苏教版 高中数学 案例分析-高中数学选修4-5电子课本人教A版
高一数学重要知识点汇总
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2
必修 数学知识总结
必修一
一、集合
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2.
集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性如:世界上最高的山
(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:{ … }
如:{我校的篮球队员},{太平洋,
大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
? 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z
有理数集Q 实数集R
1)列举法:{a,b,c……}
2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内
表示集合的方法。{x?R|
x-3>2} ,{x| x-3>2}
3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4)Venn图:
4、集合的分类:
(1)有限集 含有有限个元素的集合
(2)无限集 含有无限个元素的集合
(3)空集 不含任何元素的集合
例:{x|x
2
=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:
A?B
有两种可能(1)A是B的一部分,
;(2)A与B
是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB
或BA
2.“相等”关系:A=B
(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x
2
-1=0}
B={-1,1} “元素相同则两集合相
等”
即:①
任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A?
B那就说集合A是集合B的真子集,
记作AB(或BA)
③如果 A?B, B?C ,那么
A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3.
不含任何元素的集合叫做空集,记为
Φ
规定: 空集是任何集合的子集,
空集是任何非空集合的真子
集。
?
有n个元素的集合,含有2
n
个子集,2
n-1
个真子集
二、函数
1、函数定义域、值域求法综合
2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略
3
3、恒成立问题的求解策略
4、反函数的几种题型及方法
5、二次函数根的问题——一题多解
&指数函数y=a^x
a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q)
(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q)
(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q)
指数函数对称规律:
1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称
2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称
3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称
&对数函数y=loga^x 如果
a?0
,且
a?1
,
M?0
,
N?0,那么:
1
log
a
(M
·
N)?
log
a
M
+
log
a
N
;
○
M
2
log
a
○
?
log
a
M
-
log
a
N
;
N
3
log
a
M
n
?n
log
a
M
(n?R)
. ○
注意:换底公式
log
c
b
l
og
a
b?
log
c
a
(
a?0
,且<
br>a?1
;
c?0
,且
c?1
;
b?0
).
幂函数y=x^a(a属于R)
1、幂函数定义:一般地,形如
y?x
?<
br>(a?R)
的函数称为幂函
数,其中
?
为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,
1);
(2)<
br>?
?0
时,幂函数的图象通过原点,并且在区间
[0,??)
上
是增函数.特别地,当
?
?1
时,幂函数的图象下凸;当
0?
?<
br>?1
时,幂函数的图象上凸;
(3)
?
?0
时,幂函数的图
象在区间
(0,??)
上是减函数.在第
一象限内,当
x
从右边趋向
原点时,图象在
y
轴右方无限地逼
近
y
轴正半轴,当
x趋于
??
时,图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴.
方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数
y?f(x)(
x?D)
,把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫做函数
y?f
(x)(x?D)
的零点。
2、函数零点的意义:函数
y?f(x)
的零点
就是方程
f(x)?0
实
数根,亦即函数
y?f(x)
的图象与x
轴交点的横坐标。
即:方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交
点
?
函数<
br>y?f(x)
有零点.
3、函数零点的求法:
1
(代数法)求方程
f(x)?0
的实数根;
○
2 (几何法)对于不能用求
根公式的方程,可以将它与函数
○
y?f(x)
的图象联系起来,并利用函数的性质找
出零点.
4、二次函数的零点:
4
二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
.
(1)△>
0,方程
ax
2
?bx?c?0
有两不等实根,二次函数的
图象与<
br>x
轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程
ax
2
?bx?c?0
有两相等实根,二次函数的
图象与
x
轴有一个交点,
二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程
ax
2
?bx?
c?0
无实根,二次函数的图象与
x
轴无交点,二次函数无零点.
三、平面向量
向量:既有大小,又有方向的量.
数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度.
零向量:长度为
0
的向量.
单位向量:长度等于
1
个单位的向量.
相等向量:长度相等且方向相同的向量
&向量的运算
加法运算
AB+BC=AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
已知两个从同一点O出发的两
个向量OA、OB,以OA、OB为邻边作平行四边形OACB,则以O为起点的对
角线OC就是向量O
A、OB的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
减法运算
与a长度相等,方向相
反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,|λa|=|λ||a|,当λ
> 0时,
λa的方向和a的方向相同,当λ < 0时,λa的方向和a的方向相反,当λ =
0时,λa = 0。
设λ、μ是实数,那么:(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λ
μ)a = λa μa(3)λ(a ± b) = λa ±
λb(4)(-λ)a
=-(λa) = λ(-a)。
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
向量的数量积
已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cos
θ叫做a与b的数量积或内积,记作a?b,θ是a与b的夹角,
|a|cos θ(|b|cos
θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积
为0。
a?b的几何意义:数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
四、三角函数
1、善于用“1“巧解题
2、三角问题的非三角化解题策略
3、三角函数有界性求最值解题方法
4、三角函数向量综合题例析
5、三角函数中的数学思想方法
5
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
y?cosx
y?sinx
函
数
性
质
y?tanx
图
象
定
义
R
域
值
?
