高一数学知识点总结--必修6

高中数学必修5知识点
第一章：解三角形
1、正弦定理：在???C
中，
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C
的对边，
R
为
???C
的外接圆的半径，则有
abc
???2R
．
sin?sin?sinC2、正弦定理的变形公式：①
a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，< br>c?2RsinC
；
abc
②
sin??
，
sin ??
，
sinC?
；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中）
2R2R2R
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
；
a?b?cabc
④．
???
sin??sin??sinCsin?si n?sinC
111
3、三角形面积公式：
S
???C
?bcsin ??absinC?acsin?
．
222
4、余 定理：在
???C中，有
a?b?c?2bccos?
，
b?a?c?2accos?
，
222222
c
2
?a
2
?b
2
?2ab cosC
．
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
? c
2
5、余弦定理的推论：
cos??
，
cos??
，cosC?
．
2bc2ac2ab
6、设
a
、
b、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对边，则：①若
a?b?c
，则
C?90
为直角三角形； < br>②若
a?b?c
，则
C?90
为锐角三角形；③若
a?b?c
，则
C?90
为钝角三角形．

222222
222
第二章：数列
1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
2、数列的项：数列中的每一个数．
3、有穷数列：项数有限的数列．
4、无穷数列：项数无限的数列．
5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
7、常数列：各项相等的数列．
8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
9、数 列的通项公式：表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与序号
n
之间的关系的公式．
10、数列的递推公式：表示任一项
a
n< br>与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间的关系的公式．
11、如果一 个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个
常数称为 等差数列的公差．
12、由三个数
a
，
?
，
b
组 成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则
?
称为
a
与
b
的等差中项．若
b?
a?c
，则称
b
为
a
与
c
的等差中项．
2
13、若等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公差是
d
，则
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
．
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通项公式的变形：①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
；②
a
1
?a
n
?
?
n?1
?
d
；③
d?
⑤
d?
a
n
?a
1
a?a
1
；④
n?
n
?1
；
n?1d
a
n
?a
m
．
n?m
*
14、若
?
a
n?
是等差数列，且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
），则
a
m
?a
n
? a
p
?a
q
；若
?
a
n
?
是等差
*
数列，且
2n?p?q
（
n
、
p
、q??
），则
2a
n
?a
p
?a
q
； 下角标成等差数列的项仍是等差数列；连
续m项和构成的数列成等差数列。
15、等差数列的 前
n
项和的公式：①
S
n
?
n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
d
． ；②
S
n
?na
1
?
22
16、等差数列的前n
项和的性质：①若项数为
2nn??
*
，则
S
2n< br>?n
?
a
n
?a
n?1
?
，且
S< br>偶
?S
奇
?nd
，
??
S
奇
Sa
n
（其中
?
n
．②若项数为
2n?1
?n??
*
?
，则
S
2n?1
?
?
2n ?1
?
a
n
，且
S
奇
?S
偶
?a
n
，
奇
?
S
偶
a
n?1
S
偶
n?1
S
奇
?na
n
，
S
偶
?
?
n?1
?
a
n
）．
17、如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个
常 数称为等比数列的公比．
18、在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数列，则
G称为
a
与
b
的等比中项．若
G?ab
，则
称< br>G
为
a
与
b
的等比中项．
n?1
19、若 等比数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公比是
q
，则
a
n
?a
1
q
．
2aa
?
?
n?1
?
n?m
n?1n?m
?n
． 20、通项公式的变形：①
a
n
?a
m
q
；②
a
1
?a
n
q
；③
q?
n
；④
q
a
1
a
m
*
21、若
?
a
n
?
是等比数列，且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
），则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；若
?
a
n
?
是等比数
列，且
2n?p?q
（
n
、
p
、
q??
），则
a
n
?a
p
?a
q
；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连续m
项和构成的数列成等比数列。
*
2< br>?
na
1
?
q?1
?
?
22、等比数列?
a
n
?
的前
n
项和的公式：
S
n< br>?
?
a
1
?
1?q
n
?
a?aq< br>．
1n
?
?
q?1
?
?
1?q1?q?

q?1
时，
S
n
?
a
1
a
?
1
q
n
，即常数项与
q
n
项系数互为相反数。
1?q1?q
23、等比数列的前
n
项和的性质：①若 项数为
2nn??
?
*
?
，则
S
S
偶奇
?q
．
n
②
S
n?m
?S
n?q?S
m
． ③
S
n
，
S
2n
?S
n
，
S
3n
?S
2n
成等比数列．

第 2 页 共 7 页

?
?
S
n?S
n?1
?
n?2
?
24、
a
n
与
S
n
的关系：
a
n
?
?

