高中数学知识点总结及公式大全教案资料

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高中数学知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如 ：集合A?
?
x|y?lgx
?
，B?
?
y|y?lgx< br>?
，C?
?
(x,y)|y?lgx
?
，A、B、C

中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A?
?
x|x
2
?2x?3?0
?
，B?
?
x|ax?1
?


若B?A，则实数a的值构成的集合为

< br>（答：
?
?
1
?
?1，0，
?
3
?
?
）

3. 注意下列性质：

（1）集合< br>?
a
1
，a
2
，……，a
n
?
的所 有子集的个数是2
n
；


（2）若A?B?A?B?A，A?B?B；

（3）德摩根定律：

C
U
?
A?B
?
?
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?
，
C
U
?
A?B
?
?
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于x的不等式
ax?5
x
2
?a
?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a

的取值范围。
（∵3?M，∴
a·3?5

3
2< br>?a
?0
?a?
?
a·
?
5
?
1，
?
3
?
?
?
?
9，25
?
）
∵5?M，∴
5?5
5
2
?a
?0

5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(?)，“且”(?)和

“非”(?).


1

若p?q为真，当且仅当p、q均为真


若p?q为真，当且仅当p、q至少有一个为真


若?p为真，当且仅当p为假

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f： A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对
应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数y?
x
?
4?x
?
lg
?
x?3
?
2
的定义域是


（答：
?
0，2
?
?
?
2，3< br>?
?
?
3，4
?
）

10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是
?
a，b
?
，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定

义域是_____________。

（答：
?
a，?a
?
）

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

如：f
?
x?1
?
?e
x
?x，求f(x).


令t?x?1，则t?0


∴x?t
2
?1


∴f(t)?e
t
2
?1
?t
2
?1

2

∴f(x)?e
x
2
?1
?x
2
?1
?
x?0
?

12. 反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

如：求函数f(x)?
?
?
?
1?x
?
x?0?
?
?
?x
2
?
x?0
?
的反函数< br>

（答：f
?1
(x)?
?
?
?< br>x?1
?
x?1
?
?
）

?
??x
?
x?0
?
13. 反函数的性质有哪些？
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y?f(x)的定义域为A，值域为C ，a?A，b?C，则f(a)=b?f
?1
(b)?a

?f
?1
?
f(a)
?
?f
?1
(b)?a，f
?< br>f
?1
(b)
?
?f(a)?b

14. 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？

（y?f(u)，u??(x)，则y?f
?
?(x)
?
（外层）（内层）


当内、外层函数单 调性相同时f
?
?(x)
?
为增函数，否则f
?
?(x)< br>?
为减函数。）


如：求y?log
1
?< br>?x
2
?2x
?
的单调区间

2

（设u??x
2
?2x，由u?0则0?x?2


且log
2
1
u?，u??
?
x?1
?
?1，如图 ：

2

3

u




O 1 2 x



当x?(0，1]时，u?，又log
1
u?，∴y?

2

当x?[1，2)时，u?，又log
1
u?，∴y?

2
∴……）
15. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间
?
a，b
?
内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于< br>零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？


如： 已知a?0，函数f(x)?x
3
?ax在
?
1，??
?
上 是单调增函数，则a的最大
值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

（令f'(x)?3x
2
?a?3
?< br>?
a
?
?
x?
3
?
?
?
?
?
x?
a
?
3
?
?
?0


则x??
aa
3
或x?
3


由已知f(x)在[1，??)上为增函数，则
a
3
?1，即a?3

∴a的最大值为3）
16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）

若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称


若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

4

（ 1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；
一个偶函数与奇函数的 乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。


如：若f(x)?
a·2
x
?a?2
2
x
?1
为奇 函数，则实数a?


（∵f(x)为奇函数，x?R，又0?R，∴f(0)?0


即< br>a·2
0
?a?2
2
0
?1
?0，∴a?1）


1)上的奇函数，当x?(0，1)时，f(x)?
2
x
又如：f(x)为定义在(?1，
4
x
?1
，
求f(x)在
?
?1，1
?
上的解析式。


（令x?
?
?1，0
?
，则?x?
?
0，1
?
，f(?x) ?
2
?x
4
?x
?1


又f(x )为奇函数，∴f(x)??
2
?x
4
?x
?1
?
2
x
?
1?4
x

?
2
x
x?(?1，0)

?
?
又 f(0)?0，∴f(x)?
?
?
4
x
?1
x?0
）

?
2
x
?
?
4
x
?1
x?
?
0，1
?
17. 你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T（T?0），在定义域内总有f
?
x?T
?
?f(x )，则f(x)为周期
函数，T是一个周期。）

如：若f
?
x?a
?
??f(x)，则


（答：f(x)是周期函数，T?2a为f(x)的一个周期）


又如：若f(x)图象有两条对称轴x?a，x?b
?
?
?


即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)


则f(x)是周期函数，2a?b为一个周期


5

如：
18. 你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称


f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称


f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称


f(x)与f
?1
(x)的图象关于直线y?x对称


f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称


f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称


将y? f(x)图象?
左移a(a?0)个单位
y?f(x?a)
右移
?????? ?
a(a?0)个单位
??
y?f(x?a)

?
上 移
???????
b(b?0)个单位
??
y?f(x?a)?b
下 移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b

注意如下“翻折”变换：

f(x)???f(x)
f(x)???f(|x|)


如：f(x)?log
2
?
x?1
?

< br>作出y?log
2
?
x?1
?
及y?log
2
x?1的图象


6

y

y=log
2
x


O 1 x



19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
(k<0) y

(k>0)


y=b
O’(a,b)

O x

x=a


（1）一次函数：y?kx?b
?
k?0
?


（2）反比例函数：y?
的双曲线。
b
?
4ac?b
2
?

