广东高一数学各章知识点总结

第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 。
说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给
定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一
个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一
样 ，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合
本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 。(1)用拉丁字母表
示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 。 (2)集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N ；正整数集 N*或 N+ ； 整
数集Z ； 有理数集Q ； 实数集R 。
关于“属于”的概念：集合的元素通常用小写 的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说
a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a
?
A。
集合的表示方法：列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：
将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象
是否属 于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：
例：不等式x-3>2的解集是{x | x-3>2且x∈R }。
4、集合的分类：(1)有限集：含有有限个元素的集合 (2)无限集：含有无限个元素的集合 (3)空集：
不含任何元素的集合，例：{x|x
2
=－5｝
二、集合间的基本关系
1、“包含”关系 —— 子集 注意： 有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，记作A
?
B或B
?
A 。
2、“相等”关系 ——“元素相同”
对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个 元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一
个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B， 即：A=B 。① 任何一个集合是它本身的
子集。A
?
A ②真子集：如果A
?
B且A
?
B，那就说集合A是集合B的真子集，记作 (或 )
③如果 AB，BC ，那么 AC ④ 如果AB ，同时 BA 那么A=B
3、 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ。 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合
的真子集。
三、集合的运算
1、交集的定义：一般地，由 所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集。记作
A∩B(读作“A交B”)，即A∩ B={x |x∈A,且x∈B}。
2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素 所组成的集合，叫做A与B的并
集。记作：A∪B(读作“A并B”)，即A∪B={x |x∈A,或x∈B}。
3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A, A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集与补集
（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做
S中子集A的补集（或余集）记作：
C
S
， 即
C
S
={x ︱x∈S且 x
?
A}
（2）全集：如果 集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。
通常用U来表示。（3 ）性质：①
C
U
U
=A ②
C
U
∩A=Φ ③
C
U
∪A=U 。
四、函数的有关概念
1、函数的概念：设A 、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意

- 1 - < br>C
A
AA
AA

一个数x，在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称f为从集合A到集合B的一个函
数。记作： y=f(x)，x∈A。其中 ，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相
对应的y值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)| x∈A }叫做函数的值域。注意：①如果只给出解析式
y=f(x)，而没有指明它的 定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；②函
数的定义域、值域要写成集合或 区间的形式。定义域定义：能使函数式有意义的实数x的集合称为
函数的定义域，求函数的定义域时列不 等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方
根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底数必须大于零且不等
于1； (5)如果函数 是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意
义的x的值组成的集合； (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。（又注意：求出
不等式组的解集即为函数的 定义域）
2、构成函数的三要素：定义域、对应法则和值域 再注意：（1）构成函数三个要素是定义 域、对应
关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域和对应关系完 全
一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系< br>完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域
一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2)
值域补充 (1)函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考
虑其定义域。 ( 2)应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求
解复杂函数值域的基 础。
3、 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的
点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x)，(x ∈A)的图象。C上每一点的坐标(x , y)均满足函数关系y=f(x)，
反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x , y)，均在C上 。即记为
C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 图象C一般是一条光滑的连续 曲线(或直线)，也可能是由与任意平行与
Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2) 画法：A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以( x,y)为坐
标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来。B、图象变换法（请参
考必修4三角函数） 常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换。
(3)作用：①直观的看出函数的性质；② 利用数形结合的方法分析解题的思路，提高解题的速度，
发现解题中的错误。
4、区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的
数轴表示．
5、什么叫做映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应“f:A→B”为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:A→B”，给定一个集合A到B的映射，如果a∈A，b
∈B，且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象 说
明 ：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对
应法则有 “方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；
③对于映射f： A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象
是唯一的；（Ⅱ）集 合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B
中的每一个元素在集合A中 都有原象。
6、常用的函数表示法及各自的优点：① 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线 、折线、离
散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；② 解析法：必须注明函数的定义域；③ 图
象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；④ 列表法：< br>选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征。注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便
于查出函数值。图象法：便于量出函数值。
补充一：分段函数 （参见课本P24-25） 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

