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(完整word版)高中数学函数知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 11:49
tags:高中数学知识点总结

高中数学余弦定理教案-高中数学化繁为简的例题


函数
一、函数的定义:
1. 函数的概念:设A、B是非空的数集, 如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,
在集合B中都有唯一确定的数f(x )和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:
y=f(x),x∈A.
(1)其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;
(2)与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
2. 函数的三要素:定义域、值域、对应法则
3. 函数的表示方法:(1)解析法:明确函数的定义域
(2)图想像:确定函数图像是否连线,函数的图 像可以是连续的曲线、直线、折线、
离散的点等等。
(3)列表法:选取的自变量要有代表性,可以反应定义域的特征。
4、函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数
y=f(x) , (x
∈A)中的x
为横坐标,函数值
y
为纵坐标的点P
(x

y)的集合C,叫做函数
y=f(x),(x
∈A)的图象.C上每一点的坐标
( x

y)
均满足函数关系
y=f(x)
,反
过来,以满足< br>y=f(x)
的每一组有序实数对
x、y
为坐标的点
(x
,< br>y)
,均在C上 .
(2) 画法
A、描点法: B、图象变换法:平移变换;伸缩变换;对称变换,即平移。
(3)函数图像平移变换的特点:
1)加左减右——————只对x
2)上减下加——————只对y
3)函数y=f(x) 关于X轴对称得函数y=-f(x)
4)函数y=f(x) 关于Y轴对称得函数y=f(-x)
5)函数y=f(x) 关于原点对称得函数y=-f(-x)
6)函数y=f(x) 将x轴下面图像翻到x轴上面去,x轴上面图像不动得
函数y=| f(x)|
7)函数y=f(x) 先作x≥0的图像,然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)

二、函数的基本性质
1、函数解析式子的求法
(1)、函数的解析式是 函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应
法则,二是要求出函 数的定义域.
(2)、求函数的解析式的主要方法有:
1)代入法:
2)待定系数法:
3)换元法:
4)拼凑法:
2.定义域:能使函数式有意义的实数
x
的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过 四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的
x
的值组成
的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
3、相同函数的判断方法:①表 达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关)②定义域一致(两点必须同时备)
4、区间的概念:
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间


(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示
5、值域 (先考虑其定义域)
(1)观察法:直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域;
(2)反表示法: 针对分式的类型,把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式,由X的范围类似
求Y的范围。
(3)配方法:针对二次函数的类型,根据二次函数图像的性质来确定函数的值域,注意定义域的范围。
(4)代换法(换元法):作变量代换,针对根式的题型,转化成二次函数的类型。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
(4)常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数
7.映射
一般地, 设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,
在集 合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A
?
B为从集合A到集合B的一个映 射。记作“f
(对应关系):A(原象)
?
B(象)”
对于映射
f

A

B
来说,则应满足:
(1)集合
A
中的每一个元素,在集合
B
中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合
A
中不同的元素,在集合
B
中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合
B
中的每一个元素在集合
A
中都有原象。

注意:映射是针对自然界中的所有事物而言的,而函数仅仅是针对数字来说的。所以函 数是映射,而映射不一定
的函数
8、函数的单调性(局部性质)及最值
(1)、增减函数
(1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间 D内的任意两个自变量x
1
,x
2
,当x
1
2
时,都有f(x
1
)2
),那么就说f(x)在区间D上是 增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
(2)如果对于区间D上的任意两个自变量的值x< br>1
,x
2
,当x
1
2
时,都有f(x
1
)

f(x
2
),那么就说
f(x)
在 这
个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质;函数的单调性还有单调不增,和单调不减两种
(2)、 图象的特点
如果函数
y=f(x)
在某个区间是增函数或减函数 ,那么说函数
y=f(x)
在这一区间上具有(严格的)单调性,在单
调区间上增函数 的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3)、函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
1 任取x
1
,x
2
∈D,且x
1
2


2 作差f(x
1
)-f(x
2
);

3 变形(通常是因式分解和配方);

4 定号(即判断差f(x
1
)-f(x
2
)的正负);

5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数:如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
复合函数
f
[
g(x)
]的单调性与构成它的函数
u=g(x)

y=f(u)
的单调性密切相关,其规律:“同增异减”


注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
9:函数的奇偶性(整体性质)
(1)、偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f( x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2)、奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内 的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
a、首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;若是不对称,则是非奇非偶的函数;若对称, 则
进行下面判断;
b、确定f(-x)与f(x)的关系;
c、作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;
若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
(4)利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性
a、在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;
奇函数的加减仍为奇函数;
奇数个奇函数的乘除认为奇函数;
偶数个奇函数的乘除为偶函数;
一奇一偶的乘积是奇函数;
a、复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇。

注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称, 若不对
称则函数是非奇非偶函数.若对称,
(1)再根据定义判定;
(2)由
f(-x)
±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;
(3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
10、函数最值及性质的应用
(1)、函数的最值

a 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
b 利用图象求函数的最大(小)值
c 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x =b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上 单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

(2)、函数的奇偶性与单调性
奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;
偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。

(3)、判断含糊单调性 时也可以用作商法,过程与作差法类似,区别在于作差法是与0作比较,作商法是与1作比
较。

(4)、绝对值函数求最值,先分段,再通过各段的单调性,或图像求最值。
< br>(5)、在判断函数的奇偶性时候,若已知是奇函数可以直接用f(0)=0,但是f(0)=0并不一定 可以判断函数为奇函
数。(高一阶段可以利用奇函数f(0)=0)。

