角度转弧度公式线性代数性质公式整理

线性代数
第一章 行列式
一、相关概念
1.行列式——n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积

的代数和， 这里
号；当
是1，2，···n的一个排列。当是偶排列时，该项的前面带正
是奇排列 时，该项的前面带负号，即

这里表示对所有n阶排列求和。式称为n阶行列式的完全展开式。
2.逆序与逆序数——一个 排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一
个逆序。一个排列的逆序总是称为这个 排列的逆序数。用表示排列的逆序数。
3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这 个排列为偶排列，否则称为奇
排列。
阶与3阶行列式的展开——，

5. 余子式与代数余子式——在n阶行列式中划去所在的第i行，第j列
的元素，剩下的元素按原来的位置排 法构成的一个n-1阶的行列式
称为的余子式，记为；称为的代
数余子式，记为，即。
6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如，
称为A的伴随矩阵，记作 。
二、行列式的性质
1.经过转置行列式的值不变，即→行列式行的性质与列的性质是对等的。
2.两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0.
3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。
4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和：

5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变：

6.代数余子式的性质——行列式 任一行元素 与 另一行元素的代数余子式 乘积之和为0
三、行列式展开公式
n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即
|A|按i行展开的展开式
|A|按j列展开的展开式
四、行列式的公式
1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；
2.关于副对角线的n阶行列式的值
3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则


4.范德蒙行列式
5.抽象n阶方阵行列式公式 (矩阵)
若A、B都是n阶矩阵，
；
；

一般情况下：


是A的伴随矩阵，若A可逆，
； |AB|=|A||B|；
； 若，则
；
，且特征值相同。
是A的特征值：

五、行列式的计算
1.数字型行列式
将行列式化为上下三角，再按行或列展开；
化简技巧：①将每列(行)都加到同一列(行)， 或者将每列(行)k
i
倍都加到同一列(行)。
②逐行(或逐列)相加
③利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展开式
数学归纳法——①验证n=1时命题正确；假设n=k时命题正确；证明n=k+1时，命题正确。
②验证n=1和n=2时命题都正确，假设n确。
③对于n阶的三对角行列式，通常可用数学归纳法。
2.抽象型行列式——通常与矩阵一起考，利用行 列式的性质(倍加、提公因数k、拆项)等来
恒等变形；也可能利用矩阵的运算、公式、法则、特征值、 相似。
☆利用单位矩阵
3.行列式|A|是否为0的判定
若A=[]是n阶矩阵，那么
矩阵A不可逆
秩r(A) 恒等变形来计算|A+B|形式的行列式。
行列式|A|=0




Ax=0有非零解
0是矩阵A的特征值
A的列(行)向量线性相关。 因此，判断行列式是否为0，常用：①秩；②齐次方程组是否有非零解；③看特征值是
否为0；④反 证法；⑤若|A|=k|A|，且k≠1时也能得出|A|=0
4.代数余子式求和
①按定义直接计算求和；
②用行列式的按行或列展开的公式。由于的值与的值没有关系，故可 以构造一个新
的行列式|B|，通过求新行列式的代数余子式间接求出原行列式的代数余子式。P205 例20
③利用行列式 任一行元素 与 另一行元素的代数余子式 乘积之和为0的性质
④根据伴随矩阵

的定义，通过求再来求和。
第二章 矩阵
一、矩阵的概念及运算
矩阵——m×n个数排成如下m行n列的一个表格称为是一个m×n矩
阵，当m=n时，矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵。如果一个矩阵所有元素都是0，则称为
零矩 阵，记作O。
两个矩阵，，如果m=s，n=t，则称A与B是同型矩阵
两个同型矩阵如果对应的元素都相等，则称矩阵A与B相等，记作A=B。
矩阵A是一个表格，而行列式|A|是一个数。
二、矩阵的运算
1.(加法) 设A、B是同型矩阵，则
2.(数乘)

3.(乘法) 若A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，则A、B可乘，且乘积AB是一个m×n矩阵。
记成，其中


