高中数学转不过弯-国际高中数学入学测试纯英文
高中数学必修5知识考点总结
第一章:解三角形
1、正弦定理:
在
???C
中,
a
、
b
、
c
分别为角?
、
?
、
C
的对边,
R
为
???C<
br>的外接圆的半径,则有
a
sin?
?
b
sin?
a<
br>2R
?
c
sinC
?2R
.
2、正弦定理的变形公
式:①
a?2Rsin?
,
b?2Rsin?
,
c?2RsinC<
br>;
②
sin??
,
sin??
b
2R
,<
br>sinC?
c
2R
;(正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中)
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
;
④
a?b?c<
br>sin??sin??sinC
?
a
sin?
1
2
?
b
sin?
1
2
?
c
sinC
.
1
2
acsin?
.
222
3、三角形面积公式:
S
???C
?bcsin??
222
absinC?
4、余 定理
:在
???C
中,有
a?b?c?2bccos?
,
b?a?c?2
accos?
,
c?a?b?2abcosC
.
222
5、余弦
定理的推论:
cos??
b?c?a
2bc
222
,
cos
??
a?c?b
2ac
222
,
cosC?
a?b?c2ab
?
222
.
6、设
a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C<
br>的对边,则:①若
a?b?c
,则
C?90
为直角三角形;
②若
a?b?c
,则
C?90
为锐角三角形;③若
a?b?c
,则
C?90
为钝角三角形.
222
?
222
?
222
第二章:数列
1、数列:按照一定顺序排列着的一列数.
2、数列的项:数列中的每一个数.
3、有穷数列:项数有限的数列.
4、无穷数列:项数无限的数列.
5、递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列.
6、递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列.
7、常数列:各项相等的数列.
8、摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
9、数
列的通项公式:表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与序号
n
之间的关系的公式.
10、数列的递推公式:表示任一项
a
n<
br>与它的前一项
a
n?1
(或前几项)间的关系的公式.
11、如果一
个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这个
常数称为
等差数列的公差.
12、由三个数
a
,
?
,
b
组
成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则
?
称为
a
与
b
的等差中项.若
b?
a?c
2
,则称
b
为
a
与
c
的等差中项.
13、若等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
,公差是
d
,则
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
.
第 1 页 共 6 页
通项公式的变形:①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
;②
a
1
?a
n
?
?
n?1
?
d
;③
d?
⑤
d?
a
n
?a
m
n?m
a
n
?a
1
n?1
;④
n?
a
n
?
a
1
d
?1
;
.
*
14、若
?
a
n
?
是等差数列,且
m?n?p?q
(
m
、n
、
p
、
q??
),则
a
m
?an
?a
p
?a
q
;若
?
a
n
?
是等差
数列,且
2n?p?q
(
n
、
p
、
q??
),则
2a
n
?a
p
?a
q;下角标成等差数列的项仍是等差数列;连
续m项和构成的数列成等差数列。
15、等差
数列的前
n
项和的公式:①
S
n
?
n
?
a
1
?a
n
?
2
*
;②
S
n
?na
1
?
*
n
?
n?1
?
2
d
.
16、等差数列的前
n
项和的性质:①若项数为
2n
?
n??
S
奇
S
偶
?
a
n
an?1
?
,则
S
2n
?n
?
a
n?a
n?1
?
,且
S
偶
?S
奇
?nd
,
S
奇
S
偶
n
n?1
.②若项数为
2n?1
?
n??
*
?
,则
S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
,且
S
奇
?
S
偶
?a
n
,
?
(其中
S
奇
?n
a
n
,
S
偶
?
?
n?1
?
an
).
17、如果一个数列从第
2
项起,每一项与它的前一项的比等于
同一个常数,则这个数列称为等比数列,这个
常数称为等比数列的公比.
18、在
a
与
b
中间插入一个数
G
,使
a
,
G
,
b
成等比数列,则
G
称为
a
与
b
的等
比中项.若
G?ab
,则
称
G
为
a
与
b<
br>的等比中项.
19、若等比数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
,公比是
q
,则
a
n
?a
1
q
20、通项公式的变形:①
a
n
?a
m
q
n?m
n?1
2
.
n?1
;②
a
1
?
a
n
q
?
?
n?1
?
;③
q?
a
n
a
1
;④
q
n?m
?
a
na
m
.
21、若
?
a
n
?
是等比数
列,且
m?n?p?q
(
m
、
n
、
p
、<
br>q??
