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高一数学上下册知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 11:58
tags:高中数学知识点总结

高中数学有什么用 知乎-新东方高中数学试题及答案


高中高一数学上下册知识点
必修1 各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性:
1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性
说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是
这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对 象归入一个集合
时,仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此 判定两个集合是否一样,仅需比较它们
的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示:{…}如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1.用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2.集合的表示方法:列举法与描述法。注意啊:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于 集合A记
作a∈A,相反,a不属于集合A记作a?A
列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
描述法:将集合中的元素的公共 属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定
的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}
4、集合的分类:
1.有限集含有有限个元素的集合
2.无限集含有无限个元素的集合
3.空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”
结论:对于两个集合A与B, 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集
合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就 说集合A等于集合B,即:A=B
①任何一个集合是它本身的子集。AíA
②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
③如果AíB,BíC,那么AíC
④如果AíB同时BíA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
1 28


规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.
记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义:一般 地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做
A,B的并集。记作:A∪B(读作”A 并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3、交集与并集的性质:A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A,
A∪φ=A,A∪B=B∪A.
4、全集与补集
(1)补集:设S是一个集合,A 是S的一个子集(即),由S中所有不属于A的元素组成的
集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
(2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作
一 个全集。通常用U来表示。
(3)性质:⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U
二、函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A
中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集
合A到 集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函
数的定 义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
2如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个
式子有意义 的实数的集合;
3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的
主要 依据是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须
大 于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则
运算 结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底
不可以等于 零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意:求出不等式
组的解集即为函数 的定义域。)
构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域
再注意:(1)构成函 数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应
关系决定的,所以,如果两个函数的 定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或
为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的 定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量
和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同 ;②定义域一致(两点必须同时具
备)
值域补充
(1)、函数的值域取决 于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑
其定义域.(2).应熟悉掌握一次函 数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是
求解复杂函数值域的基础。
3.函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的 x为横坐标,函数值y为纵坐
标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象 .C上每一点的坐标(x,y)均满足函数
关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有 序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.
即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A }图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任
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意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2)画法
A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y )为坐标在
坐标系内描出相应的点P(x,y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法(请参考必修4三角函数)
常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用:
1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。
发现解题中的错误。
4.了解区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.
5.什么叫做映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于 集合A
中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:AB”
给定一个集合A到B的映射,如果a∈A, b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把
元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是
确定 的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关
系一般是不同的 ;③对于映射f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合
B中都有象,并且象是 唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一
个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一 个元素在集合A中都有原象。
常用的函数表示法及各自的优点:
1函数图象既可以 是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个
图形是否是函数图象的依据;2解析 法:必须注明函数的定义域;3图象法:描点法作图要注
意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观 察函数的特征;4列表法:选取的自变量要有代
表性,应能反映定义域的特征.
注意啊:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数

