高中数学作业分层-高中数学88个重点公式及结论

高中数学选修4-4知识点总结
一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求:
1.坐标系:
①
理解坐标系的作用.
② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
③
能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的
区别,能进
行极坐标和直角坐标的互化.
④ 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极
点的圆)的方程.通过比
较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时
选择适当坐标系的
意义.
2.参数方程:① 了解参数方程,了解参数的意义.
②
能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
二、知识归纳总结:
?
x
?
?
?
?x,(
?
?0),
1.伸缩变换:设点<
br>P(x,y)
是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
?
:
?
的作用下,
?
?
y?
?
?y,(
?
?0).
点
P(x,y)
对应到点
P
?
(x
?
,y
?
)
,称
?
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点
O
,叫做极点;自极点
O
引一条
射线
Ox
叫做极轴;再选
定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(
通常取逆时针方向),这样就建立了一个
极坐标系。
3.点
M
的极坐标:设
M
是平面内一点,极点
O
与点
M
的距离
|OM|<
br>叫做点
M
的极径,记为
?
;
以极轴
Ox
为始
边,射线
OM
为终边的
?xOM
叫做点
M
的极角,记为?
。有序数对
(
?
,
?
)
叫做点
M<
br>的极坐标,记为
M(
?
,
?
)
.
极坐标
(
?
,
?
)
与
(
?
,
?
?2k
?
)(k?Z)
表示同一个点。极点
O
的坐标为(0,
?
)(
?
?R)
.
4.若
?
?0
,则
?
?
?0
,规定点
(?
?
,?
)
与点
(
?
,
?
)
关于极点对称,
即
(?
?
,
?
)
与
(
?
,
?
?
?
)
表示同一点。
如果规定
?
?0,0?
?
?2
?
,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标
(
?
,
?
)
表示;同时,
极坐标
(
?
,?
)
表示的点也是唯一确定的。
?
2
?x
2
?y
2
,
5.极坐标与直角坐标的互
6。圆的极坐标方程:
y?
?
sin
?
,
x?<
br>?
cos
?
,
化:
y
tan
?
?(x?0)
x
在极坐标系中,以极点为圆心,
r
为半径的圆的极坐
标方程是
?
?r
;
在极坐标系中,以
C(a,0)(a?0)
为圆心,
a
为半径的圆的极坐标方程是
?
?2acos
?
;
?
在极坐标系中,以
C(a,
)
(a?0)
为圆心,
a
为半径的圆的极坐标方程
是
?
?2asin
?
;
2
7.在极坐标系中,
?
?
?
(
?
?0)
表示以极点为起点的一条射线;
?
?
?
(
?
?R)
表示过极点的一条直
线.
在极坐标系中,过点
A(a,0)(a?0)
,且垂直于极轴的直线
l
的极坐标方程是
?
cos
?
?a
.
8
.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标
x,y
都是某个变数t
的函数
?
x?f(t),
并且对于
t
的每一个允许
值,由这个方程所确定的点
M(x,y)
都在这条曲线上,那么这
?
?
y?g(t),
个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数
x,y
的变数
t
叫做参变数,简称参数。
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
?
x?a?r
cos
?
,
9.圆
(x?a)
2
?(y?b)
2<
br>?r
2
的参数方程可表示为
?
(
?
为参数)
.
y?b?rsin
?
.
?
?
x?acos
?<
br>,
x
2
y
2
椭圆
2
?
2?1
(a?b?0)
的参数方程可表示为
?
(
?
为参数
)
.
ab
?
y?bsin
?
.
?
x?2
px
2
,
(t为参数)
. 抛物线
y?2px
的参数
方程可表示为
?
?
y?2pt.
2
?
x?x
o?tcos
?
,
经过点
M
O
(
x
o
,
y
o
)
,倾斜角为
?
的直线
l
的参数方程可表示为
?
(
t
为参数).
y?y?tsin
?
.
o
?
10.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。
在参数方程与普通方程的互化中,
必须使
x,y
的取值范围保持一致.
练习
?
x??2?5t
1.曲线
?
(t为参数)
与坐标轴的交点
是( ).
y?1?2t
?
(,0)
B.
(0,)、(,0)
C.
(0,?4)、
(8,0)
(8,0)
D.
(0,)、
A.
(0,)、
2.把方
程
xy?1
化为以
t
参数的参数方程是( ).
1
?
