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高一数学知识点与题型完整归纳总结-高一数学知识点

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 12:32
tags:高中数学知识点总结

高中数学老师面试自我评价-高中数学人教版知识框图必修选修


学习必备 精品知识点

集合及集合的应用
【课标解读】
1. 掌握集合的有关基本定义概念,运用集合的概念解决问题;
2. 掌握集合的包含关系(子集、真子集);
3. 掌握集合的运算(交、并、补);
4. 在解决有关集合问题时,要注意各种思想方法(数形结合、补集思想、分类讨论)的运用.
【知识梳理】

一、集合的有关概念
(一) 集合的含义
(二) 集合中元素的三个特性
1.元素的确定性:如:世界上最高的山,反例:世界上很高的山;
2.元素的互异性:如:由“HAPPY”的字母组成的集合{H,A,P,Y};
3.元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合.
(三) 集合的表示
集合的表示方法:列举法与描述法.
常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集) 记作:N,
正整数集: N
*
或 N
+
,整数集:Z,有理数集Q, 实数集R.
1.列举法:{a,b,c,

}


2. 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.如:
{x?R| x-3>2},{x|x-3>2}.
3.语言描述法:如:{不是直角三角形的三角形}.
图.
(四) 集合的分类
1.有限集: 含有有限个元素的集合;
2.无限集: 含有无限个元素的集合;
3.空集: 不含任何元素的集合;如:{x|x
2
=-5}.

二、集合间的基本关系


学习必备 精品知识点
1. “包含”关系——子集
注意:
A?B
有两种可能:(1)A是B的一部分;(2)A与B是同一集合.
?
B或B
?
?
A. 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
?
2. “相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5).实例:设A={x|x
2
-1=0}, B={-1,1}. 则A=B.
元素相同则两集合相等,即:① 任何一个集合是它本身的子集:A?A;
②真子集:如果A?B,且A? B,那就说集合A是集合B的真子集,记作A

B(或B

A).
③如果 A?B, B?C ,那么A?C.
④ 如果A?B , 同时 B?A ,那么A=B.
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为?
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集. 含有n个元素的集合,有2
n

子集,
2?1
个真子集.
n
三、集合的运算
运算类型 交 集
由所有属于A且属于
B的元素所组成的集
合,叫做A,B的交
定义
集.记作A
?
B(读
作“A交B”),即
A
?
B={x|x
?
A,且
x
?
B}.
并 集
由所有属于集 合A
或属于集合B的元
素所组成的集合,
叫做A,B的并集.记
作:A
?
B(读作“A
并B”),即A
?
B
={x|x
?
A,或x
?
B}.
S
韦恩图示


A
?
A=A
A
?
?=?
性质
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?
A
A
?
B
?
B
A
?
A=A
A
?
?=A
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?


A
?
B
?
B
(?
U
A)
?
( ?
U
B)= ?
U
(A
?
B)
(?
U
A)

?
( ?
U
B)= ?
U
(A
?
B)
A
?
(?
U
A)=U
A
?
(?
U
A)= ?
补 集
设S是一个 集合,A是S的
一个子集,由S中所有不
属于A的元素组成的集合,
叫做S中子集A的 补集(或
余集)记作?
S
A,即
?
S
A=
{x|x?S,且x?A}
.

A

【方法归纳】


学习必备 精品知识点
一、对于集 合的问题:要确定属于哪一类集合(数集,点集,或某类图形集),然后再确定处理此
类问题的方法.
二、关于集合中的运算,一般应把各参与运算的集合化到最简形式,然后再进行运算.
三、含参数的集合问题,多根据集合的互异性处理,有时需要用到分类讨论、数形集结合的思想.
四、处理集合问题要多从已知出发,多从特殊点出发来寻找突破口.
课堂精讲练习题
考点一:集合的概念与表示
1. 集合A中的元素由x=a+b
2
(a∈Z,b∈Z)组成,判断下列元素与集合A的关系.
(1)0; (2)
1
1
; (3).
2?1
3?2

【解题思路】:(1)因为
0?0?0?2
,所以
0?A


(2)因为
1
2?1
?1?1?2
,所以
1
2?1
?A


(3)因为
11
?3?1?2,3?Z,所以?A.
3?23?2


难度分级:B类
2. 已知集合A={y|y=x-1,x∈R},B={(x,y )|y=x
2
-1,x∈R},C={x|y=x+1,y≥3},求
(A
【 解题思路】:
∵A={y|y=x-1,x∈R}=R是数集,B={(x,y)|y=x
2
-1,x∈R}是点集, C={x|y=x+1,y≥3}={x|x≥2},

(A
C)B
.
C)B
=
?
.

难度分级:A类
3. 已知集合A={x|x
2
+4ax-4a+3=0}, B={x|x
2
+(a-1)x+a
2
=0},C={x|x
2+2ax-2a=0},
其中至少有一个集合不是空集,求实数a的取值范围.
【解题思路】:
当三个集合全是空集时,所对应的三个方程都没有实数解.
方程都没有实数解,
?
?
1
?16a
2
?4(?4a?3 )?0
?
22

?
?
2
?(a?1)?4a?0

?
2
?
?
3
?4a?8a?0


学习必备 精品知识点
解此不等式组,得
?
3
?a?1?

2
3
,或a≥-1.
2
∴所求实数a的取值范围为a≤
?

难度分级:B类
考点二:集合中元素的特征
4. 集合{3,x,x
2
-2x}中,x应满足的条件是___________.
【解题思路】:x≠-1且x≠0且x≠3.
难度分级:A类
5. 设集合
P?
?
x?y,x?y,xy
?

Q?x
2
?y
2
,x
2
?y
2
,0
,若
P?Q
,求
x,y
的值及集合
P

Q

【解题思路】:∵
P?Q

0?Q
,∴
0?P

(1)若
x?y?0

x?y?0
,则
x?y?0
,从而
Q?x
2
?y
2
,0,0
,与集合中元素的互异性< br>矛盾,∴
x?y?0

x?y?0

(2)若
xy?0
,则
x?0

y?0


y?0
时,
P?
?
x,x,0
?
,与集合中元素的互异性矛盾,∴
y?0


x?0
时,< br>P?{?y,y,0}

Q?{y,?y,0}

22
22
??
??
?y??y
2
?y?y
2
??
2
??
2

P?Q

?
y??y
① 或
?
y?y

y?0
??
??
y?0
由①得
y??1
,由②得
y?1

?0

x?0
,此时
P?Q?{1,?1,0}
. ∴
x
y??1y?1

难度分级:B类
6. 设S是满足下列两个条件的实数所构成的集合: ①1∈S,②若
a?S
,则
请解答下列问题:
(1)若2∈S,则S中必有另外两个数,求出这两个数;
(2)求证:若
a?S< br>,则
1?
??
1
?S

1?a
1
?S
.
a
(3)在集合S中元素能否只有一个?请说明理由;


学习必备 精品知识点
(4)求证:集合S中至少有三个不同的元素.
【解题思路】:(1)要求的两 个数为
?1,
(2)∵若
a?S,则
1

2
1< br>1
11
?S

??1??S
,∴
若a?S,则1?? S
.
1
1?a
a
a
1?
1?a
(3)集 合S中的元素不能只有一个.
证明:假设集合S中只有一个元素,则根据题意知a=
∴集合S中的元素不能只有一个.
(4)证明:由(2)知,
a?S

1?
11
,此方程无解,∴a≠
1?a1?a
111
?S
, 现在证明a,,
1?
三个数互不相等.
a1?aa
①若a=
11
,此方程无解,∴a≠
1?a1?a
11
,此方程无解,∴a≠
1?

aa
②若a=
1?
③若
1111
=
1?
,此方程无解,∴
1?

1?aa1?aa
综上所述,集合S中至少有三个不同的元素.
难度分级:C类
考点二:交集、并集、补集的含义及其运算
7. (2010·南京模拟)已知集合M={ x|y
2
=x+1},P={x|y
2
=-2(x-3)},那么M∩P= .
1
【解题思路】:由M:x=y
2
-1≥-1,即M={x|x≥-1} ,由P:x=-y
2
+3≤3,即P={x|x≤3},
2
所以M∩P={x|-1≤x≤3}.
答案: {x|-1≤x≤3}
难度分级:A类

8.已知集合A中有10个元素,集合B中有6个元素,全集U中 有18个元素,且有A∩B≠
?
,设集
合?
U
(A∪B)中有x个元 素,则x的取值范围是________.
【解题思路】:因为当集合A∩B中仅有一个元素时,集合 ?
U
(A∪B)中有3个元素,当A∩B中有6个
元素时,?
U
(A ∪B)中有8个元素,即3≤x≤8且x为整数.
答案:3≤x≤8且x为整数.
难度分级:B类
x-1
9.(2010·盐城模拟)设全集U=R,A={x|>0 },?
U
A=[-1,-n],则m
2
+n
2
=_____ ___.
x+m


学习必备 精品知识点
x-1
【解 题思路】:由?
U
A=[-1,-n],知A=(-∞,-1)∪(-n,+∞),即不等式> 0的解集为
x+m
(-∞,-1)∪(-n,+∞),所以-n=1,-m=-1,因此m= 1,n=-1,所以m
2
+n
2
=2.
难度分级:B类
10.若集合
A?x|x
2
?ax?1?0,x?R
,集合
B?< br>?
1,2
?
,且
A?B
,求实数
a
的取值范 围.
【解题思路】:(1)若A=
?
,则
??a?4?0
,解得< br>?2?a?2

(2) 若
1?A
,则
1?a?1?0,解得
a??2
,此时
A?{1}
,适合题意;
(3)则2?2a?1?0
,解得
a??
2
??
2
2
5 5
,此时
A?{2,}
,不合题意;
22
综上所述,实数
a
的取值范围为
[?2,2)