- 2 -

在 不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同
的方程， 而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的
取值情况。（1 ）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段
定义域的并集，值 域是各段值域的并集。
补充二：复合函数 如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复
合函数。 例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)
7、函数单调性
（1）增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的 某个区间D内的任意两个自变量
x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)2
)，那么就说f( x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单
调增区间（清楚课本单调区间的概念） 。如果 对于区间D上的任意两个自变量的值x
1
，x
2
，当x
1
< x
2
时，
都有f(x
1
)＞f(x
2
)，那么就 说f(x)在这个区间上是减函数。区间D称为y=f(x)的单调减区间。注意：
①函数的单调性是在 定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；② 必须是对于区间D内
的任意两个自变量x
1
，x
2
；当x
1
2
时，总有f(x
1
)2
) 或f(x
1
)＞f(x
2
)。
（2） 图象的特点 如果函数y =f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上
具有(严格的)单调性 ，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下
降的。
（3）函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：①任取x
1< br>，x
2
∈D，且x
1
2
；② 作差f(x
1
)－f(x
2
)；③ 变形（通常是因式分解和配
方）；④ 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤ 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调
性）。 (B)图象法(从图象上看升降)。(C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函
数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下： 函数单调性u=g(x)增增减减，y=f(u) 增减增减
y=f[g(x)] 增减减增 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间
和在一起写成其并集。
8．函数的奇偶性
（1）偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都 有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶
函数。（2）奇函数 一般地，对于函数f(x)的定 义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)
就叫做奇函数． 注意：1 函数是 奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体
性质；函数可能没有奇偶性,也可能既 是奇函数又是偶函数。2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有
奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内 的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即
定义域关于原点对称）。（3）具有奇偶性的 函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数
的图象关于原点对称。总结：利用定义判断函数 奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并
判断其定义域是否关于原点对称；2 确定f(－x)与f(x)的关系；3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－
x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。注意啊：函
数定义域关于原点对称是函数具有奇 偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若
不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，( 1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考
虑根据是否有f(-x )±f(x)=0或f(x)f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 。
9、函数的解析表达式 （1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法
有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合
函数 f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用
凑 配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)
10．函数最大（小）值（定义见课本p36页） 1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）
值。2 利用图象求函数的最大（小）值。3 利用 函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数
y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[ b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如
果函数y=f(x)在区间[ a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)。


- 3 -

第二章 基本初等函数

一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根（n th root），其中 >1，且 ∈ *．
当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数．此时， 的 次方根用符号 表
示．式子 叫做根式（radical），这里 叫做根指数（radical exponent）， 叫做被开方数（radicand）． 当 是
偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负
的 次方根用符号－ 表示．正的 次方根与负的 次方根可以合并成± （ >0）．由此可得：负数没有偶
次方根；0的任何次方根都是0，记作 。
注意：当 是奇数时， ，当 是偶数时，
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概 念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数
幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
3．实数指数幂的运算性质
（1） ? ；
（2） ；
（3） ．
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数
的定义域为R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
2、指数函数的图象和性质 a>1 0图象特征 函数性质
向x、y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数 函数
图象都在x轴上方 函数的值域为R+ 函数图象都过定点（0，1） 自左向右看，
图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都
大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度
极快； 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a，b]上， 值域是 或 ； （2）若 ，则 ； 取
遍所有正数当且仅当 ； （3）对于指数函数 ，总有 ； （4）当 时，若 ，则 ；
二、对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： （ — 底数， — 真数， — 对
数式） 说明：○1 注意底数的限制 ，且 ； ○2 ； ○3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○
1 常用对数：以10为底的对数 ； ○2 自然对数：以无理数 为底的对数的对数 ．
2、 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 对数底数 ← → 幂底数 对数 ← → 指数 真数
← → 幂
（二）对数的运算性质
如果 ，且 ， ， ，那么：
○1 ? ＋ ；
○2 － ；
○3 ．
注意：换底公式
（ ，且 ； ，且 ； ）．

