新人教版高中数学必修知识点总结

高

中数学必修4知识点总结
第一章：三角函数

、任意角
1、 正角、负角、零角、象限角的概念.
2、 与角
?
终边相同的角的集合：
?
??
?
?
?2k
?
,k?Z
?
.
§、弧度制
1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2、
?
?
l
.
r
n
?
R
?
?
R
.
1803、弧长公式：
l?
n
?
R
2
1
?lR
. 4、扇形面积公式：
S?
3602

、任意角的三角函数
1、 设
?
是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P
?
x ,y
?
，那么：
sin
?
?y,cos
?
?x,t an
?
?
2、 设点
A
?
x,y

si n
?
?
（设
r?
?
为角
?
终边上任意一点 ，那么：
y

x
x
2
?y
2
）
x
y
xy
，
cos
?
?
，
tan
?
?
，
cot
?
?

y
r
rx
y
P
T
3、
sin
?
，
cos
?
，
tan
?
在四个象限的符号和三角 函数线的画法.
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT
4、 特殊角0°，30°，45°，60°，
90°，180°，270等的三角函数值.
?

2
?

0
3
?
?
?
2
?
3
?

4
234
??
2
?

6

3

sin
?

cos
?

tan
?

O
M
A
x



































、同角三角函数的基本关系式
1、 平方关系：
s in
2
?
?cos
2
?
?1
.
2、 商数关系：
tan
?
?
sin
?
.
cos
?
3、 倒数关系：
tan
?
cot
?
?1

§、三角函数的诱导公式
（概括为
“奇变偶不变，符号看象限”
k?Z
）

s in
?
?
?2k
?
?
?sin
?
,
1、 诱导公式一：
cos
?
?
?2k
?
?
? cos
?
,
（其中：
k?Z
）
tan
?
?
?2k
?
?
?tan
?
.
sin
??
?
?
?
??sin
?
,
2、 诱导公式二：
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,

tan
?
?
?
?
?
?tan
?
.
sin
?
?
?
?
??sin
?
,
3、诱导公式三：
cos
?
?
?
?
?cos
?
,

tan
?
?
?
?
??tan
?
.
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
,
4、诱导公式四：
cos
?
?
?
?
?
??c os
?
,

tan
?
?
?
?
?< br>??tan
?
.
?
?
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
,
?
2
?
??
?
cos
?
?
?
?
?sin
?.
?
2
?
5、诱导公式五：
?
?
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
,
?
2
?
6、诱导公式六：
?
?
?
cos
??
?
?
??sin
?
.
?
2
?

、正弦、余弦函数的图象和性质
1、记住正弦、余弦函数图象：

y
y=sinx

?
3
?
7
?
-5
?
-
1

2
22
2
o
?
?
4
?
x
-2
?
-3
?
-
?
2
?
5
?3< br>?

-4
?
-7
?
-3
?
-122
2
2

y

y=cosx
?
3
?
7
?
-5
?

-
-
?
2
1
3
?
2
-3
?
2
?
2

-7
?
o
?
4
?
x
-2
?
-3
?
2
?5
?
- 4
?
-1
2

2
2
2
2、能够对照图象讲 出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、
单调性、周期 性.
3、会用五点法作图.
0）（，，1）（，
?
，0）（，

0，
y?sinx
在
x?[0,2
?
]
上的五个关 键点为：
（
2
、正切函数的图象与性质
1、记住正切函数的图象：
?
3
?
，-1）（，2
?
，0）.

2< /p>

y
y=tanx
-
3
?
2
-
?
-
?
2
o
?
2
?
3
?
2
x

2、记住余切函数的图象：
y
y=cotx
-?
-
?
2
o
?
2
?
3
?2
2
?
x
3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对 称中心、奇偶性、单调性、周期性.

周期函数定义：对于函数
f
?
x
?
，如果存在一个非零常数T，使得当
x
取定义域内的每一个值时，都有
f
?
x?T
?
?f
?
x
?
，那么 函数
f
?
x
?
就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

y?sinx

y?cosx

y?tanx


图象


定义域
值域
x?2k
?
?
R

[-1,1]
?
2
R

[-1,1]

{x|x?
?
2
?k
?
,k?Z}

R




无
,k?Z时，y
max
?1
最值
x?2k
?
?
?
2

,k?Z时，y
mi n
??1
x?2k
?
,k?Z时，y
max
?1
x ?2k
?
?
?
,k?Z时，y
min
??1
周期性
奇偶性
2
T?2
?

奇
在
[2k?
?
?
,2k
?
?
?
]
上单调递增
2
T?2
?

偶
在
[2k
?
?
?
,2k
?
]
上单调递增
T?
?

奇
在
(k
?
?
?
,k
?
??
)
上单调递增
22
单调性
k?Z

在< br>[2k
?
?
?
,2k
?
?
3
?]
上单调递减
在
[2k
?
,2k
?
?
?
]
上单调递减
22
对称性
对称轴方程：
x?k
?
?
?
2

对称轴方程：
x?k
?