难度分级:A类
11.写出阴影部分所表示的集合:
U
A
图1

U
B
A
C
图2

B
【解题思路】:(1)B∩(?
U
A) (2)A∩B∩C.
难度分级:B级
12.(2010辽宁理)已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9} 的子集,且A∩B={3},?
U
B∩A={9},
则A= .
【解题思路】:因为A∩B={3},所以3∈A,又因为?
U
B∩A={9},所以9∈A,所以A={3,9}.本题也可
以用Venn图的方法帮助理解.
难度分级:B类
13.设集合A={x|x
2
+4x=0,x∈R},B= {x|x
2
+2(a+1)x+a
2
-1=0,x∈R},若B
?< br>A,求实数a的取值范围.
【解题思路】:A={x|x
2
+4x=0,x∈R}={0,-4},∵ B
?
A, ∴ B=
?
或{0},{-4},{0,-4}.
①当 B=
?
时,⊿=[2(a+1)]
2
-4(a
2
-1)<0 . ∴ a< -1.
?
0??2(a?1)
②当B={0}时,
?
∴a=-1.
2
?
0?a?1
,


学习必备 精品知识点
?
?4?4??2(a?1)
③当B={-4}时,
?
, ∴此方程组无解.
2
16?a?1
?
④当B={0,-4}时,
?
?
?4?0??2(a?1)
?
0?a?1
-1或a=1.
2
,∴a=1.
∴ a的取值范围为:a
难度分级:B类
14. (2010·盐城模拟)已知集合A={x|x
2
+x-2≤0},B={x |22
+bx+c>0},
且满足(A∪B)∩ C=
?
,(A∪B)∪C=R,求实数b,c的值.
【解题思路】:因为A={x| -2≤x≤1},B={x|1又因为(A∪B) ∩C=
?
,(A∪B)∪C=R,所以C={x|x>3或x<-2},
则不等式x
2
+bx+c>0的解集为{x|x>3或x<-2},即方程x
2
+bx+ c=0的两根分别为-2和3,
则b=-(3-2)=-1,c=3×(-2)=-6.
难度分级:B类
15.已知全集U=R,集合A={x|x
2
-x-6<0}, B={x|x
2
+2x-8>0},C={x|x
2
-4ax+3a
2
<0},
(1)试求a的取值范围,使A∩B
?
C;
(2)试求a的取值范围,使
C
U
AC
U
B?C

.
【解题思路】: U=R,A=(-2,3),B=(-
?
,-4)∪( 2,+
?
),故A∩B=(2,3),
C
U
A?
(-?
,-2]∪[3,+
?
),
C
U
B?
[-4 ,2],
(C
U
A)(C
U
B)
=[-4,-2],
∵x
2
-4ax+3a
2
<0即(x-3a)(x-a)<0,
∴当a<0时,C=(3a,a); 当a=0时,C=
?
; 当a>0时,C=(a,3a).
?
a?0
?
(1) 要使A∩B
?
C,结合数轴知,
?
a?2
解得 1≤a≤2;
?
3a?3
?
?
a?0
4
?
(2) 类似地,要使
C
U
AC
U
B?C
必有
?
3a??4
解得
?2?a??
.

3
?
a??2
?
难度分级:B类
【课堂训练】
1. 若集合
M?{a,b,c}
中元素是

ABC的三边长,则< br>△
ABC一定不是 三角形.
【解题思路】:根据集合中元素的 互异性,a、b和c互不相等,所以

ABC一定不是等腰三角形.
答案:等腰


学习必备 精品知识点
难度分级:A类
2. 设集合I={ 1,2,3},A
?
I,若把集合M∪A=I的集合M叫做集合A的配集,则A={1,2}的 配集
有 个.
【解题思路】:A的配集中一定含有元素3,余下两个元素1,2可以全不含、仅有一个、两个都有.
答案:4
难度分级:B类
3. 三个元素的集合{1,a,
b
} ,也可表示为{0,a
2
,a+b},求a
2011
+ b
2012
的值.
a
【解题思路】:依题意得
所以 a
2011
+ b
2012
=-1.
难度分级:B类
b
?0
则b=0.所以
a
2
?1
,

a??1
.由互异性知
a??1
.

a
,
4. 设集合A={5,log
2
(a+3)},集合B={a ,b}.若A∩B={2},则A∪B=______________.
【解题思路】:∵A∩B= {2},∴log
2
(a+3)=2.∴a=1.∴b=2.
∴A={5,2},B={1,2}.∴A∪B={1,2,5}.
答案:{1,2,5}.
难度分级:A类
3.设A={x|1<x<2},B={x|x>a},若AB,则a的取值 范围是___________________.
【解题思路】:AB说明A是B的真子集,利用数轴(如下图)可知a≤1.
a 1 2
答案:a≤1.
难度分级:A类

5. (2010·苏州模拟)已知 全集U=R,M={x|y=x-1},P={x|
y?log
1
x
,y∈M },
2
则(?
U
M)∩(?
U
P)=________________.
【解题思路】:∵M是y=x-1的定义域,即M={x|x≥1},∴?
U
M={x|x<1}.
11
∵P是值域为M时,
y?log
1
x< br>的定义域,则P={x|0U
P={x|x≤0或x>},
22
2
1
∴(?
U
M)∩(?
U
P)={x|x≤0或2
1
答案:{x|x≤0或2
难度分级:A类


学习必备 精品知识点
6.已知集合A={x|x
2
-1=0 },B={x|x
2
-2ax+b=0},A∪B=A,求a,b的值或a,b所满足的条件.
【解题思路】:∵A={x|x
2
-1=0 }={1,-1}, A∪B=A, ∴ B
?
A.
①当B=
?
时 , ⊿=4a
2
-4b<0,即
a
2
?b?0
;

②当B={-1}时,a=-1,b=1;
③当B={1 }时,2a=1+1=2,即a=b=1;
④当B={-1,1}时,B=A={-1,1 },此时a=0,b=-1.
综上所述a,b满足的条件为:a
2
-b<0或a=-1,b=1 或a=0,b=-1或a=-1,b=1.
难度分级:B类
7.(2010·扬州模拟)设 A={x|x
2
-ax+a
2
-19=0},B={x|x
2
-5x+6=0},C={x|x
2
+2x-8=0}.
(1)若A∪B=A∩B,求实数a的值;
(2)若A∩B≠
?
,且A∩C=
?
,求实数a的值;
(3)若A∩B=A∩C≠
?
,求实数a的值.
【解题思路】:(1)因为A∪B=A∩B,所以A=B,又因为B={2,3},
则a=5且a
2
-19=6同时成立,所以a=5.
(2)因为B={2, 3},C={-4,2},且A∩B≠
?
,A∩C=
?
,则只有3∈A,即a
2
-3a-10=0,
即a=5或a=-2,由(1)可知,当a=5时,A=B= {2,3},此时A∩C≠
?
,与已知矛盾,
所以a=5舍去,故a=-2. (3)因为B={2,3},C={-4,2},且A∩B=A∩C≠
?
,此时只有2∈A ,
即a
2
-2a-15=0,得a=5或a=-3,
由(1)可知,当a=5时不合题意,故a=-3.
难度分级:B类

【课后检测】
1. 已知集合A={(x,y)|x
2
-y
2-y=4},B={(x,y)|x
2
-xy-2y
2
=0},C={( x,y)|x-2y=0},D={(x,y)|x+y=0}.
(1)判断B、C、D间的关系;
(2)求A∩B.
【解题思路】:(1)B=C∪D; (2)A∩B={(
,
难度分级:B类
2. 已知全集
U?
A
84
),(-2, -1),(4,-4)}.
3 3
(
U
B)
中有n个元素.若
AIB
非空,则
AI B

B
中有m个元素,
(痧
U
A)
元素个数为 .


学习必备 精品知识点
【解题思路】: 因为
A
难度分级:A类
B?痧(?
B
共有
m?n
个元素.
U
[(
U
A)
U
B)]
,所以
A
3. 已知数集 A={a2
,a+1,-3},数集B={a-3,a-2,a
2
+1},若A∩B={- 3},求a的值.
【解题思路】:∵A∩B={-3}, ∴-3∈A, -3∈B.
当a-3=-3,即a= 0时,B={-3,-2,1}, A={0,1,-3}不满足题意;
当a-2=-3,即a=-1时,B={-4,-3,2}, A={1,0,-3}满足题意.
∴a =-1.
难度分级:A类
4. 已知集合A={2,5},B={x|x
2
+px+q=0,x∈R}.
(1)若B={5},求p,q的值.
(2)若A∩B= B ,求实数p,q满足的条件.
【解题思路】:(1)∵A∩B={5},∴方程x
2
+px+q=0有两个相等的实 根5,
∴5+5=-p,5?5=q,∴p=-10,q=25.
(2) ∵A∩B= B,∴B
?
A.
当B=
?
时,⊿=p
2
-4q<0,即 p
2
<4q;当B={2}时,可求得p=-4,q=4;
当B={5}时,p=-10,q=25;当B={2,5}时,可求得p=-7,q=10;
综上所述:实数p,q满足的条件为p
2
<4q 或
?
难度分级:B类
5. 已知A={x|x
2
-px+15=0},B={x|x
2
- ax-b=0},且A∪B={2,3,5},A∩B={3},求p,a,b的值.
【解题思路】:p=8, a=5 ,b=-6.
难度分级:B类
6. 设A={ x|x
2
+4x=0},B={x|x
2
+2(a+1)x+a
2< br>-1=0,a∈R}.
(1)若A∩B=B,求实数a的值.
(2)若A∪B=B,求实数a的值.
【解题思路】:(1)a=1或a≤-1; (2)a=1.
难度分级:B类
?
p??4
?
p??10
?
p??7

?

?
.
?
q?25< br>?
q?4
?
q?10
3

5
1
报名 参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人,两组都没有报名的人数是同时报名的人数的
3
7 . 某校有A、B两个课外科技制作小组,50名学生中报名参加A组的人数是全体学生人数的
还多1人 ,求同时报名参加A、B两组人数及两组都没有报名的人数.


