陆航公式1.向量在代数中的应用

1. 向量在代数中的应用

1.1. 用向量法证明代数不等式

利用向量数量积公式： （

为向量

，

的夹角），显然，，等

号在

，

共线且同向时 成立
,
注意观察所给不等式的结构
,
设法构造出
合理的向量
,
利用数量积可以巧妙给出证明。

例1.1 设 ，求证：


证明：（方法一）

两边同时加上

，有


有

即


（方法二）利用向量证明 设

的夹角为


利用 有



注:方法一采取常规做法
,
运算复杂
,
特别是配凑上不易掌握
,
而方法二中
,
只要合理地构造出

，利用数量积
,
不等式便可水到渠成
,
巧妙证明。类似的
,
通过向量可证明

。

1.2. 用向量法求有关三角问题

例1.2 求函数 的最值。

解：原式可根据二倍角公式化为

假设 构造向量





例1.3 已知 ，且，求 的值。



解：原等式可化为 ，

构造向量

整理得 ,所以 可得 ，.


1.3. 用向量法求解无理函数的最值

求无理函数最值问题，按常规方法求解具有 一定的难度，若能用
向量知识求解将会使求解变得容易。

例1.4 求函数

的最大值.

解：构造向量 ,




当且仅当 ，即时，

.


例1.5 求函数

的最小值。

解： 构造向量 应用向量不等式的性质

当且仅当

和

同向平行时，等号成立 所以 （此时）.注：此

题要将向量积与向量的基本不等式结合起来使用。


用向量解代数问题时， 主要是将数量关系转化为向量关系，利用
向量的性质来求解。在这个过程中，关键是由向量的性质设出恰 当的
向量，从而将题中的代数式转化为向量形式相乘、相加等，然后再结
合向量知识来解决。< br>
2. 平面向量在解析几何中的应用

2.1. 平面向量在公式方面的应用

2.2.1. 用向量法求点到直线的距离公式

例2.1 求点P
0

到直线


的距离

。

解：设点

，

是直线

上任意

两点，则有

（1）

（2），

得

由向量数量积的知识可知:



即

是与

垂直的向量

当

与

的夹角

为锐角时，

（如图2.1）；

当

与

的夹角

为钝角时（如图2.2）

又因为 所以


.

2.1.2. 用向量法求两直线平行、垂直的判定公式

例2.2 已知两直线

不重合，且斜率分别为

，求直线

与

互相
垂直、互相平行的判定公式。

解：由向量的知识可知：

的方向向量为

，

的方向向量为


再由平面向量的有关知识得



.

2.2. 用向量法求动点轨迹方程

2.2.1. 用向量法求直线方程

例2.3 求过点

，斜率为

的直线方程。

解：因

为所求直线的一个方向向量，设

为直线上任一点，则向
量

与

共线

由向量共线的充要条件可得：

为点斜式方程。特殊地，当点

为
点

时，可得直线的斜截式方程为：

.

例2.4 求过两定点

，

的直线方程

解：设

为所求直线上任一点,则


因为向量

与

共线，用向量共线的充要条件得:

为直线的两点式方程

特殊地，当两点为

和

时，可得直线的截距方程：


2.2.2. 用向量法求圆的方程和圆的切线

例2.5 已知一个直径的两端点为

，

，求圆的方程。

解: 设

为圆上异于

的两点 ，由周角定理有：


若

是与点

或点

重合的点，则

或

故都有

成立

所以 即

为所求圆的方程，对其进行整理配方，可得圆的标准方程：

，其中

为圆的圆心坐标，

为半径。

例2.6 已知圆的方程为

，求经过圆上一点

的切线方程。

解：设

为切线上异于

的任一点，那么

，


因为 ，所以


整理可得：


显然，当

与

重合时，其坐标也满足此方程

故所求切线方程为：

.

2.3. 平面向量在具体解题中的应用

例2.7 如图2.3所示，求证：

的三条中线

、

、

相交于一点

.

证明：在平面内任取一点

设

，

，


又设

为

上一点，且

，则


因为

是

的中点，故，


即


同理 ， 即


故 三点重合

特别地，当

为原点时，由此推出

的重心

的坐标公式：若三角
形的三定点分别为

，

，

，则重心

为 .

可见当运用平面几何知识证明三线或点问题较复杂, 叙述也繁
时, 用向量共线充要条件来解决则显得十分方便、简洁、思路清晰。

例2.8 如图2.4，已知椭圆:,直线

：，

是

上的一点，射线


交椭圆于

，又点

在

上，且满足

，当点

在

上运动时，求

的轨迹
方程。

解：设

，那么

,

（

为正实数）

则 ，


，即

即 （1）



又因点

分别在直线与椭圆上，


（2） （3）

将(2)(3)带入(1)得：


整理可得：（其中

不同时为0）。


注：利用平面向量的运算解决圆锥曲线相关问题，可使繁琐的运
算得以简化。

3. 向量在空间立体几何中的应用

在新研制的高中《数学课程标准》（实验稿）中空间向量是《标
准》中选修课程系列2 的重要内容之一。 从结构上看，它虽然不是
必修内容，但是希望在理工(包括部分经济类) 等方面发展的学生，
必须选修。 实际上，如果按照以往的文理分科，“空间向量”是理
工科学 生必修的知识，可见它是限制性的选修内容，虽然选学的主动
权由学生个人掌握；从内容上看,空间向量 是新知识，用它解决立体
何问题,有着其自身的特点，“提供了新的视角”。

3.1. 求空间角

引理1：设向量

与

的夹角为

（通常用表示），则有,即.