（3）二次函数y? ax?bx?c
?
a?0
?
?a
?
x?
?
?图象为抛物线

??
2a4a
2
2
kk
?
k?0
?
推广为y?b?
?
k?0
?
是中心O'(a，b )

xx?a
?
b4ac?b
2
?
b

顶点坐标为
?
?，
?
，对称轴x??

4a
?
2a
?
2a

开口方向：a?0，向上，函数y
min

a?0，向下，y
max
4ac?b
2
?

4a
4ac?b
2
?

4a
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax
2?bx?c?0，??0时，两根x
1
、x
2
为二次函数y?ax
2
?bx?c的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax
2
?bx?c?0(?0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。
7

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
?
??0

?
如：二次方程 ax
2
?bx?c?0的两根都大于k?
?
?
?
b
?k

?
2a
?
?
f(k)?0
y


(a>0)


O k x
1
x
2
x



一根大于k，一根小于k?f(k)?0


（4）指数函数：y?a
x
?
a?0，a?1
?


（5）对数函数y?log
a
x
?
a?0，a?1
?

由图象记性质！ （注意底数的限定！）
y
y=a
x
(a>1)
(0a
x(a>1)
1

O 1 x

(0

（6）“对勾函数”y?x?
k
x
?
k?0
?

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

8

y



?k


O
k
x





20. 你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a
0
?1(a?0)， a
?p
?
1
a
p
(a?0)

m

a
n
?
n
a
m
(a?0)，a
?
m
n
?
1
n
a
m
(a?0)


对数运算：log
a
M·N?log
a
M?log
a
N
?
M?0，N?0
?


log
Ma
N
?log?
1
a
M?log
a
N，log
n
a
M
n
log
a
M


对数恒等式：a
log
a
x
?x


对数换底公式：log
a
b?
log
c
b
?log
n
n
loga
a
m
b?
m
log
ab

c
21. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）

如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x) ?f(y)，证明f(x)为奇函数。

（先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，……）


（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。


（先令x?y??t?f
?
(?t)(?t)
?
? f(t·t)


∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)


∴f(?t)?f(t)……）


（3）证明单调 性：f(x
2
)?f
?
?
x
2
?x
1?
?x
2
?
?……

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

9

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数
单调性法，导数法等。 ）
如求下列函数的最值：

（1）y?2x?3?13?4x


（2）y?
2x?4

x?3
2x
2

（3）x?3，y?

x?3

（4）y?x?4?9?x< br>2
?
设x?3cos?，??
?
0，?
?
?


（5）y?4x?，x?(0，1]

23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式
吗？

（l??·R，S
扇
?l·R?
1
2
1
?·R2
）

2


R


1弧度
O R
9
x

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

sin??MP，cos??OM，tan??AT

y
T
B S

P


α

O





M
A x




10

如：若?
?
???0，则sin?，cos?，tan?的大小顺序是
8
?

又如：求函数y?1?2cos
?
?
?x
?
的定义域和值域。

?
?

（∵1?2c os
?
?
?x
?
）?1?2sinx?0

??
?
2
?
?
2

∴sinx?
2
，如图：

2


∴2k??
5??
?x?2k??
?
k?Z
?
，0?y?1 ?2

44
25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、
对称轴吗？


sinx?1，cosx?1


11

y

y?tgx





?

?


O
?
?
x


2
2





对称点为
?
?
k
?
?
2
，0
?
?
?
，k?Z


y?sinx的增区间为
?
??
?
?
?
2k??
2
，2k??
2
?
?
?
k?Z
?


减区间为
?
?3?
?
2k? ?，2
?
?
2
k??
2
?
?
?
k ?Z
?


图象的对称点为
?
k?，0
?< br>，对称轴为x?k??
?
2
?
k?Z
?


y?cosx的增区间为
?
2k?，2k???
?
?
k?Z
?


减区间为
?
2k??? ，2k??2?
?
?
k?Z
?


图象的对 称点为
?
?
?
?
?
k??
2
，0
?
?
，对称轴为x?k?
?
k?Z
?

< br>y?tanx的增区间为
?
?
??
?
?
k??
2
，k??
2
?
?
k?Z


26. 正弦型函数y=Asin
?
?x+?
?
的图象和性质要熟记。
?或y?Acos
?
?x??
?
?


（1）振幅|A|，周期T?
2?
|?|


若f< br>?
x
0
?
??A，则x?x
0
为对称轴。


若f
?
x
0
?
?0，则
?
x
0
，0
?
为对称点，反之也对。


（ 2）五点作图：令?x??依次为0，
?
，?，
3?
22
，2?，求 出x与y，依点
（x，y）作图象。

（3）根据图象求解析式。（求A、?、?值）


12

?
?(x
1
)???0

如图列出
?
?

?
?(x
2
)???
?
2
?

解条件组求?、?值


?正切型函数y?Atan
?
?x??
?
，T?
?

|?|
27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定
角的范围。
?
?
23?
??

如：cos
?
x ???，x??，
??
??
，求x值。

?
6
?
2
?
2
?

（∵? ?x?
3?7??5??5?13
，∴?x??，∴x??，∴x??）

26636412
28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

如：函数y?sinx?sin|x|的值域是


（x?0时，y? 2sinx?
?
?2，2
?
，x?0时，y?0，∴y?
?
?2，2
?
）

29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）
平移公式：
?
?
x'?x?h
a?(h，k)

（1）点P（x，y）?????

??P'（x'，y'），则
?
平移至
?
y'?y?k

（2）曲线f(x，y)?0沿向量a?(h，k)平移后的方程为f(x?h，y?k)?0

?
?