学习必备 精品知识点
【解题思路】:同时报名参加A、B组的人数为21人,两组都没有报名的人数为8人.
难度分级:B类
8. 已知全集
U?x?N
?
|x?10
,且
?
U
A
??
B?
?
1,9
?


U
A
U
B?
?
6,8
?

AB?
?
2,4
?
,求集合
A

B
.
【解题思路】:如图:
1
9
3
A
2
B< br>4
5
7
6
8

U
由图可知,
A?< br>?
2,3,4,5,7
?

B?
?
1,2,4,9< br>?
.
难度分级:B类
9. 已知集合A={x∈R|ax
2+2x+1=0,a∈R}只有一个元素,则a的值为__________________.
【解题思路】:若a=0,则x=-
若a≠则,Δ=4-4a=0,得a=1.
答案:a=0或a=1.
难度分级:B类
10. 设集合P={0,a,2b}, Q={0,a
2
,b
2
},已知P=Q,求a,b的值.
22??
?
a?a,
?
a?b,
【解题思路】:∵P=Q,∴
?
①或
?

22
??
?
2b?b
?
2b?a.
1
.
2
解①得a=0(舍)或a=1,b=0(舍)或b=2.
3
?
?
a?0,
?
a?4,
解②得
?
(舍去),或
?
3
?
b?0,
?
?
b?2.
所以a=1,b =2或者
a?
难度分级:B类
3
4,
b?
3
2.

11. 设A是整数集的一个 非空子集,对于
k?A
,如果
k?1?A

k?1?A
,那 么
k
是A的一个“孤
立元”,给定
S?{1,2,3,4,5,6,7,8, }
,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共
有 个.
【解题思路】: 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题 和解
决问题的能力,属于创新题型.什么是“孤立元”?依题意可知,必须是没有与
k
相邻的元素,因而无“孤
立元”是指在集合中有与
k
相邻的元素.


学习必备 精品知识点
故不含“孤立元”的集合有
?
1,2,3
?
,
?
2,3,4
?
,
?
3, 4,5
?
,
?
4,5,6
?
,
?
5,6, 7
?
,
?
6,7,8
?
难度分级:C类
共6个.

12. 某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱兵乓球运动,8人对这两项运 动都不喜爱,
则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 .
【解题思路】: 设两者都喜欢的有
x
人,则只喜爱篮球的有
(15?x)
人,只喜爱乒乓球的有
(10?x)
人,由此可得
(15?x)?(10?x )?x?8?30
,解得
x?3
,所以
15?x?12
.即所求人数 为12人 .
难度分级:B类


学习必备 精品知识点
第二讲 函数的图象及基本性质
【课标解读】

1. 理解函数概念;
2. 了解构成函数的三个要素;
3. 会求一些简单函数的定义域与值域;
4. 理解函数图象的意义;
5. 能正确画出一些常见函数的图象;
6. 会利用函数的图象求一些简单函数的值域、判断函数值的变化趋势;
7. 理解函数单调性概念;
8. 掌握判断函数单调性的方法,会证明一些简单函数在某个区间上的单调性;
9. 会证明一些较复杂的函数在某个区间上的单调性;
10. 能利用函数的单调性解决一些简单的问题;
11. 了解函数奇偶性的含义;
12. 熟练掌握判断函数奇偶性的方法;
13. 熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质;
14. 能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题.
【知识梳理】
1. 函数的定义:设
A,B
是两个非空数集,如果按某种对应法则
f
,对于集合
A
中的每 一个元素
x

在集合
B
中都有惟一的元素
y
和它对 应,这样的对应叫做从
A

B
的一个函数,记为
y?f(x),x? A
.其中输入值
x
组成的集合
A
叫做函数
y?f(x)的定义域,所有输出值
y
的取
值集合叫做函数
y?f(x)
的值 域.
2. 函数的图象:将函数
f(x)
自变量的一个值
x
0作为横坐标,相应的函数值作为纵坐标,就得到坐
标平面上的一个点
(x
0
,f(x
0
))
,当自变量取遍函数定义域内的每一个值时,所有这些点组成的图形就是函数
y?f(x)
的图象.
3. 函数
y?f(x)
的图象与其定义域、值域的对应关系:函数
y?f(x)
的图象在
x
轴上的射 影构成
的集合对应着函数的定义域,在
y
轴上的射影构成的集合对应着函数的值域.
4. 用列表来表示两个变量之间的函数关系的方法叫列表法,其优点是函数的输入值与输出值一目


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了然;用等式来表示两个变量之间的函数关系的方法 叫解析法(这个等式通常叫函数的解析表
达式,简称解析式),其优点是函数关系清楚,容易从自变量求 出其对应的函数值,便于用解析
式研究函数的性质;用图象来表示两个变量之间的函数关系的方法叫图象 法,其优点是能直观
地反映函数值随自变量变化的趋势.
5. 单调增函数的定义: 一般地,设函数
y?f(x)
的定义域为
A
,区间
I?A

如果对于区间
I
内的任意两个值
x
1

x
2
,当
x
1
?x
2
时,都有
f(x
1)?f(x
2
)
,那么就说
y?f(x)
在区间
I上是单调增 函数,
I
称为
y?f(x)
的单调增区间.
注意:⑴“任意”、“都有”等关键词;
⑵单调性、单调区间是有区别的;
6. 单调减函数的定义: 一般地,设函数
y?f(x)
的定义域为
A
,区间
I?A

如果对于区间
I
内的任意两个值
x
1

x
2
,当
x
1
?x
2
时,都有
f(x
1)?f(x
2
)
,那么就说
y?f(x)
在区间
I上是单调减函数,
I
称为
y?f(x)
的单调减区间.
7. 函数图象与单调性:函数在单调增区间上的图象是上升图象;而函数在其单调减区间上的图象
是下降的图 象.
8. 偶函数的定义:如果对于函数
y?f(x)
的定义域内的任意一个
x
,都有
f(?x)?f(x)
,那么称
函数
y?f(x)
是偶函数.
注意:(1) “任意”、“都有”等关键词;
(2)奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个
x
都必须成立;
9. 奇函数的定义:如果对于函数
y?f(x)
的定义域内的任意一个
x
,都有< br>f(?x)??f(x)
,那么
称函数
y?f(x)
是奇函数.
10. 函数图象与单调性:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于
y
轴对称.
【方法归纳】
一、 求函数的定义域的常用求法
(一) 给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合;常见类型有:
1. 分式的分母不为零.
2. 偶次根式的被开方数大于或等于零.
3. 对数的真数大于零,底数大于零且不等于1.


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4. 零次幂的底数不为零.
5. 正切函数的定义域是:x不等于
k
?
+(k∈Z)

2
(二) 已知
f(x)
的定义域求
f[g(x)]
的定义 域或已知
f[g(x)]
的定义域求
f(x)
的定义域时抓住
两点:
1. 复合函数f(g(x))定义域都是指最内层函数即g(x)的x的取值范围.
2. 内层函数的值域都应是外层函数定义域的子集.
(三) 实际问题中函数的定义域:除了使式子本身有意义之外,还应使实际问题有意义.
?
二、 求函数的解析式常见方法
(一) 已知内层函数和复合函数的解析式,求外层函数的解析式,这类问题主要两种方法:
1. 换元法:令内层函数为t,将x用t表示,求出f(t)即可,若x用t表示比较困难,可考虑配
凑法.
2. 配凑法:将内层函数看着一个整体,把复合函数的表达式配成用这个整体来表示.若式子比较难< br>配,考虑换元法.
(二) 已知函数的类型,求函数解析式,通常采用待定系数法,即直接设 出函数的表达式,找出相
等关系,将待定系数解出即可.
(三) 求抽象函数的解析式,将f(x)看作一个未知数,x看作常数,利用方程的思想解出.
三、 函数的值域
(一) 弄清函数的类型:几种常见函数类型:
1. 基本初等函数
(1) 一次函数:y=kx+b(k≠0)
(2) 二次函数:y=ax
2
+bx+c(a≠0)
(3) 反比例函数:
y?
k
(k?0)

x
(4) 指数函数:
y?a
x
(a>0,且a?1)

(5) 对数函数:
y?log
a
x(a>0,且a?1)

(6) 幂函数:
y?x
a
(a?0)

(7) 正弦函数:y=sinx
(8) 余弦函数:y=cosx
(9) 正切函数:y=tanx
2. 有几个基本初等函数复合的函数


学习必备 精品知识点
例:
y?log
2
(x
2
?x)
,它是由
对数函数y?log< br>2
x和二次函数y=x
2
?x两个函数复合而成的。

y?( 2
x
)
2
?2?2
x
?3是由指数函数y=2
x< br>和二次函数y=x
2
?2x?3复合而成的。


y=log (x+3)是由二次函数y=x+3、幂函数y=x和对数函数y=log
3
x复合而成的。< br>3
1. 你能看出下列函数是由那些基本初等函数复合而成的吗?
22
12
y?4
2x
?4
x?1
?1

y?
3. 复杂函数
2x?1
y=x?1?2x
.
< br>x?1

非(1)(2)(4)(5)的形式比较复杂的函数.如:y=2x+log< br>2
x
4. 分段函数
?
x?1???????(x>2)
在函数的定义域内的不同部分上,对应不同的表达式:例:
y?
?
2
(x≤2 )
?
x?2x???

