二范数公式平面法向量的求法法向量怎么求

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平面法向量的求法- 法向量怎么求
法向量的求法及其应用
平面法向量的求法及其应用
引言： 本节介绍平面法向量的两种
求法,并对平面法向量在高中立体几何中
的应用作归纳和总结。其中 重点介绍外
积法求平面法向量的方法，因为此方法
比内积法更具有优越性,特别是在求二面角的平面角方面。此方法的引入，将对
高考立体几何中求空间角、求空间距离、
证明垂直、 证明平行等问题的解答变得
快速而准确，那么每年高考中那道12分
的立体几何题将会变得更加 轻松。
(1)、求线面角：如图2-1，设n是平
面的法向量，AB是平面的一条斜
线，A，

sin|cosn,AB|

一、平面的法向量
1、定义：如果a，那么向量a
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叫做平面的法向量。平面的法向量
共有两大类，无数条。
2、平面法向量的求法


别是平面、的法向量，则二面
角l的平面角为：

方法一(内积法):在给定的空间直角
坐标系中，设平面的法向量n(x,y,z)，在平面内任找两个不共线
的向量a,b。由n，得na0
且nb0，由此得到关于x ,y,z的方程
组，解此方程组即可得到n。 方法二 (外
积法): 设


m,n;

m,n(图2-3)


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, 为空间中两个不平行的非零向量，
其外积ab为一长度等于
|a||b|sin，，而与
, 皆垂直的向量。通常我们采取
「右手定则」，也就是右手四指由
的方向转为
的方向时，大拇指所指的方向规定< br>为ab的方向,abba。设
a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则:







图2-3

x1z1x1y1y1z1
,,ab
yzx2z2x2y222
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两 个平面的法向量方向选取合适,可
使法向量夹角就等于二面角的平面角。
约定，在图2-2中， m的方向对平面
而言向外，n的方向对平面而言向内；
在图2-3中，m的方向对平面而言向< br>内，n的方向对平面而言向内。我们只
要用两个向量的向量积使得两个半平面
的法向量一 个向内一个向外，则这两个
半平面的法向量的夹角即为二面角
l的平面角。 2、 求空间距离
点到平面的距离:
方法指导：如图2-5,若点B为平面α
外一点，点A
1



ab
adcb；2、适合右手定则。
cd
二、平面法向量的应用
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1、 求空间角
为平面α内任一点，平面的法向量
为， 则点B到平面α的距离公式为d
三、高考真题新解
例1、已知如图3-1,四棱锥P-ABCD
的底面为直角梯形，
AB∥DC，DAB90,PA底面
ABCD，且PA=AD=DC=
|ABn||n|


1
AB=1，M是2
直线与平面间的距离:
方法指导：如图2-5,直线a与平面
d
ABn|n|
，其中A,Ba。
n是平面的法向量
、平面与平面间的距离:
PB证明：面PAD⊥面PCD； 求AC
与PB所成的角；
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求面AMC与面B MC解:以A点为
原点,以分别以AD，AB，AP为x轴，y
轴，z轴，建立空间直角坐标系 A-xyz
如图所示.
方法指导：如图2-7,两平行平面
,

(I).AP(0,0,1)，AD(1,0,0)，设
平面PAD的法向量为
m APAD(0,1,0) 又
DC(0,1,0)，DP(1,0,1)，设平面
PCD的法向 量为nDCDP(1,0,1)






d
|ABn||n|

，其中A,B。n是平面、
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的法向量。
mn0，mn，即平面PAD
平面PCD。

3、 证明
ACPB(II).AC(1,1,0)，
PB(0,2,1)，AC,PB
5|AC||PB|
111
(III).CM(1,0,)，
CA(1, 1,0)，设平在AMC的法向
量为mCMCA(,,1).
222
11
又CB(1,1,0),设平面PCD的
法向量为nCMCB(,,1).
22




证明线面垂直：在图2-8中 ,m在向
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量共线。
证明线面平行：在图2-9中,m向是
平面的法向量，a是直线a的方向向量，
证 明平面的法向量与直线所在向量垂
直。
证明面面垂直：在图2-10中，m是
平 面的法向量，n是平面的法向量，
证明两平面的法向量垂直
证明面面平行：在图2-11中, m向
是平面的法向量，n是平面的法向
量，证明两平面的法向量共线。
2










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mn2
m,narccos().
3|m||n|


22
面AMC与面BMC所成二面角的
大小为arccos().
33
例2、(本题满分12分)如图3-2，在
长方体ABCD－A1B1C1D1中， 已知
AB＝AA1＝a，BC，M是AD的中点。 (Ⅰ)
求证：AD∥平面A1BC；
(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面
A1BD1； (Ⅲ)求点A到平面A1MC的距
离。
解:以D点为原点,分别以
DA,DC, DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直
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角坐标系图D-xyz如图所示.

(I).BC(2a,0,0),B A1(0,a,a),设
平面A1BC的法向量为
nBCBA1(0,2a2,2a2)
又
AD(2a,0,0),nAD0,AD
n,即AD平面A1BC.






五、应用举例：
1．如图，在正方体ABCD－
A1B1C1D中，E、F分别是BB1、CD的
中点. (I) 求AE与D1F所成的角 (II)
(II)证明面AED⊥面A1FD1
2.三棱锥被平行于底面ABC的平面
所截得的几何体如图所示，截面为
A1B1C1，BAC 90，A1A平面
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ABD1
2
(II).MC(a,0,a)
2

,
2
MA1(a,a,0)
2

,设平面A1MC的法向量为:
mMCMA1(a2,


2222a,a), 22




2
2
B
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D
E
又
BD1(2a,a,a),BA1(0,a,a),设
平面A1BD1的法向量为:
nBD1BA1(0,2a,2a),
mn0,mn,即平面
A1MC平面A1BD1.

(III).设点A到平面A1MC的距离为
d,
mMCMA1(a2,
又MA(


2222
a,a)是平面A1MC的法向量, 22


2|mMA|1
a,0,0),A点到平面A1MC的距离
为:da. 22|m|
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四、用空间向量解决立体几何的“三
步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、
直条件,相关几何知识的综合运用，建立
右手系)， 用空间向量表示问题中涉及的
点、直线、平面，把立体几何问题转化
为向量问题； 、通过向量运算，研究点、
直线、平面之间的位置关系以及它们之
间距离和夹角等问题； 、把向量的运算
结果“翻译”成相应的几何意义。
线线、线面、面面间的位置关系与
向量运算的关系 设直线l,m的方向向量
分别为,， 平面,的法向量分别为,。
1.平行关系
lmabab线线平行