如：函数y?2sin
?
?
2x?< br>?
?1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的

?
4
?
?
13

图象？

（y?2sin
?
?
?
2x?< br>?
?
4
?
?
?1?
横坐标伸长到原来的
?? ??????
2倍
??y?2sin
?
?
?
2
?< br>?
1
?
2
x
?
?
?
?
?< br>?
4
?
?
?1

左平移个单位
?2sin< br>?
?
?
x?
?
?
?
4
?
?
?1??????
4
??y?2sinx?1?
上平移
?????< br>1个单位
??y?2sinx

纵坐标缩短到原来的
1
2倍
???????????y?sinx）

30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1?sin
2
? ?cos
2
??sec
2
??tan
2
??tan?·co t??cos?·sec??tan
?
4
?sin
?
2
?c os0?……称为1的代换。


“k·
?
2
??” 化为?的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，

“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

如：cos
9?
4
?tan
?
?
?
?
7?
?
6
?
?
?sin
?
2 1?
?
?


又如：函数y?
sin??tan?< br>cos??cot?
，则y的值为

A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值
sin?

sin??
（y?
cos?
sin
2
?
?
cos?
cos??
cos ?
?
?1
?
cos
2
?
?
sin??1< br>?
?0，∵??0）

sin?
31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？
理解公式之间的联系：

sin
?
???
?
?sin?cos??cos?sin??
令
??
??
?
?
?sin2??2sin?cos?


14

令???
cos
?< br>???
?
?cos?cos??sin?sin??????cos2??cos
2
??sin
2
?

tan
?
???
?
?
tan??tan?
22

?2cos??1?1?2sin??

1?tan?·tan?
1?cos2?
2

1?cos2?
2
sin??
2
cos
2
??
ta n2??
2tan?

1?tan
2
?



asin??bcos??a
2
?b
2
sin?
???
?
，tan??

?
?

sin??cos??2sin
?
?
??
?

?
4
?
?
?

sin??3cos??2sin
?
?
??
?

?
3
?
b
a
应用以上公式对三角函数式化简。（化 简要求：项数最少、函数种类最少，分母中
不含三角函数，能求值，尽可能求值。）
具体方法：

（1）角的变换：如??
?
???
?
??，
（2）名的变换：化弦或化切
（3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。
sin?cos?2
?1，tan?
???
?
??，求tan
?
??2?
?
的值 。

1?cos2?3
sin?cos?cos?1

（由已知得：

??1，∴tan??
2sin?2
2sin
2
?
2

又tan
?
???
?
?

3
21
?
tan
?
???
?
?tan?
32
?
1
）

∴tan
?
??2?
?
?tan?
???
?
????
1?tan
?
???
?< br>·tan?
1?
2
·
1
8
32
???
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?< br>?
??
?
……

??
22
??
2

如：已知
??
32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？
15

a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA?cosA?
b
2
?c
2
?a
2
余弦定理：
2bc

（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）
?
a?2Rsin
< br>正弦定理：
abc
?
A
sinA
?
sinB
?
sinC
?2R?
?
b?2RsinB

?
?
c?2RsinC

S
1
?
?
2
a·bsinC


∵A?B?C??，∴A?B???C


∴sin
?
A?B
?
?sinC，sin
A?B
2
?cos
C
2


如?ABC中，2sin
2
A?B
2
?cos2C?1


（1）求角C；


2
?b
2?
c
2
（2）若a
2
，求cos2A?cos2B的值。


（（1）由已知式得：1?cos
?
A?B
?
?2cos
2
C?1?1


又A?B???C，∴2cos
2
C?cosC?1?0


∴cosC?
1
2
或cosC??1（舍）


又0?C??，∴C?
?
3


（2）由正弦定理及 a
2
?b
2
?
1
2
c
2
得：

2sin
2
A?2sin
2
B?sin2
C?sin
2
?
3
?
3
4


1?cos2A?1?cos2B?
3
4


∴cos2A?cos2B??
3
4
）

33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

反正弦：arcsinx?
??
?
?
，
?
?
?
22
?
?< br>，x?
?
?1，1
?


反余弦：arcco sx?
?
0，?
?
，x?
?
?1，1
?


16

反正切：arctanx??
?
??
?
?
?
2
，
2
?< br>?
，
?
x?R
?

34. 不等式的性质有哪些？

（1）a?b，
c?0?ac?bc
c?0?ac?bc


（2）a?b，c?d?a?c?b?d


（3）a?b?0，c?d?0?ac?bd


（4）a?b?0?
1
?
1
，a?b?0?
1
?
1
abab< br>

（5）a?b?0?a
n
?b
n
，
n
a?
n
b


（6）|x|?a
?a?0
?
??a?x?a，|x|?a?x??a或x?a

< br>如：若
1
?
1
ab
?0，则下列结论不正确的是（）


A.a
2
?b
2
?b
2


C.|a|?|b|?|a?b|D.
a
b
?
b< br>a
?2

答案：C
35. 利用均值不等式：

a
2
?b
2
?2ab
?
a，b? R
?
?
2
；a?b?2ab；ab?
?
?
a?b< br>?
?
2
?
?
求最值时，你是否注
意到“a，b?R< br>?
”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a?b)其中之一为定

值？（一正、二定、三相等）
注意如下结论：

a
2
?b
2
2
?
a?b
2
?ab?
2ab
a?b
?
a，b?R
?
?


当且仅当a?b时等号成立。


a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca
?
a，b?R
?