(二) 对于基本初等函数可利用函数的图象或函数的单调性求解.
(三) 对于由几个初等函数复合而成的函数可以采用换元法求解.
(四) 处理复杂函数的值域问题,可借助函数的单调性来处理.
(五) 处理分段函数的值域问题时分别求出每一段的值域,然后取并集.
四、 函数的单调性
(一) 函数单调性的证明:定义法是证明函数单调性的常用方法,主要有以下步骤:
1. 根据题意在区间上设
x
1
?x
2

2. 比较
f(x
1
),f(x
2
)
大小;
3. 下结论“函数在某个区间上是单调增(或减)函数” .
对于第二步,常见的思路是作差,变形,定号,其中变形主要指的是分解因式、通分、有理化等.
(二) 复合函数的单调性:处理复合函数单调性问题的基本原则是同增异减.一般步骤:
1. 写出符合函数的内层函数t=g(x)和外层函数y=f(t)
2. 求出内外层函数的单调区间,注意求外层函数的单调区间时要将t的范围转化成x的范围.
3. 根据同增异减的原则,利用取交集的方式求出复合函数的单调区间.
(三) 函数单调性的应用
1. 比较大小:若要比较大小的两个数结构、形式相同,可构造函数,利用函数的单调性比较.
2. 求函数的值域:若函数的单调性可以求出,则值域可求.
3. 解不等式或方程:若不 等式(方程)的两边分别可以看出同一个函数的函数值,可以利用单调性
得出其自变量的大小关系,从而 得到简化的不等式(方程).


学习必备 精品知识点
五、 函数的奇偶性
(一) 函数奇偶性的判断:判断函数的奇偶性主要是定义法.一般步骤:
1.判断函数的定义域是否关于原点对称,这是函数具有奇偶性的前提.
2.判断f(x)和f(-x)是否相等或相反.
(二) 利用函数的奇偶性求函数的解析式 :已知函数在某区间解析式,要求其对称区间的解析式,
一般方法是先求出f(-x),再利用奇偶性得 出f(x).
六、 函数的图象
(一) 函数图象的意义
函数f(x)图象在x 轴的投影对应定义域,在y轴的投影对应值域,图象上升和下降反映函数的单
调性,图象的轴对称和中心 对称性反映图象的奇偶性,图象位于x轴上方的部分对应f(x)>0的
解集,图象位于x轴下方的部分 对应f(x)<0的解集,图象和x轴的交点对应f(x)=0的解集.
(二) 函数图象的变换:
1. 几种常见的图象变换
(1) 平移变换
(2) 反射变换
(3) 旋转变换
(4) 伸缩变换
2. 已知函数图象的表达式,求变换后的图象表达式常用方法:坐标转移法.
课堂精讲练习题
1. 求下列函数的定义域:
(1)y=
(x?1)
0
|x|?x
3
1
x
2
?3
?5?x
2
x?1·x?1

【解题思路】:(1)由题意得
?
?
x?1?0
?x??1
?
x??1
,

?
.
故函数的定义域 为{x|x<0且x≠-
,
化简得
?
|x|?xx?0
|x|?x? 0
??
?
?
?
x
2
?3?0
?
x ??3
.
,
(2)由题意可得
?
解得
?
2
5?x?0
?
?
?
?5?x?5
故函数的定义域为{x|-
5
≤x≤
5
且x≠±
3



(3)要使函数有意义,必须有
?
难度分级:A类
?
x??1?
x?1?0
,
∴x≥1,故函数的定义域为[1,+∞)
,

?
?
x?1
?
x?1?0
2. 已知矩形周长为20,若设长为x,求宽y与x的函数关系式.
【解题思路】:y=10-x
∵矩形的长和宽都应是正数,∴x>0,10-x>0,解得:0<x<10.


学习必备 精品知识点
∴所求函数的解析式为:y=10-x (0<x<10) .
难度分级:A类
3. 已知函数
f(x)
的定义域 为
[1,2]
,则函数
f(3?2x)
的定义域是 .
【解题思路】:由函数
f(x)
的定义域为
[1,2]
,

?1?3?2x?1
.解得
1?x?2
.
故函数
f(3?2x)
的定义域是
[1,2]
.

难度分级:A类
4. (1)已知
f(x?)?x
3
?
1
x
1
,求
f(x)

3
x
(2)已知a>0 且a≠1 ,f (log
a
x ) =
1
a
(x - ),求f(x);
2
x
a?111
3
1
?(x?)?3(x?)

3
xxx
【解题思路】:(1)∵
f(x?)?x
3
?
3
1
x
f(x)?x?3x

x?2

x??2
).
(2) 令t=log
a
x(t∈R),则
x?a,f(t)?
难度分级:B类
5. 已知
f(x)
是一次函数,且满足
3f(x?1)?2f(x?1)? 2x?17
,求
f(x)

【解题思路】:设
f(x)?ax?b(a?0)


3f(x? 1)?2f(x?1)?3ax?3a?3b?2ax?2a?2b?ax?b?5a?2x?17


a?2

b?7
,∴
f(x)?2x?7

难度分级:B类
6. 已知
f(x)
满足
2f(x)?f()?3 x
,求
f(x)

t
aa
t?tx?x
(a?a ),?f(x)?(a?a),(x?R).
22
a?1a?1

1
x
1
x
3
1

?2?
②得
3f(x)?6 x?
,∴
f(x)?2x?

x
x
难度分级:B类
7. 求下列函数的值域:
(1)
y?2x?3????x?[?5,6]

(2)
y?sinx????x?[?
【解题思路】:
2f(x)?f()? 3x
①,把①中的
x
换成
1
13
,得
2f()?f (x)?
②,
x
xx
??

,)
34


学习必备 精品知识点
(3)
f( x)?log
2
x????x?
?
2,5
?

(4)
y?
?2
????x?(??,?2]

x
【解题思路】:(1) [-7,15]; (2)
?
?
?
?
32
?
,
?
; (3)(1,log
2
5); (4)(0,1].
22
?
3x?1

x?2
8. 求下列函数的值域
(1)
y??x
2
?6x?5
; (2)
y?
(3)
y?x?41?x
.

【解 题思路】:(1)设
?
??x?6x?5

?
?0
),则原 函数可化为
y?
又∵
?
??x?6x?5??(x?3)?4?4
, ∴
0?
?
?4
,故

y?
(2)
y?22
2
?

?
?[0,2]

?x
2
?6x?5
的值域为
[0,2]

3x?13(x?2)?77

??3?
x?2x?2x?2
7< br>7

?0
,∴
3??3

x?2
x?2< br>3x?1
∴函数
y?
的值域为
{y?R|y?3}

x?2
(3)
y?x?41?x
=1
?(1?x)?41?x


t?1?x?0
,则
x?1?t
2

∴原函数 可化为
y?1?t?4t??(t?2)?5(t?0)
,∴
y?5

∴原函数值域为
(??,5]

难度分级:A类
9. 求下列函数的值域
(1)
y?2
x
?log
3
x???? ????x?(2,3)

3
(2)
y?2x???????x>3

x
22
2
【解题思路】:(1)显然函数在(2,3)上单调递增,所以函数 的值域为(4+log
3
2,9)
(3) 函数在(3,﹢∞)上单调递增,所以函数的值域为(7,﹢∞).
难度分级:A类
10. 求y=|x-1|+x
2
的值域


学习必备 精品知识点 2
?
?
x?x?1?????????????x?1
【解题思路】:< br>y?
?
2

1
?
?
x?x?1?????? ??????x≤
当x>1时,y>1,当x≤1时,y≥
难度分级:A类
?
3
?
3
,所以函数的值域为
?
,??
?
.
4
?
4
?
11. 求证:函数f(x)= -x
3
+1在区间(-∞,+ ∞)上是单调减函数.
【解题思路】证明:设x1
,x
2
∈R且x
1
2
,则f(x
1
) -f(x
2
)= -x
1
3
+1+x
2< br>3
-1=(x
2
-x
1
)(x
2
2
+x
1
x
2
+x
1
2
)
因为x
2
>x
1
,x
2
2
+x
1
x
2< br>+x
1
2
>0,所以f(x
1
) -f(x
2
)>0即f(x
1
)>f(x
2
),所以f(x)在(-∞,+ ∞)上递减.
难度分级:A类
12. 求证:
f(x)?x?
1
在区间
(0,1)
上是减函数.
x
【解题思路】证明:设
0?x
1
?x
2
?1
,则
x
2
?x
1
?0,0?x
1
x
2
?1
.


f(x
2
)?f(x
1
)

?(x2
?
11
)?(x
1
?)
x
2
x1
11
?)
x
2
x
1
?(x
2
?x
1
)?(
?(x
2
?x
1
)?
?( x
2
?x
1
)
(x
2
?x
1
)< br>x
1
x
2

(x
1
x
2
? 1)
?0
x
1
x
2
1
在区间
(0,1)< br>上是减函数.
x

f(x
2
)?f(x
1
)
.

f(x)?x?
难度分级:B类
ax?11
(a?)

(?2,??)
上的单调性.
x?22
ax?1
【解题思路】:
f(x)?

x?2
13. 讨论函数
f(x)?
ax?2a?1?2a
x?2

1?2a
?1?
x?2
?

?2?x
1
?x
2
, 则
(x
2
?2)(x
1
?2)?0,x
2
?x< br>1
?0
?f(x
2
)?f(x
1
)?
(x< br>1
?x
2
)
1?2a1?2a

??(1?2a)< br>x
2
?2x
1
?2(x
2
?2)(x
1?2)


学习必备 精品知识点

(x
1
?x
2
)
?0

(x< br>2
?2)(x
1
?2)

a?
1
ax?11
时,
f(x
2
)?f(x
1
)
,此时函数
f(x)?(a?)

(?2,??)
上是单调减函数;
2
x?2 2
1
ax?11

a?
时,
f(x
2
)? f(x
1
)
,此时函数
f(x)?(a?)

(?2,?? )
上是单调增函数.
2
x?22
难度分级:B类
2
14. 求函数
y?log
0.7
(x?3x?2)
的单调区间;
【解题思 路】:(1)单调减区间为:
(2,??),
单调增区间为
(??,1)
.
难度分级:B类
15.判断下列函数的奇偶性:
(1)
f(x)?x?x
;
(2)
f(x)?3x?1
;

(3)
f(x)?x?x?8

x?[?2,2)
;

(4)
f(x)?0
;
(5)
f(x)?2x?3x
.