- 4 -

利用换底公式推导下面的结论（1） ； （2） ．
（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
○2 对数函数对底数的限制： ，且 ．
2、对数函数的性质：
a>1 0图象特征 函数性质 函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞） 图象关于原点和y轴不
对称 非奇非偶函数 向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R 函数图象都过定点（1，0） 自左
向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 第一象限的图象纵坐标都大
于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都
小于0
（三）幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数．
2、幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数．特别地，当 时，幂函数的图象下凸；
当 时，幂函数的图象上凸； （3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数．在第一象限内，当 从右
边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正
半轴．

第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。
2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即： 方
程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．
3、函数零点的求法：
求函数 的零点： ○1 （代数法）求方程 的实数根；
○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质
找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数 ．
１）△＞０，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点．
２）△＝０，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二
重零点或二阶零点． ３）△＜０，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．


高中高一数学必修4各章知识点总结
基本三角函数

- 5 -

Ⅰ
?

?

2
?
?
Ⅰ
?
?
Ⅱ
?
?
Ⅲ
?
?
Ⅳ
Ⅱ ? 终边落在x轴上的角的集合：
?
2
?
Ⅰ、Ⅲ
?
Ⅰ、Ⅲ
?
Ⅱ、Ⅳ
?
2
?
2
?
2
?
Ⅱ、Ⅳ
y轴上 的角的集合：
?
??
?
??
,
?
?z
?< br> ? 终边落在
????
?
?
? 终边落在坐标轴上的角的集合：??
?
??
?,
?
?z
??
?
?,
?
?z
????

22
????
? 基本三角函数符号记
1
?
?弧度
“一全，二正弦，三切，四
?

忆：
11
2
180
S?l r?
?
r
余弦”
22
180
1 弧度?度

?
180
?
?
?
弧度
l?
?
r
360度?2
?
弧度
?
.
tan
?
cot
?
?1
?倒数关系：
Sin
?
Csc
??1
正六边形对角线上对应的三角函数之积为1
Cos
?
Sec
?
?1

三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对
平方关系：
Sin
?
?Cos
?
?1

边对应的三角函数的平方
22
tan
2
?
?1?Sec< br>2
?
1?Cot
2
?
?Csc
2
?
乘积关系：
Sin
?
?tan
?
Cos
?
， 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积
同角三角函数关系六角形记忆法
六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）
构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型。
（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；
（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。
（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。
（3）平方关系： 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点
上的三角函数值的平方。

Ⅲ 诱导公式? 终边相同的角的三角函数值相等

Sin< br>?
?
?2k
?
?
?Sin
?
, k?z

Cos
?
?
?2k
?
?
?Cos
?
, k?z
tan
?
?
?2k
?
?
?tan
?
, k?z

- 6 -

?
角
?
与角?
?
关于x轴对称

Sin
?
?
?
?
??Sin
?
Cos
?
??
?
?Cos
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tan
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???tan
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角
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与角
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关于y轴对称

Sin
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Cos< br>?
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角
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与角
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关于原点对称
Sin
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2
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关于y?
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x对称
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2
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上述的诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”
Ⅳ 周期问题
?
2
?
y?ACos
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
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?
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x?
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, A?0 ,
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2
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2
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? 0 ,
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y?Atan
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, A?0 ,
?
? 0 , T?
y?Atan
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?

?
?
?
y?Acot
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为：
对于k·π2±α(k∈Z)的个三角函数值，
①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
②当k是奇数时，得到α相应的 余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
（奇变偶不变）
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）
例如：
sin(2π－α)＝sin(4·π2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。
所以sin(2π－α)＝－sinα
记忆口诀是：


- 7 -

奇变偶不变，符号看象限。
公式右边的符号为把α视为锐角时，角k· 360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α
所在象限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限。
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．
这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；
第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；
第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；
第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．
Ⅴ 三角函数的性质

性 质
定义域
值 域
周期性
奇偶性
单调性
y?Sin x

R
y?Cos x

R
?
?1,1
?

2
?

奇函数
?
?1,1
?

2
?

偶函数
??
??
2k
?
?,2k
?
?, k?z,增函数
??
22
??
?
3
?
??
2k
?
?,2k
?
?,k?z,减函数
??
22
? ?

