合
“相等”关系:
?
A?B
?
②
A?B
或
?
A?B
?
集合
A
与集合
B
相等;
A
?
?
B
③
?
集合
A
是集合
B的真子集.
注意:(1)任何一个集合是它本身的子集;
(2)真子集:如果A
?
B且A
?
B则称A是B的真子集
例:
N?Z?Q?R
?C
;
N
?
?
Z
?<
br>?
Q
?
?
R
?
?
C
.
④不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集,
空集是任何非空集合的真子集。
⑤集合的子集个数:
*
n(n?N
)
个元素,那么该集合有
2
n
个子集;
2
n
?1<
br>个真子集;
A
若集合有
2
n
?1
个非空子集;<
br>2
n
?2
个非空真子集.
三、运算类型 :交集、并集、补集 ①交集:
A?B?{xx?A且x?B}
?
集合
A
与集合
B
的交集;
交集:{1,2,3,4,5}
?
{2,4,6,8}={2,4}
③ 集
:
A?B?{xx?A或x?B}
?
集合
A
与集合
B
的并集;
并集:{1,2,3,4,5}
?
{2,4,6,8}={1,2,3,
4,5,6,8}
③补集:设
U
为全集,集合
A
是
U的子集,则由
U
中所有不属于
A
的元素组
CA
成的集合
,叫做集合
A
在全集
U
中的补集,记作
U
.
补集
:U={1,2,3,4,5,6,7,8}A={1,3,5,7}
C
u
A?
{2,4,6,8}
④得摩根定律:
C
U
(AB)?C
U
AC
U
B
;
C
U
(AB)?C
U
AC<
br>U
B
二、函数的有关概念
1、函数的概念:
对应法则f
??
因变量
y
,(1)若自变量
x???
则
y就是
x
的函数,记作
y?f(x),x?D
;
x
的取值
范围
D
?
函数的定义域;
y
的取值范围
?
函数的值
域.
(2)判断是否函数图像的方法:任取平行于
y
轴的直线,与图像最多只有一个公共点;
2.求定义域一般需要注意:
1
,
f(x)?0
;
②
y?
n
f(x)
,
f(x)?0
;
f(x)
①
y?
②
y?(f(x))
0
,
f(x)?0
;
④
y?log
a
f(x)
,
f(x)?0
;
⑤
y?log
f(x)
N
,
f(x)?0
且f(x)?1
.
3.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法 (3)代换法
4.判断两个函数是否同一个函数的方法:
①定义域是否相同;②对应法则是否相同.
2、函数的基本性质:
(1)奇偶性:
函数
y?f(x),x?D
“定义域
D
关于0对称”成立
①“定义域
D
关于0对
称”;
②“
f(x)?f(?x)
”;③
前提条件
f(x)?f(?x)
f(x)??f(?x)
“
f(x)??f(?x)
”
①不成立或者
成立 成立
?
①成立
?
?
②、③都不成立
奇偶性
奇偶函数
图像性质
注意:定义域包括0的奇函数必过原点
O(0,0)
.
偶函数 奇函数
非奇非偶函数
关于
y
轴对称
关于
O(0,0)
对称
(2)单调性和最值:
前提条件
y?f(x),x?D
,
I?D
,任取<
br>x
1
,x
2
?区间I
单调增函数
?x
1
?x
2
?
x
1
?x
2
或
?
?
f(x)?f(x)f(x)?f(x)
1212
?
?
?
x
1
?x
2
?
x
1
?x2
或
??
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
任取
x?D
,存在x
0
?D,f(x)?f(x
0
)
单调减函数
最小值
y
min
?f(x
0
)
最大值
y
max
?f(x
0
)
任取x?D,存在x
0
?D,f(x)?f(x
0
)
①复合函数的单调性:
函数
外函数
y?f(x)
内函数
y?g(x)
复合函数
y?f[g(x)]
单调性
②如果函数
y?f(x)
在某个区间I
上是增(减)函数,那么函数
y?f(x)
在区
间
I
上是单调函数,区间
I
叫做函数
y?f(x)
的单调区间.
(3)
零点:若
y?f(x),x?D
,
c?D
且
f(c)?0
,
则
x?c
叫做函数
y?f(x)
的
零点.
?
存在x
0
?(a,b)
?
y?f(x),x?[a,b]
?
?
f(a)?f(b)?0
?
?
f(x
0
)?0
零点定理:
?
;特别地,当
y?f(x),x?[
a,b]
是单调函数,且
f(a)?f(b)?0
,则该函数在区间
[a,b
]
上有且
仅有一个零点,即存在唯一
x
0
?(a,b)
,使
得
f(x
0
)?0
.
(4)平移的规律:“左加右减,下加上减”.