引理2: 设

，

是与轴

同方向的向量，

在

上的射影为

，

在

上的射影为

，则

叫做向量在轴

或

上的正射影，简称射影。设向量

与

的夹角为

，则CD=（这是

变成有向线段CD，方向与

或轴

的

方向要么相同要么相反）。

3.1.1. 求两异面直线所成的角

向量内积公式可方便用于求两异面直线所成的角。

例3.1 在平行六面体

中，

，

，

，

，若P、Q分别是

、

的中点，求：

（1）

； （2）对角线

与

的夹角。

分析：此题若通过解三角形求解，过程复杂利用向量方法可轻松
求得；

解：（1）如图3.1

，

，


，，


根据向量内积公式得：

同理求得 ，


所以


将有关数据代入得

，故

.

（2）根据（1）所求

，


同理可得 ，


故

所以

设

与

的夹角为

，则

.

注：直线夹角有时与两向量夹角为互补关系，需予注意。
3.1.2. 求线面角

设

为平面

的法向量，

为平面

的斜线，则

（

）满足
斜线

与平面

所成的角为。


例3.2 已知正方体

的边长为4，M、N、E、F分别是

、

的中点。

(1)求证平面

平面

；(2)求

与平面

所成的角。

解：建立空间直角坐标系，如图3.2所示：

(1)

易证四边形

为梯形

，


设

为平面

的法向量

则 ，


所以 ，


、

、

因此

取

，则

，

，所以


又

，

因为 ，



所以 也为平面

的法向量 所以 平面

平面

.

(2) 因为 ，，


所以


所以 与平面

所成的角为.


3.1.3. 求二面角

设向量

、

分别是二面角

的两个面

与

的法向量，则满足：，


则二面角的大小为或。


例3.3（2001年高考题）如图，在地面是直角梯形的四棱锥

中，

，

垂直平面

，

，，求平面

与平面

所成的二面角的正切值。


解：如图3.3所示，建立空间直角坐标系

易证

垂直平面

，则

为平面

的法向量

，


设

为平面

的法向量，

则，即，取 则 ，

，

,




故 所以 平面

与平面

所成的二面角的正切值为.


3.2. 求空间的距离

3.2.1. 空间两点之间的距离

直接用公式，或可易于求空间两点之间的距离，在此再次就不

举例了。

3.2.2. 点到平面的距离

如图3.4，P是平面

外一点，过P分别

作

的斜线QP(Q为斜足)，和垂线PO（O为垂足），设

为平面

的法
向量，

则

必为直线PO的方向向量。由于OQ垂直于OP，所以OP为向量

在

上的射影，于是.


例3.4 求例3.2中平面

与平面

的距离。

解：因为

，又


所以 平面

与平面

的距离 .

两异面直线之间的距离

如图3.5，a、b为异面直线，设

为a与

b的公垂线，

为

的方向向量，

为a、b

上任意两点的连线。由于AB垂直

，

垂直

，所以

为向量

在

上的射影，

易证 .

例3.5 在棱长为1的正方体

中，P为

的中点，

、

、

分别是正方
形

,

,

的中心，求异面直线

与

的距离。

解：如图3.6所示，建立空间直角坐标系


由题意：

，


设

是异面直线BD与

的

公共法向量，则 ，即


取 ，则

，

所以

又因为 所以 异面直线

与

的距离为.


3.2.4. 线面距离和面面距离

转化为求点到面得距离。

注：要用空间向量解决立体 几何问题，首先必须根据问题的特点，
以适当的方式把问题中涉及的点、线、面等元素用空间向量表示出 来，
建立起空间图形与空间向量的联系；然后通过空间向量的运算，研究
相应元素之间的关系（ 夹角和距离等问题）；最后对运算结果的几何
意义作出解释，从而解决立体几何的问题。

3.3. 根据相等向量证线共点

欲证线共点，可先在某线上找出一定点（常是唯一 的特殊点），
再证其余各线都过这一定点。

例3.6 求证四面体不共面的三对棱 的中点连成的三条线段相
交于一点
,
且都在此点平分。

证明：如图3.7，在四面体

中，

、

、

、

、

、

分别是棱

、

、

、

、

、

的中点

设

，

，


、

、

的中点依次为

、

、

则

同理可推得，，故

、

、

重合，即

、

、

共点与

，且被

点平分。


3.4. 根据共线向量定理证点共线

欲证点共线
,
通常先构造共始点的向量
,
再根据共线向量定理
证之。

例3.7 已知，如图12，在长方体

中，

为

的中点，

在

上，
且

，

为

的中点，求证

、

、

三点共线。

证明：设

，

，

，则






所以 ，故

、

、

三点共线。

3.5. 根据共线向量定理证点（或线）共面

例3.8 已知，如图3.9，

、

、

、

、

、

分别为正方体

的棱

、

、

、

、

、

的中点。求证

、

、

三线共面

证明：设

，

，

，则

，

同理：，


因为 故 、

、

三线共面。

3.6. 根据共线向量定理证两直线平行

欲证两直线平行
,
只需证明分别在两直线上的非零向量共线即可。

例3.9 如图3.10，已知五边形

中，

、

、

、

分别是边

、

、

、

的中点，

、

分别是

、

的中点，求证



，且.


证明：任取一点

，则

所以

故

，且.


3.7. 做法小结

如果图形中垂直关系较多且容易建立空间直角坐标系时, 首先
建立空间直角坐标系, 用坐标表示向量, 这是最简便的方法。如果图
形中没有垂直关系或不太容易建立空间直角坐标系时, 可以根据条
件以三个不共面的向量作为基向量, 用基向量表示空间向量, 并利
用条件求出这三个向量间模数和数量积的关系。