?1,1
?
域
当
x?2k
?
?
最
值
R
?
?
?
xx?k
?
?,k??
??
2
??
R
?
?1,1
?
?<
br>2
?
k??
?
当
x?2k
?
?
k?
?
?
时,
y
max
?1
;当
x?2k
?
?
?
时,
y
max
?1
;当
x?2k
?
?
?
2
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
2
?
既无最大值也无最小
值
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
周
2
?
期
性
奇奇函数
偶
性
?
偶函数 奇函数
??
??
在
?
2k
?
?,2k
?
?
?
22
??
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?k??
?
单
调
性
?
k??
?
上是增函数;在
上是增函数;在
?
2
k
?
,2k
?
?
?
?
?
3?
??
2k
?
?,2k
?
?
??<
br>22
??
??
??
在
?
k
?
?,k
?
?
?
22
??
?
k??
?
上是减函数.
对称中心
?
k??
?
上是增函数.
?
k??
?
上是减函数.
对对称中心对称中心
6
称
k
?
,0
??
k??
?
?
性
对称轴
?
x?k
?
?
?
k??
?
2
?
??
k
?
?,0
?
?
k??
?
?
2
??
对称轴
x?k
?
?
k??
?
?
k
?
?
,0
??
k??
?
?
2
??
无对称轴
必修四
角
?
的顶点与原点重合
,角的始边与
x
轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称
?
为第几象限角
.
??
第二象限角的集合为
?
?
k?360?90?k?360?
180,k??
?
第三象限角的集合为
?
?
k?360?
180?
?
?k?360?270,k??
?
第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k??
?
终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?1
80,k??
?
终边在
y
轴上的角的集合为
?
?
?
?k?180?90,k??
?
终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?
3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?<
br>?
,k??
?
第一象限角的集合为
?
k?360<
br>o
?
?
?k?360
o
?90
o
,k??<
br>
oooo
oooo
oooo
o
oo
o
o<
br>4、已知
?
是第几象限角,确定
?
?
n??
?
所在象限的方法:先把各象限均分
n
等份,再从
x
轴的正半轴
n<
br>*
的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则
?
原来是第几象限对应的标
号即为
区域.
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度.
口诀:奇变偶不变,符号看象限.
公式一:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot(2kπ+α)=cotα
公式二:
设α为任意角,π
α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
?
终边所落在的
n
7
公式三:
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式六:
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π2+α)=cosα
cos(π2+α)=-sinα
tan(π2+α)=-cotα
cot(π2+α)=-tanα
sin(π2-α)=cosα
cos(π2-α)=sinα
tan(π2-α)=cotα
cot(π2-α)=tanα
sin(3π2+α)=-cosα
cos(3π2+α)=sinα
tan(3π2+α)=-cotα
cot(3π2+α)=-tanα
sin(3π2-α)=-cosα
cos(3π2-α)=-sinα
tan(3π2-α)=cotα
cot(3π2-α)=tanα
(以上k∈Z)
8
其他三角函数知识:
同角三角函数基本关系
⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα ?cotα=1
sinα ?cscα=1
cosα ?secα=1
商的关系:
sinαcosα=tanα=secαcscα
cosαsinα=cotα=cscαsecα
平方关系:
sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α)
1+cot^2(α)=csc^2(α)
两角和差公式
⒉两角和与差的三角函数公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tanα+tanβ
tan(α+β)=——————
1-tanα ?tanβ
tanα-tanβ
tan(α-β)=——————
1+tanα ?tanβ
倍角公式
⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)
sin2α=2sinαcosα cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
2tanα
tan2α=—————
1-tan^2(α)
半角公式
⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)
1-cosα
sin^2(α2)=—————
2
9
1+cosα
cos^2(α2)=—————
2
1-cosα
tan^2(α2)=—————
1+cosα
万能公式
⒌万能公式
2tan(α2)
sinα=——————
1+tan^2(α2)
1-tan^2(α2)
cosα=——————
1+tan^2(α2)
2tan(α2)
tanα=——————
1-tan^2(α2)
和差化积公式
⒎三角函数的和差化积公式
α+β α-β
sinα+sinβ=2sin—----?cos—---
2
2
α+β α-β
sinα-sinβ=2cos—----?sin—----
2 2
α+β α-β
cosα+cosβ=2cos—-----?cos—-----
2 2
α+β α-β
cosα-cosβ=-2sin—-----?sin—-----
2 2
积化和差公式
10
⒏三角函数的积化和差公式
sinα
?cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα
?sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα
?cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα ?sinβ=-
0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]
11
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