?
n?1
?
?
?
S
1

一些方法：
一、求通项公式的方法：
1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法
①若相邻两项相减后为同一个常数设为
a
n
?kn?b
，列两个方程 求解；
2
②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为
a
n
?an? bn?c
，列三个方程求解；
n
③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为
a
n
?aq?b
，q为相除后的常数，列两个方程求解；
2、由递推公式求通项公式：
①若化简后为
a
n?1
?a
n
?d
形式，可用等差数列的通项公式代入求解；
②若化简后为
a
n?1
?a
n
?f(n),
形式，可用叠加法求解；
③若化简后为
a
n?1
?a
n
?q
形式，可用等比数列的通项公式代入求 解；
④若化简后为
a
n?1
?ka
n
?b
形式， 则可化为
(a
n?1
?x)?k(a
n
?x)
，从而新数列
{a
n
?x}
是等比数列，
用等比数列求解
{a
n
?x}
的通项公式，再反过来求原来那个。（其中
x
是用待定系数法来求得）
3、由求和公式求通项公式：
①
a
1
?S
1
②
a
n
?S
n
?S
n?1
③检验
a
1
是否满足a
n
，若满足则为
a
n
，不满足用分段 函数写。
4、其他
（1）
a
n
?a
n?1
?f
?
n
?
形式，
f
?
n
?
便于 求和，方法：迭加；
例如：
a
n
?a
n?1
?n?1

有：
a
n
?a
n?1
?n?1

a
2
?a
1
?3
a
3
?a
2
?4

a
n
?a
n?1
?n?1
各式相加得a
n
?a
1
?3?4??n?1?a
1
n?4
??
n?1
??
?
2
（2）
a
n
?a
n?1
?a< br>n
a
n?1
形式，同除以
a
n
a
n?1，构造倒数为等差数列；
例如：
a
n
?a
n?1
?2 a
n
a
n?1
，则
?
1
?
a
n< br>?a
n?1
11
?2??
，即
??
为以-2为公差的 等差数列。
a
n
a
n?1
a
n?1
a
n
?
a
n
?
（3）
a
n
?qa
n? 1
?m
形式，
q?1
，方法：构造：
a
n
?x?q
?
a
n?1
?x
?
为等比数列；
例如：
a
n
?2a
n?1
?2
，通过待定系数法求得：
a
n
?2?2
?
a
n?1
?2
?
，即
?a
n
?2
?
等比，公比为2。
（4）
a
n< br>?qa
n?1
?pn?r
形式：构造：
a
n
?xn? y?qa
n?1
?x
?
n?1
?
?y
为等比数列；
n
（5）
a
n
?qa
n?1
?p
形式，同 除
p
，转化为上面的几种情况进行构造；
??
n
第 3 页 共 7 页

n
因为
a
n
?qa
n? 1
?p
，则
a
n
q
a
n?1
q
? ?1?1
转化为（1）的方法，若不为1，转化为（3）的方，若
nn?1
p
ppp
法

二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）
?
a< br>k
?0
?
a
1
?0
①若
?
，则S
n
有最大值，当n=k时取到的最大值k满足
?

a?0d?0
?
k?1
?
②若
?
?
a
k?0
?
a
1
?0
，则
S
n
有最小值， 当n=k时取到的最大值k满足
?

a?0
?
k?1
?
d?0
三、数列求和的方法：
①叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；
②错位相减法：适用 于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：
a
n
?
?
2 n?1
?
?3
；
n
③分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通 项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：
a
n
?
111
11
?
11
?
，
a
n
?
??
?
?
?
?
等；
n
?
n?1
?
nn?1< br>?
2n?1
??
2n?1
?
2
?
2n?12 n?1
?
④一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和 的部分，如：
a
n
?2
n
?n?1
等；

第三章：不等式
1、
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b< br>；
a?b?0?a?b
．
比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。
2、不等式的性质： ①
a?b?b?a
；②
a?b,b?c?a?c
；③
a?b?a?c?b?c
；
④
a?b,c?0?ac?bc
，
a?b,c?0?ac?bc
；⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
； < br>⑥
a?b?0,c?d?0?ac?bd
；⑦
a?b?0?a?b
⑧< br>a?b?0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?
．
3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的不等式．






4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式
??b
2
nn
?
n??,n?1
?
；
?4ac

??0

??0

??0

二次函数
y?ax
2
?bx?c

?
a?0
?
的图象


第 4 页 共 7 页

有两个相异实数根
一元二次方程
ax
2
?bx?c?0

?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0

?
a?0
?

ax
2
?bx?c?0

?
a?0
?

?b??
x
1,2
?
2a
?
x
1
?x
2
?

1
有两个相等实数根

x
1
?x
2
??
b

2a
没有实数根
?
xx?x或x?x
?
2
一元二次不
等式的解集

?b?
xx??
??

2a
??
?

R

?

?
xx
1
?x?x
2
?


