高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何(经典必看)

56. 你对向量的有关概念清楚吗？
（1）向量——既有大小又有方向的量。


（2）向量的模——有向线段的长度，|a|

?
?

（3）单位向量|a
0
|?1，a
0
?

（4）零向量0，|0|?0

??
??
a
|a|
?

?
长度相等
??

（5）相等的向量?
?
a?b

方向相同
?
在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。

b∥a(b?0)?存在唯一实数?，使b??a

（7）向量的加、减法如图：
??????

???

OA?OB?OC

???

OA?OB?BA

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

e
1
，e
2
是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一

1
???

实数对?
1
、?
2
，使得a??
1
e
1
??
2
e
2
，e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量

?????
的一组基底。
（9）向量的坐标表示


i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得

?
? ?
a?xi?yj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：a?
?
x，y
?< br>，即为向量的坐标

????
表示。

设a?
?
x
1
，y
1
?
，b?
?
x
2
，y
2
?


则a?b?
?
x1
，y
1
?
?
?
y
1
，y
2
?
?
?
x
1
?y
1
，x
2
?y
2
?


?a??
?
x
1
，y
1
?
?
?
?x
1
，?y
1
?


若A
?
x
1
，y
1
?
，B
?
x
2
，y
2
?

?

则AB?
?
x
2
?x
1
，y
2
?y
1
?

?

|AB| ?
?
??
??
?
x
2
?x
1
?< br>2
?
?
y
2
?y
1
?
2
， A、B两点间距离公式

57. 平面向量的数量积

（1）a·b?|a|·|b|cos?叫做向量a与b的数量积（或内积）。


?为向量a与b的夹角，??
?
0，?
?


B
??
??????
?

b

O
?

?
a

D A
2

数量积的几何意义：

a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos?的乘积。

（2）数量积的运算法则

①a·b?b·a


②(a?b)c?a·c?b·c


③a·b?
?
x
1
，y
1
?
·
?
x
2
，y2
?
?x
1
x
2
?y
1
y
2


注意：数量积不满足结合律(a·b)·c?a·(b·c)


（3）重要性质：设a?
?
x
1
，y
1< br>?
，b?
?
x
2
，y
2
?


①a⊥b?a·b?0?x
1
·x
2
?y
1
·y
2
?0


②a∥b?a·b?|a|·|b|或a·b??|a|·|b|


?a??b（b?0，?惟一确定）


?x1
y
2
?x
2
y
1
?0


③a?|a|?x?y，|a·b|?|a|·|b|

22
1
2< br>1
?
2
?????
???
??????????
?? ??
??????
???????
????
?????
??
??
?

④cos??
［练习］
a·b
?
?
|a|·|b|
?
?
x
1
x
2
?y1
y
2
x?y·x?y
2
1
2
1
2< br>2
2
2

?
?
?
?
?
?

（1）已知正方形ABCD，边长为1，AB?a，BC?b，AC?c，则

|a?b?c|?
???

答案：
22


（2）若向量a?
?
x，1
?
，b?
?
4，x?
，当x?
??
时a与b共线且方向相同

??
答案：2
3

（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹 角为60，那么|a?3b|?
o
????

答案：
13

58. 线段的定比分点

设P
1
?
x
1
，y
1
?
，P
2
?x
2
，y
2
?
，分点P
?
x，y
?< br>，设P
1
、P
2
是直线l上两点，P点在

??l上且不同于P
1
、P
2
，若存在一实数?，使P
1
P ??PP
2
，则?叫做P分有向线段

?
P
1
P< br>2
所成的比（??0，P在线段P
1
P
2
内，??0，P在P
1
P
2
外），且

x
1
??x
2
x
1
?x
2
?
?
x?
x?
??
??
1??
2
，P为P
1
P
2
中点 时，
?

?

y??yy?y
22
?
y?
1
?
y?
1
?
?
1??2
?
?

如：?ABC，A
?
x
1
，y
1?
，B
?
x
2
，y
2
?
，C
?
x
3
，y
3
?


则?ABC重 心G的坐标是
?
?
x
1
?x
2
?x
3y?y
2
?y
3
?
，
1
?

