高中数学必修选修全套知识点总结-完整版

高中
新课标
理科
数学
(必修+选修)
所有知识点总结














引言
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1.课程内容：
必修课程由5个模块组成：
必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）
必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3：算法初步、统计、概率。
必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。
必修5：解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。
上述内 容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解
三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、
发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。
此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。
选修课程有4个系列：
系列1：由2个模块组成。
选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图
系列2：由3个模块组成。
选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
空间向量与立体几何。
选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数
选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。
系列3：由6个专题组成。
选修3—1：数学史选讲。
选修3—2：信息安全与密码。
选修3—3：球面上的几何。
选修3—4：对称与群。
选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。
选修3—6：三等分角与数域扩充。
系列4：由10个专题组成。
选修4—1：几何证明选讲。
选修4—2：矩阵与变换。
选修4—3：数列与差分。
选修4—4：坐标系与参数方程。
选修4—5：不等式选讲。
选修4—6：初等数论初步。
选修4—7：优选法与试验设计初步。
选修4—8：统筹法与图论初步。
选修4—9：风险与决策。
选修4—10：开关电路与布尔代数。
2．重难点及考点：
重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数
难点：函数、圆锥曲线
高考相关考点：
⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件
⑵函 数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对
数与对数函数、函数的应用
⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用
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⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、 求值、化简、证明、三角函数的图象与性
质、三角函数的应用
⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用
⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用
⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系
⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用
⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量
⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用
⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布
⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用
⒀复数：复数的概念与运算

高中数学 必修1知识点
第一章 集合与函数概念
〖1.1〗集合
【1.1.1】集合的含义与表示
（1）集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
（2）常用数集及其记法
N
表示自然 数集，
N
?
或
N
?
表示正整数集，
Z
表示 整数集，
Q
表示有理数集，
R
表示实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象
a
与集合
M
的关系是a?M
，或者
a?M
，两者必居其一.
（4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
③描述法：{
x
|
x
具有的性质}，其中
x
为集合的代表元素.
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
（5）集合的分类
①含有有限个元素的集 合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集
(
?< br>).
【1.1.2】集合间的基本关系
（6）子集、真子集、集合相等
名称 记号 意义 性质
(1)A
?
A
(2)
??A

或A中的任一元素都
属于B
(3)若
A?B
且
B?C
，则
A?C

(4)若
A?B
且
B?A
，则
A?B

A
A(B)
BA
示意图
A?B

子集
（
B?A)

或
?
?
真子集
B A?B
，且B中至
（1）
(2)若
??A
?
?
（A为非空子集）
（或B
?
?
少有一元素不属于
A
A? B
且
B?C
?
，则
A?C
?
BA


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A）
集合
相等
A中的任一元素都
(1)A
?
B
属于B，B中的任
(2)B
?
A
一元素都属于A
n
A?B

A(B)

nnn
（7）已知集合A
有
n(n?1)
个元素，则它有
2
个子集，它有
2? 1
个真子集，它有
2?1
个非空子集，它有
2?2
非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算
（8）交集、并集、补集
名称 记号 意义 性质
（1）
A
交集
示意图
A?A

AB

{x|x?A,
x?B}

且
（2）
A???

（3）
A

A
（1）
A
AB
B?A

B?B

A?A

??A

B?A

B?B

1
A(?
U
A)??
B

并集
AB

{x|x?A,
x?B}

或
（2）
A
（3）
A

A
A

补集
?
U
A

{x|x?U,且x?A}

痧B)?(
U
A)(?
U(A
U
B)
痧B)?(
U
A)(?
U
(AU
B)

2
A(?
U
A)?U


【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
（1）含绝对值的不等式的解法
不等式 解集
|x|?a(a?0)

|x|?a(a?0)

{x|?a?x?a}

x|x??a
或
x?a}

把
ax?b
看成一个整 体，化成
|x|?a
，
|ax?b|?c,|ax?b|?c(c?0)

（2）一元二次不等式的解法
判别式
|x|?a(a?0)
型不等式来求解
??b?4ac

2
??0

??0

??0

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二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
的图象
一元二次方程
O



ax
2
?bx?c?0(a?0)
的根
?b?b
2
?4ac
x
1,2
?
2a
（其中
x
1
? x
2
??
x
1
?x
2
)
b
2a< br>
无实根

ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集
{x|x?x
1
或
x?x
2
}

{x|
x??
b
}
2a

R

ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集
〖1.2〗函数及其表示
【1.2.1】函数的概念
（1）函数的概念
{x|x
1
?x?x
2
}

?

