子集的个数公式两角和与差的正弦余弦公式

《两角和与差的正弦、余弦函数》教学设计

商州区中学 秦明伟

一、 学情分析

本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能 力正处于
高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。在
学习 本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以
及向量数量积的坐标表示， 这为他们探究两角和与差的正弦、余弦公式建立了良好
的知识基础。

二、 教学内容分析

本节内容是北师大版教材必修4第三章《三角恒等变换》第二节，推导得到< br>两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。

由于向量工具的引入，教材选择 了两角差的余弦公式作为基础，这样处理使
得公式的得出成为一个纯粹的代数运算，大大地降低了思考的 难度，也更易于学生
接受。

从知识产生的角度来看，在学习了《三角函数》及《平 面向量》后再学习由
这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律，符合人们认知的规律。从知识< br>的应用价值来看，重视数学知识的应用，是新教材的显著特点，课本中丰富的生活
实例为学生用数 学的眼光看待生活、体验生活即数学理念，体验用数学知识解决实
际问题，有助于增强学生的数学应用意 识。

基于上述分析，本节课的教学重点是引导学生通过合作、交流，探索两角差
的 余弦公式，进而推导得到其余的和差公式，为后续简单的恒等变换的学习打好基
础。

三、 教学三维目标

1、知识目标

通过两角差的余弦公式的 探究，让学生探索、发现并推导其他和（差）角公
式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练 ，加深对公式的理解，在初
步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题。

2、能力目标

通过利用向量推导两角和与差的正弦、余弦公式及公式的 具体运用，使学生
深刻体会联系变化的观点，让学生自觉的利用联系的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力及学生逻辑推理能力和合作学习能力。

3、情感目标

使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得
对数学应 用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的
激情。

四、 教学重点、难点

重点：探索得到两角差的余弦公式，理解两角和与差的正弦、余弦公式的推
导。

难点：探索过程的组织和适当引导，并能灵活运用公式。

五、 教学过程

导入新课

直接提出向量的主要作用之一就是解决几何度量问题，如长度 、夹角的问
题。让学生回忆单位圆及向量的数量积的知识，结合课件进行差角的余弦公式探究
的 学习，进而推导其他的和差公式

新知探究

提示学生联系与角的余弦相关的知识点，明确以向量运算中

的数量积与三角函数线作为研究途径。

如右图，在单位圆中作出角
，它们的终边

与单位圆分别交于A、B两点，先假设
，

且

，提出以下问题：

（1） 图中哪个角可以表示
？

（2）




可以看作是哪两个向量的夹角？

在证明公式之前先引导学生结合三角函数知识写出点A、点B的坐标。

证明过程：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为 始边作角

，其中
，且

，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B，则



由向量数量积的坐标表示，有：

由
，且

知
，那么向量
的夹角就是
，由数量积的定义，有



于是
（1）









由于我们前面的推导均是在
，且

的条件下进行的，因此（1）式还不具备一般性。事实上，只要

，
所表示的就是向量
的夹角。

但是，若
，（1）式是否依然成立呢？

当
时，设
与
的夹角为
，则


另一方面，
，于是
所以

也有















综上所述，得出公式：

对于任意角
，


观察公式形式，让学生思考如何推导其余公式？

提示：

；

；

通过学生自己推导，得到两角和与差的正弦、余弦公式：

对任意角
，都有






总结公式的特点，便于学生记忆。

注： 1.公式的结构特点:余弦公式：余余正正异相连；正弦公式：正余余
正同相连；


2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就可以求出sin(α+β)、
cos(α+β)、 sin(α-β) 、 cos(α-β) ；

3.式子中α、β是任意的；

4.公式的正用和逆用。

例题讲解

例1 利用所学公式求
。

解：

方法一:

方法二：

思考：如何求
？


解：









解题思路：

解：由
，得

又由
，得

所以



练习 化简求值












六、 小结

1.两角差的余弦公式的推导（注意向量法的应用）。

2.两角和与差的正弦、余弦公式及其特点：

3.利用两角和与差的正弦、余弦公式的正用和逆用，解决简单的求值和证明
问题。

七、 作业

P121 A组 第2题（1）（3）（4） 第3题

八、 板书设计

课题：3.2两角和与差的正弦、余弦公式
和差公式：

例变式练

《注》1.两角差的余弦公式的推导（注意向量法的应用）。
2.两角和与差的正弦、余弦公式及其特点：
3.利用两角和与差的正弦、余弦公式的正用和逆用，解决简单的求值和
证明问题。



题 习