线面平行 lauau0

面面平行 uvuv2.
垂直关系
线线垂直
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lmabab0
线面垂直
lauau面面垂直
uvuv0
3
ABC
，AAC2，AC111，1A
AB，
证明：平面A1AD平面BCC1B1；
求二面角ACC1B的正切值．
BD1
． DC2
B1
A1
C1
A B
C
D1
3．如图，正四棱柱
ABCDABC111D1中，AA12AB4，
A1
5 .平面ABEF平面ABCD，四边形
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ABEF与ABCD都是直角梯形，
BADFAB900,BC
1
AD，
1
1
点E在CC1上且C1E3EC． BE
1
2AF
证明：AC1
平面BED；
E
证明：EC||平面ADF；
求二面角EBDC的平面的正弦
值． C
A
设ABBCBE，求二面角
AEDB的余弦值.
4．如图 ，在长方体ABCDA6．如
图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱
长都为2，D为CC 1中点。1B1C1D1中，
AA1ADa，AB2a，E、F分别为
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C1D1、A1D1的中点． 求证：AB1⊥面
A1BD； 求证：DE平面BCE；求
证：AF平面BDE． D
E
求二面角A－A1D－B的大小； 异
面直线AF与BE所成角的余弦值。 FC1
求点C到平面A1BD的距离；
A1
1
A
B
4
2A
A1
F
C C1
B
B1
7．在四棱锥PABCD中，PA底
面ABCD，ABAD，ACCD，
ABC60°，PAA BBC，
E是PC的中点．
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证明CDAE；
P
证明PD平面ABE；
求二面角APDC的大小；
A
D
能力提升：
1.四棱锥S＝ABCD的底面是正方
形 ，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E
是SD上的点，且DE＝a (01)).
(Ⅰ)求证：对任意的，都有AC
⊥BE；
求直线A1C与DE所成角；
B求直线AD与平面B1EDF所成的
角，
求平面BD
1EDF与平面ABCD所成的角 B
E
3．四棱锥PABCD的底面是正方
形，PD底面ABCD，点E在棱PB上.
求证：平面AEC平面PDB；
当PD
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且E为PB的中点时，求AE与平面
PDB所成的角的
大小.
5
4．在三棱锥PABC中，PA底面
ABC,PAAB,ABC60,BCA9
0 ，点D，E分别在棱PB,PC上，且
DEBC5．四棱锥P－ABCD的底面是正
方形，PA ⊥底面ABCD，PA＝2，∠
PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD
的中点．求证： AF∥平面PCE；求证：
平面PCE⊥平面PCD；求三棱锥C－BEP
的体积．
6
求证：BC平面PAC；
当D为PB的中点时，求AD与平
面PAC所成的角的大小；增长量的求法
增长量的求法
增长量的求法：一 般在求增长量
的时候考生首先想到的是增长量=现期
量- 基期量，但是在实际考试中利用这个
公式求起来是比较复杂的。国家公务员
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考试中一般利用增长量=基期量×增长
率， 或者是增长量=现期量×增长率÷这个
公式来求解。当然利用这个公式的同时，
可以结合我们的 速算技巧来求解。
一、根据以下材料，回答121题。
xx年世界稻谷总产量万吨 ，比2000
年增长%；小麦总产量万吨，比2000年
增长%；玉米总产量万吨，比2000 年增
长%；大豆产量万吨，比2000年增长%。
121、下列四种谷物中，xx年与2000
年相比全世界增产量最多的是：
A、稻谷 B、小麦 C、玉米 D、
大豆
答案：C 解析：最大的量，增长最
多，那 么增长量就是最大的，此题中就
是告诉我们现期量xx年，求解增长量的
问题。所以要利用公式 增长量=现期量×
增长率÷。具体计算是：稻谷×%；小麦
×%；玉米×%；大豆产量×%，通 过估
算，很容易看出×%是最大的。所以选择
C选项。
二、根据以下资料，回答 127题。
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ok
2016年上半年，全国原油产量为
9848万吨，同比增长%，上年同期为下
降 1%。进口原油11797万吨，增长%。
原油加工量20586万吨，增长%，增速
同比加快 个百分点。成品油产量中，汽
油产量增长6%，增速同比减缓个百分
点；柴油产量增长%，增速 同比加快个
百分点。
据行业统计，2016年上半年成品油
表观消费量1096 3万吨，同比增长%。
其中，一、二季度分别增长%和%。
127、2016年上半年，全国成品油表
观消费量同比增加了约多少万吨？
A、1009 B、1218 C、1370 D、
1787
答案：B 解析：此 题中同样是告诉
现期量2016年上半年，全国成品油表观
消费量，以及增长率，让求增长量的 问
题。根据公式增长量=现期量×增长率÷，
所以全国成品
油表观消费量同比增加了
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10963×%÷，利用凑整法%=18 ，所以同
比增加了10963÷9=1218万吨。所以选择
B选项。
三、根据以下资料回答131题。ok
2016年一季度，我国水产品贸易进
出口总量万 吨，进出口总额亿美元，同
比分别增长%和%．其中出口量万吨，出
口额亿美元，同比分别增长 %和%；进口
量万吨，进口额亿美元，同比分别增上%
和%。
131、2016年一季度，我国水产品出
口额比上年同期约增长了多少亿美元？
A、 B、 C、 D、
答案：A 解析：此题中告诉我们现
期量2016年一季度，我国 水产品出口额
以及增长率%，求增长量的问题。根据
公式增长量=现期量×增长率÷，所以我国
水产品出口额比上年同期约增长了
÷×%≈÷×25%=亿美元。所以选择A选项。
下面以2016年国家公务员考试行测
为例：
一、 根据以下资料，回答91题。
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中国汽车工业协会 发布的2016年4
月份中国汽车产销数据显示，在其他国
家汽车销售进一步疲软的情况下，国 内
乘用车销量却持续上升，当月销售已达
万辆，比3月份增长%，同比增长%。
91、与上年同期相比，2016年4月
份乘用车销量约增长了多少万辆？
A、 B、 C、 D、
答案：B 解析：此题仍然是告诉现
期量和增长率求基期量的问题。 20 16
年4月份当月销售万辆，同比增长%。
故与上年同期相比，2016年4月份乘用
车销量约增长了
×%=，本题选B。
此类求增长量或者比较增长量大小
的 问题在2016年国家公务员考试行测试
卷占到20%的比重，考生务必要牢牢把
握在知道现期 量和增长率的情形下，求
增长量所利用的公式增长量=现期量×增
长率÷
资料分析考点
(2016-11-17 11:28:12)
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标
签：
杂
谈 分类：转摘
考试的核心依然是对基本概念的考
察，包括：增长量、增长率、比重、倍
数、平均量的求解和大小的比较;在需要
计算的题目上主 要是首数法、尾数法、
特征数字法、同位比较法、有效数字法、
反算法等核心方法的运用。中公 白皮书
中提到，尤其重要的是以下考点和方法
的使用。
一、重要考点：
(一)比重计算
这种题型以知道当期整体和部分的
数据以及增长率为主要资 料给法，来计
算上一时期的比重大小，重点考察以下
三种类型：
1、计算比重的结果
2、 根据总量以及部分占整体的比
重求解部分或者根据整体以及部分占整
体的比重求整体
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3、 同时也包含对比重变大或者变
小的考察
例如：
例1：2016年1～5月 ，石油石化行
业实现利润1645亿元，同比增长%，其
中，石油天然气开采业利润1319亿 元，
同比增长倍。
2016年1～5月，石油天然气开采业
利润占石油石化行业实现利润的比重约
为：
% % % %
解析：此题依然是告诉我们现期量
2016年1~5月，石油石化行业实 现利润
1645亿元，同比增长%，石油天然气开
采业利润1319亿元，同比增长倍，问题< br>问基期量2016年1~5月，
石油天然气开采业利润占石油石化
行业实现利润的比重约为：，所以答案为
A。
例2：xx年，某省产品进出口贸易
总额为亿美元;农产品进出口贸易额占全
省对外贸易总额的 %
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xx年，该省的对外贸易总额约为多
少亿美元?