补充一:分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必 须把自
变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不
同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数
是一个 函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域
是各段值域的并 集.
补充二:复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A ),则y=f[g(x)]=F(x),(x∈A)称为f、g的复合函数。
例如:y=2sinXy=2cos(X2+1)
7.函数单调性
(1).增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,< br>x2,如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,
注意:1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1
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(2)图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x) 在这一区间上具有(严
格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左 到右是下
降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法:
1任取x1,x2∈D,且x1
(B)图象法(从图象上看升降)_
(C)复合函数的单调性
注意:1、函数的单调 区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写
成其并集.2、还记得我们在选修里 学习简单易行的导数法判定单调性吗? 8.函数的奇偶性
(1)偶函数:一般地,对于函数f( x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就
叫做偶函数.
(2)奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x )
就叫做奇函数.
注意:1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是 函数的整体性质;
函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2由函数的奇偶 性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意
一个x,则-x也一定是定义域内 的一个自变量(即定义域关于原点对称).
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
总结:利用定义判断函数奇偶性的格式 步骤:1首先确定函数的定义域,并判断其定义
域是否关于原点对称;2确定f(-x)与f(x)的关 系;3作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,
则f(x)是偶函数;若 f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
注意啊:函数定义 域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域
是否关于原点对称,若不对称则函数 是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定;(2)有时判
定f(-x)=±f(x)比较困难, 可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)f(-x)=±1来判定;(3)利用定理,
或 借助函数的图象判定.
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种 表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求
出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域 .
(2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意
元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方
程组消参 的方法求出f(x)
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
1利用二次 函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值2利用图象求函数的最大(小)值3利
用函数单调性的判断 函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,
c]上单调递 减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
第二章基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根(nthroot),其中>1,且∈*.
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当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数.此时,的 次方根用符
号表示.式子叫做根式(radical),这里叫做根指数(radicalexpone nt),叫做被开方数(radicand).
当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为 相反数.此时,正数的正的次方根用符
号表示,负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以 合并成±(>0).由此可得:负
数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定: 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有
意义
指出:规定了分数指数幂的意义后 ,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那
么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指 数幂.
3.实数指数幂的运算性质
(二)指数函数及其性质
1、指 数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数(exponential),其中x是自变量,函数
的定义 域为R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概 念:一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作:(—底数,—真数,—
对数式)说明:1注意底数 的限制,3注意对数的书写格式.
两个重要对数:
1常用对数:以10为底的对数;
2自然对数:以无理数为底的对数的对数.
对数式与指数式的互化
对数式指数式
对数底数←→幂底数
对数←→指数
真数←→幂
(二)对数的运算性质
注意:换底公式
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:1对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。
如:,都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
2对数函数对底数的限制:函数图象都在y轴右侧
函数的定义域为(0,+∞)
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸
函数的值域为R
函数图象都过定点(1,0)
自左向右看,
图象逐渐上升
自左向右看,
图象逐渐下降
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(三)幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
(2) 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象
下凸;当时,幂函数 的图象上凸;
(3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时, 图象在
轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.
第三章函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义:函数的 零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数 有零点.
3、函数零点的求法:
求函数的零点:
1(代数法)求方程的实数根;
2(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象 联系起来,并利用函数的
性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数.
1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点.
2)△ =0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一
个二重零点或二阶 零点.
3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点
高中数学必修二

第一章 立体几何初步
特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,'h为斜高,l为母线)
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第二章 直线与
平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
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1 平面含义:平面是无限延展的 2 三个公理:
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 符号表
示为
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⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内 —— 有无数个

公共

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10 28


第三章 直线与方程

(1)直线的倾斜角
定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴
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平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α <180° (2)
直线的斜率
①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做 这条直线的斜率。直线的斜率
常用k表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存
在.
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第四
章 圆与方程

1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为
圆的
半径。
2、圆的方程
(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,
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若利用圆的标准方程, 需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置

注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助
线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
高中数学必修3知识点
第一章 算法初步
1.1.1
算法的概念
算法的特点:
(1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的.
(2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是
模棱两可 .
(3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确< br>定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都
准确无 误,才能完成问题.
(4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法.
(5)普遍性:很多具体问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有
限、事 先设计好的步骤加以解决.
1.1.2 程序框图
(一)程序构图概念:程序框图又 称流程图,是一种用规定图形、流程线及文字说明来准确、
直观地表示算法的图形。
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二)构成程序框的图形符号及其作

