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向量的不合常理性质的研究
向量以其既能体现“形”的直观的位置特征,又具有“数”的良好 的运算性质,
为广大师生所喜欢。但向量又不同于数量,也不同于线段,它是多方的综合体。
对于初学者来讲,向量的难度就在于它存在着多条与我们已经接受和应用了十
几年的数量的运算 及几何变换格格不入的法则,存在着一些不合学生以往逻辑
的性质;对于使用向量时出现的各种错误也往 往出现在这几条与我们固有的、
想当然的不相一致的性质、定理上,不妨把这些性质、定理称为“不合常 理的
性质”。
不合常理1
向量不是有向线段,却用有向线段表示
根据向 量的定义,向量是既有大小又有方向的量,它可以用有向线段来表示,但
有向线段又不等同于向量,有向 线段有起点、大小、方向三要素,而向量只有大
小和方向,与起点无关。
一个向量 可用多条有向线段表示,自由向量的可移动性决定了多条不同起点的
有向线段表示的可能是同一个向量, 从而有向线段与向量就如同“形”与“神”的
关系,不管“形” 的位置如何变动,但“神”始终不变,使得利用向量在解题过程
中可以有众多的选择机会。
在利用某个向量进行证明及运算时,可使用它的多个不同“外壳”,以达到解题
目的,当然就更 需要学生有较强的转化思想和化归能力。
向量与有向线段的区别还体现在平行(共线)的关 系上,有向线段有平行和共线
之分,这符合学生的平面几何中对直线的理解。
1
不合常理2
向量有大小,却不可比较大小
不合常理3
零向量方向任意,却可平行不可垂直
不合常理4
向量运算满足交换律,分配律
却不满足结合律、消去律
2
错误分析:
不合常理5
向量有坐标,但坐标却与向量无关
3
如上文常见错误2就是对向量与坐标的关系认识不清,而 所谓自由向量的可移
动性,这使得向量要过原点有点可遇而不可求,这就增添了已知条件作图的难
度,当然我们可以不顾一切把向量的起点都放在原点。
不合常理6
不合常理7
书上写a、b、c,我却不可写a、b、c
4
不合常理8
不合常理9
不合常理10
直线的方向向量的夹角
却不一定是直线的夹角
对于两条直 线求夹角的问题,可以转化为求两条直线所在的方向向量的夹角,但
两条直线方向向量的夹角却不一定是 两条直线的夹角,可能是直线夹角的补角。
5
对于以上罗 列的十条“不合常理”的性质和定理,是学生在使用向量时出错的主
要原因所在,只有教师在平时的教学 工作中加以认真总结分析,才能达到防患
于未然,使学生在喜欢用向量解题的基础上更进一步,达到正确 灵活的应用向
量,使向量的工具性体现得淋漓尽致。
6
极化恒等式在解题中的应用
向量是高中数学一 个非常重要的内容,它集数与形于一身,既有代数的抽象性,
又有几何的直观性,是形象思维与抽象思维 的有机结合。
近几年来,在新课程的引领下,各省市高考试题涌现了一些以向量为背景的好 题,
有些省市甚至是以向量为突破口来实现高考试题命制的创新。它们以向量的线性
运算以及数 量积运算为载体,综合考查学生的运算求解能力,推理论证能力,
以此做为压轴试题来提高考生的区分度 。
基于上述原因,除了掌握向量的基本运算之外,还有必要掌握向量中一些常见的
解题方法,比如向量的极化恒等式(平面向量的积化和差公式)。本文介绍向量的
极化恒等式及其相关应 用。
该公式将向量的数量积与和中点相关的线段联系起来,在解决一些向量试题时
能更多地从几何的角度分析,大大减少计算量,凸出体现了多思少算,彰显思
维品质。
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2013年浙江高考理科
8
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2016年江苏高考理科
3
2016年浙江高考理科
9
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2014年江苏高考理科
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本文更新与2020-09-16 11:56,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/399571.html
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