【解题思路】(1) 函数
f(x)?x?x
的定义域为
R
,关于原点对称,

f(?x)?(?x)?(?x)??[x?x]??f(x)
,所以该函数是奇函数.
(2)函数
f(x)?3x?1
的定义域为
R
,关于原点对称, < br>33
3
42
64
3
f(?x)?3(?x)?1??3x?1 ?f(x)

f(?x)??f(x)
,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数,即是非奇非偶函数.
(3) 函数
f(x)?x?x?8

x?[?2 ,2)
的定义域为
[?2,2)
不关于原点对称,故该函数是非奇非偶
函数.
(4)函数
f(x)?0
的定义域为
R
,关于原点对称,
f (?x)?0?f(x)??f(x)
,所以该函数既是奇
函数又是偶函数.
(5) 函数
f(x)?2x?3x
的定义域为
R
,关于原点对称,
4264
f(?x)?2(?x)
4
?3(?x)
2
?2x
4
?3x
2
?f(x)
,所以该函数是偶函数.
难度分级:A类
16. 已知f(x)是R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求 f(x)的解析式.
【解题思路】 ∵f(x)是奇函数,可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.


学习必备 精品知识点
当x>0时,-x<0,由已知f(-x)=xlg(2+x),
∴-f(x)=xlg(2+x),即f(x)=-xlg(2+x) (x>0).
?
?
-xlg(2-x) (x<0),
∴f(x)=
?

?
-xlg(2+x) (x≥0).
?

即f(x)=-xlg(2+|x|) (x∈R).
难度分级:B类
17. ( 2010·温州一模)设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0,5]时,函数y=f(x)的图 象如图所示,
则使函数值y<0的x的取值集合为________.

【解题思路】由原函数是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象
关于坐标原点对称,由y=f(x)在[0,5]上的图象,得它在[-5,0]
上的图象,如图所示.由图象知,使函数值y<0的x的取值
集合为(-2,0)∪(2,5).
难度分级:B类
18. 设函数f(x)=x
2
-2|x|-1 (-
(1)证明:f(x)是偶函数;
(2)画出函数的图象;
(3)指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数;
(4)求函数的值域


【解题思路】:(1)证明 : f(-x)=( -x)
2
-2|-x|-1=x
2
-2|x|-
即f(-x)=f( x),∴f(x)是偶函数
(2)解: 当x≥0时,f(x)=x
2
-2x-1 =(x-1)
2
-
当x<0时,f(x)=x
2
+2x-1=(x+ 1)
2
-
?
(x?1)
2
?2
即f(x)=
?
2
?
(x?1)?2
,

(?3?x?0)
(0?x?3)

根据二次函数的作图方法,可得函数图象如图所示
(3)解: 函数f(x)的单调区间为[-3,-1),[-1,0),[0,1),[1,3].
f(x)在区间[-3,-1)和[0,1)上为减函数,在[-1,0),[1,3]上为增函数.
(4)解: 当x≥0时,函数f(x)=(x-1)
2
-2的最小值为-2,最大值 为
当x<0时,函数f(x)=(x+1)
2
-2的最小值为-2,最大值为f(-< br>故函数f(x)的值域为[-2,2].


学习必备 精品知识点
难度分级:B类
19. 把函数f(x)=log
2
x图象上 所有点向右平移2个单位得到g(x)的图象,求g(x)的表达式.
【解题思路】:在函数f(x) =log
2
x的图象上任取一点A(x,log
2
x),向右平移2个单位后 点A对应
的坐标为A
1
(x+2,log
2
x),A
1在g(x)的图象上,所以g(x+2)=log
2
x,所以g(x)=log
2
(x-2)
即为g(x)的表达式.
难度分级:B类
20. 若f(x)=a
x
与g(x)=a
xa
(a>0且a≠1)的图象关于直线x=1对称,则a=________.
--
【解题思路】: g(x)上的点P(a,1)关于直线x=1的对称点P′(2-a,1 )应在f(x)=a
x
上,

∴1=a
a2
.∴a-2=0,即a=2.

难度分级:B类
【课堂训练】
1. 求下列函数的定义域:
(1)y=
lg(2?x)
12?x?x
2
+(x-1)
0
; (2)y=
x
2
+(5x-4)
0
; (3)y=
25?x
2
+lgco
lg(4x?3)

?< br>x?2
?
2?x?0
?
2
【解题思路】:(1)由
?
?
12?x?x?0,

?
?3?x?4,
?
x? 1
?
x?1?0
?
?
所以-3<x<2且x≠1.
故所求 函数的定义域为(-3,1)∪
3
?
x??
?
4
?
4x?3?0
?
1
?
(2)由
?
4x?3?1,

?
?
x??,
2
?
5x?4?0
?
??
4
x?
?
5
?

∴函数的定义域为
?
?,?
?
?(?,)?(,??).

?
3
?
4
1
?
2
?
14
25
4
5
?
?5?x?5
?
25?x
2
? 0
(3)由
?
,得
?
,

?
??
2k
?
??x?2k
?
?(k?Z)
?
cosx?0
?
22
?
借助于数轴,解这个不等式组,得函数的定义域为
?
?5 ,?
?
?
3
?
?
??
?
3
??
?
?
(?,)
?
?
,5
?
.
2
?
22
?
2
?

难度分级:A类
2. 设函数y=f(x)的定义域为[0,1],求下列函数的定义域
(1)y=f(3x); (2)y=f(
(3) y=f(
x?)?f(x?)
【解题思路】:(1)0≤3 x≤1,故0≤x≤
(2)仿(1)解得定义域为[1,
1
3
1
x< br>

-
1

3
1
3
1
3
的定义域为[0,


学习必备 精品知识点
(3)由条件,y的定义 域是f
(x?)

(x?)
定义域的交集
12
??
1
0?x??1
?
??x?
?
12
?
333
列出不等式组
?
?
?
??x?,

?
33
?
0?x?
1
?1
?
1
?x?
4
??< br>33
??
3
1
3
1
3

故y=f< br>(x?)?f(x?)
的定义域为
?
,
?
.
33< br>33
??
11
?
12
?
(4)由条件得
?< br>①当
?
②当
?
?
0?x?a?1
?
?a?x ?1?a
?
?
,
讨论:
0?x?a?1a?x?1?a
??



1
2
?
a?1?a,
1
即 0≤a≤时,定义域为[a,1-a]
2
?
1?a?1?a,
?
a? ?a,
1
即-
≤a≤0时,定义域为[-a,1+a]
2
?
?a?1?a,
1
2
综上所述:当0≤a≤时,定义域为[a,1-a];当-
≤a≤0时,定义域为[-a,1+a]
难度分级:B类

3. 已知f(x)+ g(x)=3x+
2
x
,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,求f(x)的解析 式.
答案:
f(x)?3x?2
x?1
?2
?1?x
.
难度分级:B类
1
4. 已知函数
?
(x)=f(x)+g(x) ,其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数,且
?
()=16,
3
?
(1)=8.求
?
(x)的解析式,并指出定义域; 【解题思路】:设f(x)=ax,g(x)=
bb
,a、b为比例常数,则
?< br>(x)=f(x)+g(x)=ax+
xx
?
1
?
1
?
a?3
?
?
()?16,
?
a?3b?16

?
3

?
3
,解得
?

b?5
?
??
?
?
(1)?8
?
a?b?8
∴< br>?
(x)=3x+
难度分级:B类

5.
f
?x
?
?2x?5
x?
?
2,5
?
的值域是 .
5
,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) .
x
??
【解题思路】:
?
9,15
?
.
难度分级:A类
6. (1)
f
?
x
?
?x?2x?5
的最小值为 ,值域为 .
2
(2)
f
?
x
?
?x
2
?2x?5
?
x?
?
0,3
?
?
的值域为 .
【解题思路】:(1)4,
?
4,??
?
;(2)
?
4,8
?
.


学习必备 精品知识点
难度分级:A类
7.
y?
1
,x?
?
?3,?1
?
的值域是 .
x
?
?
1
?
?
【解题思路】:
?< br>?1,?
?
.
3
难度分级:A类
8. 求下列函数的值域:
(1)y=
1?x
2x?5
1?x
2
1
2
(3)y=x+
4

x
【解题思路】:(1)(分离常 数法)y=-
?
故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-
242
7
1
7
,∵
≠0,∴y≠-
.
2(2x?5)
2
2(2x?5)
1
2
2

1
2
(2) y=|x|·
1?x??x?x??(x?)?,
∴0 ≤y≤
,
即函数的值域为
?
0,
?
.
2
2
24
??
1
1
?
1
?
(3)任取x1
,x
2
,且x
1
<x
2
因为f(x
1
)-f(x
2
)=x
1
+

(x?x)(xx? 4)
4
4
,
-(x
2
+)=
1212
x< br>1
x
2
x
2
x
1

所以当x≤- 2或x≥2时,f(x)递增,当-2<x<0或0<x<2时,f(x)递减
故x=-2时,f(x)
最大值
=f(-2)=-4,x=2时,f(x)
最小值
所以所求函数的值域 为(-∞,-4]∪[4,+∞)
难度分级:A类
9. 已知f(x)=(e
x
-a)
2
+ (e
x
-a)
2
(a
?
0).



e
x
?e
?x
(1) f(x)将表示成u= 的函数;
2
(2) 求f(x)的最小值
【解题思路】:(1)将f(x) 展开重新配方得 ,f(x)=(e
x
+e
x
)
2
-2a(e
x+e
x
)+2a
2
-2,
--
e
x
?e
?x
22
令u= ,得f(x)=4u-4au+2 a-2(u
?1
).
2
(2)因为f( u)的对称轴是u=
a
,又a
?0
,

2
2
所以当
0?a?2
时,则当u=1时,f(u)有最小值,此时f(u)
min =f(1)=2(a-1).
当a>2时,则当u=
aa
2
时,f (u)有最小值,此时f(u)
min
=f ()=a-2.
22


学习必备 精品知识点
2
?
?
2(a?1)(0?a?2),
所以f(x)的最小值为f(x)
min
=
?
.
2
?
?
a?2(a?2)
难度分级:C类
10. 若f(x)=
ax?1
在区间(-2,+
?
)上是增函数,求a的取值范围.
x?2
ax
1
?1ax
2
?1
?
x
1
?2x
2
?2
【解题思路】:设
?2?x
1
?x
2
,f(x
1
)?f(x
2
)?
?