三、基本初等函数
指数函数
(一)指数


1、 指数与指数幂的运算:
复习初中整数指数幂的运算性质:
mnm+n
a*a=a
mnmn
(a)=a
nnn
(a*b)=ab

2、根 式的概念:一般地,若
x?a
,那么
x
叫做
a

n
次方根,其中
n
>1,且
n

N

当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数。此时,a的n次方根用符号 表
示。
当n为偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数。此时正数a的正的n次方根用符号 表示,
负的n的次方根用符号 表示。正的n次方根与负的n次方根可以合并成 (a>0)。
注意:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作
n
0?0


n
是奇数时,
n
a
n
?a
,当
n是偶数时,
n
a
n
?|a|?
?
n
*
?
a(a?0)

?a(a?0)
?
式子
n
a
叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数。

3、 分数指数幂
正数的分数指数幂的
a
m
n
?a(a?0,m,n?N,n?1)

a
n
m*
?
m
n
?
1
a
m
n
?
1
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)

0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

4、 有理数指数米的运算性质
(1)
a
·
a?a
r
rr?s

(a?0,r,s?R)

rsrs
(a)?a
(2)
rrs
(ab)?aa
(3)
(a?0,r,s?R)



(a?0,r,s?R)


5、无理数指数幂
a< br>一般的,无理数指数幂a(a>0,a是无理数)是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于 无理数指
数幂。

(二)、指数函数的性质及其特点
1、指数函数的概念 :一般地,函数
y?a(a?0,且a?1)
叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为 R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.为什么?
2、指数函数的图象和性质
a>1 0x


66< br>55
44
33
22
1
1
1
1
-4- 2
0
-1
246-4-2

定义域 R
值域y>0
0
-1
246

定义域 R
值域y>0
在R上单调递增
非奇非偶函数
函数图象都过定点(0,1)
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,值域是
[ f(a),f(b)]

[f(b),f(a)]

在R上单调递减
非奇非偶函数
函数图象都过定点(0,1)
(2)若
x?0
,则
f(x)?1

f(x)
取遍所有正数当且仅当
x?R

(3)对于指数函数
f(x)?a(a?0且a?1)
,总有
f(1)?a< br>;
(4)当a>1时,若X
1
2
,则有f(X
1
)2
)。

对数函数
(一)对数
x
1.对数的概念:一般地,如果
a?N
(a?0,a ?1)
,那么数
x
叫做以

a
为底
..
N
的对数,记作:
x?log
a
N

a
x
— 底数,
N
— 真数,
log
a
N
— 对数式)
说明:

1 注意底数的限制
a?0
,且
a?1

x
2
a?N?log
a
N?x


3 注意对数的书写格式:

两个重要对数:
log
a
N

1 常用对数:以10为底的对数
lgN


2 自然对数:以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN



(二)对数的运算性质
如果
a?0
,且
a? 1

M?0

N?0
,那么:
1

lo g
a
(M
·
N)?
log
a
M

log
a
N
; ○
2

log
a

M
?
log
a
M

log
a
N

N
3

log
a
M
n
?n
log
a
M

(n?R)
. ○
注意:换底公式
log
a
b?
log
c
b

a?0
,且
a?1

c?0
,且
c?1

b?0
).
log
c
a


利用换底公式推导下面的结论 < br>(1)
log
a
m
b
n
?
1
n
log
a
b
;(2)
log
a
b?
log
b
a
m

(二)对数函数
1、对数函数的概念: 函数
y?log
a
x(a?0
,且
a?1)
叫做对数函数, 其中
x
是自变量,函数的定义域是(0,+
∞).
注意:

1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:
y?2log
2
x

y?log
5
x
都不是对
5
数函数,而只能称其为对数型函数.
2 对数函数对底数的限制:
(a?0
,且
a?1)


2、对数函数的性质:
a>1
3
2.5
2
03
2.5
2
1. 5
1.5
1
-1
1
1
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
2345678
-1
0
1-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5

-2.5

定义域x>0
值域为R
在R上递增
函数图象都过定点(1,0)

幂函数
定义域x>0
值域为R
在R上递减
函数图象都过定点(1,0) 1、幂函数定义:一般地,形如
y?x
(a?R)
的函数称为幂函数,其中
?
为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)
?
?0
时,幂函数的图象通过原点,并且在区间
[0,??)
上是增函数.特别 地,当
?
?1
时,幂函数的图象下
凸;当
0?
?
? 1
时,幂函数的图象上凸;
(3)
?
?0
时,幂函数的图象在区间
(0,??)
上是减函数.在第一象限内,当
x
从右边趋向原点时,图象在< br>y

右方无限地逼近
y
轴正半轴,当
x
趋于
??
时,图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴.




四、函数的应用
方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数 ,把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义:函数 的零点就是方程 实数根,亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即:方程有实数根,函
数的图象与坐标轴有交点,函数有零点.
3、函数零点的求法:
(1)(代数法)求方程 的实数根;
(2)(几何法)对 于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
?


4、二次函数的零点:
(1)△>0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零
点.
(3)△<0,方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无零点.

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