学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下:
1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外,
大多数流 程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。
4、判断框分两大类, 一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一类
是多分支判断,有几种不同的 结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
(三)、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。
1、顺序结构:顺序结 构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下
的顺序进行的,它是由若干个依次执 行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一
种基本算法结构。顺序结构在程序框图中的体现就 是用流程线将程序框自上而 下地连接起
来,按顺序执行算法步骤
2、条件结构:
条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。
条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立,只能执行A框或B框之一,
不可能同时执 行A框和B框,也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判
断框。
3、循环 结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理
步骤的情况,这就是循 环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含
条件结构。循环结构可细分为两类:
(1)、一类是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条件P成立时,执行A
框, A框执行完毕后,再判断条件P是否成立,如果仍然成立,再执行A框,如此反复执行
A框,直到某一次 条件P不成立为止,此时不再执行A框,离开循环结构。
(2)、另一类是直到型循环结构,如下右图 所示,它的功能是先执行,然后判断给定的条件
P是否成立,如果P仍然不成立,则继续执行A框,直到 某一次给定的条件P成立为止,此
时不再执行A框,离开循环结构注意:1循环结构要在某个条件下终止 循环,这就需要条件
结构来判断。因此,循环结构中一定包含条件结构,但不允许“死循环”。2在循环 结构中都
有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数,累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的,累加一次,计数一次。1.2.1
输入、输出语句和赋值语句
3、赋值语句
(1)赋值语句的一般格式
(2)赋值语句的作用是将表达式 所代表的值赋给变量;(3)赋值语句中的“=”称作赋值号,
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与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换,它将赋值号右边的表达式的
值赋给赋值号 左边的变量;(4)赋值语句左边只能是变量名字,而不是表达式,右边表达式
可以是一个数据、常量或 算式;(5)对于一个变量可以多次赋值。
注意:①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。 如:2=X是错误的。②赋值号左右
不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。③不 能利用赋值语句进行代数式的演
算。(如化简、因式分解、解方程等)④赋值号“=”与数学中的等号意 义不同。
分析:在IF—THEN—ELSE语句中,“条件”表示判断的条件,“语句1”表示满 足条件时执行的
操作内容;“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容;END IF表示条件语句 的结束。计算
机在执行时,首先对IF后的条件进行判断,如果条件符合,则执行THEN后面的语句1 ;若
条件不符合,则执行ELSE后面的语句
21.3.1辗转相除法与更相减损术
1、辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: (1):用较
大的数m除以较小的数n得到一个商0S和一个余数0R;(2):若0R=0,则n为m,n的
最大公 约数;若0R≠0,则用除数n除以余数0R得到一个商1S和一个余数1R;(3):若1R
=0,则 1R为m,n的最大公约数;若1R≠0,则用除数0R除以余数1R得到一个商2S和
一个余数2R; ?? 依次计算直至nR=0,此时所得到的1nR即为所
求的最大公约数。
2、更相减损术
我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。在《九章算术》中有更相 减损术
求最大公约数的步骤:可半者半之,不可半者,副置分母?子之数,以少减多,更相减损,
求其等也,以等数约之。翻译为:(1):任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,
用2约 简;若不是,执行第二步。(2):以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得
的差比较,并以大 数减小数。继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就
是所求的最大公约数。3、辗转 相除法与更相减损术的区别:
(1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相 减损术以减法为主,
计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数 的区别
较明显。
(2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到 ,而更相减损术
则以减数与差相等而得到
1.3.2秦九韶算法与排序 1、秦九韶算法概念:
f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值问题
f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0 =(( anxn-2+an-1xn-
3+….+a2)x+a1)x+a0 =......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0求多项式的值时,首先计算
最内层括号 内依次多项式的值,即v1=anx+an-1 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,
即 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0
这样,把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。
第二章 统计
2.1.1简单随机抽样 1.总体和样本
在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体.把每个研究对象叫做个体.把总体中个体的总数
叫做总体容量. 为了研究 总体的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分研究,我们称它
为样本.其中个体的个数称为样本容量.
2.简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随
机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等),样本的每
个单位完全独立 ,彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基
16 28