当且仅当a?b?c时取等号。


17

a?b?0，m?0，n?0，则


bb?m
a
?
a?m
?1?
a?n
b?n
?
a
b


如：若x?0，2?3x?
4
x
的最大值为

（设y?2?
?
?
?
3x?
4
?
x
?
?
?2?212?2?43


当且仅当3x?
4< br>，又x?0，∴x?
23
x3
时，y
max
?2?43）

又如：x?2y?1，则2
x
?4
y
的最小值为


（∵2
x
?2
2y
?22
x?2y
?22
1
，∴最小值为22）

36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简单放缩法的应用。

如：证明1?
1
2
2
?
11
3
2
?…?
n
2
?2


（1?
1
2< br>2
?
11111
3
2
?……?
n
2
?1?
1?2
?
2?3
?……?
?
n?1
?
n

?1?1?
111

2
?
2
?
3
?……?
1
n?1
?
1
n

?2?
1
n
?2）

37.解分式不等式
f(x )
g(x)
?a
?
a?0
?
的一般步骤是什么？

（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）
38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始


如 ：
?
x?1
??
x?1
?
2
?
x?2?
3
?0


18

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：对数或指数的底分a?1或0?a?1讨论

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

例如：解不等式|x?3|?x?1?1


（解集为
??
?
x|x?
1
?
2
?
?
）


41.会用不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|证明较简单的不等问题


如：设f(x)?x
2
?x?13，实数a满足|x?a|?1


求证：f(x)?f(a)?2(|a|?1)

证明：
|f(x) ?f(a)|?|(x
2
?x?13)?(a
2
?a?13)|

?|(x?a)(x?a?1)|(?|x?a|?1)

?|x?a||x?a?1|?|x?a?1|

?|x|?|a|?1

又|x|?|a|?|x?a|?1，∴|x|?|a|?1


∴f(x)?f(a)?2|a|?2?2
?
|a|?1
?

（按不等号方向放缩）
42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问
题）

如：a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值


a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值


a?f(x)能成立?a?f(x)的最小值


例如：对于一切实数x，若x?3?x?2?a恒成立，则a的取值范围是


（设u?x?3?x?2，它表示数轴上到两定点?2和3距离之和


u
min
?3?
?
?2
?
?5，∴5?a，即a?5

19

或者：x?3?x?2?
?
x?3
?
?
?
x?2
?
?5，∴a?5 ）

43. 等差数列的定义与性质

定义：a
n? 1
?a
n
?d(d为常数)，a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d


等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y


前n项和S?a
n
?
n
n
?
n?1
?
n
?
?
a
1
2
?na
1
?
2
d

性质：
?
a
n
?
是等差数列

< br>（1）若m?n?p?q，则a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；


（2）数列
?
a
2n?1
?
，
?
a
2n
?
，
?
ka
n
?b
?
仍为等差数列；


S
n
，S
2n
?S
n
，S
3n
?S
2n
…… 仍为等差数列；


（3）若三个数成等差数列，可设为a?d，a，a?d；


（4） 若a
m
S
2m?1
n
，b
n
是等差数列S
n
，T
n
为前n项和，则
a
b
?；

m
T
2m?1

（5）
?
a
2n
?
为等差数列?S
n
?an?bn（a，b为常数，是关于n的常数项 为

0的二次函数）

S
n
的最值可求二次函数S
n
?an
2
?bn的最值；或者求出
?
a
n
?
中的正、负分界
项，即：

当a
1
?0，d? 0，解不等式组
?
?
a
n
?0
可得S
n
达 到最大值时的n值。
?
a

n?1
?0

当 a?0，d?0，由
?
?
a
n
?0
1
可得
?
a
S
n
达到最小值时的n值。

n?1
?0

如：等差数列
?
a
n
?
，S
n
?18，a
n
?a
n?1
?a
n ?2
?3，S
3
?1，则n?


（由a
n
?a
n?1
?a
n?2
?3?3a
n?1
?3，∴ a
n?1
?1


又S
?
a
1?a
3
?
3
?
2
·3?3a
2
?1， ∴a
1
2
?
3


20

?

∴S
?
aa
?
1
?1
?
?
n
1
?
n
?
n?
a
2
?a
n?1
n
?
2
?
?
·n
2
?
?
3
?
2
?18


?n?27）

44. 等比数列的定义与性质

定义：
a
n?1
a
?q（q为常数，q?0），a
n
?a
n?1
1
q

n

等比中项：x、G、y成等比数列?G
2
?xy，或G??xy

?
na
1
(q?1)

前n项和：S
?n
?
?
a
1
1?q
n
?
??
?
1?q
(q?1)
（要注意!）


性质：
?
a
n
?
是等比数列

< br>（1）若m?n?p?q，则a
m
·a
n
?a
p
·a
q


（2）S
n
，S
2n
?S< br>n
，S
3n
?S
2n
……仍为等比数列


45.由S
n
求a
n
时应注意什么？

< br>（n?1时，a
1
?S
1
，n?2时，a
n
?Sn
?S
n?1
）

46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？
例如：（1）求差（商）法

如：
?
a
11
n
?
满足
2
a
1
?
2
2
a
2
?……?
1
2
na
n
?2n?5?1?

解：
n?1时，
1< br>2
a
1
?2?1?5，∴a
1
?14


n?2时，
111
2
a
1
?
2
2
a
2
?……?
2
n?1
a
n?1
?2n?1?5? 2?

?1???2?得：
1
2
n
a
n
?2


∴a
n?1
n
?2


∴ a
?
14(n?1)
n
?
?
?
2
n?1< br>(n?2)

［练习］

21

数列
?
a
5
n
?
满足S
n
?S
n?1
?
3
a
n?1
，a
1
?4，求a
n


（注意到a
S
n?1
n ?1
?S
n?1
?S
n
代入得：
S
?4

n

又S
1
?4，∴
?
S
n
?
是等比数列，S
n
?4
n


n?2时 ，a
n
?S
n
?S
n?1
?……?3·4
n?1< br>
（2）叠乘法

例如：数列
?
a
?1
n
?
中，a
1
?3，
a
n
a
?
n
，求a
n

n
n?1
解：
a
2
a
·
a
3
a
12n?1
a
1< br>a
……
n
?·……，∴
n
?
12
a
n?1
23na
1
n

又a
3
1
?3，∴a
n
?
n

（3）等差型递推公式

由a
n
?a
n?1
?f( n)，a
1
?a
0
，求a
n
，用迭加法

n?2时，a
2
?a
1
?f(2)
?
a
?
3
?a
2
?f(3)
?
…………
?
两边相加，得：

?
a
n
?a
n?1
? f(n)
?
?

a
n
?a
1
?f(2)?f(3)?……?f(n)


∴a
n
?a
0
?f(2)?f(3)?……?f(n)

［练习］

数列
?
a
n
?
，a< br>1
?1，a
n
?3
n?1
?a
n?1
?n?2
?
，求a
n


（a
1
n
?
2
?
3
n
?1
?
）

（4）等比型递推公式

a
n
?ca
n? 1
?d
?
c、d为常数，c?0，c?1，d?0
?