????????
例3：出口额为5。02亿美元，茶叶
占出口额的%，而绿茶出口额和 占茶叶
出口额的四分之三。
xx年，该省的绿茶出口额为多少万
美元?

?????
例4：2016年4月乘用车总销量已
达 83。1万辆，比3月份增长7。59%;
其中，轿车销量比3月份增长8。3%;MPV
销量 比3月份下降3。54%;SUV销量比
3月份19。27%; 交叉型乘用车销量比3
月份增 长3。62%。轿车、MPV、SUV
和交叉型用业销量占4月份乘用车销量
占4月份乘用车总 销量的比重分别为
71%、2%、6%和20%。
关于2016年3月份各种车型销量在
总销量中所占比重的描述,以下正确的
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是:
A.轿车超过71% 超过2%
超过6% D.交叉型乘用车低于21%
(二)增长量计算
增长量的计算主要考察根据当年的
数值以及增长率求解增长量这种题型。
考察过程中最可能加入的就是对比重的
进一步应 用。总结为以下两种情况：
1、 根据本期数值和本期比上期的
增长率直接计算本期比上期增长的数量
2、 根据简单的一 步计算求出出本
期数据，利用本期数据和本期比上期增
长率求解本期比上期增长的数量
例如：
例1：2016年一季度，我国水产品
出口额亿美元，同比增长%。
2016年一季度，我国水产品出口额
比上年同期约增长了多少亿美元?

例2：xx年，某省产品出口额为亿
美元，增长%，其中对韩国出口额占%，
对韩 国的出口额增长%。与xx年相比，
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xx年该省出口韩国的农产品总额约增加
了多少万美元?

(三)求倍数
这种类型的题目往往要求计算两个
量A和B之间的倍数关系，比如A是B< br>的多少倍，但是往往A和B都是未知的
数量，需要进行一步求解才能得出，然
后再做除法 运算。主要包括两类
1、求出平均值再把计算结果求倍数
2、利用增长率求解上一时期数值之
后再求解倍数。
例如：
例1：xx年 全国共有卫生机构万个，
比1949年增加约75倍;医院和卫生院床
位数为万张，比1949 年增加倍;每千人口
医院、卫生院床位数为张，远高于1949
年张的水平。
xx年，每万人口拥有的卫生机构数
量约是1949年的多少倍?