对称中心
(k
?
?
无对称轴
对称中心
(
k?Z

对称中心
(k
?
,0)


?
2
,0)

k
?
2
,0)

、函数
y?Asin
?
?
x?
?
?
的图象
1、对于函数：
y?Asin
?
?
x?
?
??B
?
A?0,
?
?0
?
有：振幅A，周期
T ?
2、能够讲出函数
y?sinx
的图象与
2
?
?
，初相
?
，相位
?
x?
?
，频率
f?
1
T
?
2
?
?
.
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B
的图象之间的平移伸缩变换关系.
① 先平移后伸缩：
y?sinx

平移
|
?
|
个单位

y?sin
?
x?
?
?

y?Asin
?
x?
?
?

y?Asin
?
?
x?
?
?

（左加右减）

横坐标不变

纵坐标变为原来的A倍

纵坐标不变

横坐标变为原来的
|
1
?
|
倍
平移
|B|
个单位

（上加下减）
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B


② 先伸缩后平移：
y?sinx

横坐标不变
y?Asinx

纵坐标变为原来的A倍

纵坐标不变
横坐标变为原来的
|
平移
?
?
y?Asin
?x

1
?
|
倍
个单位

y?Asin
?
?
x?
?
?

（左加右减）
平移
|B|
个单位

（上加下减）
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B

3、三角函数的周期，对称轴和对称中心
函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
，x∈R(A,
?
,
?
为常数，且A≠0)的周期
T?
函数
y?tan(
?
x?
?
)
，
x?k< br>?
?
2
?
；
|
?
|
?
2< br>,k?Z
(A,ω,
?
为常数，且A≠0)的周期
T?
?.
|
?
|
对于
y?Asin(
?
x?
?
)
和
y?Acos(
?
x?
?
)
来说 ，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.
求函数
y?Asin(
?
x?
?
)
图像的对称轴与对称中心，只需令
?
x?
?
?k
?
?
?
2
(k?Z)
与
?
x??
?k
?
(k?Z)

解出
x
即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.
4、由图像确定三角函数的解析式
利用图像特征：
A?
?
要根据周 期来求,
?
要用图像的关键点来求.
§、三角函数模型的简单应用
1、 要求熟悉课本例题.

第三章、三角恒等变换
§、两角差的余弦公式
记住15°的三角函数值：
?

sin
?

cos
?

?
12
y
max
?y
min
y?y
min
，
B?
max
.
22
tan
?

2?3


6?2
4

6?2
4

§、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?< br>sin
?

2、
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?< br>sin
?

3、
cos
?
?
?
?< br>?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin< br>?

4、
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

tan
?
?tan
?
5、
tan
?
?
?
?
?
?
1?tan
?
tan
?
.
tan
?
?tan
?
6、
tan
?
?
?
?
?
?
1?tan
?
tan
?
.
§、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、
sin2
?
?2sin
?
cos
?
，
变形：
sin
?
cos
?
?
1
.
2
sin2
?
2、
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?

?2cos
2
?
?1

?1?2sin
2
?
.
变形如下：
2
?
?
1?cos2
?
?2cos
?
升幂公式：
?

2
?
?
1?cos2
?
? 2sin
?
?
cos
2
?
?
1
(1?co s2
?
)
?
2
降幂公式：
?

2
?
sin
?
?
1
(1?cos2
?
)
?2
3、
tan2
?
?
2tan
?
.
21?tan
?
4、
tan
?
?
sin2
?1?cos2
?
?

1?cos2
?
sin2
?
§、简单的三角恒等变换
1、 注意正切化弦、平方降次.
2、辅助角公式
y?asinx?bcosx?a
2< br>?b
2
sin(x?
?
)

（其中辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决定,
tan
?
?
b
).
a
第二章：平面向量
、向量的物理背景与概念
1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.
2、 既有大小又有方向的量叫做向量.
、向量的几何表示
1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.
2、 向量
AB
的大小，也就是向量
AB
的长度（或称模），记作
AB
；长度为零的 向量叫做零向量；长度
等于1个单位的向量叫做单位向量.
3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.

、相等向量与共线向量
1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
、向量加法运算及其几何意义
1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.






2、
a?b
≤
a?b
.
、向量减法运算及其几何意义
1、 与
a
长度相等方向相反的向量叫做
a
的相反向量.
2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.






、向量数乘运算及其几何意义
1、 规定：实数
?
与向量
a
的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：
?
a
，它的长度和方 向规定
如下：
⑴
?
a?
?
a
,
⑵当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a< br>的方向相同；当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反.
2、 平面向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
.
、平面向量基本定理
1、 平面向量基本定理：如果
e
1
,e2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量
a
，
有 且只有一对实数
?
1
,
?
2
，使
a?
?< br>1
e
1
?
?
2
e
2
.
、平面向量的正交分解及坐标表示
1、
a?xi?yj?
?
x,y
?
.
、平面向量的坐标运算
1、 设
a?
?
x
1
,y
1
?
, b?
?
x
2
,y
2
?
，则：
⑴
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
? y
2
?
，
⑵
a?b?
?
x
1
? x
2
,y
1
?y
2
?
，
??