?
2k
?
?
?
,2k
?
?< br>,k?z,增函数

?
2k
?
,2k
?
?< br>?
?
,k?z,减函数
对称中心
?
k
?
,0
?
,k?z

x?k
?
?
?
??
?
k
?
?,0
?
,k ?z

2
??
x?k
?
,k?z

5
4
对称轴

图


像
?
2

,k?z

5
3
4
23
y
y
2
1
x
1
-8
-2π
-6
-3π 2
-4
-π
-2
-π 2Oπ 2
2
π
4
3π 2
6
2π
8
-π 2
-8
3π 2
O
-1
x
6
-1
-2π
-6
-3π 2
-4
-π
-2
π 2
2
π
4
2π
8
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5

-6





性 质
定义域
y?tan x
< br>??
?
xx?
??
?,
?
?z
??

2
??
R
- 8 -
y?cot x

?
xx?
??
,
?
?z
?

R 值 域

周期性
奇偶性
单调性
?

奇函数
?

奇函数
??
??
?
k?
?,k
?
?
?
,k?z,增函数

22??
?
k
?
,k
?
?
?
?
, k?z,增函数

?
??
,0
?
,k?z
?
k
?
?
2
??
对称中心
对称轴


图

像
?
k
?
,0
?
,k?z

无
10
8

无
y

6
4
y
2
x
-15-10-5
-3π 2-π -π 2Oπ 2π 3π 2
51015
-2
0
x
-4
-6
-8
-10

?
怎样由y?Sin x变化为y?ASin
?
?
x?
?
?
?k
？
振幅变化：
y?Sinx

y?ASinx
左右伸缩变化：

y?ASin
?
x
左右平移变化
y?ASin(
?
x?
?
)

上下平移变化
y?ASin(
?
x?
?
)?k

Ⅵ平面向量共线定理：一般地，对于两个向量
a,a?0,b,如果有
??
一个实数
?
,使得b?
?
a,a?0,则b与a是共线向量 ；反之如果b与a是共线向量

那么又且只有一个实数
?
,使得b?
?
a.

Ⅶ 线段的定比分点
点
P
分有向线段
P
1P
2
所成的比的定义式
P
1
P?
?
PP
2

.
线段定比分点坐标公式

线段定比分点向量公式
?

x
1
?
?
x
2


x?


1?
?
OP
1
?
?
OP
2
.
OP?
y
1
?
?
y
2


y?
1?
?

1?
?


??
?
当
?
?1
时
?
当
?
?1
时

线段中点坐标公式


x
1
?x
2
x?

2




线段中点向量公式


- 9 -

.

OP?

OP
1
?OP
2

2

y?
y
1
?y
2

2
Ⅷ 向量的一个定理的类似推广
向量共线定理：
b?
?
a
?
a?0
?


?
推广
其中e
1
,e
2
为该平面内的两个
?
平面向量基本定理：
a?
?
e ?
?
e ,
?
??

1122
??
?
不共线的向量
?

?
推广
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
?
?
3
e
3
,
空间向量基本定理：
??

其中e,e,e为该空间内的三个
123
??
?不共面的向量
?
??
Ⅸ一般地，设向量
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
且a?0,如果a
∥
b那么x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

反过来，如果
x
1y
2
?x
2
y
1
?0,则a
∥
b.
Ⅹ 一般地，对于两个非零向量
a,b
有
a?b?abCos
?
，其中θ为两向量的夹角。
Cos< br>?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1
2
?
y
12
x
2
2
?
y
2
2

特别的，
a?a?a?a 或者 a?
Ⅺ
2
2
a?a


如果 a?
?
x
1
,y
1
?
, b?
?
x
2
,y
2
?
且a?0 , 则a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
特别的 , a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
Ⅻ
若正n边形A
1
A
2
???A
n
的中心为O , 则OA
1
?OA
2
?????OA
n
?0

三角形中的三角问题
A?B?C
?
A?B
?
C
?
A?B?C?
?
, ? , ? -
2 2222
?
A?B
??
C
?
Sin
?
A? B
?
?Sin
?
C
?
Cos
?
A?B
?
??Cos
?
C
?
Sin
??
?Cos
??

?
2
??
2
?

?
A?B
??< br>C
?
Cos
??
?Sin
??
?
2
??
2
?
? 正弦定理：
abca?b?c
???2R?