例2.：2016年总电话长途通话时长，
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同比增长%，固定传统长途电话通话时
长，同比下降%。xx年总电话长途通话时长约是固定传统长途电话通话时间的
多少倍?
排列组合思维方法选讲
1．首先明确任务的意义
例1. 从1、2、3、??、20这二十个
数中任取三个不同 的数组成等差数列，
这样的不同等差数列有________个。
分析：首先要把复杂的生活背景或其它
数学背景转化为一个明确的排列组合问
题。 设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可
知b由a,c决定， 又∵ 2b是偶数，
∴ a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5，
??，19或2，4，6，8， ??，20这十个数
中选出两个数进行排列，由此就可确定
等差数列，P*2=90*2，因而 本题为180。
例2. 某城市有4条东西街道和6条南北
的街道，街道之间的间距相同 ，如图。
若规定只能向东或向北两个方向沿图中
路线前进，则从M到N有多少种不同的
走法? 分析：对实际背景的分析可以
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逐层深入 从M到N必须向上走三步，
向右走
五步，共走八步。 每一步是向上
还是向右，决定了不同的走法。
事实上，当把向上的步骤决定后，
剩下的步骤只能向右。 从而，任务可
叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向
上走，就可以确定走法数， ∴ 本题
答案为：=56。
2．分析是分类还是分步，是排列还
是组合
注意加法原理与乘法原理的特点，
分析是分类还是分步，是排列还是组合
例3．在一块并排 的10垄田地中，选择
二垄分别种植A，B两种作物，每种种
植一垄，为有利于作物生长，要求 A，B
两种作物的间隔不少于6垄，不同的选
法共有______种。 分析：条件中“要
求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这
个条件不容易用一个包含排列数，组合
数的式 子表示，因而采取分类的方法。
第一类：A在第一垄，B有3种选择；
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第二类：A在第二垄，B有2种选择； 第
三类：A在第三垄，B有1种选择， 同
理A、B位置互换 ，共12种。 例
4．从6双不同颜色的手套中任取4
只，其中恰好有一双同色的取法有
________。
(A)240 (B)180 (C)120 (D)60 分
析：显然本题应分步解决。 从6双中
选出一双同色的手套，有6种方法； 从
剩下的十只手套中任选一只，有10种方
法。 从除前所涉及的两双手套之外的
八只手套中任选一只，有8种方法； 由
于选取与顺序无关，因中的选法重复一
次，因而共240种。 或分步 从6
双中选出一双同色的手套，有C(1,6)=6
种方法 从剩下的5双手套中任选两
双，有C(2,5)=10种方法 从两双中手
套中分别拿两只手套，有C*C=4种方法
同样得出共**=240种。 例5．身高互
不相同的6个人排成2横行3纵列，在
第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为
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_______。 分析：每一纵列中的两人
只要选定，则他们只有一种站位方法 ，
因而每一纵列的排队方法只与人的选法
有关系，共有三纵列，从而有=90种。
例6．在11名工人中，有5人只能当钳
工，4人只能当车工，另外2人能当钳工
也能当车工 。现从11人中选出4人当钳
工，4人当车工，问共有多少种不同的选
法? 分析：采用加法原理首先要做到
分类不重不漏，如何做到这一点？分类
的标准必须前后统一。 以两个全能的
工人为分类的对象，考虑以他们当中有
几个去当钳工为分类标准。 第一类：
这两个人都去当钳工，C(7,4)=35种；
第二类：这两人有一个去
当钳工，C(6,4)*C (5,4)=75种； 第
三类：这两人都不去当钳工，
C(5,4)*C=75种。 因而共有185种。
例7．现有印着0，l，3，5，7，9的六
张卡片，如果允许9可以作6用，那么
从 中任意抽出三张可以组成多少个不同
的三位数? 分析：有同学认为只要把
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0，l，3，5，7，9的排法数乘以
2即为所求，但实际上抽出的三个数
中有9的话才可能用6替换，因而必须
分类。 抽出的三数含0，含9，有32
种方法； 抽出的三数含0不含9，有
24种方法； 抽出的三数含9不含0，
有72种方法； 抽出的三数不含9也
不含0，有24种方法。 因此共有
32+24+72+24=152种方法。 例8．停
车场划一排12个停车位置 ，今有8辆车
需要停放，要求空车位连在一起，不同
的停车方法是________种。 分析：把
空车位看成一个元素，和8辆车共九个
元素排列，因而共有362880种停车方法。
3．特殊优先
特殊元素，优先处理；特殊位置，
优先考虑 例9．六人站成一排，求
(1)甲、乙即不再排头也不在排尾数
(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不
相邻的排法数 分析：按照先排出首位
和末尾再排中间四位分步计数 第一
类：排出首尾和末尾、因为甲乙不 再首
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尾和末尾、那么首 尾和末尾实在其它四
位数选出两位进行排列、一共有
p(4,2)=12种、 第二类：由 于六个元素
中已经有两位排在首尾和末尾、因此中
间四位是把剩下的四位元素进行排列，
共p(4,4）=24种 根据乘法原理得即不
再排头也不在排尾数共12*24=288种
第一类：甲在排尾，乙在排头，有P(4,4)
种方法。 第二类：甲在排尾，乙不在
排头，有3XP(4,4)种方法。 第三类：
乙在排头，甲不在排尾，有3XP(4,4)种
方法。 第四类：甲不在排尾也不再排
头，乙不在排头也不再排尾，有6XP(4,4)
种方法。 共
P(4,4)+3XP(4,4)+3XP(4,4)+6XP(4,4)=31
2种。 例10．对某件产品的6件不同
正品和4件不同次品进行一一测试，至
区分出所有次品为止。若 所有次品恰好
在第五次测试时被全部发现，则这样的
测试方法有多少种可能? 分析：本题
意指第五次测试的产品一定是次品，并
且是最后一个次品，因而第五次测试应
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算是特殊位置了，分步完成。 第一步：
第五次测试的有C()种可能； 第二步：
前四次有一件正品有C()中可能。 第
三步：前四次有P()种可能。 ∴ 共有
576种可能。
4．捆绑与插空
例11. 8人排成一队 (1)甲乙必须
相邻 (2)甲乙不相邻 (3)甲乙必须相
邻且与丙不相邻 (4)甲乙必须相邻，丙丁
必须相邻 (5)甲乙不相邻，丙丁不相邻
分析：甲乙必须相邻，就是把甲乙 捆绑
(甲乙可交换) 和7人排列P()*2 甲乙
不相邻，P()-P()*2。 甲乙必须相邻且
与丙不相邻，先求甲乙必须相邻且与丙
相邻P()*2*2 甲乙必须相邻且与丙不
相邻P()*2-P()*2*2 甲乙必须相邻，丙
丁必须相邻 P()*2*2 甲乙不相邻，丙
丁不相邻，P()-P()*2*2+P()*2*2 例12.
某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪
连续命中，有多少种不同的情况? 分
析：∵ 连续命中的三枪与单独命中的一
枪不能相邻，因而这是一个插空问题。
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另外没有命中的之间没有区别，不必 计
数。即在四发空枪之间形成的5个空中
选出2个的排列，即P()。 例
13. 马路上有编号为l，2，3，??，
10 十个路灯，为节约用电又看清路面，
可以把其中的三只灯关掉，但不能
同时关掉相邻的两只或三只，在两端的
灯也不能关掉的情况下 ，求满足条件的
关灯方法共有多少种? 分析：即关掉
的灯不能相邻，也不能在两端。又因 为
灯与灯之间没有区别，因而问题为在7
盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空
中选出 3个空放置熄灭的灯。 ∴ 共
C()=20种方法。
5．间接计数法
。(1)排除法 例14. 三行三列共九
个点，以这些点为顶点可组成多少个三
角形? 分析：有些问题正面求解有一
定困难，可以采用间接法。 所
求问题的方法数=任意三个点的组
合数-共线三点的方法数， ∴ 共76
种。 例15．正方体8个顶点中取出4
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个，可组成多少个四面体? 分析：所
求问题的方法数=任意选四点的组合数-
共面四点的方法数， ∴ 共
C()-12=70-12=58个。 例16. l，2，3，
??，9中取出两个分别作为对数的底数和
真数，可组成多少个不同数值的对数?
分析：由于底数不能为
1。 当1选上时，1必为真数，∴
有一种情况。 当不选1时，从2--9中
任取两个分别作为底数，真数，共，其
中log2为底4=log3 为底9，log4为底
2=log9为底3, log2为底3=log4为底9,
log3为底2=log9为底
4. 因而一共有53个。 (3)补上
一个阶段，转化为熟悉的问题 例
17. 六人排成一排，要求甲在乙的前
面，(不一定相邻)，共有多少种不同的方
法? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排
列呢? 分析：实际上，甲在乙的前面
和甲在乙的后面两 种情况对称，具有相
同的排法数。因而有=360种。 先考
虑六人全排列；其次甲乙丙三 人实际上
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只能按照一种顺序站位，因而前面的排
法数重复了种， ∴ 共=120种。 例
18．5男4女排成一排，要求男生必须按
从高到矮的顺序，共有多少种不同的方
法? 分 析：首先不考虑男生的站位要
求，共P()种；男生从左至右按从高到矮
的顺序，只有一种站法 ，因而上述站法
重复了次。因而有=9×8×7×6=3024种。
若男生从右至左按从高到矮的顺序，只
有一种站法， 同理也有3024种，综上，
有6048种。 例
19. 三个相同的红球和两个不同的
白球排成一行，共有多少种不同的方法?
分析：先认为三个 红球互不相同，共种
方法。而由于三个红球所占位置相同的
情况下，共有变化，因而共=20种 。
6．挡板的使用
例20．10个名额分配到八个班，每
班至少一个名额，问有多少种不同的分
配方法? 分 析：把10个名额看成十个
元素，在这十个元素之间形成的九个空
中，选出七个位置放置档板， 则每一种
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放置方式就相当于一种分配方式。因而
共36种。
7．注意排列组合的区别与联系
所有的排列都可以看作是先取组
合，再做全排列；同样， 组合如补充一
个阶段(排序)可转化为排列问题。 例
21. 从0，l，2，??，9中 取出2个偶数
数字，3个奇数数字，可组成多少个无重
复数字的五位数? 分析：先选后排。
另外还要考虑特殊元素0的选取。 两
个选出的偶数含0，则有种。 两个选
出的偶数字不含0，则有种。 例22. 电
梯有7位乘客，在10层楼房的每一层 停
留，如果三位乘客从同一层出去，另外
两位在同一层出去，最后两人各从不同
的楼层 出去，有多少种不同的下楼方法?
分析：
先把7位乘客分成3人，2人，一人，
一人四组，有种。 选
择10层中的四层下楼有种。 ∴
共有种。 例23. 用数字0，1，2，3，
4，5组成没有重复数字的四位数， (1)
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可组成多少个不同的四位数? (2)可组
成多少个不同的四位偶数? (3)可组成
多少个能被3整除的四位数?
(4)将(1)中的四位数按从小到大的
顺序排成一数列，问第85项是什么?
分析：有个。 分为两类：0在末位，
则有种：0不在末位，则有种。 ∴ 共
+种。 先把四个相加能被3整除的四
个数从小到大列举出来，即先选 0，1，
2，3 0，1，3，5 0，2，3，4 0，
3，4，5 1，2，4，5 它们排列出来
的数一定可以被3整除，再排列，有：
4×()+=96种。
首位为1的有=60个。 前两位为
20的有=12个。 前两位为21的有=12
个。 因而第85项是前两位为23的最
小数，即为2301。
8．分组问题
例24. 6本不同的书 (1) 分给甲
乙丙三人，每人两本，有多少种不同的
分法? (2) 分成三堆，每堆两本，有多
少种不同的分法？ (3) 分成三堆，一
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堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少
种不同的分法？ (4) 甲一本，乙两本，
丙三本，有多少种不同的分法? (5) 分
给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两
本，第三人三本，有多少种不同的分法?
分析：有中。 即在的基础上除去顺序，
有种。 有种。由于这是不平均分组，
因而不包含顺序。 有种。同，原因是
甲，乙，丙持有量确定。 有种。 例
25. 6人分乘两辆不同的车，每车最多乘
4人，则不同的乘车方法为_______。
分析：考虑先把6人分成2人和4人，3
人和3人各两组。 第一类：平均分成
3人一组，有种方法。 第二类：分成
2人，4人各一组，有
种方法。 再考虑分别上两辆不同
的车。 综合，有种。 例26. 5名学
生分 配到4个不同的科技小组参加活动，
每个科技小组至少有一名学生参加，则
分配方法共有___ _____种。 分析：先
把5个学生分成二人，一人，一人，一
人各一组。 其中涉及到平均分成四
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组，有C=4种分组方法。 可以看成4
个板三个板不空的隔板法 再考虑分
配到四个不同的科技小组，有A(4,4)=24
种， 由可知，共=96种。 在八卦
中，亦运用到了排列组合
等差数列求和公式
(2016-11-15 20:15:16)
标
签： 分类：自然科
杂
谈
通项公式：
An=A1+(n-1)d An=Am+(n-m)d
等差数列的前n项和： Sn=2;
Sn=nA1+2 等差数列求和公式: 等差
数列的和=(首数+尾数)*项数2; 项数
的公式: 等差数列的项数=+1. 化简得
(n-1)an-1-(n-2)an=a1,这对于任一N均成
立 当n取n-1时式子变

