高中数学选修1-1知识点归纳1#

高中数学选修1-1知识点总结

第一章 简单逻辑用语
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.
2、“若
p
，则q
”形式的命题中的
p
称为命题的条件，
q
称为命题的结论.
3、原命题：“若
p
，则
q
” 逆命题： “若
q
，则
p
”
否命题：“若
?p
，则
?q
” 逆否命题：“若
?q
，则
?p
”
4、四种命题的真假性之间的关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
5、若
p?q，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必 要条件．
若
p?q
，则
p
是
q
的充要条件（充分 必要条件）．
利用集合间的包含关系： 例如：若
A?B
，则A是B的充分条件或B 是A
的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；
6、逻辑联结词：⑴且(
and
) ：命题形式
p?q
；⑵或（
or
）：命题形式
p?q
；
⑶非（
not
）：命题形式
?p
.
p

q

p?q

p?q

?p

真
真
假
假
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
真
假
假
假
真
真
7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“
?
”表示；
- 1 -

全称命题
p
：
?x?M,p(x)
； 全称命题
p
的否定
?
p
：
?x?M,?p(x)
。
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“
?
”表示；
特称命题
p
：
?x?M,p(x)
； 特称命题
p
的否定
?
p
：
?x?M,?p(x)
；

第二章 圆锥曲线
1、平面内与两个定点
F
）的点的轨迹
1
，
F
2
的距离之和等于常数（大于
F
1
F2
称为椭圆．
即：
|
MF
1
|
?
|
MF
2
|
?
2
a
,(2
a?
|< br>F
1
F
2
|)
。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上 焦点在
y
轴上
图形

标准方程
范围
x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
?a?x?a
且
?b?y?b


y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
?b?x?b
且
?a?y?a

顶点
?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?

轴长
焦点
焦距
对称性
短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴、原点对称
- 2 -

离心率
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?
< br>aa
3、平面内与两个定点
F
）的
1
，
F
2
的距离之差的绝对值等于常数（小于
F
1
F
2
点的轨迹称为 双曲线．即：
||
MF
1
|
?
|
MF
2< br>||
?
2
a
,(2
a?
|
F
1F
2
|)
。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
4、双曲线的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上 焦点在
y
轴上
图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
渐近线方程
y??
b
x

a

y
2
x
2
??1
?
a?0, b?0
?

a
2
b
2
y??a
或
y?a
，
x?R

x
2
y
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
x?? a
或
x?a
，
y?R

?
1
?
? a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a
< br>F
1
?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2< br>?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?
关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
y??
a
x

b
5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
6、平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物
线．定点
F
称为抛物线的焦点，定直线
l
称为抛物线的准线．
- 3 -

7、抛物线的几何性质：
标准方
程
图形

顶点



y
2
?2px

y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?

?
0,0
?

x
轴
?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
?
p
?
F
?
?
,0
?

?
2
?
p
??
F
?
0,
?< br>
2
??
y
轴 对称轴
焦点
准线方
程
离心率
p
??
F
?
0,
?
?

2
??
x??
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
e?1

范围
x?0

x?0

y?0

y?0

8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、
?
两点的线段
??
，称为
抛物线的“通径”， 即
???2p
．
9、焦半径公式：
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y
2
?2px
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F?x
0
?
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛 物线
x
2
?2py
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F?y
0
?

p
；
2
p
；
2


- 4 -

第三章 导数及其应用
1、函数
f
?
x
?
从
x
1
到
x
2
的平均变化率：
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
x
2
?x
1
0
2、导数定义：
f
?
x
?
在点
x
0
处的导数记作
y
?
x?x?f
?
(x
0
)?lim
f(x
0
??x)? f(x
0
)
；．
?x?0
?x
3、函数
y?f< br>?
x
?
在点
x
0
处的导数的几何意义是曲线
处的切线的斜率．
4、常见函数的导数公式：
y?f
?
x
?< br>在点
?
?
x
0
,f
?
x
0
?
?
①
C
'
?0
；②
(x
n
)< br>'
?nx
n?1
； ③
(sinx)
'
?co sx
；④
(cosx)
'
??sinx
；
⑤
(< br>a
x
)
'
?
a
x
ln
a
； ⑥
(e
x
)
'
?e
x
； ⑦
(log
a
x)
'
?
5、导数运算法则：
11
；⑧
(lnx)
'
?

xlnax
?
?f
?
x?g
?
xfx?gx
?
????????
；
?
1
?

?
??
?
?f?
xgx?fxg
?
xfx?gx
?
????????????
；
?
2
?

?
??
?
f
?
x
?
?
?
f
?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
??
x
?
g
?
x
?
?0
??
? ?
?
2
?
?
3
?
?
g
?
x
?
?
?
g
?
x
?
?
?
．
6、在某个区间
?
a,b
?
内，若
f
?
?
x
?
?0
，则函数
y?f
?
x
?在这个区间内单调递增；
若
f
?
?
x
?
?0
，则函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调递减．
7、求函数
y?f
?
x
?
的极值的方法是：解方程
f
?
?
x
?
?0
．当
f
?
?
x< br>0
?
?0
时：
?
1
?
如果在
x< br>0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
，右 侧
f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?< br>x
0
?
是极大值；
?
2
?
如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧
f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0
?
是极小值．
8、求函数
y?f
?
x
?
在
?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤是： ?
1
?
求函数
y?f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的极值；
- 5 -

?
2
?
将函数
y?f
?
x
?
的各极值与端 点处的函数值
f
?
a
?
，
f
?
b
?
比较，其中最大的
一个是最大值，最小的一个是最小值．
9、导数在实际问题中的应用：最优化问题。





- 6 -