高中数学教学叙事与反思-高中数学必修一封皮
高中数学必修2知识点
一、直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角
叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行
或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取
值范围是0°≤α<180°
(2)直线的斜率
①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾
斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常
用k表示。即
k?tan
?
。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
?
当
?
?0
?
,90?
时,
k?0
;
当
?
?90
?
,180
?
时,
k?0
;
当
?
?90
时,
k
不存
在。
?
???<
br>②过两点的直线的斜率公式:
k?
y
2
?y
1
(x<
br>1
?x
2
)
x
2
?x
1
注意下面四点:(1)当
x
1
?x
2
时,公式右边无意义,直线的
斜率不存在,倾斜角为90°;
(2)
k
与
P
1
、
P
2
的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求
得
;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(3)直线方程
①点斜式:
y?y
1
?k(x?x
1
)
直线斜率k,且过点
?
x
1
,y
1
?
注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是
y=y
1
。
当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因
l
上每一点的
横坐标都等于
x
1
,所以它的方程是
x
=
x
1。
②斜截式:
y?kx?b
,直线斜率为
k
,直线在
y
轴上的截距为
b
③两点式:
④截矩式:
y?y
1
x?x
1
?
(
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)直线两点
?
x
1
,y
1
?
,
?
x
2
,y
2
?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
?
?1
ab
其中直线
l
与
x
轴交于点
(a
,0)
,与
y
轴交于点
(0,b)
,即
l
与
x
轴、
y
轴的截距分别为
a,b
。
⑤一般式:
Ax?By?C?0
(A,B不全为0)
1
各式的适用范围 ○
2
特殊的方程如:
注意:○
平行于x轴的直线:
y?b
(b为常数);
平行于y轴的直线:
x?a
(a为常数);
(5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线
(一)平行直线系
平行于已知直线
A
0
x?B
0
y?C
0
?0
(
A
0
,B
0
是不全为0的常数)的直线系:
A
0
x?
B
0
y?C?0
(C为常数)
(二)过定点的直线系
(ⅰ)斜率
为
k
的直线系:
(ⅱ)过两条直线
l
1
:
为 y?y
0
?k
?
x?x
0
?
,直线过定点?
x
0
,y
0
?
;
A
1
x
?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点的直线系方程
,其
中直线
l
2
不在直线系中。
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
?
?
A
2
x?
B
2
y?C
2
?
?0
(
?
为参数)
(6)两直线平行与垂直
当
l
1
:y?k
1
x?b1
,
l
2
:y?k
2
x?b
2
时,
l
1
l
2
?k
1
?k
2
,b1
?b
2
;
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。
(7)两条直线的交点
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
l
2
:A
2<
br>x?B
2
y?C
2
?0
相交
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
交点坐标即方程组
?
的一组
解。
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
方程组无解
?l
1
l
2
;
方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重合
Bx
2
,y
2
)
(8)两点间距离公式:设
A(x
1<
br>,y
1
),(
是平面直角坐标系中的两个点,
则
|AB|?
(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
(9)点到直线距离公式:一点
P
?
x
0
,y
0
?
到直线
l
1
:Ax?By?C
?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0
?C
A
2
?B
2
(10)两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。
二、圆的方程
1、圆
的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的
半径。
2、圆的方程
(1)标准方程
?
x?a
?
?
?<
br>y?b
?
?r
2
,圆心
22
?
a,b
?
,半径为r;
?
22
?
(2)一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
DE
?
,半径为<
br>r?
1
D
2
?E
2
?4F
当
D?
E?4F?0
时,方程表示圆,此时圆心为
?
?
?,?
?
2
2
2
当
D?E?4F?0
时,表示一个点;
当
D?E?4F?0
时,方程不表示任何图
形。
(3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:
(1)设直
线
l:Ax?By?C?0
,圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
,圆心
C
?
a,b
?
到
l
的距离
为
d?
A
a?Bb?C
,则有
d?r?l与C相离
;
d?r?l与C相切
;<
br>d?r?l与C相交
A
2
?B
2
2222
(2)设直线
l:Ax?By?C?0
,圆
C:
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
2
,先将方程联立消元,得到<
br>一个一元二次方程之后,令其中的判别式为
?