?

①设
A
、
B
是两个非空的数集，如果按照某种 对应法则
f
，对于集合
A
中任何一个数
x
，在集合
B
中都有唯一
确定的数
f(x)
和它对应，那么这样的对应（包括集合
A
，
B
以及
A
到
B
的对应法则
f
）叫做集合
A
到
B
的一
个函数，记作
f:A?B
．
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．
（2）区间的概念及表示法
①设
a,b
是两个实数，且
a?b
，满足
a?x?b
的实数
x
的集合叫做闭区间，记做
[a,b]
；满足
a?x?b< br>的实数
x
的集合叫做开区间，记做
(a,b)
；满足
a?x? b
，或
a?x?b
的实数
x
的集合叫做半开半闭区间，分别记做[a,b)
，
(a,b]
；满足
x?a,x?a,x?b,x?b
的实数
x
的集合分别记做
[a,??),(a,??),(??,b],(??,b )
．
注意：对于集合
{x|a?x?b}
与区间
(a,b)
，前者
a
可以大于或等于
b
，而后者必须
a?b
．
（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
①
f(x)
是整式时，定义域是全体实数．
②
f(x)
是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
③
f(x)
是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．
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⑤
y?tanx
中，
x?k
?
?
?
2
(k?Z)
．
⑥零（负）指数幂的底数不能为零．
⑦若
f(x)
是由有限个基本初等函数 的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的
交集．
⑧对于求复 合函数定义域问题，一般步骤是：若已知
f(x)
的定义域为
[a,b]
，其 复合函数
f[g(x)]
的定义域应由
不等式
a?g(x)?b
解出 ．
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．
⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
（4）求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实 上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）
数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与 值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函
数值域与最值的常用方法：
①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：将函数解析式化 成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．
2
a( y)x?b(y)x?c(y)?0
，则在
y?f(x)
y
x
③判别 式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程
a(y)?0
时，由于
x,y< br>为实数，故必须有
??b
2
(y)?4a(y)?c(y)?0
，从而 确定函数的值域或最值．
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．
⑤换元法： 通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的
最值 问题．
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．
⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．
⑧函数的单调性法．
【1.2.2】函数的表示法
（5）函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．
解析法：就是用数学表 达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的
对应关系．图象法：就 是用图象表示两个变量之间的对应关系．
（6）映射的概念
①设
A
、B
是两个集合，如果按照某种对应法则
f
，对于集合
A
中任何一 个元素，在集合
B
中都有唯一的元素
B
以及
A
到
B
的对应法则
f
）和它对应，那么这样的对应（包括集合
A
，叫做集合
A
到
B
的映射，记作
f:A?B
．
②给定一个集 合
A
到集合
B
的映射，且
a?A,b?B
．如果元素
a
和元素
b
对应，那么我们把元素
b
叫做元素
a
的象，元素
a
叫做元素
b
的原象．
〖1.3〗函数的基本性质
【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
①定义及判定方法
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函数的
性 质
定义
如果对于属于定义域I内
某个区间上的任意两个
自变量的值x1、x2,当x1<
x2时，都有f(x1)那么就说f(x)在这个区间
上是增函数．

图象 判定方法
（1）利用定义
（2）利用已知函数
的单调性
（3）利用函数图象
（在某个区间图
象上升为增）
（4）利用复合函数
（1）利用定义
（2）利用已知函数
的单调性
（3）利用函数图象
（在某个区间图
象下降为减）
（4）利用复合函数
y
y=f(X)
f(x )
1
f(x )
2
o
x
1
x
2
x
函数的
单调性

如果对于属于定义域I内
yy=f(X)
某个区间上的任意两个
f(x )
自变量的值x1、x2，当
x1< x2时，都有
f(x )
f(x1)> f(x2)，那么就说f(x)
o
xx
在这个区间上是减函数．
1
2
12
x