SinASinBSinCSinA?SinB?SinC
余弦定理：
a
2< br>?b
2
?c
2
?2bcCosA , b
2
?a
2
?c
2
?2acCosB
c?a?b?2abCosC
222


- 10 -

b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c2
?b
2
CosA ? , CosB ?
2bc2ac
变形：
222
a?b?c
CosC ?
2ab
?
tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC


三角公式以及恒等变换
, S
(
?
?
?
)

? 两角的和与差公式：
Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?
Cos?
?Cos
?
Sin
?

Sin
??
?
?
?
?Sin
?
Cos
?
?Co s
?
Sin
?
, S
(
?
?
?
)
Cos
?
?
?
?
?
?Cos
?
Cos
?
?Sin
?
Sin
?
, C(
?
?
?
)
Cos
?
?
?
?
?
?Cos
?
Cos
?
?Sin
?
Sin
?
, C
(
?
?
?
)

tan
?
?tan
?
, T< br>(
?
?
?
)
1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?
tan
?
?
?
?
?
? , T
(
?
?
?
)
1?tan
?
tan
?
tan
?
?
?
?
?
?
? 二倍角公式：
Sin2
?
? 2Sin
?
Cos
?
变形：
tan
?
?t an
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?

tan
?
?tan
?
?tan
?
?tan
?
tan
?
tan
?
其中
?
,
?
,
?
为三角形的三个内角
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?< br>??
1?tan
?
tan
?
?
Cos2
?< br>?2Cos
2
?
?1?1?2Sin
2
?
?Cos< br>2
?
?Sin
2
?
tan2
?
?
2 tan
?
1?tan
2
?

? 半角公式：
S in
?
2
??
1?Cos
?
2
tan
?< br>2
??
1?Cos
?
Cos??
22
2
?< br>1?Cos
?
Sin
?
1?Cos
?

??
1?Cos
?
1?Cos
?
Sin
?
1?Cos2
?

? 降幂扩角公式：
Cos
2
?
?
1?Cos2
?
, Sin
2
?
?
2
1
?
Sin
?< br>?
?
?
?
?Sin
?
?
?
?
?
?
2
1
? 积化和差公式：
Cos
?
Sin< br>?
?
?
Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?
?
?
?
?
?

2
1< br>Cos
?
Cos
?
?
?
Cos
?
?
?
?
?
?Cos
?
?
?
?
??
2
1
Sin
?
Sin
?
??
?Cos
?
?
?
?
?
?Cos
?
??
?
?
?
2
Sin
?
Cos
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?Sin
?
?Sin
?
?2Sin
??
Cos
? ?
?
2
??
2
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
Sin
?
?Sin
??2Cos
??
Sin
??
? 和差化积公式：
?
2< br>??
2
?
?
?
?
?
??
?
?
?
Cos
?
?Cos
?
?2Cos
??
Cos
?
?
2
??
2
?
?
?
?< br>??
?
?
?
Cos
?
?Cos
?
? ?2Sin
??
Sin
?
?
2
??
2
S? S?2SC
（
S?S?2CS
?
?
?
?
?
?
C?C?2CC
C?C??2SS
）
和差化积公式推导
首 先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*c osb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2

- 11 -

同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-s in(a-b))2
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb- sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)2,b=(x-y)2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)2)*cos((x-y)2)
sinx- siny=2cos((x+y)2)*sin((x-y)2)
cosx+cosy=2cos((x+y)2)*cos((x-y)2)
cosx- cosy=-2sin((x+y)2)*sin((x-y)2)
2tan
Sin
?
?
?
2
1?tan
2
?
2
? 万能公式:
1?tan
2
Cos
?
?
1?tan
2
?
?
2
2
(
S?T?C??
)
tan
?
?
2tan
?
2

1?tan
2
?
2
附推导： sin2α=2sinαcosα=2 sinαcosα(cos^2(α)+sin^2(α))......*， （因为
cos^2(α)+sin^2(α)=1） 再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α
＝tan2α(1＋tan^2(α)) 然后用α2代替α即可。 同理可推导余弦
的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到
3
3tan
?
?tan
?