??
33
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线∥线???线∥面???面∥面
性质

?
判定
???线⊥线???线⊥面???面⊥面????

线∥线???线⊥面???面∥面
线面平行的判定：

a∥b，b?面?，a???a∥面?

a

b
??


4

线面平行的性质：

?∥面?，??面?，????b?a∥b

三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面?，AO为PO在?内射影，a?面?，则


a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO






P
??
O
a

线面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥?

a


O
α b c

面面垂直：

a⊥面?，a?面???⊥?


面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?


α a


l


β


a⊥面?，b⊥面??a∥b


面?⊥a，面?⊥a??∥?

5

a b



??

60. 三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

?＝0
o
时，b∥?或b??



（3）二面角：二面角??l??的平面角?，0
o
???180
o



（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，
连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）
6

三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［练习］
（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过
O点任一直线。

证明：cos??cos?·cos?

A



θ
O
β


B
????????????????????????C?
D
α


（?为线面成角，∠AOC=?，∠BOC=?）

（2）如图，正四棱柱ABCD—A
1
B
1
C
1< br>D
1
中对角线BD
1
＝8，BD
1
与侧面B
1
BCC
1
所成的为30°。
①求BD
1
和底面ABCD所成的角；
②求异面直线BD
1
和AD所成的角；
③求二面角C
1
—BD
1
—B
1
的大小。
7

D
1
C
1


A
1
B
1
H

G
D C

A B


（①arcsin；②60
o
；③arcsin3
4
6
）

3
（3）如图ABCD为菱形，∠ DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且
PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。
P F



D C


A E B

（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点， 作PF∥AB，
则PF为面PCD与面PAB的交线……）
61. 空间有几种距离？如何求距离？
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的
长（如：三垂线定理法 ，或者用等积转化法）。
如：正方形ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，棱长为a，则：
（1）点C到面AB
1
C
1
的距离为___________；
（2）点B到面ACB
1
的距离为____________；
8

（3）直线A
1
D
1
到面AB
1< br>C
1
的距离为____________；
（4）面AB
1
C与面A
1
DC
1
的距离为____________；
（5）点B到直线A
1
C
1
的距离为_____________。
D C

A B




D
1
C
1


A
1
B
1


62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

Rt?SOB，Rt?SOE，Rt?BOE和Rt?SBE

它们各包含哪些元素？

S
正棱锥侧
?C·h'（C——底面周长，h'为斜高）


V
锥
?底面积×高

63. 球有哪些性质？

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面r?R
2
?d
2

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，
9
1
2
1
3

要找球心角！
（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面
面成角。


（4）S
球
?4?R
2
，V
球
??R
3< br>
（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半
径R与内切球 半径r之比为R：r＝3：1。

如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面

4
3
积为（ ）

A.3?
答案：A
64. 熟记下列公式了吗？

（1）l直线的倾斜角??< br>?
0，?
?
，k?tan??
y
2
?y
1< br>?
?
?
?
??，x
1
?x
2
?
?
x
2
?x
1
?
2
?
B. 4?C.33?D.6?


P
1
?
x
1< br>，y
1
?
，P
2
?
x
2
，y
2
?
是l上两点，直线l的方向向量a?
?
1，k
?

（2）直线方程：

点斜式：y?y
0
?k
?
x?x
0
?
（k存在）


斜截式：y?kx?b


截距式：??1


一般式：Ax?By?C?0（A、B不同时为零）

10
x
a
y
b

（3）点P
?< br>x
0
，y
0
?
到直线l：Ax?By?C?0的距离d?
（4）l
1
到l
2
的到角公式：tan??

l
1
与l
2
的夹角公式：tan??
k
2
?k
1

1?k
1
k
2
Ax
0
? By
0
?C
A?B
22

k
2
?k
1

1?k
1
k
2
65. 如何判断两直线平行、垂直？

A
1
B
2
?A
2
B
1
?
?
?l
1
∥l
2

A
1
C
2
?A
2
C
1
?

k
1
?k
2
?l
1
∥l
2
（反之 不一定成立）


A
1
A
2
?B
1
B
2
?0?l
1
⊥l
2


k
1
·k
2
??1?l
1
⊥l
2


11