4.转置 将矩阵A的行列互换得到矩阵A的转置矩阵
三、矩阵的运算规则
ABC为同型矩阵，则
1.加法——
2.数乘——



3.乘法 ABC满足可乘条件
注意一般情况下







对角矩阵
对角矩阵的逆矩阵

4.转置——
5.伴随矩阵——



6.方阵的幂——
注意

；




；
；
；
； ；
；
；


7.特殊方阵的幂 (求
①若秩
例如 P218
②特殊的二项式展开
③分块矩阵
④特征值、特征向量、相似
⑤简单试乘后如有规律可循，再用归纳法。


)——

，从而
四、特殊矩阵
设A是n阶矩阵：
①单位阵：主对角元素为1，其 余元素为0，记成
②数量阵：数k与单位矩阵E的积kE称为数量矩阵。
③对角阵：非对角元 素都是0的矩阵称为对角阵，记成
④上(下)三角阵：当
⑤对称阵：满足
⑥反对称阵： 满足
⑦正交阵：
，即
，即，
，有的矩阵称为上(下)三角阵。

的对称阵称为反对称阵。



矩阵称为正交阵，即
⑧初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。
⑨伴随矩阵：见(一.
五、可逆矩阵
1.主要定理：若A可逆则A的逆矩阵唯一且|A|不为0。行列式不为0则矩阵可逆。
2.概念——设A是n阶方阵如果存在n阶矩阵B使得
或非奇异矩阵，B是A的逆矩阵，记成
成立，则称A是可逆矩阵
3.可逆的充要条件——①存在n阶矩阵B使得AB=E
②，或秩r(A)=n，或A的列(行)向量线性无关
③齐次方程组Ax=0只有零解
④矩阵A的特征值不全为0
4.逆矩阵的运算性质——若
若A，B可逆，则
若可逆，则；





；特别地
；

注意，即使A,B,A+B都可逆，一般地
5.求逆矩阵的方法——①若
②初等变换
③用定义求B，使得AB=E或BA=E，则A可逆且
④分块矩阵，设B,C都可逆，则
；
六、初等变换、初等矩阵
1.主要结论：用初等矩阵P左乘A，所得PA矩阵就是矩阵A做了 一次和矩阵P同样的行变
换；若是右乘就是相应的列变换。
2.初等变换——设A是矩阵，( 倍乘)用某个非零常数的某行(列)的每个元素，
(互换)互换A的某两行(列)，(倍加)将A的某行 (列)元素的k倍加到另一行(列)。称为初等变
换。
3.初等矩阵——由E经过一次初等变换所得的矩阵
倍乘初等矩阵
互换初等矩阵
倍加初等矩阵
。若4. 等价矩阵——矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记成
，则后者称为A的等价标准 形。(A的等价标准型是与A等价的所有矩阵中的最简
矩阵。)
5.初等矩阵与初等变换的性质——
①初等矩阵的转置仍然是初等矩阵；
②初等矩阵均是可逆矩阵且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵

③
，
左行右列
，
④当A时可逆矩阵时，则A可作一系列初等行变换成单位矩 阵，即存在初等矩阵，
，···，，使得
七、矩阵的秩
1.求秩的主要方法：经过初等变换矩阵的秩不变；如果A可逆，则
2.矩阵的秩——设A是 m×n矩阵，若A中存在r阶子式不等于0，且所有r+1阶子式均为0，
则称矩阵A的秩为r，记成r (A)，零矩阵的秩规定为0。
3.矩阵的秩的性质——



特别地，
若A是n阶矩阵，

若A是m×n矩阵，则
4.矩阵的秩的公式——

当

时，
；
；
； 若A可逆，则





矩阵A中非零子式的最高阶数是r
A中每一个r阶子式全为0
A中有r阶子式不为0
；



若A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，AB=O，则
分块矩阵。
八、分块矩阵 1.概念——将矩阵用若干纵线和横线分成许多小块，每一小块称为原矩阵的子矩阵(或子块)，
把 子块看成原矩阵的一个元素，则原矩阵叫分块矩阵。
由于不同的需要，同一个矩阵有不同的方法分块，可以行分块，以列分块等。
2.分块矩阵的 运算——对矩阵适当地分块处理(要保证相对应子块的运算能够合理进行)，就
有如下运算法则：