tan3
?
?
1?3tan
2
?
Cos3
?
?4Cos< br>3
?
?3Cos
?
3
? 三倍角公式：
Sin3?
?3Sin
?
?4Sin
?
“三四立，四立三，中间横个小扁 担”
三倍角公式推导
tan3α＝sin3αcos3α
＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)(cos2αcosα-sin2αsinα) < br>＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))(cos^3(α) －cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)
上下同除以cos^3(α)，得：
tan3α＝(3tanα－tan^3(α))(1-3tan^2(α))

sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα
＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα
＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)
＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα

- 12 -

＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)
＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))
＝4cos^3(α)－3cosα
即 sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
三倍角公式联想记忆

记忆方法：谐音、联想
正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)）
余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完之后还有“余”）
☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

?
1. y?aSin
?
?bCos
?
?
b
a
a
2. y?aCos
?
?bSin
?
?a
2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
b
b
? a
2
?b
2
Cos
?
?
?
?
? 其中 , tan
?
?
a
b
3. y?aSin
?
?bCos
?
?a
2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
a
a
??a
2
?b
2
Cos
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
b
a
2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
4. y?aCos
??bSin
?
?a
2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?

a

b
b
?a
2
?b
2
Cos
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
a
注:不同的形式有不同的化归,相同的形式也有不同的化归,进而可以
??a
2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
求解最值问题. 不需要死记公式,只要记忆 1. 的推导即表达技巧,其它
的就可以直接写出.
一般是表达式第一项是正弦的就用两角和与差的正弦来靠,第一
项是余弦的就用两角和与差的与弦来靠. 比较容易理解和掌握.
tan
?
?tan
?
, T
(
?
?
?
)
? 补充： 1. 由公式 < br>1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?
tan
?
?
?
?
?
? , T
(
?
?
?
)
1?tan
?
tan
?
tan
?
?
?
?
?
?

可以推导 ：
当
?
?
?
?
??
?
在有些题目中应用广泛。
?
4
时,
?
?z ,
?
1?tan
?
??
1?tan
?
?
?2

2.
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
?
tan
?
tan
?
?tan?
?
?
?
?

3. 柯西不等式
(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?R.


补充
1．常见三角不等式：（1）若
x?(0,

22222
?
2
)
，则
sinx?x?tanx
.
- 13 -

2
22
2.
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin
??sin
?
(平方正弦公式);
cos(
?
?
?)cos(
?
?
?
)?cos
2
?
?sin< br>2
?
.
(2) 若
x?(0,
?
)
，则
1?sinx?cosx?2
. (3)
|sinx|?|cosx|?1
.
asin
?
?bco s
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决
b
定,
tan
?
?
).
a
??
3
3. 三倍角公式 ：
sin3
?
?3s in
?
?4sin
?
?4sin
?
sin(?
?< br>)sin(?
?
)
.
33
??
cos3
?
?4cos
3
?
?3cos
?
?4cos
?
cos(?
?
)cos(?
?
)
.
33
3tan
?
?tan
3
???
tan3
?
??tan
?
tan(?
?
)tan(?
?
)
.
2
1?3tan
?
33
4.三角形面积定理：（1）
S?
111ah
a
?bh
b
?ch
c
（
h
a、h
b
、h
c
分别表示a、b、c边上的高）.
222
111
（2）
S?absinC?bcsinA?casinB
.
2 22
1
(3)
S
?OAB
?(|OA|?|OB|)
2?(OA?OB)
2
.
2
C
?
A?B
?2C ?2
?
?2(A?B)
.
??
222
k
?
?
5.三角形内角和定理 在△A BC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)
?
?
2
6. 正弦型函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的对称轴为
x?
?
?
?
(k?Z)
；对称中心为
(
k
?
?
?
,0)(k?Z)
；类似可得余弦函数 型的对称轴和对称中心；
?
〈三〉易错点提示：
1. 在解三角问题时，你注意到 正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦
函数的有界性了吗？
2. 在三角中，你知道1等于什么吗？（
这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种
代换有着广泛的应用．
3. 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角.
异角化同角，异名化同名，高次化低次）
4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(

)

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