础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时,才采用这种方法。
3.简单随机抽样常用的方法:
(1)抽签法;⑵随机数表法;⑶计算机模拟法;⑷使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本 容量设计中,主要考虑:①总体变异情况;②允许误差范围;③概率
保证程度
4.抽签法:
(1)给调查对象群体中的每一个对象编号; (2)准备抽签的工具,实施抽签
(3)对样本中的每一个个体进行测量或调查
5.随机数表法:例:利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。 2.1.2系
统抽样
1.系统抽样(等距抽样或机械抽样):
把总体的单位进 行排序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一
个样本采用简单随机抽样的办 法抽取。 K(抽样距离)=N(总体规模)n(样本规模)
前提条件:总体中个体的排列对于研究 的变量来说,应是随机的,即不存在某种与研究变量
相关的规则分布。可以在调查允许的条件下,从不同 的样本开始抽样,对比几次样本的特点。
如果有明显差别,说明样本在总体中的分布承某种循环性规律, 且这种循环和抽样距离重
合。
2.系统抽样,即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一 。因为它对抽样框的要求较低,
实施也比较简单。更为重要的是,如果有某种与调查指标相关的辅助变量 可供使用,总体单
元按辅助变量的大小顺序排队的话,使用系统抽样可以大大提高估计精度。 2.1.3分层抽样
1.分层抽样(类型抽样):
先将总体中的所有单位按照某种特征 或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次,然后
再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽 样的办法抽取一个子样本,最后,将这些
子样本合起来构成总体的样本。
两种方法:
(1).先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
( 2).先以分层变量将总体划分为若干层,再将各层的元素按分层的顺序整齐排列,最后用
系统抽样的方 法抽取样本。
2.分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体,再抽取不同的子 总体
中的样本分别代表该子总体,所有的样本进而代表总体。分层标准:(1)以调查所要分析和
研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。
(2)以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变
量。
(3)以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。
3.分层的比例问题:
(1)按比例分层抽样:根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子
样本的方法。
(2)不按比例分层抽样:有的层次在总体中的比重太小,其样本量就会非常少,此时采用
该方法,主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料
推断总体时, 则需要先对各层的数据资料进行加权处理,调整样本中各层的比例,使数据恢
复到总体中各层实际的比例 结构。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
17 28



.3用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的 信息,但从样
本得到的信息会有偏差。在随机抽样中,这种偏差是不可避免的。 虽然我们用样本数据得
到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差,而只是一个估计,但这
种估 计是合理的,特别是当样本量很大时,它们确实反映了总体的信息。
4.(1)如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,标准差不变 (2)
如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k,标准差变为原来的k倍 (3)一组
数据中的最大值和最小值对标准差的影响,区间)
1、概念:
(1)回归直线方程 (2)回归系数 2.回归直线方程的应用
(1)描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数
量关系
(2)利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量x)代入回归方程对预报量(即因< br>变量Y)进行估计,即可得到个体Y值的容许区间。
(3)利用回归方程进行统 计控制规定Y值的变化,通过控制x的范围来实现统计控制
的目标。如已经得到了空气中NO2的浓度和 汽车流量间的回归方程,即可通过控制汽车流
量来控制空气中NO2的浓度。
4.应用直线回归的注意事项
(1)做回归分析要有实际意义; (2)回归分析前,最好先作出散点图; (3)回归直线
不要外延。
第三章 概 率
3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义
1、基本概念:
(1)必然事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件;
(2)不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件;
(3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件;
(4)随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件;
(5)频数与频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试
验中事件A出 现的次数nA为事件A出现的频数;称事件A出现的比例fn(A)=nnA为事件
A出现的概率:对于 给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)
稳定在某个常数上,把这个 常数记作P(A),称为事件A的概率。
(6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事 件发生的次数nA与试验总次数n
的比值nnA,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着 试验次数的不断增多,
这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映 了随机事
件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
3.1.3 概率的基本性质
1、基本概念:(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件
(2)若A∩B为不可能事件,即A∩B=ф,那么称事件A与事件B互斥;
(3)若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件;
18 28


(4)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件A与B为对立事
件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B)
2、概率的基本性质:
1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1;
2)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);
3)若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有
P(A)=1—P(B);
4)互斥事件与对立事件的区别与联系, 互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同
时发生,其具体包括三种不同的情形:(1)事件A发 生且事件B不发生;(2)事件A不发
生且事件B发生;(3)事件A与事件B同时不发生,而对立事件 是指事件A 与事件B有且
仅有一个发生,其包括两种情形;(1)事件A发生B不发生;(2)事件B 发生事件A不发
生,对立事件互斥事件的特殊情形。
3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生
1、(1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 (2)古典概型的
解题步骤; ①求出总的基本事件数;②求出事件A所包含的基本事件数,然后利用公式P
(A)=
3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生 1、基本概念:
(1)几何概率模 型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)
成比例,则称这样的概率模型为 几何概率模型; (2)几何概型的概率公式:
P(A)=
(3)几何概型的特点:1) 试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个
基本事件出现的可能性相等

高中数学必修4知识点
19 28


20 28


21 28


22 28


23 28



高中数学必修5知识点
1、正弦定理:在
???C
中,
a

b

c
分别为角
?
、< br>?