若B,C分别是m阶与s阶矩阵，则
若B,C分别是m阶与s阶可逆矩阵，则
，
，

若A是m×n矩阵，B是n×S矩阵且AB=O，对B和O矩阵按列分块有


线性表出P214




即B的列向量是齐次方程组的解。
第三章、向量
一、n维向量的概念与运算 维向量——n个有序数组所构成的一个有序数组成为n维向量，记成或
，分别称为n维行向量或n维 列向量，数称为向量的第i个分量。
2.零向量——所有分量都是0的向量称为零向量，记为0
3.相等——n维向量

相等，即
4.运算—— n维向量
(加法)

(数乘)

(内积)



特别地，如，则称正交

，称

，
，

，


，


，
为向量的长度。
，等号成立当且仅当
二、线性表出、线性相关
1.线性组合——m个n维向量及m个数

称为向量组
2.线性表出——
①对n维向量和，如果存在实数，使得

则称向量是向量的线性组合，或者说向量可由
；(Ⅱ)
线性表出。
的一个线性组合，数称为组合系数。
所构成的向量
②设有两个n维向量组(Ⅰ)< br>中的向量
；如果(Ⅰ)中每个向量都可由(Ⅱ)
线性表出，则称向量组(Ⅰ)可由向量组 (Ⅱ)线性表出。
如果(Ⅰ) 、(Ⅱ)这两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价。
等价向量组具有传逆性、对称性、反身性。
向量组和它的极大线性无关组是等价向量组。
向量组的任意两个极大无关组是等价向量组。
等价的向量组有相同的秩，但秩相等的向量组不一定等价。
3.线性相关、无关——对于n维向量，如果存在不全为零的数

则称向量组线性相关，否则称它线性无关。
不全为零，必有

，或者，当且仅
，使得
关于线性无关，只要
当时，才有
显然，含有 ：零向量，相等向量，坐标成比例的向量组都是线性相关的，而阶梯形向量
组一定是线性无关的。 证明：证明线性无关通常的思路是：用定义法(同乘或拆项重组)，用秩(秩等于向量个数
则线性无 关)，齐次方程组只有零解或反证法。
4.重要定理——
①n维向量组线性相关齐次方程组有非零解

②n个n维向量
③
④如果
个n维向量必线性相关。
线性相关，则


必线性相关。
必线性无关。 ⑤如果n维向量组线性无关，则它的延伸组
⑥n维向量可由线性表出非齐次方程组有解

⑦向量组
⑧向量组

线性相关至少有一个向量由其余s-1个向量线性表出。
线性无关，而向量组向量组线性相关，则向量可由
线性表出，且表示方法唯一。
⑨设有两个n维向量组(Ⅰ)
线性表出，且，则
；(Ⅱ)
必线性相关。
，如果向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)
若n维向量组可由线性表出，且线性无关，则
三、极大线性无关组、秩
1.概念——设向量组
①线性无关；
，向量组
线性表出)
是向量组的一个极大线性无关组。
必线性相关；(向量组中任何
中，有一个部分组，满足条件
②再添加任一向量
一个向量必可由
则称向量组
注：只有一个零向量构成的向量组没有极大线性无关组。
一个线性无关的向量组的极大线性无关组是该向量组本身。
向量组的极大线性无关组一般不唯一,但其极大线性无关组的向量个数是一样的。
2.秩——向量
。 (
如果向量组(Ⅰ)可由 (Ⅱ)
的极大线性无关组中所含向量的个数r称为向量组的秩。记为
)
线性表出，则
3.注意—— 求向量组的极大无关组时，只能都作行变换(或都做列变换)，不能混合行列变换。
如果只是求向量组的秩，则可以混合行列变化。
四、施密特正交化、正交矩阵
1.正交矩阵——设A是n阶矩阵，满足
A是正交矩阵


的向量组 是正交规范向量组，如A是正交矩阵，则行列式
线性无关，其正交规范化方法步骤如下：
。
，则A是正交矩阵。
2.施密特正交化—— 设向量组
令




则
再将
则

两两正交。
单位化，取
，

是正交规范向量组(即两两正交且均是单位向量)
第四章 线性方程组
一、克拉默法则
1.概念——若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组的
系数 行列式
素(即
，则方程组有唯一解，且
)替换成方程组右端的常数项
。其中< br>所构成的行列式。
是中的第i列元
2.推论——若包含n个方程n个未知量的奇次线性 方程组的系
数行列式
是。
的充要条件是方程组有唯一解，反之，齐次线性方程组有非零解的充要条件
二、齐次线性方程组
1.形式——n个未知量m个方程组成的方程组
向量形式：
矩阵形式：
代入方程组的未知量，使每个