为,(n-3)an-1-(n-2)an-2=a1=(n-2)an-(n-1)a
n-1 得
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2(n-2)an-1=(n-2)*(an+an-2) 当n
大于2时得2an-1=an+an-2 显然证得它
是等差数列 和=×项数÷2 项数=÷公
差+1 首项=2和÷项数-末项 末项=2
和÷项数-首项 末项=首项+×公差
性质： 若 m、n、p、q∈N ①若
m+n=p+q，则am+an=ap+aq ②若
m+n=2q，则am+an=2aq 注意：上述
公式中an表示等差数列的第n项。 求
和公式 Sn=(a1+an)n2
Sn=n(2a1+(n-1)d)2; d=公差
Sn=An2+Bn; A=d2,B=a1-(d2)立体几何
向量求法
1、用向量法求距离的公式： 点A
到平面的距离：
ABn
d，其中B，n是平面的法
向量|n|
直线a与平面之间的距离：
ABn
d，其中Aa,Bn是平面|n|
两平行平面,之间的距离：
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ABn
d，其中A,B是平面的
法向量|n|
异面直线a,b之间的距离：
ABn
d，其中na,nb,Aa,B|n|
⑸点A到直线a的距离：

dBa，a是直线a的方向向量三、
例题解析
例1、设A，B，C，D，求D到平
面ABC的距离解：∵A，B，C，D，

∴AD(7,7,7)
设平面ABC的法向量n=，


则n·AB=0，n·AC=0，
(x,y,z)(2,2,1)0,∴
(x,y,z)(4,0,6)0,3
2x2yz0xz,
即2
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4x6z0yz.
令z=－2，则n=
∴由点到平面的距离公式：

ADn49
d=
|n|
注：用向量求点到平面的距离的方
法是：1、求出平面的一个法向量n的坐
标；
∴点D到平面ABC

2、求出已知点D与平面内任一点A
构成的向量AP的坐标，那么D到平面
的距离

d=|AP||cos〈n，AP〉
E为CC1的中点，例2．已知正
四棱 柱ABCDA点F为
1BC11D1,AB1,AA12,点
求异面直线BD1与CC1间的距离；
BD1的中点，
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求点D1到平面BDE的距离．
求证：B1D1平面BDE，求直线
B1D1到平面BDE 的距离。 解：以
DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立坐标系，
F
D1
A1
B1
EC1

设n(1,y,z)是与异面直线BD1与
CC1的公垂线平行的向量

CC1(0,0,2)，BD1(1,1,2)，

∴nBD10,nCC10， 即
y2z1，z0

n1,1,0，又BC(1,0,0)
则B(1,1,0)，D1(0,0,2)，C(0,1,0)，
C1(0,1,2)
C
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A
B

|BCn|异面直线BD1与CC1间的
距离d|n|

设n(1,x,y)是平面BDE的法向量，
∵DB(1,1,0)，DE(0,1,1)

∴nDB1x0，
nDExy0，n(1,
1,1)，

|BD1n|点D1到平面BDE的距离
d．
|n|
解略。
注：求线面距离可先转化为点面距
离，再用向量法去求。
小结：1内一点的连线在法向量上的
射影长即得也就是若n是平面的法向
量，P0为平面内的
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一点，则点P到平面的距离为：

PP0n
dPP0|cosPP0,n|
n
2后再求异面直线上两点连线在这
个向量上的射影的长，即若n是与异面
直线a,b都垂直的向量，点Ea,Fb，
则异面直线与之间的距离：


EF|EF,n
dEcos
n
3法向量求法及应用方法
平面法向量的求法及其应用
一、 平面的法向量


1、定义：如果a，那么向量a
叫做平面的法向量。平面的法向量
共有两大类，无数条。 2、平面法向量
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的求法

方法一(内积法):在给定的空间直角
坐标系中，设平面的法向量n(x, y,1)，
在平面内任找两个不共线的向量a,b。
由n，得na0且
nb0，由此得 到关于x,y的方程组，
解此方程组即可得到n。
方法二：任何一个x,y,z的一次次 方
程的图形是平面；反之，任何一个平面
的方程是x,y,z的一次方程。
AxByC zD0 (A,B,C不同时为
0)，称为平面的一般方程。其法向

量n (A,B,C);若平面与3个坐标轴
的交点为P1(a,0,0),P2(0,b,0),P3(0, 0,c),如
图所示,则平面方程为:向量。
方法三(外积法): 设
, 为空间中两个不平行的非零向量，
其外积ab为一长


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xa

yb

zc
1,称此方程为平面的截距式方程，
把它化为一般式即可求出它的法
度等于|a||b|sin，，而与
, 皆垂直的向量。通常我们采取「右
手定则」，也就是右手四指由
的方向转为
的方向时，大拇指所指的方向规定
为ab的方向,abba。
x1z1x1y1y1z1
,,设
a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则:ab
yzzxx2y22222





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：ab;：ba.