C
的对边,
R

???C
的外接圆的< br>abc
???2R
半径,则有
sin?sin?sinC

2、正弦定理的变形公式:①
a?2Rsin?

b?2Rsin?

c?2RsinC
; ②
b
c
sin??
sinC?
2R

2R

sin??
a
2R

a?b?cabc
???

a:b:c?sin?:sin?:sinC
; ④
sin??sin??sinCsin?sin?sinC

111
S???C
?bcsin??absinC?acsin?
222
3、三角形面积公 式:.
4、余弦定理:在
???C
222222
中,有
a?b?c?2bccos?

b?a?c?2accos?

c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC

24 28


b
2
?c
2
?a
2
a
2
?b
2
?c
2
a
2
?c2
?b
2
cos??
cos??
cosC?
2bc2a b
2ac
5、余弦定理的推论:,,.
222
o
6、设
a

b

c

???C
的角
?
、< br>?

C
的对边,则:① 若
a?b?c
,则
C?90

222222
oo
② 若
a?b?c
,则
C?90
; ③ 若
a?b?c
,则
C?90

7、数列:按照一定顺序排列着的一列数.

8、数列的项:数列中的每一个数.
9、有穷数列:项数有限的数列.
10、无穷数列:项数无限的数列.
11、递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列.
12、递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列.
13、常数列:各项相等的数列.
14、摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
a
15、数列的通项公式:表示数列
?
n
?
的第
n
项 与序号
n
之间的关系的公式.
16、数列的递推公式:表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
(或前几项)间的关系的公式.
17、 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为
等差数列,这个常 数称为等差数列的公差.
18、由三个数
a

?

b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则
?
称为
a

b< br>的等
差中项.若
b?
a?c
2

则称
b

a

c
的等差中项.
19、若 等差数列
?
a
n
?
的首项是
20、通项公式的变形:① < br>n?
a
n
?a
1
a?a
m
?1
d?
n
d
n?m
;⑤
a
1
,公差是
d
,则
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d

;③
d?
a
n
?a
1
n?1
;④
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
;②
a
1
?a
n
?
?
n?1
?
d

*
a?a?a
p
?a
q
?
a
?
2 1、若
?
a
n
?
是等差数列,且
m?n?p?q

m

n

p

q??
),则
mn
;若
n
是等差数列,且
2n?p?q

n

2a?a
p
?a
q
p

q??
*
),则
n

S
n
?
22、等差数列的前
n
项和的公式:①
n
?
n?1
?
n
?
a
1
?a
n< br>?
S
n
?na
1
?d
2
2
;② .
S?n
?
a
n
?a
n?1
?
2n?
n??
*
?
n
23、等差数列的前项和的性质:①若项数为, 则
2n
,且
S

?S

?nd

S

a
?
n
S

a
n?1

25 28


②若项数为
2n?1
?
n??
*
?
,则
S
2n?1
?
?
2n?1
?< br>a
n
,且
S

?S

?a
n

).
S

n
?
S

n?1
(其中
S

?na
n

S

?
?
n?1
?
a
n
24、如果一个数列从第
2
项起,每 一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为
等比数列,这个常数称为等比数列的公比. < br>25、在
a

b
中间插入一个数
G
,使
a< br>,
G

b
成等比数列,则
G
称为
a

b
的等比中项.若
G
2
?ab
,则称
G

a

b
的等比中项.
a
1
a
n
?a
1
q
n?1
a
n
??
q
26、若等 比数列的首项是,公比是,则.
27、通项公式的变形:①
28、若
a
n< br>?a
m
q
n?m
a?a
n
q
;②
1
?
?
n?1
?
q
n?1
;③
*
a
n
a
n
n?m
q?
?
a
m
. < br>a
1
;④
a?a?a
p
?a
q
?
a
n
?
是等比数列,且
m?n?p?q