),则
a
m
?a
n
?a
p
?
a
q
;若
?
a
n
?
是等比数
列,且
2n?p?q
(
n
、
p
、
q??
),则
a
n
?a
p
?a
q
;下角标成等差数列的项仍是等比数列;
连续m
项和构成的数列成等比数列。
?
na
1
?
q?1<
br>?
?
22、等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和的公式:
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a?aq
.
1n
?
?
q?1
?
?
1?q
?
1?q
*
*
2
q?1
时,
S
n
?
a
1
1?q
?
a
1
1?q
q
,即常数项与
q
项系数互为相反数。
n
n
23、等比数列的前
n
项和的性质:①若项数为
2n<
br>?
n??
n
*
?
,则
S
偶
S
奇
?q
.
②
S
n?m
?S
n
?q?S
m
. ③
S
n
,
S
2n
?S
n
,
S
3n
?S
2n
成等比数列.
第 2 页 共 6 页
?
?
S
n
?S
n?1
2
4、
a
n
与
S
n
的关系:
a
n
?
?
?
?
S
1
?
n
?
n
?
2
?
?1
?
一些方法:
一、求通项公式的方法:
1、由数列的前几项求通项公式:待定系数法
①若相邻两
项相减后为同一个常数设为
a
n
?kn?b
,列两个方程求解;
②
若相邻两项相减两次后为同一个常数设为
a
n
?an
2
?bn?c<
br>,列三个方程求解;
n
③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为
a
n
?aq
2、由递推公式求通项公式:
?b
,q为相除后的常数,列两个方程求解;
①若化简后为
a
n?
1
?a
n
?d
形式,可用等差数列的通项公式代入求解;
②若化简
后为
a
n?1
?a
n
?f(n),
形式,可用叠加法求解;
③若化简后为
a
n?1
?a
n
?q
形式,可用等比
数列的通项公式代入求解;
④若化简后为
a
n?1
?ka
n
?b
形式,则可化为
(a
n?1
?x)?k(a
n
?x)
,从而新数列
{a
n
?x}
是等比数列,
用等比数列求解<
br>{a
n
?x}
的通项公式,再反过来求原来那个。(其中
x
是
用待定系数法来求得)
3、由求和公式求通项公式:
①
a
1
?S
1
②
a
n
?S
n
?S
n?1
③检验
a1
是否满足a
n
,若满足则为
a
n
,不满足用分段函数
写。
4、其他
(1)
a
n
?a
n?1
?f
?
n
?
形式,
f
?
n
?
便于求和
,方法:迭加;
例如:
a
n
?a
n?1
?n?1
有:
a
n
?a
n?1
?n?1
a
2
?a
1
?3
a
3
?a
2
?4
?
a
n
?a
n?1
?n?1
各式相加得
a
n
?a
1
?3?4?
?
?n?1?a
1
?
?
n?4
??
n?1
?
2
(2)
a
n
?a
n?1
?a
n
a
n?1
形式,同除以a
n
a
n?1
,构造倒数为等差数列;
例如:
an
?a
n?1
?2a
n
a
n?1
,则
a
n
?a
n?1
a
n
a
n?1
?2?1
a
n?1
?
1
a
n
,即
?
?
1
?
?
为以-2为公差的等差数列。
?
a
n<
br>?
(3)
a
n
?qa
n?1
?m
形式,q?1
,方法:构造:
a
n
?x?q
?
a
n?
1
?x
?
为等比数列;
例如:
a
n
?2a
n?1
?2
,通过待定系数法求得:
a
n
?2?2
?a
n?1
?2
?
,即
?
a
n
?2?
等比,公比为2。
(4)
a
n
?qa
n?1
?pn?r
形式:构造:
a
n
?xn?y?q
?
a
n?1
?x
?
n?1
?
?y
?
为等比数列; <
br>n
(5)
a
n
?qa
n?1
?p
形式,同除
p
,转化为上面的几种情况进行构造;
n
第 3 页 共 6 页
因为
a
n
?qa
n?1
?pn
,则
a
n
p
n
?
q
a
n?
1
pp
n?1
?1
,若
q
p
?1
转化为(
1)的方法,若不为1,转化为(3)的方
法
二、等差数列的求和最值问题:(二次函数的配方法;通项公式求临界项法)
?
a<
br>k
?0
?
a
1
?0
①若
?
,则S
n
有最大值,当n=k时取到的最大值k满足
?
a?0d?0
?