(5)对称性:
函数
向左平移
k
向右平移
k
向上平移
h
向下平移
h
备注
y?f(x?k)
y?h?f(x)
y?h?f(x)
k,h?0
y?f(x)
y?f(x?k)
①轴对称的两个函数:
函
数
对
称
轴
函
数
?y?f(x)
y?f(?x)
x?f(y)
y?f(x)
x
轴
y
轴
y?x
y??x
x?m
y?n
?x?f(?y)
y?f(2m?x)
2n?y?f(x)
②中心对称的两个函数:
函数
y?f(x)
对称中心
(m,n)
函数
2n?y?f(2m?x)
③轴对称的函数:
函数
对称轴
条件
y?f(x)
y
轴
f(x)?f(?x)
x?m
f(x)?f(2m?x)
注意:
f(a?
x)?f(b?x)
?
f(x)
关于
x?
a?b
2
对称;
f(a?x)?f(a?x)
?
f(x)
关于
x?a
对称;
f(x)?f(?x)
?
f(x)
关于
x?0
对称,即
f(x)
是偶函数.
④中心对称的函数:
函数
对称中心
条件
y?f(x)
(m,n)
f(x)?2n?f(2m?x)
a?bc
,)
f(x)
f(a?x)?f(b?x)?c
?
22
对称;
注意:关于点
(
a?b
,0)
f(x)
f(a?x)?f(b?x)
?0
?
2
关于点对称;
(
f(a?x)?f(a?x)?2b
?
f(x)
关于点
(a,b)<
br>对称;
f(x)?f(?x)?0
?
f
(x)
关于点
(0,0)
对称,即
f(x)
是奇函数.
(7)翻折:
函数 翻折后
翻折过程
将
y?f(x)
在
y
轴右边的图像不变,并将其翻折到<
br>y
轴左
边,并覆盖.
将
y?f(x)
在
x
轴上边的图像不变,并将其翻折到
x
轴下
边,并覆盖.
第一步:将
y?f(x)
在
y
轴右边的图像不变,并将其翻
y?f
(x)
y?f(x)
y?f(x)
y?f(x)
折到左边,并覆盖;
第二步:将
x
轴上边
的图像不变,并将其翻折到
x
轴下
边,并覆盖.
将
y?f(x)<
br>在
x
轴上边的图像保持不变,并将
x
轴下边的
图像翻折到
x
轴上边,不覆盖.
y?f(x)
(8)周期性:
若
y?f(x),x?R
,
?T?0
,
任取x?R
,恒有
f(x?T)?f(x)
,则称
T
为这
个函数的周期. <
br>注意:若
T
是
y?f(x)
的周期,那么
kT(k?Z,k?
0)
也是这个函数的周期;
周期函数的周期有无穷多个,但不一定有最小正周期.
T
?a?b
a?b
?
f(x)
是周期函数,①
f(x?a)?f(x?
b)
,且其中一个周期;
②
f(x)??f(x?p)
,
p?0<
br>?
T?2p
;
T?2a?b
③
f(x?a)??f(x?b)
,
a?b
?
;
11f(x)??
f(x?p)
,
p?0
?
T?2p
;
f(x?p)
或
f(x)?
④
f(x)?
⑤
1?f(x?p)f(x?p)?1
f
(x)?
1?f(x?p)
或
f(x?p)?1
,
p?0
?
T?2p
;
1?f(x?p)f(x?p)?1
f(x)?
1?f
(x?p)
或
f(x?p)?1
,
p?0
?
T?4p
;
f(x)?
⑥
T?2a?b
⑦
f(x)
关于直线
x?a
,
x?b
,
a?b
都对称
?
;
T?2a?b
⑧
f(x)
关于两点
(a,c)
,
(b,c)
,
a?b
都成中心对称
?
;
⑨
f(x)
关于点
(a,c)
,
a?0
成中心对称,且关于
直线
x?b
,
a?b
对称
?
T?4a?b
;
?f(x?na)?m
(
m
为常数,
n?N
*
),
⑩若
f(x)?f(x?a)?f(x?2a)?
则
f(x)
是以
(
n?1)a
为周期的周期函数;
若
f(x)?f(x?a)?f(x?2a)??f
(x?na)?m
(
m
为常数,
n
为正偶数),
则
f(x)
是以
2(n?1)a
为周期的周期函数.
第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果
x
n
?a
,那么x就叫做a的n次方根,
n>1,
n?N
*
。
2.分数指数幂:
a?a(
a?0,m,n?N,n?1)
a
?
m
n
m
n
n<
br>m*
?