m

n

p

q??
),则
mn
;若
2a
n
?a
p
?a
q
?
a
n
?
是等比数列,且
2n?p?q

n

p

q??
*
),则.
29、等比数列
??
?
na
1
?
q?1
?
?
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a?aq
n
?
1
?
q?1
?
?
a
n
1?q1?q
n
?< br>的前项和的公式:.
30、等比数列的前
n
项和的性质:① 若项数为
2n
?
n??
*
?
,则
S
S


?q
. ②
S
n?m
?S
n
?q
n
?S
m


成等比数列.
S
n

S
2n
?S< br>n

S
3n
?S
2n
31、
a?b?0?a ?b

a?b?0?a?b

a?b?0?a?b

32、不等式的性质: ①
a?b?b?a
;②
a?b,b?c?a?c
;③
a?b?a?c?b?c

a?b,c?0?ac?bc
;④
a?b,c?0?ac?bc
, ⑤
a?b,c?d?a?c?b?d

a?b?0?a
n
?b
n
?
n??,n?1
?
a?b?0,c?d?0?ac?bd
⑥ ; ⑦ ;⑧
a?b?0?
n
a?
n
b
?
n ??,n?1
?

33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是
2
的不等式.
26 28


2
判别式
??b?4ac

??0

??0

??0

2
二次函数
y?ax?bx?c
?
a?0
?
的图象

2
ax?bx?c?0
?
a?0
?
的一元二次方 程
有两个相异实数根

有两个相等实数

没有实数根

?b??
x
1,2
?
2a
?
x
1
?x
2
?


x
1
?x
2
??
b
2a

一元二次
不等式的
解集
ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?

?< br>xx?x
1
或x?x
2
?
?
xx
1

?b?
xx??
??
2
a
?

?
R



34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是
1
的不等式.
36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?

?x?x
2
?
??

37、二元一次不等式(组)的解集: 满足二元一次不等式组的
x

y
的取值构成有序数对
?
x, y
?
,所有这样的有序数对
?
x,y
?
构成的集合. 38、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0
,坐标平面内的点
①若
??0

②若
??0

?
?
x
0
,y
0
?

?x
0
??y
0
? C?0
?x
0
??y
0
?C?0
,则点
,则点?
?
x
0
,y
0
?
?
?
x< br>0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的上方.
在直线
?x??y?C?0
的下方.
39、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0

①若
??0
,则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的 区域;
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域. ②若
??0
,则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C? 0
下方的区域;
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上 方的区域.
40、线性约束条件:由
x

y
的不等式(或方程)组 成的不等式组,是
x

y
的线性约束条
件.
27 28


目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x

y
的解析式.
线性目标函数:目标函数为
x

y
的一次解析式.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
可行解:满足线性约束条件的解
?
x,y
?

可行域:所有可行解组成的集合.
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. a?b
41、设
a

b
是两个正数,则
2
称为 正数
a

b
的算术平均数,
ab
称为正数
a

b

ab
几何平均数.
42、均值不等式定理: 若
a?0

b?0
,则
a?b?2ab
a?b
?
,即
2

43、常用的基本不等式: ①
?
a?b
?
ab?
??
2
??

2
a?b
22
a
2
?b
2
ab?
?a,b?R
?
?2ab
?
a,b?R
?
2
; ② ;
2
a
2
?b
2
?
a?b
??
?
?
a?0,b?0
?
?
22
??
; ④
?
a,b?R
?

44、极值定理:设
x

y
都为正数,则有 ⑴ 若
x? y?s
(和为定值),则当
x?y
时,积
s
2
xy
取得最大值
4

⑵ 若
xy?p
(积为定值),则当
x? y
时,和
x?y
取得最小值
2p



28 28

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