可转化为等比数列，设a
n
?x?c
?
a
n?1
? x
?


?a
n
?ca
n?1
?< br>?
c?1
?
x


22

令(c?1)x?d，∴x?
d
c?1


∴
?
?
a
d
?
?
n
?
c?1
?< br>?
是首项为a?
d
1
c?1
，c为公比的等比数列


∴a
?
d
?
n?
n
?
d
c?1
?
?
?
a?
c?1
?
?
· c
1
1


∴a?
?
?
d
?
n?1
d
n
?
a
1
?
c?1
?
?
c?
c?1

［练习］

数列
?
a
n
?
满足a
1
?9，3a
n?1
?a
n
?4，求a
n

n?1

（a
?
4
?
n
?8
?
?
?
3
?
?
?1）

（5）倒数法

例如：a
2a
n
1
?1，a
n?1
?
a2
，求a
n
n
?

由已知得：
1
a
n
? 2
a
?
n?1
2a
?
1
?
1

n
2a
n

∴
11
a
?
n?1
a
?
1

n
2

?
?
?
1
?
?a
?
为等差数列，
1
?1
1
n
?
a< br>，公差为
2

1

?
1
a
? 1?
?
n?1
?
·
1
?
1
?
n? 1
?

n
22

∴a
2
n
?
n?1

47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数
的项。

n
如：
?
a
n
?
是公差为d的等差数列，求
?
1

k?1
a
k
a
k?1

23

解：
由
1
aa
?
1
a
?
1
?
?
1
?
1
?
?
?
d?0
?

k
·
k?1
k< br>?
a
k
?d
?
d
?
a
k
a
k?1
?

n
∴
?
1
n
?
k?1
a
k
a
k?1
?
1
?
?< br>1
?
1
?
k?1
d
?
a
k
a
?

k?1
?
?
1
?
?
1?
1

d
?
?
1?
a
?
?
1
?
1
?
?
1?
?
?
?
?
a
???
……?
?
?
?
?
12
??
a
2
a
3
??
a
n
a
n?1
?
?

?
1
?
11
d
?
?
a
?
?
a
?1n?1
?
［练习］

求和：1?
111
1? 2
?
1?2?3
?……?
1?2?3?……?n


（a
1
n
?……?……，S
n
?2?
n?1
）

（2）错位相减法：

若
?
an
?
为等差数列，
?
b
n
?
为等比数列，求数 列
?
a
n
b
n
?
（差比数列）前n项
< br>和，可由S
n
?qS
n
求S
n
，其中q为
?
b
n
?
的公比。


如：S
?1< br>n
?1?2x?3x
2
?4x
3
?……?nx
n?1?


x·S
n
?x?2x
2< br>?3x
3
?4x
4
?……?
?
n?1
?x
n?1
?nx
n
?2?


?1?? ?2?：
?
1?x
?
S
n
?1?x?x
2
?……?x
n?1
?nx
n

n

n
x?1时，S
n
?
?
1?x
?
?
1?x
?
2
?
nx
1?x


x?1时，S?3? ……?n?
n
?
n?1
?
n
?1?2
2

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
S
n
?a
1
?a
2
?……?a
n?1
?a
n
?
?
S?a?……?a
?
相加

nn
?a
n?12
?a
1
?
?
< br>2S
n
?
?
a
1
?a
n
?
?
?
a
2
?a
n?1
?
?……?
?
a
1
?a
n
?
……

［练习］

24

x
2
?
1
??
1
??
1
?
，则f(1)?f(2)?f?f(3)?f?f(4) ?f

已知f(x)?
??????
?
?
2
??
3
??
4
?
1?x
2

1
?
x
??

（由f(x)?f
?
??
?
x
?
1?x
2
2
x
2
1< br>???1

222
1?x1?x
?
1
?
1?
??
?
x
?
?
1
?
??
?
x
?
2
1
?
???
?
1
?
??
?
1
?
?

∴原式?f(1)?
?
f(2)?f
?
??
?
?
?
f(3)?f
???
?
?
f(4)?f
??
?

?
2< br>??
3
??
4
?
??????

??1?1?1?3）

48. 你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：

S
n
? p
?
1?r
?
?p
?
1?2r
?
?……? p
?
1?nr
?
?p
?
n?
?
?
n
?
n?1
?
?
r
?
……等差问题

2
?
1
2
1
2
△若按复利，如贷款问题— —按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等
额归还本息的借款种类）
若贷 款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一
年）后为第一次还款日，如 此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么
每期应还x元，满足
p(1?r)
n
?x
?
1?r
?
n?1
?x< br>?
1?r
?
n?2
?……?x
?
1?r
?< br>?x

n
?
1?
?
1?r
?
n?
1?r
?
?1
?

?x
?

?
?x
r
?
?
1??
1?r
?
?
?

∴x?
pr
?
1?r
?
n
?
1?r
?
n
?1

p——贷款数，r——利率，n——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

（1）分 类计数原理：N?m
1
?m
2
?……?m
n

25

（m
i
为各类办法中的方法数）


分步计数原理：N?m
1
·m
2
……m
n


（m
i
为各步骤中的方法数）

（2）排 列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一
列，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A
m
n
.