?
(ax
1
?1)(x
2
?2)?(ax? 2)
2
1)(x?
1
(x
1
?2)(x
2
?2)
(ax
1
x
2
?2ax
1
?x
2< br>?2)?(ax
1
x
2
?2ax
2
?x
1< br>?2)

(x
1
?2)(x
2
?2)
2ax
1
?x
1
?2ax
2
?x
2
(2a?1) (x
1
?x
2
)
?
(x
1
?2)(x2
?2)(x
1
?2)(x
2
?2)
?
由f(x)=
1
ax?1
在区间(-2,+
?
)上是增函数得
f(x
1
)?f(x
2
)?0
?2a?1?0
∴a> .
,
2
x?2
难度分级:B类
1
?x
2
?2x
11. 求函数y=
()
的单调区间.
2
【解题思路】:定义域是R.令
u ??x
2
?2x
,则
y?()
u
.

x ?(??,1]
时函数
u??x
2
?2x
为增函数,
y?( )
u
是减函数,所以函数y=
()
?x
1
2
12
1
2
2
?2x

(??,1]

是 减函数;当
x?[1,??)
时函数
u??x
2
?2x
为减 函数,
y?()
u
是减函数,所以函数y=
()
?x
在上< br>[1,??)
是增函数.
综上,函数y=
()
?x
难度分级:A类
12. 解关于x的对数不等式2 log
a
(x-4)>log
a
(x-2).
1
2
1
2
2
?2x
1
2
2
?2x
的单调增区间是
[1,??)
,单调减区间是
(??,1]
.
?
log
a
(x?4)
2
?log
a
(x?2),
?
【解题思路】:原不等式等价于
?
x?4?0,
< br>?
x?2?0,
?
?
(x?4)
2
?x?2,
?
(1)当a>1时,又等价于
?
x?4?0,
解之,得x>6.
?
x?2?0,
?


学习必备 精品知识点
?
(x?4)
2
?x?2

(2)当0 ?
解之,得4x?4?0
?
综上,不等式的解集,当a>1时,为(6,+ ∞);当0难度分级:B类
13. 已知函数
y? f(x)
的定义域为
R
,且对任意的正数
d
,都有
f(x? d)?f(x)
,求满足
f(1?a)?f(2a?1)

a
的取值 范围.
【解题思路】∵
d?0
时,
f(x?d)?f(x)
,∴函 数
y?f(x)
是减函数,
∴由
f(1?a)?f(2a?1)< br>得:
1?a?2a?1
,解得
a?

a
的取值范围是
(??,)

难度分级:B类
14. 判断下列函数的奇偶性
( 1)f(x)=
x?1?1?x
2
2
2

3
2
3



2
(2)f(x)=log
2
(x+
x?1
) (x∈R
(3)f(x)=lg|x-
【解题思路】:(1)∵x
2
-1≥ 0且1-x
2
≥0,∴x=±1,即f(x)的定义域是{-1,
∵f(1)=0,f (-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-
故f(x)既是奇函数又是偶函数


(2)方法一 易知f(x)的定义域为R,
又∵f(-x)=log
2
[-x+
(?x)?1
]=log
2
2
1
x?x
2
?1
=-log
2
(x+
x?1
)=-
2

∴f(x)是奇函数
方法二 易知f(x)的定义域为R,
又∵f (-x)+f(x)=log
2
[-x+
(?x)?1
]+log
2
(x+
x?1
)=log
2
1=0,即f(-x)=-
2< br>2

∴f(x)为奇函数
(3)由|x-2|>0,得x≠2.∴f(x) 的定义域{x|x≠2}关于原点不对称,故f(x)为非奇非偶函数
难度分级:A类
【课后检测】
1. 求下列函数的定义域


学习必备 精品知识点
1
?x
2
?3x?4
. (3)
9

x?1
2x
【解题思路】(1)令
?0
.解得x
?
1,或x<-1.
?1?0
,得
x?1
x?1
(1)y=
10
;(2)y=
3
2x?1
2x
?1
x?1
y?
ln(x?1)
?
故定义域为{x│x
?
1,或x<-1}. (2)令3
2x?1
?
111
?0
,所以x
??
.所以定义域为[-
,??)
.
922
(3)由
?
?< br>x?1?0
?
x??1
???1?x?1
.
?
2< br>?
?x?3x?4?0
?
?4?x?1
难度分级:A类
2. 给出下列两个条件:(1)f(
x
+1)=x+2
x
出f(x)的解析式


为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求【解题思路】:(1)令t=
x
+1,∴t≥1,x=(t-1)
2
则f (t)=(t-1)
2
+2(t-1)=t
2
-1,即f(x)=x
2
-1,x∈[1,
(2)设f(x)=ax
2
∴f(x+2)=a(x+2 )
2

?
?
4a?4

4a?2b?2
?

则f(x+2)-

?
?
a?1
,又f(0)= 3
?
c=3,∴f(x)=x
2
-
?
b??1


难度分级:A类
3.求下列函数的值域:
(1)y=
x
2
?x
;
(2) y=x-
1?2x
x
2
?x?1
133
1
,

x
2
?x?1?(x?)
2
??,

244< br>x?x?1
2
e
x
?1
e
x
?1

【解题思路】:(1)∵y=1-
∴0<
14
1
?
1
?
?,
??y?1.
∴∴值域为
?
?
3
,1?
.
x
2
?x?13
3
??
(2)方法一 (单调性法)
111
定义域
?
x|x?
?
,函数y=x, y=-
1?2x
均在
?
??,
?
上递增,故y≤
? 1?2??.

2
?
2
?
222
??
?< br>1
??
1
?
∴函数的值域为
?
??,
?.
2
??
?
1
?
方法二 (换元法)
令< br>1?2x
=t,则t≥0,且x=
1?t
2
.
2
∴y =-(t+1)
2
+1≤
(t≥0)
1?y
>0,解得-1<y<< br>1?y
1
2
1
2
∴y∈(-∞,]

1
2

e
x
?1
1?y
(3)由y=x
得,e
x
=
.
e?1
1?y
∵e
x
>0,即
∴函数的值域为{y|-1<y<


学习必备 精品知识点
难度分级:A类
4.求函数y=
log
(4x-x
2
)的单调区间
1
2



【解题思路】: 由4x -x
2
>0,得函数的定义域是(0,4).令t=4x-x
2
,则y=log
1
2
∵t=4x-x
2
=-(x-2)
2
+4,∴t=4x-x
2
的单调减区间是[2,4),增区间是(0,2]
又y=< br>log
t在(0,+∞)上是减函数,
1
2
∴函数y=
lo g
(4x-x
2
)的单调减区间是(0,2],单调增区间是[2,4).
1
2
难度分级:A类
5.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f(
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的单调性;
(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-


x
1
)
=f(x
1
)-f(x
2
),且当x>1时,f(x)<0.
x
2
【解题思路】:(1)令x< br>1
=x
2
>0,代入得f(1)=f(x
1
)-f(x
1
)=0,故
(2)任取x
1
,x
2
∈(0,+∞),且 x
1
>x
2
,则
x
1
x
2
x1
>1,由于当x>1时,f(x)<
x
2
所以f
()
<0,即f(x
1
)-f(x
2
)<0,因此f(x
1
)< f(x
2
所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数
(3)由f(


9
x
1
)=f(x
1
)-f(x
2
)得f(
)
=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-
3
x
2

由于函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数,
由f(|x|)<f(9),得|x|>9,∴x>9或x<-9.因此不等式的解集为{x|x>9或x<-9 }.
难度分级:B类
6.判断下列各函数的奇偶性:
2?x
(1)f (x)=(x-2);
2?x
lg(1?x
2
)
(2)f(x)=< br>2

|x?2|?2
?
x?2
(3)f(x)=
?< br>?
0
?
?x?2
?
(x??1),
(|x|?1),

(x?1).
【解题思路】:(1)由
2?x
≥0,得定义域为[ -2,2),关于原点不对称,故f(x)为非奇非偶函数
2?x

?
1?x
2
?0,
(2)由
?
2
得定义域为(-1,0)∪(0,1 )
?
|x?2|?2?0.
lg(1?x
2
)lg(1?x
2
)
??
这时f(x)=
?(x
2
?2)?2x
2




lg
?
1?(?x)
2
?
lg(1?x
2
)
???f(x),
∴f(x)为偶函数∵f(- x)=-
(?x)
2
x
2
(3)x<-1时,f(x)=x+2,- x>1,∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x)


学习必备 精品知识点
x>1时,f(x)=-x+2,-x<-1,f(-x)=-
-1≤x≤1时, f(x)=0,-1≤-x≤1,f(-x)=0=f(x)


∴对定义域内的每个x都有f(-x)=f(x).因此f(x)是偶函数
难度分级:A类
7 .已知f(x)是奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=lg
达式是__________. 1
,那么当x∈(-1,0)时,f(x)的表
1?x
1
=lg(1-x ).
1?x
【解题思路】:当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1),∴f(x)=-f (-x)=-lg
难度分级:A类


学习必备 精品知识点
第三讲 基本初等函数
【课标解读】
1. 掌握指数、对数的运算法则和推导过程.
2. 熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质,掌握幂函数的通性,及常用的5种幂函数的图象与
性质.
3. 能用指数函数、对数函数、幂函数的性质解决一些问题.
【知识梳理】
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果
x?a
,那么
x
叫做
a

n
次方根,其中
n
>1,
n

N
*

? 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作
n
0?0
.
n
?
a(a?0)

n
是奇数时,
a?a
,当
n
是偶数时,
a?|a|?
?

