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二次函数公式法的公式向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 11:38
tags:向量公式

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概念
向量是由 n 个实数组成的一个 n 行1 列(n*1)或一个 1 行 n 列(1*n)的有序数
组;
向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算, 就是对这两
个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量 。
点乘公式
对于向量 a 和向量 b:
a 和 b 的点积公式为:
要求一维向量 a 和向量 b 的行列数相同。
点乘几何意义
点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在
向量方向上的投影 ,有公式:
推导过程如下,首先看一下向量组成:
定义向量:
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b 向量在a
***
根据三角形余弦定理有:
根据关系 c=a-b(a、b、c 均为向量)有:
即:
向量 a,b 的长度都是可以计算的已知量,从而有 a和 b 间的夹角 θ:
根据这个公式就可以计算向量 a和向量 b 之间的夹角。从而就可以进一步判断这
两个向量是否是同一方向, 是否正交 (也就是垂直 )等方向关系 ,具体对应关系为:
a·b>0
a·b=0
a·b<0
方向基本相同,夹角在 0°到 90°之间
正交,相互垂直
方向基本相反,夹角在 90°到 180°之间
叉乘公式
两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是
一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
对于向量 a和向量 b:
a和 b 的叉乘公式为:
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其中:
根据 i、j、k 间关系,有:
叉乘几何意义
在三维几何中, 向量 a 和向量 b 的叉乘结果是一个向量, 更为熟知的叫法是法向
量,该向量垂直于 a 和 b 向量构成的平面。
在 3D 图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个
垂直于 a,b 的法向量,从而构建 X、Y、Z 坐标系。如下图所示:
在二维空间中, 叉乘还有另外一个几何意义就是: aXb 等于由向量 a 和向量 b 构
成的平行四边形的面积。
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