,则有
??0?l与C相离;
??0?l与C相切
;
??0?l与C相交
2
注:
如果圆心的位置在原点,可使用公式
xx
0
?yy
0
?r
去
解直线与圆相切的问题,其中
x
0
,y
0
表示切点坐标,r表示半径
。
(3)过圆上一点的切线方程:
2
①圆x
2
+y
2
=r
2
,圆上一点为(x
0
,y
0
),则过此点的
切线方程为
xx
0
?yy
0
?r
(课本命题).
②圆(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
,圆上一点为(
x
0
,
y
0
),则过此点的切线方程为(x
0
-a
)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)= r
2
(课本命题的推广).
4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(
d
)之间的大小比较来确定。
设圆
C
1
:
?
x
?a
1
?
2
?
?
y?b
1
?
2<
br>?r
2
,
C
2
:
?
x?a
2
?
2
?
?
y?b
2
?
2
?R
2
两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(
d
)之间的大小比较来确定。
当
d?R?r
时两圆外离,此时有公切线四条;
当
d?R?r
时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;
当
R?r?d?R?r
时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;
当
d?R?r
时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;
22
??
当
d?R?r
时,两圆内含;
当
d?0
时,为同心圆。
三、立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征
(1)棱柱:定义:有两个面互相平
行,其余各面都是
四边形,且每相邻两个四边形的公共边都
互相平行,由这些面所围成的几何体
。
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱
柱、四棱柱、五棱柱等。
表
示:用各顶点字母,如五棱柱
ABCDE?ABCDE
或用对
角线的端点字母,如五棱
柱
AD
几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、
对角面都是平
行四边形;侧棱平行且相等;
平行于底面的截面是与底面全等的多边
形。
(2)棱锥
定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共
顶点的三角形,由这些面所围成的几何体
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱
锥、四棱锥、五棱锥等
表示:用各顶点字母,如五棱锥
P?ABCDE
几何特征:侧面、对角面都
是三角形;平行于底面的
截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面
'''''
''''''
距离与高的比的平方。
(3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截
棱锥,截面和底面之间的部分
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱
态、四棱台、五棱台等
表示:用各顶点字母,如五棱台
P?ABCDE
几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面
是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点
(4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,
其余三边旋转所成的曲面所围成的几何
体
几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③
轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图
是
一个矩形。
(5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转
轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;
③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截
圆锥,截面和底面之间的部分
几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原
圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
(7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,
半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球
心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图
定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面
正投影);侧视图(从左向右)、
俯视图(从上向下)
注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反
映了物体的高度和长度;
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反
映了物体的长度和宽度;
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映
了物体的高度和宽度。
'''''
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点:①原来与x轴平行的线段仍然与x
平行且长度不变;
②原来与y轴平行的线段仍然与y
平行,长度为原来的一半。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,
h
为斜高,l为母线)
1
S
直棱柱侧面积
?ch
S
圆柱侧
?2
?
rh
S?ch'
2
S
圆锥侧面积
?
?
rl
1
?(r?R)
?
l
S?(c?c)h'
S
2
S
圆柱表
?2
?
r
?
r?l
?
S?
?
r
?
r?l
?
S?
?
?
r?rl?Rl?R
?
(3)柱体、锥体、台体的体积公式
1
V
柱
?Sh
V
圆柱
?S?h
?
2
r
h
V?
1
S
h
V?
?
rh
'
正棱锥侧面积
正棱台侧面积
12
圆台侧面积
圆
锥表
22
圆台表
2
锥
3
圆锥
3
1
V
台
?(S
'
?S
'
S?S)h
3
11
'2
V
圆台
?(S
'
?SS?S)h?
?
(r?rR?R)h
2
33
(4)球体的表面积和体积公式:V=
4
?
R
;
S=
4
?
R
球
3
2
3
球面
4、空间点、直线、平面的位置关系
(1)平面
①
平面的概念: A.描述性说明; B.平面是无限伸
展的;
②
平面的表示:通常用希腊字母α、β、γ表示,如
平面α(通常写在一个锐角内);
也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面
BC。
③ 点与平面的关系:点A在平
面
?
内,记作
A?
?
;点
A
不在平面
?<
br>内,记作
A?
?
点与直线的关系:点A的直线l上,记作:A∈l;
点A在直线l外,记作A
?
l;
直线与平面的关系:直线l在平面α内,记
作l
?
α;
直线l不在平面α内,记作l
?
α。
(2)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那
么这条直线是所有的点都在这个平面内。
(即直线在平面内,或者平面经过直线)
应用:检验桌面是否平;
判断直线是否在平面
内
用符号语言表示公理1:
A?l,B?l,A?