< br>A
m
n
?n
?
n?1
??
n?2
?
……
?
n?m?1
?
?

规定：0!?1

n!
?
m?n
?

?
n?m
?
!
（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤ n）个元素并组成一组，叫做从n个不
同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为C
m
n
.

n
?
n?1
?
……
?< br>n?m?1
?
A
m
n!

C?
n

??
m
m!m!
?
n?m
?
!
A
m
m
n

规定：C
0
n
?1


（4）组合数性质：

n?mm?101nn
，C
m
?C
m

C< br>m
n
?C
nn
?C
nn?1
，C
n
?C
n
?……?C
n
?2

50. 解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问 题分类法；至多至
少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。
如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
x
i
?89， 90，91，92，93，(i?1，2，3，4)且满足x
1
?x
2
?x< br>3
?x
4
，

??
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ）
A. 24 B. 15 C. 12 D. 10
解析：可分成两类：

（1）中间两个分数不相等，

26

4
?5（种）

有C
5

（2）中间两个分数相等

x
1
?x
2
?x
3
?x
4

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有
10种。
∴共有5＋10＝15（种）情况
51. 二项式定理
(a?b)
n
?C
0n1n?1
n
a?C
n
a b?C
2n?2
n
ab
2
?…?C
rn?rrn
n
ab?…?C
n
n
b


二项展开式的通项 公式：T
n?r
r?1
?C
r
n
ab
r
( r?0，1……n)


C
r
n
为二项式系数（区别于该项的系数）

性质：

（1）对称性：C
r?r
n
?C
n
n
?
r?0，1，2，……，n
?


（2）系数 和：C
0
?C
1nn
nn
?…?C
n
?2


C
1
C
35024n?1
n
?
n
?C
n
?…?C
n
?C
n
?C
n
?…?2

（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为 第
?
n
?
n
?
2
?
2
?1
?
?
项，二项式系数为C
n
；n为奇数时，(n?1)为偶数，中间两项的 二项式

n?1n?1
系数最大即第
n?1n?1
2
项及第
2
?1项，其二项式系数为C
n
2
?C
n
2


如：在二项式
?
x?1
?
11
的展开 式中，系数最小的项系数为（用数字

表示）

（∵n＝11


∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第
12
2
?6或第7项


27

由C
r
11
x
11?r
(?1)
r
，∴取r?5即第6项系数为负值为最小：


?C
6
11
??C
5
11
??426


又如：
?
1?2x
?
2004
?a
0
?a
1
x?a
2
x
2
?……?a
20 04
x
2004
?
x?R
?
，则

?a
0
?a
1
?
?
?
a
0
?a
2
?
?
?
a
0
?a
3
?
?……?
?
a
0
?a
2004
?
?（用数字作答）


（令x?0，得：a
0
?1


令x?1，得：a
0
?a
2
?……?a
2004
? 1


∴原式?2003a
0
?
?
a
0
?a
1
?……?a
2004
?
?2003?1?1?2 004）

52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（1）必然事件?，P??)?1，不可能事件?，P(?)?0


（2）包含关系：A?B，“A发生必导致B发生”称B包含A。



A B




（3）事件的和（并）：A?B或A?B“A与B至少有一个发生”叫做A与B

的和（并）。


（4）事件的积（交）：A·B或A?B“A与B同时发生”叫做A与B的积。


（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。

A·B??


28

（6）对立事件（互逆事件）：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A


A?A??，A?A??


（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独
立事件。

A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。

53. 对某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即

P(A)?
A包含的等可能结果m
?

一次试验的等可能结果的总数
n

（2）若A、B互斥，则P
?
A?B
?
?P(A)?P(B)


（3）若A、 B相互独立，则P
?
A·B
?
?P
?
A
?
·P
?
B
?


（4）P(A)?1?P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生
k
k次的 概率：P
n
(k)?C
k
n
p
?
1?p
?
n?k

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
（1）从中任取2件都是次品；
?
C
2
2
?

?
P
1
?
2
4
?
?

C
10
15
??
29

（2）从中任取5件恰有2件次品；
3
?
C
2
10
?
4
C
6

?
P
2
?
5
?
?

21
?
C
10
?
（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；
解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝10
3

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
213

∴m?C
2
3
·46?4

23
C
2
44
3
·4·6?4
?

∴P
3
?

125
10
3
（4）从中依次取5件恰有2件次品。
解析：∵一件一件抽取（有顺序）
523
，m?C
2

∴n?A
104
A
5
A
6

23
C
2
10
4
A
5
A
6

∴P
4
?

?
5
21
A
10
分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。
54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少
时，它的特征是从总体中 逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征
是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层 抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用
于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概 率相等，体现了抽样的客
观性和平等性。
55. 对总体分布的估计——用样本的频率作 为总体的概率，用样本的期望（平均值）
和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法：

（1）算数据极差
?
x
m ax
?x
min
?
；

（2）决定组距和组数；
30

（3）决定分点；
（4）列频率分布表；
（5）画频率直方图。

其中，频率?小长方形的面积?组距×

样本平均值：x?
频率

组距
1
x
1
?x
2
?……?x
n

n
1
222

样本方差：S
2
?
?
x
1
?x
?
?
?
x
2
?x
?
?……?
?
x
n
?x
?

n
??
??
如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如 果按性别分层随机抽样，
则组成此参赛队的概率为____________。
42
C
10
C
5

（
6
）

C
15
56. 你对向量的有关概念清楚吗？
（1）向量——既有大小又有方向的量。


（2）向量的模——有向线段的长度，|a|

?
?

（3）单位向量|a
0
|?1，a
0
?