②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数 ，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减
函数减去一个增函数为减函数． u?g(x)
为增，③对于复合函数
y?f[g(x)]
，令
u?g(x )
，若
y?f(u)
为增，则
y?f[g(x)]
为增；若
y?f(u)
u?g(x)
为减，为减，
u?g(x)
为减，则
y? f[g(x)]
为增；若
y?f(u)
为增，则
y?f[g(x)]
为减；若
y?f(u)
为减，
u?g(x)
为增，则
y?f[g(x )]
为减．
a
f(x)?x?(a?0)
x
（2）打“√”函数的图象与性质
f(x)
分别在
(??,?a]
、
[a,??)
上为增函数，分别在
y
[?a,0
、
)
(0,a]
上为减函数．
（3）最大（小）值定义
①一般地，设函数
y?f(x)
的定义域为
I
，如果存在实数
o x
M
满足：（1）对于任意的
x?I
，都有
f(x)?M
；
（2）存在
x
0
?I
，使得
f(x
0
)?M
．那么，我们称
M
是
f(x)?M
函数
f( x)
的最大值，记作
max
．
②一般地，设函数
y?f(x)的定义域为
I
，如果存在实数
m
满足：（1）对于任意的
x?I
，都有
f(x)?m
；（2）
存在
x
0
?I
，使得
f(x
0
)?mf(x)?m
．那么，我们称
m
是 函数
f(x)
的最小值，记作
max
．
【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
①定义及判定方法
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函数的
性 质
定义
如果对于函数f(x)定义域
内任意一个x，都有f(－
x)=－f(x),那么函数f(x)叫
做奇函数．
图象 判定方法
（1）利用定义（要
先判断定义域是否
关于原点对称）
（2）利用图象（图
象关于原点对称）

（1）利用定义（要
先判断定义域是否
关于原点对称）
（2）利用图象（图
象关于y轴对称）

函数的
奇偶性
如果对于函数f(x)定义域
内任意一个x，都有f(－
x)=f(x),那么函数f(x) 叫做
偶函数．
②若函数
f(x)
为奇函数，且在
x?0
处 有定义，则
f(0)?0
．
③奇函数在
y
轴两侧相对称的区间增减 性相同，偶函数在
y
轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义域内，两个偶函 数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）
的积（或商）是偶函数 ，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
〖补充知识〗函数的图象
（1）作图
利用描点法作图：
①确定函数的定义域； ②化解函数解析式；
③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．
利用基本函数图象的变换作图：
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对 数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的
图象．
①平移变换
h?0,左移 h个单位k?0,上移k个单位
y?f(x)????????y?f(x?h)y?f(x)???? ????y?f(x)?k
h?0,右移|h|个单位k?0,下移|k|个单位

②伸缩变换
0?
?
?1,伸
y?f(x)?????y?f(?
x)
?
?1,缩
0?A?1,缩
y?f(x)?????y? Af(x)
A?1,伸


③对称变换
y轴
x轴
??y?f(?x)

y?f(x)????y??f(x)

y?f(x)? ?
直线y?x
原点
y?f(x)????y??f(?x)

y?f(x)?????y?f
?1
(x)

去掉y轴左边图象y?f(x)????????????????y?f(|x|)
保留y轴右边图象，并作其关于 y轴对称图象
保留x轴上方图象
y?f(x)??????????y?|f(x)|
将x轴下方图象翻折上去


（2）识图
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对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面 研究函数的定义域、值域、
单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．
（3）用图
函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形” 的直观性，它是探求解题途径，获
得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
（1）根式的概念
n
n?N
?
x
a
的
n
次方根用符号
n
a
①如果?a,a?R,x?R,n?1
，且，那么
x
叫做
a
的
n
次方根．当
n
是奇数时，
n
n
表示；当
n
是偶数时，正数
a
的正的
n
次方根用符号
a
表示，负的< br>n
次方根用符号
?a
表示；0的
n
次方根是
0；负数
a
没有
n
次方根．
n
a?0
．
a叫做被开方数．
a
为任意实数；②式子
a
叫做根式，这里
n叫做根指数，当
n
为奇数时，当
n
为偶数时，
n
nn
(a)?a
；当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
；当
n
为偶数时， ③根式的性质：
?
a (a?0)
a
n
?|a|?
?
?
?a (a?0)
．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：
a?
n
a
m
(a?0,m,n?N
?
,
m
n
且
n?1)
．0的正分数指数幂等于0．
a
②正数的负分数指数幂的意义是：
?
m
n
1
m
1
?()
n
?
n
()
m
(a?0,m,n ?N
?
,
aa
且
n?1)
．0的负分数指数幂没有意
义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
rsr? srsrs
a?a?a(a?0,r,s?R)(a)?a(a?0,r,s?R)
① ②
rrr
(ab)?ab(a?0,b?0,r?R)
③
【2.1.2】指数函数及其性质
（4）指数函数
函数名称
定义
指数函数
x
y?a(a?0
且
a?1)
叫做指数函数 函数
a?1










0?a?1

y
y?a
x
y?a
x
y
图象
y?1
1
(0,1)

y?1
1
(0,1)
O
0
x
O
0
x
定义域
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R

值域
过定点
奇偶性
单调性
(0,??)