1
n
a
m
(a?0,m,n?N
*<
br>,n?1)
正数的分数指数幂的意义,规定:
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质:
(1)aa?a
(2)(a)?a
r
rs
rsr?s
rs
rr
(3)(ab)?ab
(a?0,r,s?R)
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函
数
y?a
x
(a?0,a?1)
叫做指数函数,其中x
是自变量,函
数定义域为R。
2、指数函数的图象和性质
指数函数图像及其性质:
y?a
x
(a?1)
y?a
x
(0?a?1)
图像
定义域
值域
奇偶性
渐近线
单调性
在
(??,??)
上单调递增;
R
(0,??)
非奇非偶函数
x
轴
在
(??,??)
上单调递减;
①指数函数
y?a
x
的函数值恒大于零;
②指数函数
y?a
x
的图像经过点
(0,1)
;
性质
③当
x?0
时,
y?1
;
③当
x?0
时,
0?y?1
;
当
x?0
时,
0?y?1
.
当
x?0
时,
y?1
.
3、判断指数函数
y?a
x
中参数
a
的大小:
方法一:
y?a
x
与直线
x?m(m?0)
的交点越靠上,
a
越大;
方法二:
y?a
x
与直线
x?m(m?0
)
的交点越靠下,
a
越大.
(二)、对数函数
1.对数的概念:
一般地,如果
a
x
?N(a?0,a?1)
,那么数x叫做以a为底N
的对数,记作:
x?log
a
N
2.对数的运算性质
如果
a?0,a?1M?0,N?0
,那么:
log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
M
?lo
g
a
M?log
a
N
N
log
a
M
n
?nlog
a
M
log
a
log
c
b
*log
a
b?(a?0,a?1,c?0,c?1,b?0)
log
c
a
3.对数函数的概念:函数
y?log
a
x(a?
0,a?1)
叫做对数函数。其中x
是自变量,函数的定义域是
(0,??)
4.对数函数的图像及其性质
y?log
a
x(a?1)
y?log
a
x(0?a?1)
图像
定义域
值域
奇偶性
渐近线
单调性
在
(0,??)
上单调递增;
(0,??)
R
非奇非偶函数
y
轴
在
(0,??)
上单调递减;
①对数函数
y?log
a
x
的图像在
y
轴的右方;
②对数函数
y?log
a
x
的图像经过点
(1,0)
;
性质
③当
x?1
时,
y?0
;
当
0?x?1
时,
y?0
.
③当
x?1
时,
y?0
;
当
0?x?1
时,
y?0
.
4、判断对
数函数
y?log
a
x,x?0
中参数
a
的大小:
方法一:
y?log
a
x,x?0
与直线
y?m(m
?0)
的交点越靠右,
a
越大;
方法二:
y?log
a
x,x?0
与直线
y?m(m?0)
的交点越靠左,
a
越大.
(三)幂函数
(1)幂函数的定义:
形如<
br>y?x
a
(a?R)
的函数称作幂函数,定义域因
a
而异.
(2)当
a?0,1
时,幂函数
y?x
a
(a?R)
在区间
[0,??)
上的图像分三类,如图所
示.
(3)作幂函数
y?x
a
(a?0,1)
的草图,可分两步:
①根据
a
的大小,作出该函数在区间
[0,??)
上的图像;
②根据该函数的定义域及其奇偶性,补全该函数在
(??,0]
上的图像.
(4)判
断幂函数
y?x
a
(a?R)
的
a
的大小比较:
方法一:
y?x
a
(a?R)
与直线
x?m(m?1)
的交
点越靠上,
a
越大;
方法二:
y?x
a
(a?R)
与直线
x?m(0?m?1)
的交点越靠下,
a
越大
ax?b
(c?0)
的变形幂函数的作图:
cx?d
d
a
①作渐近线(用虚线):
x??
、
y?
;
c
c
(5)关于形如
y?
b
②选取特殊点:任取该函数图像上一点,建议取
(0,)
;
d
③
出大致图像:结合渐近线和特殊点,判断图像的方位(右上左下、左上
右下).
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念: 对于函数y=f(x)(x
?
D),我们把使f(x)=0成
立的实数x叫做y=f(x)(x
?
D)的零点。
2、函数零点的意义:函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标。
即:方程f(x)=0
有实根=函数y=f(x)的图像与x轴有交点=函数y=f(x)
有零点
3、函数零点的求法:
代数法:求f(x)=0的实数根。
几何法:对于不能用求根公式的方程,图形结合,利用函数的性质找出零
点。
4、二次函数的零点:
y?ax
2
?bx?c(a?0)
(1) >0,方程有两个不等实根;
(2) =0,方程有两个相等实根;
(3) <0,方程无实根。
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的根的判别式
△?b
2
?4ac?0
△?b
2
?4ac?0
△?b
2
?4ac?0
y?ax
2
?bx?c(a?0)
ax
2
?bx?c?0(a?0)
{x
1
,x<
br>2
}
,
x
1
?x
2
{x
0
}
?
5.函数的模型。
— END —
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