（4）零向量0，|0|?0

??
??
a
|a|
?

?
长度相等
??
a?b

（5）相等的向量?
?
方向相同
?
在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。

b∥a(b?0)?存在唯一实数?，使b??a

31
??????

（7）向量的加、减法如图：


OA
?
?OB
?
?OC
?


OA
?
?OB
?
?BA
?

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

?
e
??
1
，e
2
是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一
实数对 ?
?????
1
、?
2
，使得a??
1
e
1
??
2
e
2
，e
1
、e
2
叫做 表示这一平面内所有向量
的一组基底。
（9）向量的坐标表示


?
i，
?
j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得< br>
?
a?x
?
i?y
?
j，称(x，y)为向量?
a的坐标，记作：
?
a?
?
x，y
?
，即为 向量的坐标

表示。

设
?
a?
?
x
?
1
，y
1
?
，b?
?
x
2
，y
2
?


则
?
a?
?
b?
?
x
1
，y
1
?
?
?
y
1
，y
2
?
?
?
x
1
?y< br>1
，x
2
?y
2
?


?
?
a??
?
x
1
，y
1
?
?< br>?
?x
1
，?y
1
?


若 A
?
x
1
，y
1
?
，B
?
x2
，y
2
?


32

则AB
?
?
?
x
2
?x
1
，y
2
?y
1
?


|AB
?
|?
?
x
2
?x
2
1< br>?
?
?
y
2
?y
1
?
2
， A、B两点间距离公式

57. 平面向量的数量积

（1）< br>?
a·
?
b?|
?
a|·|
?
b|cos? 叫做向量
?
a与
?
b的数量积（或内积）。

?为向量
?
a与
?
b的夹角，??
?
0，?
?


B

b
?

O
?

a
?

D A

数量积的几何意义：

?
a·
?
b等于|
?
a|与
?
b在
?
a的方向上的射影|b|cos?的乘积。

（2）数量积的运算法则

①
?
a·
?
b?
?
b·
?
a


②(
?
a?
?
b)
?
c?
?
a·
?
c?
?
b·
?
c


③
?
a·
?
b?
?
x
1
，y
1
?
·
?
x
2
，y2
?
?x
1
x
2
?y
1
y
2


注意：数量积不满足结合律(
?
a·
?
b )·
?
c?
?
a·(
?
b·
?
c)


（3）重要性质：设
?
a?
?
x
?< br>1
，y
1
?
，b?
?
x
2
，y2
?


①
?
a⊥
?
b??
a·
?
b?0?x
1
·x
2
?y
1
·y
2
?0


②
?
a∥
?
b?
?
a·
?
b?|
?
a|·|
?b|或
?
a·
?
b??|
?
a|·|
?
b|


?
?
a??
?
b（
?
b?0，?惟一确定）


?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0


③
?
2
a?|
?
a|
2
?x
2
?y
2
，|
?
a·
?
b|?|??
11
a|·|b|

?

④cos??a·
?
b
x
1
x
2
?y
1
y
2
|
?
?
a|·|
?
b|
x
22 22

1
?y
1
·x
2
?y
2
［练习］

33

???

（1）已知正方 形ABCD，边长为1，AB?
?
a，BC?
?
b，AC?
?
c，则

|
?
a?
?
b?
?
c|?

答案：
22


（2）若向量
?
a?
?x，1
?
，
?
b?
?
4，x
?
，当x ?时
?
a与
?
b共线且方向相同

答案：2

（3）已知
?
a、
?
b均为单位向量，它们的夹角 为60
o
，那么|
?
a?3
?
b|?

答案：
13

58. 线段的定比分点

设P
1
?
x
1
，y
1
?
，P
2
?x
2
，y
2
?
，分点P
?
x，y
?< br>，设P
1
、P
2
是直线l上两点，P点在

l上且不 同于P
??
1
、P
2
，若存在一实数?，使P
1
P ??PP
2
，则?叫做P分有向线段

P
?
1
P< br>2
所成的比（??0，P在线段P
1
P
2
内，??0，P在P
1
P
2
外），且

?

?
x
1
??x
2
x
1
?x
?
x?
?
?
1??
?
?
x?
2
y
，P为P
2
1
P
2
中点时，
?

?
?
?< br>y?
1
??y
2
1??
?
?
?
y?
y
1
?y
2
2

如：?ABC，A
?
x
1
，y
1
?
，B
?
x
2，y
2
?
，C
?
x
3
，y
3
?


则?ABC重心G的坐标是
?
?
x
1
?x
2
?x
3
?
3
，
y
1
?y
2
?y
3
?
3
?
?

※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线∥线???线∥面???面∥面

?
判定
???线⊥线?? ?线⊥面???面⊥面???
性质
?

线∥线???线⊥面???面∥面
线面平行的判定：

a∥b，b?面?，a???a∥面?


34

a

b

??

线面平行的性质：

?∥面?，??面?，????b?a∥b

三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面?，AO为PO在?内射影，a?面?，则


a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO



P


??

O
a
线面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥?

a


O
α b c
面面垂直：

a⊥面?，a?面???⊥?


面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?


α a


l


β


a⊥面?，b⊥面??a∥b


35

面?⊥a，面?⊥a??∥?

a b



??

60. 三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

?＝0
o
时，b∥?或b??



（3）二面角：二面角??l??的平面角?，0
o
???180
o



（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连
∴∠AOB为所求。）

AO，则AO⊥棱
l
，
36

三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［练习］
（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。

证明：cos??cos?·cos?