图象过定点
(0,1)
，即当
x?0
时，
y?1
．
非奇非偶
在
R
上是增函数 在
R
上是减函数
a
x
?1(x?0)
函数值的
变化情况
a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)

a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)a
x
? 1(x?0)

a
变化对 图象的影响

〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
对数的定义
在第一象限内，
a
越大图象越高；在第二象限内，
a
越大图象越低．
x
x?log
a
N
①若
a?N(a?0,且a?1 )
，则
x
叫做以
a
为底
N
的对数，记作，其中a
叫做底数，
N
叫做真
数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：
x?log
a
N?a
x
?N(a?0,a ?1,N?0)
．
（2）几个重要的对数恒等式
log
a
1?0
，
log
a
a?1
b
loga?b
．
a
，
（3）常用对数与自然对数
常用对数：
lgN
，即< br>log
10
N
；自然对数：
lnN
，即
log
e
N
（其中
e?2.71828
…）．
（4）对数的运算性质 如果
a?0,a?1,M?0,N?0
，那么
①加法：
③数乘：
l og
a
M?log
a
N?log
a
(MN)
nlo g
a
M?log
a
M
n
(n?R)
n
②减法：
log
a
N
log
a
M?log
a
N?log
a
M
N

④
a?N

log
b
N
n
logN?(b?0,且b?1)
a
log
a
b
M?log
a
M(b?0,n?R)
loga< br>b
b
⑤ ⑥换底公式：
【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数
函数
名称
定义
图象
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对数函数
函数
y?log
a
x(a?0
且
a?1)
叫做对数函数
a?1

0?a?1

y
x?1
y?log
a
x
1
O
0
(1,0)
x









y
x?1
y?log
a
x
1
(1,0)
0
O
x
定义域
值域
过定点
奇偶性
单调性
(0,??)

R

图象过定点
(1,0)
，即当
x?1
时，
y?0
．
非奇非偶
在
(0,??)
上是增函数 在
(0,??)
上是减函数
log
a
x?0(x?1)
函数值的
变化情况
log< br>a
x?0(x?1)
log
a
x?0(x?1)

l og
a
x?0(x?1)
log
a
x?0(0?x?1)
l og
a
x?0(0?x?1)

a
变化对 图象的影响
(6)反函数的概念
在第一象限内，
a
越大图象越靠低；在第四象限内，< br>a
越大图象越靠高．
设函数
y?f(x)
的定义域为
A，值域为
C
，从式子
y?f(x)
中解出
x
，得式子< br>x?
?
(y)
．如果对于
y
在
C
中
的任何一个值，通过式子
x?
?
(y)
，
x
在
A< br>中都有唯一确定的值和它对应，那么式子
x?
?
(y)
表示
x
是
y
的函
?1?1
x?f(y)y?f(x)
．
x?
?
(y)y?f(x)
数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成
（7）反函数的求法
?1
x?f(y)
；
y?f(x)
①确定反 函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式中反解出
?1?1
x?f(y)y?f(x)< br>，并注明反函数的定义域． ③将改写成
（8）反函数的性质
?1
y?f(x)
的图象关于直线
y?x
对称．
y?f(x)
①原函数与反函数
?1
y?f(x)
的值域、定义域．
y?f(x)
②函数的定义域、值域分别是其反函数
'
?1
y?f(x)
的图象上． < br>P(b,a)
P(a,b)
y?f(x)
③若在原函数的图象上，则在反函数< br>④一般地，函数
y?f(x)
要有反函数则它必须为单调函数．
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义
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?
y?x
一般地，函数叫做幂函数，其中
x
为自变量，
?
是常数．















（2）幂函数的图象




















（3）幂函数的性质 < br>①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一 、二
象限(图象关于
y
轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原 点对称)；是非奇非偶函数时，图
象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在< br>(0,??)
都有定义，并且图象都通过点
(1,1)
．
③单调性 ：如果
?
?0
，则幂函数的图象过原点，并且在
[0,??)
上为增 函数．如果
?
?0
，则幂函数的图象在
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