?
k?1
②若
?
?
a
1?0
?
d?0
,则
S
n
有最小值,当n=k时取到的最
大值k满足
?
?
a
k
?0
?
a
k?1?0
三、数列求和的方法:
①叠加法:倒序相加,具备等差数列的相关特点的,倒序之后和为定值;
②错位相减法:适用
于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,如:
a
n
?
?
2
n?1
?
?3
;
③分式时拆项累加相约法:适用于分式形式的通项公式,把
一项拆成两个或多个的差的形式。如:
a
n
?
1
n
?
n?1
?
?
1
n
?
1
n?1
n
,
a
n
?
1
?
2n?1
??
2n?1?
?
1
?
11
?
?
??
等;
2
?
2n?12n?1
?
④一项内含有多部分的拆开分别求和法:适用于通
项中能分成两个或几个可以方便求和的部分,如:
a
n
?2?n?1
等;
n
四、综合性问题中
①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为
a?d和
a?d
类型,这样可以相加约掉,相乘为平方差;
②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数
为
aq和
a
q
类型,这样可以相乘约掉。
第三章:不等式
1、
a?b?0?a?b
;
a?b?0?a?b<
br>;
a?b?0?a?b
.
比较两个数的大小可以用相减法;相除法;平方法;开方法;倒数法等等。
2、不等式的性质: ①
a?b?b?a
;②
a?b,b?c?a?c
;③
a?b?a?c?b?c
;
④
a?b,c?0?ac?bc
,
a?b,c?0?ac?bc
;⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
; <
br>⑥
a?b?0,c?d?0?ac?bd
;⑦
a?b?0?a?b
?<
br>n??,n?1
?
;
⑧
a?b?0?
n
nn
a?
n
b
?
n??,n?1
?
.
3、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是
2
的不等式.
第 4 页 共 6 页
4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
判别式
??b?4ac
2
??0
??0
??0
二次函数
y?ax?bx?c
2
?
a?0
?
的图象
有两个相异实数根
有两个相等实数根
一元二次方程
ax?bx?c?0
2
?
a?0
?
的根
ax?bx?c?0
2
x
1,2
?
?b?
2a
?
x
1
?x
2
??
b
2a
没有实数根
?
x
1
一元二次不
等式的解集
?x
2
?
x?x
1
或x?x
2
?
?
a
?
a
?0
?
2
?
x
?b?
?
xx??
?
2a
??
?
R
ax?bx?c?0
?0
?
?
xx
1
?x?x
2
?
?
5、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是
1
的不等式.
6、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
7、二元一次不等式(组)
的解集:满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数对
?x,y
?
,所有这
样的有序数对
?
x,y
?
构
成的集合.
8、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0
,坐标平面内的
点
?
?
x
0
,y
0
?
.
①若<
br>??0
,
?x
0
??y
0
?C?0
,则点<
br>?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??
y?C?0
的上方.
②若
??0
,
?x
0
??y
0
?C?0
,则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方.
9、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0
.
①若
?
?0
,则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的区
域;
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域.
②若
??0
,则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域;
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方
的区域.
10、线性约束条件:由
x
,
y
的不等式(或方程)组成
的不等式组,是
x
,
y
的线性约束条件.
目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
,
y
的解析式.
线性目标函数:目标函数为
x
,
y
的一次解析式.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
可行解:满足线性约束条件的解
?
x,y
?
.
第 5 页
共 6 页
可行域:所有可行解组成的集合.
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
11、设
a
、
b
是两个正数,则
a?b
称为正数
a
、
b
的算术平
均数,
ab
称为正数
a
、
b
的几何平均数.
2
12、均值不等式定理: 若
a?0
,
b?0
,则
a?b?2ab
,即
a?b
2
?ab
.
13、常用的基本不等式:
①
a
2
?b
2
?2a
b
?
a,b?R
?
;
22
②
ab?
a?
b
2
?
a,b?R
?
;
?
a?b
?2
2
2
③
ab?
?
2
?
a?0,b?
0
?
;④
a?b
2
?
?
a?b
R
?
.
?
?
?
2
?
?
?
a,b?
?
2
?
?
14、极值定理:设
x
、
y都为正数,则有
2
⑴若
x?y?s
(和为定值),则当
x?y
时,积
xy
取得最大值
s
.
4
⑵若
xy
?p
(积为定值),则当
x?y
时,和
x?y
取得最小值
2
p
.
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