2019年高一数学知识点总结

2019年高一数学知识点总结

高一数学必修一知识点总结

第一章 集合与函数概念

一、集合相关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性如：世界上的山

（2）元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

（3）元素的无序性： 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印
度洋,北冰洋}

（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：X Kb 1.C om

非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集 ：N*或 N+

整数集： Z

有理数集： Q

实数集： R

1）列举法：{a,b,c……}

2) 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示
集合{xR|x-3>2} ,{x|x-3>2}

3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4) Venn图：

4、集合的分类：

(1)有限集 含有有限个元素的集合

(2)无限集 含有无限个元素的集合

(3)空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之： 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

即：① 任何一个集合是它本身的子集。AA

② 真子集：如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A
B(或B A)

③ 如果 AB, BC ,那么 AC

④ 如果AB 同时 BA 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定： 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

4.子集个数：

有n个元 素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非
空子集，含有2n-1个非空真子集

三、集合的运算

运算类型 交 集 并 集 补 集

定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交
集．记作A B（读作‘A交B’），即A B=｛x|x A，且x B｝．

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并
集．记作：A B（读作‘A并B’），即A B ={x|x A，或x B})．

设S是一个集合，A是 S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成
的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

记作 ，即

CSA=

示

性

质 A A=A

A Φ=Φ

A B=B A

A B A

A B B

A A=A

A Φ=A

A B=B A

A B Ａ

A B B

(CuA) (CuB)

= Cu (A B)

(CuA) (CuB)

= Cu(A B)

A (CuA)=U

A (CuA)= Φ．

二、函数的相关概念

1．函数的概念

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集 合
A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就
称f：A→B为从 集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，
x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫 做函数的定义域；与x
的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数
的值域．

注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不能够等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母
无关）；

②定义域一致 (两点必须同时具备)

2．值域 ： 先考虑其定义域

(1)观察法 (2)配方法 (3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：

在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函
数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的
图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过 来，以
满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .

(2) 画法

1.描点法： 2.图象变换法：常用变换方法有三种：1）平移变换2）伸
缩变换3）对称变换

4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，
使对于集合A中的任意一个 元素x，在集合B中都有确定的元素y与之
对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作
“f（对应关系）：A（原象） B（象）”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象能够是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、
g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D 内的
任意两个自变量x1，x2，当x11，且 ∈ *．

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作 。

当 是奇数时， ，当 是偶数时，

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

，

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1） ；

（2） ；

（3） ．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，
函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

a>1 01 0