?a(a?0)
?
n
n
n
n
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
a
m
n
?
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)

m
na
?
?
1
a
m
n
?
1
na
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)

? 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
(a?0,r,s?R)
; (1)
a
r
?a
s
? a
r?s
·
rsrs
(a)?a
(a?0,r,s?R)


(2)
(3)
(ab)?ab(a?0,r?R)

(二)指数函数及其性质
1.指数函数的概念:一般地,函数
y?a(a?0,且a ?1)
叫做指数函数,其中x是自变量,函
数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
x
rrr


学习必备 精品知识点
2、指数函数的图象和性质
a>1
6
06
5 5
44
33
22
1
1
1
1
-4-2
0
-1
246-4-2

定义域 R
值域y>0
0
-1
246

定义域 R
值域y>0
在R上单调递增
非奇非偶函数
函数图象都过定
点(0,1)

在R上单调递减
非奇非偶函数
函数图象都过定
(0,1)
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,
f(x) ?a(a?0且a?1)
值域是
[f(a),f(b)]

[f(b),f( a)]

(2)若
x?0
,则
f(x)?1

f (x)
取遍所有正数当且仅当
x?R

(3)对于指数函数
f(x )?a(a?0且a?1)
,总有
f(1)?a

二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:一般地,如果
a?N
(a?0,a?1),那么数
x
叫做以

a
为底
..
N
的 对数,
记作:
x?log
a
N

a
— 底数,
N
— 真数,
log
a
N
— 对数式)
说明:① 注意底数的限制
a?0
,且
a?1

x

a?N?log
a
N?x

x
x
x
log
a
N

③注意对数的书写格式.
两个重要对数:①常用对数:以10为底的对数
lgN

②自然对数:以无 理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN

? 指数式与对数式的互化
幂值 真数


学习必备 精品知识点

a
b
= N
?
log
a
N
= b

底数
指数 对数
(二)对数的运算性质
如果
a?0
,且
a?1
,< br>M?0

N?0
,那么:
1.
log
a
(M
·
N)?
log
a
M

log
aN

2.
3.
log
a
M
?
l og
a
M

log
a
N

N
l og
a
M
n
?n
log
a
M

(n?R)

注意:换底公式
log
a
b?
log
c
b

a?0,且
a?1

c?0
,且
c?1

b?0).
log
c
a
利用换底公式推导下面的结论
(1)
log
a
m
b
n
?
(三)对数函数
1. 对数函数的概念:函数
y?log
a
x(a?0
,且
a?1)
叫做对数函数,其中
1
n
(2)
log
a
b?

log
a
b

log
b
a
m
x
是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:(1)对数函数的定义与指 数函数类似,都是形式定义,注意辨别.如:
y?2log
2
x

y ?log
5
x
都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
5
(2)对数函数对底数的限制:
(a?0
,且
a?1)




2. 对数函数的性质:
a>1 0


学习必备 精品知识点
3
3
2.5
2.5< br>2
2
1.5
1.5
1
-1
1
1
1< br>1
0.5
0.5
0
-0.5
1
2345678
-1
0
1
-0.5
1
2345678
-1
-1< br>-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5

-2.5

定义域x>0
值域为R
在R上递增
函数图象都过
定点(1,0)
三、幂函数
定义域x>0
值域为R
在R上递减
函数图象都过定点
(1,0)
?
y?x
1. 幂函数定义:一般地,形如
(
?
?R)的函数称为幂函数,其中
?
为常数.
2. 幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)
?
?0
时,幂函数的图象通过原点,并且在区间
[0,??)
上是增函数.特别 地,当
?
?1
时,幂函数的图象下凸;当
0?
?
?1
时,幂函数的图象上凸;
(3)
?
?0
时,幂函数的图象在区间
(0,??)
上是减函数.在第一象限内,当
x
从右边趋向
原点时,图象在< br>y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴,当
x
趋于
??时,图象在
x
轴上方无限
地逼近
x
轴正半轴.
【方法归纳】
一、牢记基本初等函数的图象,解决关于它们的问题时,可借助其图象来分析和解题.
二、指 数函数和对数函数是一对反函数,图象关于y=x对称,可根据这一点帮助记忆它们的图象和
性质.
三、幂函数图象如果分布在两个象限,则必函数必有奇偶性,可以利用图象的对称性处理一些问题.



课堂精讲练习题
1. (2009·江苏)已知a=
为________.
5-1
,函数f(x)=ax
,若实数m、n满足f(m)>f(n),则m、n的大小关系
2


学习必备 精品知识点
【解题思路】: ∵0答案:m难度分级: A类
5-1
<1,∴函数f(x)=a
x
在R上是减 函数.又∵f(m)>f(n),∴m2
2. 若函数y=a
2x
+ 2a
x
-1(a>0且a≠1)在x∈[-1,1]上的最大值为14,求a的值.
【解题思路】:令a
x
=t,∴t>0,则y=t
2
+2t-1=(t+1)
2
-2,其对称轴为t=-1.该二次函数在[-1,
+∞)上是增函数.
1
?
,a
,故当t=a,即x=1时,y
max
=a
2+2a-1=14, ①若a>1,∵x∈[-1,1],∴t=a
x

?
?
a
?
解得a=3(a=-5舍去).
1
1
a,
?
,故当t=,即x=-1时, ②若0x

?
?
a
?
a
1
?
2
11
+1
-2=14.∴a=或-(舍去). y
max

?
?
a
?
35
1
综上可得a=3 或.
3
难度分级:B类
3. (2010·巢湖一模)将下列各数按从大到小的顺序排列:
1
?
3
?1
?
π
log
8
9,log
7
9,
l og
1
3

(log
1
9)
2

?
?
2
?

?
2
?
.
2
2
【解题思路】:
(log
1
9)
2
=(-log
2
9)
2

(log
2
9)

2
2
在同一坐标系内作出y=log
8
x,y=log
7
x,y=log
2
x的图象如图所示,当x=9时,由图象知
log
2
9>log
7
9>log
8
9>1=log
8
8,∴
(log
2
9)
>log
7
9>log
8< br>9>1,
2


log
1
9?log
7< br>9?log
8
9?1
.
2
2
1
x
1
3
1
?
π

y?()
在R上是减函数,∴1>< br>()
>
?
>0.
2
??
2
2
又< br>log
1
3
<0,∴
log
1
9?log
7
9?log
8
9?()?()
?
?log
1
3.< br>
2
22
1
2
3
1
2
难度分级:B类
4. (2010·莆田调研)已知函数y=
log
1
(x
2
-2kx+k)的值域为R,则k的取值范围是 .
2
【解题思路】: 要满足题意,t=x
2
-2kx+k要能取到所有正实数,抛物线要与坐标轴有交点,


学习必备 精品知识点
∴Δ=4k
2
-4k≥0.解得k≥1或k≤0.
难度分级:B类
5. (1)已知
3?3
,求实数
x
的取值范围;
(2)已知
0.2?25
,求实数
x
的取值范围.
【解题 思路】:(1)
f
(
x
)
?
3

R
上是增函数,由
3?3

x?0.5

即实数
x
的取值范围是
[0.5,??)
.
x
x 0.5
x
x0.5
x
(2)
f(x)?0.2

R
上是减函数,又
25?()
1
5
?2
?0.2
?2
,由
0.2
x
?0.2
?2

x??2

即实数
x
的取值范围是
(?2,??)
.
难度分级:B类
6. 已知函数
y?a
(a?0,a?1)
在区间
[?1,1]上的最大值与最小值的差是1,求实数
a
的值.
【解题思路】:当
a? 1
时,函数
y?a
在区间
[?1,1]
上是增函数,
a?a
x
x
1?1
?1
,∵
a?1


a?
1?5
?11
x
;当
0?a?1
时,函数
y ?a
在区间
[?1,1]
上是减函数,
a?a?1
,∵
0? a?1

2
1?5
?1?5?1?5
;综上:
a?

a?
.
2
22

a?
难度分级:B类

7. 比较下列各组数中两个值的大小:
(1)
log
2
3.4

log
2
8.5

(2)
(3)
log
0. 3
1.8

log
0.3
2.7

log
a
5.1

log
a
5.9
.
(4)
1.1
0.9

log
1.1
0.9

log
0.7
0.8

【解题思路】:(1)
log< br>2
3.4?log
2
8.5

(2)
log
0.3
1.8?log
0.3
2.7

(3)当
a?1
时,
log
a
5.1?
loga
5.9


o?a?1
时,
log
a
5.1?
log
a
5.9

(4 )
1.1
0.9
?
log
0.7
0.8?log
1 .1
0.9
.


学习必备 精品知识点
难度分级:A类
8. 比较下列各组数中两个数的大小:
(1)
log< br>7
5

log
6
7
; (2)
lo g
2
3

log
4
5

3
2
【解题思路】:(1)∵
log
6
7?log
6
6? 1

log
7
5?log
7
7?1
,∴
log
6
7?
log
7
5

(2)∵
log
2
3?log
4
9

难度分级:B类
9. 解方程:
33
?log
4
8

log
4
5 ?log
4
8?log
4
9

log
4
5
??
log
2
3
.
22
,
log
5
(3x)?log
5
(2x?1)
.
?
3x>0?
【解题思路】:由
log
5
(3x)?log
5
(2 x?1)

?
2x?1>0
?
3x=2x?1
?
解 得x=1.

难度分级:A类
10. (1)若
log
a4
?1
(a?0

a?1)
,求
a
的取值范围
5
(2)已知
log
(2a?3)
(1?4a)?2
,求
a
的取值范围;
【解题思路】:(1)当
a?1

y?
log
a
x

(0,??)
上是单调增函数,

log
a
44
?log
a
a?a?
?a?1< br>;

55
,

0?a?1

y?log< br>a
x

(0,??)
上是单调减函数,

log< br>a
4
44
?log
a
a
?0?a??0?a?

55
.
5
,
4
5
(1,??)
综上 所述:
a
的取值范围为
(0,)
2
(2)当
2a?3?1< br>,即
a??1
时,由
1?4a?(2a?3)
, 解得
?2?2?a??2?2


?1?a??2?2
.