Key: (1)
ab(1,2,5);(2)ba(1,2,5)
例2、如图1-1,在棱长为2的正方体
ABCDA1B1C1D1中，

求平面AEF的一个法向量n。 :法
向量nAFAE(1,2,2)key
二、 平面法向量的应用
1、 求空间角

(1)、求线面角：如图2-1，设n是平
面的法向量，
AB是平面的一条斜线，A，
则AB与平面
所成的角为：


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图2-1-1:


2

n,AB

2


|cosn,AB|

图2-1-2:n,AB


2
arccos

(2)、求面面角:设向量m
，n分别是平面、的法向量，
二面角l的平面角为：

则
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图2-3
m,narccos
mn




|m||n|



m,narccos
mn


(图2-3)
|m||n|
两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。
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约定，在图2-2



中，m的方向对平面而言向外，n
的方向对平面而言向内；在图2-3中，
m的方向对

平面而言向内，n的方向对平面
而言向内。我们只要用两个向量的向量积使得两个半平面的法向量一个向内一
个向外，则这两个半平面的法向量的夹
角即为二面角 l的平面角。 2、
求空间距离
、异面直线之间距离:
方法指导：如图2-4,①作直线a、b
的方向向量a、b， 求a、b的法向量n，
即此异面直线a、b
②在直线a、b上各取一点A、B，
作向量AB；
③求向量AB在n上的射影d，则异
面直线a、b
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d
|ABn|


,其中na,nb,Aa,Bb |n|
、点到平面的距离:
方法指导：如图2-5,若点B为平面α
外一点，点A 为平面α内任一点，平面
的法向量为n，则点P到


平面α的距离公式为d
|ABn|

n
|n|
、直线与平面间的距离:
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方法指导：如图2-6,直线a与平面
之间的距离：

ABn
，其中A,Ba。n是平面的
法向量 d|n|
、平面与平面间的距离:
方法指导：如图2-7,两平行平面
,之间的距离：


，其中A,B。n是平面、
的d
|ABn|

|n|



3、 证明
、证明线面垂直：在图2-8中,m向
是平面的法向量，a是
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直 线a的方向向量，证明平面的法
向量与直线所在向量共线、证明线面平
行：在图2-9中,m向 是平面的法向量，
a是直线

的方向向量，证明平面的法向量与
直线所在向量垂直。


、证明面面垂直：在图2-10中，m
是平面的法向量，n是平面

的法向量，证明两平面的法向量垂
直

、证明面面平行：在图2-11中, m
向是平面的法向量，n是平面的法向
量，证明


两平面的法向量共线。
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三、高考真题新解
1、
已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底< br>面为直角梯形，AB∥DC，且
PA=AD=DC=DAB90,PA底面
ABCD，M 是PB
12
AB=1，
证明：面PAD⊥面PCD；
求AC与PB所成的角；
求面AMC与面BMC解:以A点为
原点,以分别以AD，AB ，AP为x轴，y
轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz
如图所示.





(I).AP(0,0,1)，AD (1,0,0)，设
平面PAD的法向量为
mAPAD(0,1,0)
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又DC(0,1,0)，DP(1,0,1)，设平面PCD的法向量为
nDCDP(1,0,1)




mn0，mn，即平面PAD
平面PCD。



(II).AC(1,1,0)，PB(0,2,1)，
AC,PBarccos

ACPB

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arccos
5
|AC||PB|
(III).CM(1,0,)，
CA(
量为
2



1

m

12
,
12
,1).



1,0)，设平在AMC的法向
CMCA(
1,
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又CB(1,1,0),设平面PCD的
法向量为nCMCB(




12
,
12
,1).
m,narccos
mn


arccos(
23
).
23
23
|m||n|
面AMC与面BMC所成二面角的
大小为arccos().
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2、(xx年云南省第一次统测19题)
(本题满分12分) 如图3-2，在长方体
ABCD－A1B1C1D1中， 已知AB＝AA1
＝a，BC
a，M是AD的中点。
(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；
图
(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面
A1BD1； (Ⅲ)求点A到平面A1MC的距
离。
解:以D点为原点,分别以
DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直
角坐标系D- xyz如图所示.


(I).BC(2a,0,0)



,BA1(0,a,a),设平面
2
A1BC的法向量为
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nBC

2a,2a)




2
BA1(0,
又
AD(2a,0,0),nAD0,AD
n,即AD平面A1BC.

(II).MC(
22

a,0,a),MA1(
22
a,a,0),设平面A1MC的法向量为:

mMCMA1(a,

2
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22
a,
2
22

a),
2

BD1(2a,a,a),BA1
平面



A1BD1的法向量为:
nBD1BA1(0,




2a,
2
2a),
a,a ),设(0,
又
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2
mn0,mn,即平面
A1MC平面A1BD1.
(III).设点A到平面A1MC的距离为
d,



mMCMA1(a,

2
22
a,
2
22
a)是平面A1MC的法向量,


2
又MA(四、
22
a,0,0),A点到平面A1 MC的距离
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为:d
|mMA|


12
a.
|m|
用空间向量解决立体几何的“三步
曲”
(1)、建立空间直角坐标 系(利用现有
三条两两垂直的直线，注意已有的正、
直条件,相关几何知识的综合运用，建立< br>右手系)，用空间向量表示问题中涉及的
点、直线、平面，把立体几何问题转化
为向量问 题；
、通过向量运算，研究点、直线、
平面之间的位置关系以及它们之间距离
和夹角等问题；
、把向量的运算结果“翻译”成相应
的几何意义。法向量求法及应用方法
平面法向量的求法及其应用
一、 平面的法向量
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1、定义：如果a，那么向量a
叫做平面的法向量。平面的法向量
共有两大类，无数条。
2、平面法向量的求法
方法 (外积法): 设 , 为空间中两个
不平行的非零向量，其外积ab为一长
度等于






|a||b|sin
，，而与 , 皆垂直的向量。通常我们
采取「右


手定则」，也就是右手四指由 的方
向转为 的方向时，大拇指所指的方向规
定为ab的方
11
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,,向,abba。设
a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则:ab
yx2z2x2y22z2

y
z1x1z1x1
y
例1、 已知，a(2,1,0),b(1,2,1)，
试求：ab;：ba.
Key: (1)
ab(1,2,5);(2)ba(1,2,5)
例2、如图1-1,在棱长为2的正方体
ABCDA1B1C1D1中，

: 法向量nAFAE(1,2,2n。求
平面AEF的一个法向量key






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二、 平面法向量的应用
1、 求空间角
(1)、求线面角：如图2-1，设n是平
面的法向量， AB是平面的一条斜
线，A，则
为：



图2-1-1:

2

n,AB

2
arccos
AB
sin

nAB
AB与平面


n ,
所成的角
| | cos
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nAB
图2-1-2:n,AB


2
arccos

nAB




2
|n||AB|
(2)、求面面角:设向量m，
平面、的法向量，则二面角
的平面角为





n分别是
l
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m,narccos


mn


;
|m||n|
cos
mn




mn
图2-3

m,n
mn


arccos








































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(图2-3)

|m||n|
两个平面的法向量方向选取合适,可
使法向量 夹角就等于二面角的平面角。
约定，在图2-2中，m的方向对平面
而言向外，n的方向对平面 而言向内；
在图2-3中，m的方向对平面而言向
内，n的方向对平面而言向内。我们只
要用两个向量的向量积使得两个半平面
的法向量一个向内一个向外，则这两个
半平面的法向量 的夹角即为二面角
l的平面角。



2、 求空间距离 、异面直线之间距
离:
方法指导：如图2-4,①作直线a、b
的方向向量a、b， 求a、b的法向量n，
即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；
②在直线a、b上各取一点 A、B，作向
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量AB；
③求向量AB在n上的射影d，则异
面直线a、b间的距离为






d
|ABn|

,其中na,nb,Aa,Bb

|n|
、点到平面的距离:
方法指导：如图2-5,若点B为平面α
外一点，点
A 为平面α内任一点，平面的法向
量为n，则点B到


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n
平面α
的距离公式为d
|ABn|

|n|
、直线与平面间的距离:
方法指导：如图2-6,直线a与平面
之间的距离：
AB
nd|n|

，其中A,Ba。n
图2-6
是平面的法向量
、平面与平面间的距离:
方法指导：如图2-7,两平行平面
,之间的距离：


d
|ABn|
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，其中A,B。n是平面、
的法向量。

|n|
3、 证明
、证明线面垂直：在图2-8中,m向
是平面的法向量，a是直线a的方向向
量，
证明平面的法向量与直线所在向量
共线。
、证明线面平行：在图2-9中,m向
是平面的法向量，a是直线a的方向向
量，
证明平面的法向量与直线所在向量
垂直。
、证明面面垂直：在图2-10中，m
是平面的法向量，n是平面的法向
量，
证明两平面的法向量垂直


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、证明面面平行：在图2-11中, m
向是平面的法向量，n是平面的法向
量，
证明两平面的法向量共线。
三、高考真题新解
已知如图3-1,四棱锥P- ABCD的底
面为直角梯形，AB∥DC，
DAB90,PA底面




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ABCD，且PA=AD=DC=
12
AB=1，M是PB
的中点证明：面PAD⊥面PCD； 求
AC与PB所成的角；
求平面AMC与平面PCD的二面角
的平面角
解:以A点为原点,以分别以AD，
AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间
直角坐标系A- xyz如图所示.
(I).AP(0,0,1)，AD(1,0,0)，设
平面又DC( 0,1,0)，DP(1,0,1)，
设平面mn0，mn






PAD的法向mAPAD(0,1,0)
PCD的法向量为nDCDP(1,0,1)

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，即平面PAD平面PCD。


(II).AC(1,1,0)，PB(0,2,
AC,PBarccos

ACPB


arccos
5
|AC||PB|
(III).CM(1,0,)
CA(1,1,0)，设平面
2



，
，
1)
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1

AMC的法向
mCMCA(,,1).
2
2


11
又CB(1,1,0),设平面
法向量为nCMCB(,,
2
2




11
m,narccos
mn

量
PCD
1).
为
的
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arccos(
23
).
23
23
|m||n|
面AMC与面BMC所成二面角的
大小为arccos().
2、如图3-2，在长方体ABCD－
A1B1C1D1中， 已知AB＝AA1＝a，BC
＝，M是AD的中点。 (Ⅰ)求证：
AD∥平面A1BC；
(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面
A1BD1； (Ⅲ)求点A到平面A1MC的距
离。
图
解:以D点为原点,分别以
DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直
角坐标系D- xyz如图所示.

(I).BC(2a,0,0)
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,BA1(0,a,a),设平面A1BC的法
向量为nBCBA1(0,2a2,2a2)






AD(2a,0,0),n
n,即AD平面A1BC.

(II).MC(
22
a,0,a),MA1(

22
a,a,0),
设平面A1MC
mMCMA1(a2,


AD0,
的法向
又
AD
为: 量
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22
a,
2
22
a)
2
,



又
BD1(2a,a,a),BA1(0,a,a),设
平面A1BD1的法向量为:
nBD1BA1(0,2a2,2a2),
mn0,mn




,即平面A1MC平面A1BD1.
(III).设点
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A到平面A1MC的距离为d,

2
mMCMA1(a,

22
a,
2
22
a)是平面
2
A1MC的法向量,


又MA(
22
a,0,0),A点到平面A1MC
为:d
|mMA|

的距离
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12
a.
|m|
四、 用空间向量解决立体几何的
“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有
三条两两垂直的直线，注意已有的正、
直条件,相关几何知识的综合运用，建立
右手系)，用空 间向量表示问题中涉及的
点、直线、平面，把立体几何问题转化
为向量问题； 、通过向量运算，研究点、
直线、平面之间的位置关系以及它们之
间距离和夹角等问题； 、把向量的运算
结果“翻译”成相应的几何意义。平面法
向量求法及应用
平面法向量的求法及其应用
引言：本节介绍平面法向量的三种
求法,并对平面法向量在高 中立体几何中
的应用作归纳和总结。其中重点介绍外
积法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性,特别是在求二面
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角的平面角方面。此方法的引入，将对
高考立体几何中求空间角、求空间距离、< br>证明垂直、证明平行等问题的解答变得
快速而准确，那么每年高考中那道12分
的立体几 何题将会变得更加轻松。
一、 平面的法向量
1、定义：如果a，那么向量a
叫做平面的法向量。平面的法向量
共有两大类，无数条。 2、平面法向量
的求法



方法一(内积法) :在给定的空间直角
坐标系中，设平面的法向量n(x,y,1)，
在平面内任找两个不共线的 向量a,b。
由n，得na0且
nb0，由此得到关于x,y的方程组，
解此方程组即 可得到n。
方法二：任何一个x,y,z的一次次方
程的图形是平面；反之，任何一个平 面
的方程是x,y,z的一次方程。
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AxByCzD0 (A,B,C不同时为
0)，称为平面的一般方程。其法向量
n(A,B,C);若平面与3个坐标轴的交点
为P1(a,0,0),P2(0,b,0), P3(0,0,c),如图所示,
则平面方程为:向量。
方法三(外积法): 设
, 为空间中两个不平行的非零向量，
其外积ab为一长



xyz
1,称此方程为平面的截距式
方程，把它化为一般式即可求出它的法
abc
度等于|a||b|sin，，而与
, 皆垂直的向量。通常我们采取「右
手定则」，也就是右手四指由
的方向转为
的方向时，大拇指所指的方向规定
为ab的方向,abba。
x1z1x1y1y1z1
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a