其中
2.齐次线性方程组 的解——若将有序数组
方程等式成立，则称为方程组的一个解(或解向量)，记成
3.齐次线性 方程组的基础解系——
设
①
是AX=0的解向量，若满足
线性无关；
②AX=0的任一解向量ξ均可由
(加入任一解向量
(
则称向量
=0的解的性质—— 若
线性表出。等价于：
)
，满足) ，即线性无关解向量的个数为
是AX=0的基础解系。
是齐次线性方程组 AX=0的解，则仍是AX=0的解，
其中k
1,
，k
2
是任意常数 。推广到多个解
=0有解的条件——齐次线性方程AX=0一定有解，至少有非零解。
AX=0只有零解
AX=0有非零解
方程组的列向量组线性无关
方程组的列向量组线性相关


，则齐次线性方程组
个线性无关解向量组成，故

是AX=0的基础解系，则是AX=0的通
6.基础解系向量个数与秩的关系——
存在基础解系，且基础解系由
基
=0的通解——设
解，其中k是任意常数。
8.基础解系和通解的求法——初等行变换
三、非齐次线性方程组

1.形式——n个未知量m个方程组成的方程组

向量形式：
矩阵形式：
=b的解的性质——设

=b有解的条件——
AX=b无解b不能由A的列向量组

线性表出

是AX=b的两个解，

其中

对应齐次方程AX=0的解，则

AX=b有解 b可以由A的列向量组


AX=b有唯一解


AX=b有无穷解
线性相关，b可由
线性无关，
b可以由A的列向量组


线性表出

线性相关
线性表出且表示唯一。

线性表出且表示不唯一。
=b的通解结构——对应的齐次通解+非齐次的一个特解。
=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A——
齐次线性方程组有解，故AX=0的系数行向量和解向量有如下关系：
，故A的行向量与AX=0的解向量是正交向量；
，即将解向量作齐次方程组的行向量时，A的行向量既是该方程组的解向量。
6. AX=0的系数列向量和解向量的关系——P260
7.两个方程组的公共解——
方程组和的公共解是满足方程组的解。P263
是同解方程组，有8.同解方程组——若


第五章 特征值、特征向量、相似矩阵
一、特征值、特征向量
1. 特征值——A是n阶方阵，如果 对于数，存在非零向量，使得
则称是A的特征值，是A的对应于的特征向量。
2.特征多项式——，因，故0，此为特征多项式，矩阵称为
，成立，
特征矩阵。
3.特征值的性质——设
①
4.求特征值、特征向量的方法——
方法一：设，则由0求出A的全部特征值λ，再有齐次线性方程组
； ②
是A的特征值，则

求出A的对应于特征值的特征向量。基础解系即是A的对应于 的线性无关
特征向量，通解即是A的对应于的全体特征向量。(除0向量)
方法二：利用定义 ，凡满足关系式的数即是A的特征值，即是A对应于
的特征向量。一般用于抽象矩阵，或元素为文字的矩 阵。P269
二、相似矩阵、矩阵的相似对角化
1.相似矩阵——设A、B都是n阶矩阵， 若存在可逆矩阵P，使得
B，记成。若
，则称A相似于
，其中是对角阵，则称A可相似 化。是A的相似标准型。
2.矩阵可相似对角化的充要条件——
①n阶矩阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量。
②A的对应于的特征向量线性无关。
，

③n阶矩阵A有n个互不相同的特征值


A有n个线性无关特征向量
A可相似于对角阵。
④是n阶矩阵A的重特征值，则其对 应的线性无关特征向量个数
⑤n阶矩阵A可相似对角化
该特征值的重数
个
A的每一个重特征值对应的线性无关特征向量个数等于
⑥当A的 重特征值 对应的线性无关特征向量个数少于特征值的重数 时，A不能
相似于对角阵。
3.性质—— 反身性 若
4.两个矩阵相似的必要条件