5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是
1
的不等式．
6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
7、二元一次不等式（组） 的解集：满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数对
?x,y
?
，所有这
样的有序数对
?
x,y
?
构 成的集合．
8、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
，坐标平面内的 点
?
?
x
0
,y
0
?
．
①若< br>??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点< br>?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x?? y?C?0
的上方．
②若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方．

9、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
．
①若
? ?0
，则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的区 域；
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域．
②若
??0
，则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域；
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方 的区域．
10、线性约束条件：由
x
，
y
的不等式（或方程）组成 的不等式组，是
x
，
y
的线性约束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
，
y
的解析式．
线性目标函数：目标函数为
x
，
y
的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
可行解：满足线性约束条件的解
?
x,y
?
．
可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解． a?b
称为正数
a
、
b
的算术平均数，
ab
称 为正数
a
、
b
的几何平均数．
2
a?b
?ab
． 12、均值不等式定理： 若
a?0
，
b?0
，则
a?b?2ab
，即
2
11、设
a、
b
是两个正数，则
13、常用的基本不等式：
①
a?b?2ab
?
a,b?R
?
；
22
第 5 页 共 7 页

②
ab?
a?b
2
22
?
a,b?R
?
；
22
a
2
?b
2
?
a?b
??
a?b
?
③
ab?
?
?
??
?
a?0,b?0
?
； ④
?
?
a,b?R
?
．
2
?
2
??
2
?

一、选择题（每小题5分，共60分）
1 若
0?a?b
且
a?b?1
，则四个是数中最大的 （ ）
Ａ．
1

2
22
a?b
Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a
14
2. 若x, y是正数，且
x
?
y
?1
，则xy有 （ ）
Ａ．最大值16 Ｂ．最小值
1

16
Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值
1

16
3.等比数列
?
a
n
?
中，S
n
?x?3
1111
A.B.?C.D.?
332 2
n?1
1
?,则x?
6

4. 设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条
件
5．如果命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，那么 （ ）
（A） 命题“非p”与命题“非q”的真值不同
（B） 命题“非p” 与命题“非q”中至少有一个是假命题
（C） 命题p与命题“非q”的真值相同
（D）
命题“非p且非q”是真命题

6.等差
{a
n
}的前n< br>项和
S
n
,若m?1,且a
m?1
?a
m?1
?a
m
?0,S
2m?1
?38,则m
等于（ ）
A．
38
B．
20
C．
10
D．
9

2

7. 已知S
n
是等差数列{
a
n
}的前n项和，若S
6
=36，S
n
=324，S
n－6
=144
（n＞6），则
n等于 （ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
8. 已知
a
n
?
n?79
n?80
，（
n?N
?
），则在数列｛
a
n
｝的前50项中最小项和最大项分别
是（ ）
第 6 页 共 7 页

A.
a
1
,a
50
B.
a
1
,a
8
C.
a
8
,a
9
D.
a
9
,a
50

xx
9.若关于x的方程9?(a?4)?3?a?0有解,则实数a的取值范围
是（ ）
A．（-∞，-8]

∪[0，+∞﹚ B（－∞，-4） C[-8,4﹚ D（-∞，-8]
10.在△
ABC
中，
a
＝
x
，
b
＝2，
B
＝
45
，若△
ABC
有两解 ，则
x
的取值范围是
（ ）
A.
?
2,??
?
B.（0，2） C.
?
2,22
?
D.
?
2,2
?

11．在△
ABC
中，已知a
比
b
长2，
b
比
c
长2，且最大角的正弦值
3
是，则△
ABC
的面积是( )
2
15152135
A. B.3 C.3 D.3
4444
12.设
x,y
满足约束条件
3x?y?6?0
，
x?y?2?0
，
x?0,y?0
，若目标函数
z?ax?by(a?0,b ?0)
的最大值为12则
23
?
的最小值为（ ）
ab
A.
2525
B. C.
6
D.
5

66
二、填空题（每小题4分，共16分）
13. p:若
(x?1)(y?2)?0
，则
x?1
或
y??2
则 p的逆否命题是
┐p是
14．
方程a
n
x
2
?a
n?1
x?1? 0有两个实根x
1
,x
2
,满足6x
1
?2x
1< br>x
2
?6x
2
?3，且a
1
?
7
.

6
求
a
n
=
x
2
?8x?20
15．不等式
2
?0
的解集为< br>R
,则实数
m
的取值范围是
mx?2(m?1)x?9m?4
16.若负数a,b,c满足a+b+c=-9,则.
??
的最大值是
三、解答题
1
a
1< br>b
1
c
17．（12分）在
?ABC
中，
a,b,c
分别是角
A,B,C
的对边，且
（1）求角B的大小；
（2）若
b
，求
?ABC
的面积
?13，a?c?4

cosBb
??
.
cosC2a?c
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