,,
(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则:ab
yzx2z2x2y222
设












ab：a






ab(1,
b;：ba.
Key:
2,5);(2)ba(1,2,5)
(1)
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例2、如图1-1,在棱长为2的正方体
ABCDA1BC11D1中，

key求平面AEF的一个法向量n。 :
法向量nAFAE(1,2,2)

二、 平面法向量的应用
1、 求空间角
(1)、求线面角：如图2-1，
面的法向量，
AB是平面的一条斜线，
则AB与平面
所成的角为： 图2-1-1:



2
n,AB



2
n是平
A，
设
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图2-1-2:n,AB



2
|cosn,AB|

(2)、求面面角:设向量m
，n分别是平面、的法向量，
二面角l的平面角为：
图2-3
m,n

mn




|m||n|
m,nmn


则
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(图2-3)
|m||n|
两个平面的法向量方向选 取合适,可
使法向量夹角就等于二面角的平面角。
约定，在图2-2中，m的方向对平面
而言向外，n的方向对平面而言向内；
在图2-3中，m的方向对平面而言向
内，n的方向对 平面而言向内。我们只
要用两个向量的向量积使得两个半平面
的法向量一个向内一个向外，则这 两个
半平面的法




向量的夹角即为二面角l的
平面角。 2、 求空间距离 、异面直线
之间距离:
方法指导：如图2-4,①作直线a、b
的方向向量a、b， 求a、b的法向量n，
即此异面直线a、b
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②在直线a、b上各取一点A、B，
作向量AB；
③求向量AB在n上的射影d，则异
面直线a、b




d
|ABn||n|


,其中na,nb,Aa,Bb

、点到平面的距离:
方法指导：如图2-5,若点B为平面α
外一点，点A 为平面α内任一点，平面
的法向量为，则点P到 平面α的距离公
式为d


|ABn||n|
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n
、直线与平面间的距离:
方法指导：如图2-6,直线a与平面
之间的距离：
ABn
d，其中A,Ba。n是平面
的法向量
|n|
、平面与平面间的距离:
方法指导：如图2-7,两平行平面
,之间的距离：


d
|ABn||n|


，其中A,B。n是平面、
3、 证明
、证明线面垂直：在图2-8中,m向
是平面的法向量，a是
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直线a的方向向量，证明平面的法
向量与直线所在向量共线。 、证明线面
平行： 在图2-9中,m向是平面的法向
量，a是直线a的方向向量，证明平面的
法向量与直线所在向 量垂直。





、证明面 面垂直：在图2-10中，m
是平面的法向量，n是平面的法向
量，证明两平面的法向量垂直
、证明面面平行：在图2-11中, m
向是平面的法向量，n是平面的法向
量，证明两平面的法向量共线。




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三、高考真题新解
1、
已知如图3-1,四棱锥P- ABCD的底
面为直角梯形，AB∥DC，
M是PB证明：面PAD⊥面PCD；
求AC与PB所成的角； 求面AMC
与面BMC解:以A点为原点,以分别以
A D，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建
立空间直角坐标系A-xyz如图所示.
1
且PA=AD=DC=AB=1，
DAB90,PA底面ABCD，
2

(I).AP(0,0,1)，AD(1,0,0)，设
平面PAD的法向 量为
mAPAD(0,1,0) 又
DC(0,1,0)，DP(1,0,1)，设平面
PCD的法向量为nDCDP(1,0,1)
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mn0，mn，即平面PAD平
面PCD。






ACPB(II).AC(1,1,0)，
PB(0,2,1)，AC,PB
5|AC||PB|
1
(III).CM(1,0,)，
CA(1,1,0)，设平在AMC的法向
量为
2
11mCMCA(,,1).
22
11
又CB(1,1,0),设平面PCD的
法向量为nCMCB(,,1).
22
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mn2
m,narccos().
3|m||n|


22
面AMC与面BMC所成二面角的
大小为arccos().
33
2、(xx年云南省第一次统测19题)
(本题满分12分) 如图3-2，在长方体
ABCD－A1B1C1D1中，
已知AB＝AA1＝a，BC
，M是AD的中点。
(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC； (Ⅱ)
求证：平面A1MC⊥平面A1BD1； (Ⅲ)
求点A到平面A1MC的距离。
解:以D点为原点,分别以
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DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直
角坐标系D-xyz如图所示.

(I).BC(2a,0,0),BA1(0,a,a),设
平面


A1BC的法向量为
nBCBA1(0,2a2,2a2)







AD(2a,0,0),nAD0,
n,即AD平面A1BC.
22
(II).MC(a,0,a),MA1(
设平面A1MC的法向量为:
22
又
AD
a,a,0),
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mMCMA1(a2,


2222
a,a), 22

又
BD1(2a,a,a),BA1(0,a,a),设
平面

A1BD1的法向量为:
nBD1BA1(0,2a2,2a2),





mn0,mn,即平面
A1MC平面A1BD1.
(III).设点A到平面AMC的距离为
d,
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1
mMCMA1(a2,
又MA(四、


2222
a,a)是平面A1MC的法向量, 22


1
2|mMA|1
a,0,0),A点到平面AMC的距离
为:da. 22|m|
用空间向量解决立体几何的“三步
曲”
(1)、建立空间直角 坐标系(利用现有
三条两两垂直的直线，注意已有的正、
直条件,相关几何知识的综合运用，建 立
右手系)，用空间向量表示问题中涉及的
点、直线、平面，把立体几何问题转化
为向 量问题；
、通过向量运算，研究点、直线、
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平面之间的位置关系以及它们之间距离
和夹角等问题；
、把向量的运算结果“翻译”成相应
的几何意义。平面法向量的应用和求法
中学数学 杂 志
２ １ 第 ９期 ０ ０年
， ４
匿 ９
笔．￡． 弼 钙
证 明 ： ２ ） ，＝Ｆ ）的 图
象关 于 点 Ｐ ， ）中 ＝－ ）
一 ａ— ， 以 厂 ａ— 所 一 ａ一
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象 上 ， ， ａ— 一Ｙ 的 图象关
于点 Ｐ中心对 称． “
二
心对 称．
证 明 设任 意 Ｊ ２∈Ｒ，
１ ， 且 ｌ＜ ， 一 ２则
１＞一 ， 以 ａ一 ２所 ｌ＞
ａ— ． ２
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因 为
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又 Ｆ ｘ）一Ｆ＝－ ）－ ）
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ｆ 。 ， ）一 ）＜０ ａ— ）一
ａ ：
—
１
）＜ ０ 所 以 Ｆ一Ｆ 即 ｘ）
当然 ， 具体 问题 具体 分析 ，
于抽 象 函数单 调性 对
的证 明 ， 们一 定要 根据题 目
给定 的条件 ， 我 灵活 地选
Ｆ 所 以 Ｆ在 Ｒ— 为增 函
数 ． ｔ － ． Ａ ，） Ｙ＝
Ｆ ） ２设 的对 称 点 为 Ｌ
０ ４ ｎ— Ｙ ，
平 面法 向量 的应 用和 求 法