?
x?sint
?
x?cost
?
x?tant
?
x?t
2
???
A.
?
B. C.
D.
111
???
1
?
y?y?y?
?
y?t
2
???
sintcosttant
???
?
2<
br>5
1
2
1
5
1
2
5
9
<
br>?
x?1?2t
3.若直线的参数方程为
?
(t为参数)
,则
直线的斜率为( ).
y?2?3t
?
A.
2
3
B.
?
2
3
C.
3
2
D.
?
3
2
4.点
(1,2)
在圆
?<
br>?
x??1?8cos
?
?
y?8sin
?
的(
).
A.内部 B.外部 C.圆上 D.与
θ
的值有关 <
br>?
5.参数方程为
?
?
x?t?
1
t
(t为
参数)
表示的曲线是( ).
?
?
y?2
A.一条直线
B.两条直线 C.一条射线 D.两条射线
6.两圆
?
?
x??3?2cos
?
?
?
y?4?2sin
?
与
?
x?3cos
?
?
y?3sin
?
的位置关系是
( ).
A.内切 B.外切 C.相离
D.内含
7.与参数方程为
?
?
?
x?t
(
t为
参数
)
等价的普通方程为( ).
?
?
y?21?t
A.
x
2
?
y
2
4
?1
B.
x?
y
2
2
4
?1(0?x?1)
C.
x
2
?
y
2
4
y?2)
D.
x?
y
2
?1(0?
2
4
?1(0?x?1,
0?y?2)
8.曲线
?
?
x?5cos
?
?<
br>y?5sin
?
(
?
3
?
?
?
?<
br>)
的长度是( ).
A.
5
?
B.
10
?
C.
5
?
3
D.
10
?
3
9.点
P(x,y)
是椭圆
2x
2
?3y
2
?12
上的一个动点,则
x?2y
的最大值为( ).
A.
22
B.
23
C.
11
D.
22
?
x?1?
1
10.直线
?
?
?
2
t
(t为参数)
和
圆
x
2
?y
2
?16
交于
A,B
两点,则
AB
的中点坐标为(
?
?
?
y??33?
3
2
t
A.
(3,?3)
B.
(?3,3)
C.
(3,?3)
D.
(3,?3)
11.若点
P(3,m)
在以点
F为焦点的抛物线
?
?
x?4t
2
?
y?4t
(
t为参数)
上,则
|PF|
等于( ).
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
).
12.直线
?
?
x??2?t
(t为参数)
被圆
(x?3)
2
?(y?1)
2
?25<
br>所截得的弦长为( ).
?
y?1?t
1
C.
82
D.
93?43
4
A.
98
B.
40
t?t
?<
br>?
x?e?e
13.参数方程
?
(
t为参数
)
的普通方程为__________________.
t?t
?
?
y?
2(e?e)
?
?
x??2?2t
(t为参数)
上与点
A(
?2,3)
的距离等于
2
的点的坐标是_______.
14.直线
?
?
?
y?3?2t
15.直线
?
?
x?tco
s
?
?
x?4?2cos
?
与圆
?
相切,则
?
?
_______________.
?
y?tsin
??
y?2sin
?
16.设
y?tx(t为参数)
,则圆
x
2
?y
2
?4y?0
的参数方程为_____________
_______.
?
?
x?1?t
(t为参数)
和直线
l
2
:x?y?23?0
的交点
P
的坐标,及点
P
与
Q(1,?5)
的距
17.求直线
l
1
:
?
?
?
y??5?3t
离.
18.已知直线
l
经过点
P(1,1)
,倾斜角
?
?
(1)写出直线
l
的参数方程.
(2)设
l
与圆
x
2
?y2
?
4
相交与两点
A,B
,求点
P
到
A,B
两点的距离之积.
?
6
,
1
t?t
?
x?(e?e)cos
?
?
?
2
19.分别在下列两种情况下,把参数方程
?
化为普通方程:
?
y?
1
(e
t
?e
?t
)sin
?
??2
(1)
?
为参数,
t
为常数;(2)
t
为
参数,
?
为常数.
20.已知直线
l
过定点
P(?3,?)
与圆
C
:
?
3<
br>2
?
x?5cos
?
(
?
为参数)
相交于<
br>A
、
B
两点.
?
y?5sin
?
求:(1
)若
|AB|?8
,求直线
l
的方程;
(2)若点
P(?
3,?)
为弦
AB
的中点,求弦
AB
的方程.
3
2