?<
br>,B?
?
?l?
?
(3)公理2:经过不在同一条直线上的三点,有且只
有一个平面。
推论:一直线和
直线外一点确定一平面;两相交直
线确定一平面;两平行直线确定一平
面。
公理2及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据
②它是证明平面重合的依据
(4)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,
那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号:平面α和β相交,交线是a,记作α∩β
=a。
符号语言:
P?A?B?A?B?l,P?l
公理3的作用:
①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之
间的关系:交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的
重要依据。
(5)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行
(6)空间直线与直线之间的位置关系
① 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线
②
异面直线性质:既不平行,又不相交。
③
异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线
与平面内不过该店的直线是异面直线
④ 异
面直线所成角:直线a、b是异面直线,经过空
间任意一点O,分别引直线a’∥a,b’∥b,则把直
线
a’和b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所
成的角。两条异面直线所成角的范围
是(0°,90°],
若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异
面直线互相垂直。
说明:(1)判定空间直线是异面直线方法:①根据异
面直线的定义;②异面直线的判定定理
(2)在异面直线所成角定义中,空间一点O是任取
的,而和点O的位置无关。
②求异面直线所成角步骤:
A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或
两条
同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的
位置上。 B、证明作出的角即为所求角
C、
利用三角形来求角
(7)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两
边分别平行,那么这两角相等或互补。
(8)空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点.
三种位置关系的符号表示:a
?
α a∩α=A
a
∥α
(9)平面与平面之间的位置关系:平行——没有公共
点;α∥β
相交——有一条
公共直线。α∩β=b
5、空间中的平行问题
(1)直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一
条直线平行,则该直线与此平面平行。
线线平行
?
线面平行
线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,
经过这条直线的平面和这个平面相交,
那么这条直线和交线平行。线面
平行
?
线线平行
(2)平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理
(1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个
平面,那么这两个平面平行
(线面平行→面面平行),
(2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,
那么这两个平面平行。
(线线平行→面面平行),
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行,
两个平面平行的性质定理
(1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与
另一
个平面平行。(面面平行→线面平行)
(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它
们的交线平行。(面面平行→线线平行)
7、空间中的垂直问题
(1)线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角
是直角,就说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条
直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直。
③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面
角(从一条直线出发的两个
半平面所组成的图形)是
直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直。
(2)垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直
线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。
性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这
两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,
那么这两个平面互相垂直。
性
质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面
内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
9、空间角问题
(1)直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角:规定为
0
。
②两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于
直角的角,叫这两条直线所成的角。 ③两条异面直线所成的角:过空间任意一点O,分别
作与两条异面直线a,b平行的直线
a
?
,b
?
,形成两条
相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的
角叫
做两条异面直线所成的角。
(2)直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角:规定为
0
?
。
②平
面的垂线与平面所成的角:规定为
90
。
③平面的斜线与平面所成的角
:平面的一条斜线和它
在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个
平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成
角:“一作,二证,三计算”。
在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键
在于斜线上一点到面的垂线,
在
解题时,注意挖掘题设中两个主要信息:(1)斜线
上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线
的
平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。
(3)二面角和二面角的平面角
①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组
成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,<
br>这两个半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,
在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线
.....
所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角
,那么这
两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所
成的二面角为直二面角
④求二面角的方法
定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面
内作垂直于棱的射线得到平面角
垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两
?
?
垂线作平面与
两个面的交线所成的角为二面角的平
面角
7、空间直角坐标系
(1)定义:如图,
OBCD?DABC
是单位正方体.以A为
原点, 分别以OD,O
A
,OB的方向为正方向,建立三条数轴
x轴.y轴.z轴
。
这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
1)O叫做坐标原点 2)x
轴,y轴,z轴叫做坐
标轴. 3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。
(2)右手表示法:
令右手大拇指、食指和中指相互
垂直时,可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方
向,食指指向
为y轴正向,中指指向则为z轴正向,
这样也可以决定三轴间的相位置。
(3)任意点坐标表
示:空间一点M的坐标可以用有序
实数组
(x,y,z)
来表示,有序实数组
(x,y,z)
叫做点M在此
空间直角坐标系中的坐标,记作
M(x,y,z)(x叫做点M
的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐
标)
(4)空间两点距离坐标公式:
d?(x?x)?(y?y)?(z?z)
,,,,
,
222
212121
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