A



θ
O
β


B
????????????????????????C?
D
α


（?为线面成角，∠AOC=?，∠BOC=?）

（2）如图，正四棱柱ABCD—A
1
B
1
C
1< br>D
1
中对角线BD
1
＝8，BD
1
与侧面B
1
BCC
1
所成的为30°。
①求BD
1
和底面ABCD所成的角；
②求异面直线BD
1
和AD所成的角；
③求二面角C
1
—BD
1
—B
1
的大小。
D
1
C
1


A
1
B
1
H

G
D C

A B


（ ①arcsin；②60
o
；③arcsin
3
4
6
）
3
（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD ＝AD，求面PAB与面PCD
37

所成的锐二面角的大小。
P F



D C


A E B

（∵A B∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB
的交线…… ）
61. 空间有几种距离？如何求距离？
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离， 构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定
理法，或者用等积转化法）。
如：正方形ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，棱长为a，则：
（1）点C到面AB
1
C
1
的距离为___________；
（2）点B到面ACB
1
的距离为____________；
（3）直线 A
1
D
1
到面AB
1
C
1
的距离为___ _________；
（4）面AB
1
C与面A
1
DC< br>1
的距离为____________；
（5）点B到直线A
1
C
1
的距离为_____________。
D C

A B




D
1
C
1


A
1
B
1


62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？
38

正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

Rt?SOB，Rt?SOE，Rt?BOE和Rt?SBE

它们各包含哪些元素？

S
正棱锥侧
?C·h'（C——底面周长，h'为斜高）


V
锥
?底面积×高

63. 球有哪些性质？

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面r?R
2
?d
2

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！
（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。
1
3
1
2


（4）S
球
?4?R
2
，V
球
??R
3

（5）球内 接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r
之比为R：r＝3：1。

如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面

积为（ ）

A.3?B.4?C.33?D.6?

39
4
3

答案：A
64. 熟记下列公式了吗？

（1）l直线的倾斜角??
?< br>0，?
?
，k?tan??
y
2
?y
1
?< br>x
?
??
?
，x?x
?
12
?

2
?x
1
?
2
?

P，y
?
1
?
x
11
?
，P
2
?
x2
，y
2
?
是l上两点，直线l的方向向量a?
?
1， k
?

（2）直线方程：

点斜式：y?y
0
?k
?
x?x
0
?
（k存在）


斜截式：y?kx?b


截距式：
x
?
y
ab
?1


一般式：Ax?By?C?0（A、B不同时为零）


（3）点P< br>?
x
0
，y
0
?
到直线l：Ax?By?C?0的距 离d?
Ax
0
?By
0
?C
A
2
?B2


（4）l
k
2
?k
1
1
到l
2
的到角公式：tan??
1?k

1
k
2

l
k
2
?k
1< br>1
与l
2
的夹角公式：tan??
1?k

1
k
2
65. 如何判断两直线平行、垂直？

A
1
B
2
?A
2
B
1
?
A?A
?
?l
1
∥l
2

1
C
22
C
1
?

k
1
?k
2
?l
1
∥l
2
（反之不一定成立）


A
1
A
2
?B
1
B
2< br>?0?l
1
⊥l
2


k
1
·k
2
??1?l
1
⊥l
2

66. 怎样判断直线
l
与圆C的位置关系？
圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。
67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

40

联立方程组?关于x（或y）的一元二次方程?“?”
??0?相交；??0 ?相切；??0?相离

68. 分清圆锥曲线的定义
?
椭圆?PF
1
?PF
2
?2a，2a?2c?F

第一定义
?
?
1
F
2
?
双曲线?PF1
?PF
2
?2a，2a?2c?F
1
F
2

?
?
?
抛物线?PF?PK

第二定义：e?
PF
PK
?
c
a


0?e?1?椭圆；e?1?双曲线；e?1?抛物线

y

b
x?
a
2
c


O
F
1
F
2
a x





x
2
y2
a
2
?
b
2
?1
?
a?b?0?


?
a
2
?b
2
?c
2
?



x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
?
a?0，b?0
?


?
c
2
?a
2
?b
2
?


41

e>1 e=1

P
0
F
k



x
2
y
2
x
2
y
2

69.与双曲线
2
?
2
?1有相同焦点的双曲线系为
2
?< br>2
??
?
??0
?

abab
70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为
零？△≥0的限制。（求 交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）

弦长公式P
1
P
2
?
?
1?k
2
2
x?x
??
?
?
12
?4x
1
x
2
?

1
?
2

?
??
1?
2
?
?
y
1
?y
2
?
?4y
1
y
2

??
k
??
71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？
如：
y
P(x
0
,y
0
)

K


F
1
O F
2
x


l


x
2
y
2

2
?
2
?1

ab
?
a
2
?
?e，PF
2
?e
?
x
0
?
?
?ex
0
?a

PKc
??
PF
2

PF
1
?ex
0
?a

42

y
A P
2



O F x

P
1

B


y
2
?2px
?
p?0
?

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。
72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

如：椭圆mx
2
?ny2
?1与直线y?1?x交于M、N两点，原点与MN中点连

线的斜率为
2
2
，则
m
n
的值为

答案：
m
n
?
2
2

73. 如何求解“对称”问题？
（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对 称，设A（x，
线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。
< br>（由a?
x?x'
2
，b?
y?y'
2
?x'?2a ?x，y'?2b?y）


只要证明A'
?
2a?x，2b ?y
?
也在曲线C上，即f(x')?y'


（2）点A、 A'关于直线l对称?
?
?
AA'⊥l
?
AA'中点在l上


?
?
?
k
AA'
·k
l
??1
?
AA'中点坐标满足l方程

74.圆x
2
?y< br>2
?r
2
的参数方程为
?
?
x?rcos?
（
?
y?rsin?
?为参数）


椭圆
x
2
y
2
?
x?acos?
a
2
?
b
2
?1的参数方程为
?
?
y?bsin?
（?为参数）< br>
75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。

y）为曲
43

（直接法、定义法、转移法、参数法）
76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为 截距的直线，在可行域内平移
直线，求出目标函数的最值。
44

45