0?2a?3?1
,即
?
3
?a??1
时,由< br>0?1?4a?(2a?3)
2
, 解得
a??2?2
,此时无解.
2
综上所述:
a
的取值范围为
(?1,?2?2)
.
难度分级:A类
11. 已知
2
5a
?5
3b
? 10
c
,求
a,b,c
之间的关系.


学习必备 精品知识点
【解题思路】:∵

lg2?
2
5a
?5< br>3b
?10
c
,∴两边取以10为底的对数得:
5alg2?3blg 5?c

cc
cc
,lg5?
,∵
lg2?lg5?1,

??1
.
5a3b
5a3b
难度分级:B类 < br>1
log
3
log
5
(x
2
?
5< br>)
?1.
12. 解不等式
()
2
【解题思路】:{x|-1难度分级:B类
13. 求函数
y?(x?1)?(3?x)
【解题思路】:答案:
[1,3)

难度分级:A类
14. 已知
(x?3)
?
1
3
1
2
?
3
2
14
2525
}∪{x|55
的定义域.
?(1?2x)
,求
x
的取值范围. < br>?
1
3
?
1
3
【解题思路】:因为
y?x< br>原不等式可以化为
(1)
?

(??,0)

(0 ,??)
上为减函数,
x?0
时,
y?0

x?0
时,
y?0

?
1?2x?0,
?
x?3?1?2x,< br>?
x?3?1?2x,
(2)
?
(3)
?

?
x?3?0.
?
1?2x?0,
?
x?3?0,
(1)无 解;(2)
x??4
,(3)
?
1
?x?3

2
1
?x?3
}.
2
所以所求
x
的取值 范围为{
x|x??4或?
难度分级:B类
15. 若60=3,60=5.求12
ab
1?a?b
2(1?b)
的值.
【解题思路】:a=log
60
3,b=log
60
5,1-b=1-lo g
60
5=log
60
12,1-a-b=1-log
60
3-log
60
5=log
60
4,
log
12
4
log
60
4
1?a?b
==log
12
4,1 2
2(1?b)
=12
2
=12
log
12
2=2.
log
60
12
1?b
1?a?b
1
难度分级:B类
16. 若函数(fx)=log
a
(x0<a<1)在区间[a ,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a等于 .
【解题思路】:∵0< a<1,∴f(x)=log
a
x是减函数.∴log
a
a=3·loga
2a.∴log
a
2a=
1
.
3


学习必备 精品知识点
∴1+log
a
2 =
2
12
.∴log
a
2=-.∴a=.
4
33
难度分级:B类

【课堂训练】
1. 已知0< aa
c,n=log
b
c,则m与n的大小关系是 .
m
【解题思路】:∵m<0,n<0,
=log
a
c·log< br>c
b=log
a
ba
a=1,∴m>n.
n
难度分级:B类
2. 设
4?5?100
,求
2(?)
的值.
ab
1
a
2
b
【解题思路】:∵
4
?
5
?
100< br>,∴
alg4?blg5?2
,∴
ab
22
?lg4,?lg 5

ab

2(?)
?lg4?lg25?lg100?2
.
难度分级:B类
3.若函数y=lg(3-4x+x
2
)的定义域为M.当 x∈M时,求f(x)=2
x2
-3×4
x
的最值及相应的x的值.

1
a
2
b
【解题思路】:y=lg(3-4x+x
2< br>),∴3-4x+x
2
>0,解得x<1或x>3,∴M={x|x<1或x>3},
f(x)=2
x2
-3×4
x
=4×2
x
-3×( 2
x
)
2
.令2
x
=t,∵x<1或x>3,∴t>8或0
2
4
t-
?
2
+(t>8或02
=-3
?
?
3
?
3
由二次函数性质可知:当0?
?4,
?
,当t>8 时,f(x)∈(-∞,-160),
3
?
?
4
?
?224
当2
x
=t=,即x=log
2
时,f(x)
m ax
=.
333
24
综上可知:当x=log
2
时,f( x)取到最大值为,无最小值.
33
难度分级:B类
4.已知函数f(x)=3< br>x
,f(a+2)=18,g(x)=λ·3
ax
-4
x
的定 义域为[0,1].
(1)求a的值;
(2)若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数,求实数λ的取值范围.
【解题思路】:方法一 (1)由已知得3
a2
=18?3
a
=2? a=log
3
2.

(2)由(1)得g(x)=λ·2
x
-4
x
,设0≤x
1
2
≤1,因为g(x)在区间[ 0,1]上是单调减函数,
xxxx
所以
g(x
1
)?g(x2
)?(2
1
?2
2
)(
?
?2
2< br>?2
1
)?0
恒成立,即
?
?2
2
?21
恒成立.
xx
由于
2
2
?2
1
? 2?2?2
,所以,实数λ的取值范围是λ≤2.
xx
00


学习必备 精品知识点
方法二 (1)由已 知得3
a2
=18?3
a
=2?a=log
3
2.

(2)由(1)得g(x)=λ·2
x
-4
x
,因为g(x)在 区间[0,1]上是单调减函数,
所以有g′(x)=λln 2·2
x
-ln 4·4
x
=ln 2[-2·(2
x
)
2
+λ·2
x
]≤0成立.
设2
x
=u∈[1,2],上式成立等价于-2u
2
+λu≤0恒成立.
因为u∈[1,2],只需λ≤2u恒成立,所以实数λ的取值范围是λ≤2.
难度分级:C类
【课后检测】
1. 计算:(1)
(124?223)?27?16?2(8)

2
1
2
1
6
3
4
?
2
3
?1
(2)< br>(lg2)?lg2?lg50?lg25

(3)
(l og
3
2?log
9
2)?(log
4
3?log
8
3)

【解题思路】:(1)原式
?(11?3)
1
2
3
2?
1
2
?3
3?
2
3
3?< br>1
6
?2
4?
3
4
?2?8
2
?? (?1)
3


?11?3?3?2?2?2
2
?11?3?3?8?8?11

2
(2)原式
?(lg2)?(1?lg5)lg2?lg5?(lg2?lg5 ?1)lg2?2lg5


?(1?1)lg2?2lg5?2(lg2?lg5)?2

(3)原式?(
lg2lg2lg3lg3lg2lg2lg3lg3
?)?(?)?(?)?(?)

lg3lg9lg4lg8lg32lg32lg23lg2

?
3lg25lg35
??

2lg36lg24
难度分级:B类
2. 若0y>1,则下列关系式中正确的序号是 .
① a
x
>a
y
②x
a
>y
a
③log
a
x>log
a
y ④log
x
a>log
y
a
【解题思路】: ∵0y>1,∴y=a
x
递减,故①不正确;
y=x
a
递增,故②正确;
y=log
a
x递减,故③不正确.
∵log
x
a<0, log
y
a<0,∴log
x
a>log
y
a?loga
xa
y,故④正确.
综上,②④正确.
难度分级:B类
3. 已知(0.7
1.3
)
m
<(1. 3
0.7
)
m
,则实数m的取值范围是__________.
【解题思路】: ∵0<0.7
1.3
<0.7
0
=1,1.30.7
>1.3
0
=1,∴0.7
1.3
<1.3
0. 7
.而(0.7
1.3
)
m
<(1.3
0.7
)< br>m

∴幂函数y=x
m
在(0,+∞)上单调递增,故m>0.


学习必备 精品知识点
难度分级:B类
4. 解不等式:(1)
9?3
x
xx?2
;
(2)
3?4?2?6?0
.

,

3
2x
xx
【解题思路】:(1)∵
9?3
x
x?2
?3
x?2
.

又∵
y?3
在定义域上是增函数,∴原不等式等价于
2 x?x?2
,
解之得
x??2
.

∴原不等式的解集为
{x|x??2}
.

(2)
3?4?2?6?0
可以整理为
3?4?2?6
.

xxxx
2
x
2
1
4
x
2
4?0,6?0
, ∴
x
?

()?()

63
33
xx
又∵
y?()
在定义域上是减函数,∴
x?1
.

故原不等式的解集为
{x|x?1}

难度分级:B类
5. 若函数
y?(1?a)

R
上是减 函数,则实数
a
的取值范围是
【解题思路】:
(0,1)

难度分级:A类
6. 已知函数f( x)=a
x
(a>0,且a≠1),根据图象判断
x
2
3
x
x?x
2
1
[f(x
1
)+f(x
2
)] 与f(
1
)的大小,并加以证明.
2
2
x
1
?x
2
1
)<[f(x
1
)+f(x
2
)].
2
2
【解题思路】:由a>1及0x
1
x
2
x?x
2
xx
证明如下:f(x
1
)+f(x
2
)-2 f(
1
)=
a
1
+
a
2
-2a
2
x
1
x
2
x
1
x
1
?x
2
2
=( a
2
-a
2
)
2
,
x
2
由于< br>x
1
?x
2
,所以a
2
-a
2
?0
,所以( a
2
-a
2
)
2
>0.
x< br>1
?x
2
x
1
?x
2
1
所以f(x
1
)+f(x
2
)-2 f()>0.即 [f(x
1
)+f(x
2
)]> f().
22
2
难度分级:B类
7. 求下列函数的定义域与值域.
(1 )y=
10
2x
?1
x?1
;(2)y=
()
1< br>2
2x?x
2
;(3)y=
3
2x?1
?
1

9


学习必备 精品知识点
【解题思路】:(1)令
x?1
2x
?0
.解得x
?
1或x<-1.
?< br>1
?
0
,得
x?1
x?1
故定义域为{x│x
?
1,或x<-1}.
由于
2x
2x
2x
?2
,所以
?1?0
,且
?1?0

x?1
x?1
x ?1
2x
?1
x?1
2x
?1?1

x?1
故函数y=
10
的值域为{y│y
?1,
且y
?10
};
(2) 定义域为R;由于2x-x
2
=-(x-1)
2
+1
?1
,所以值域为[
1
,??)
.
2
(3)令3
2x?1
111
??0
,所以x
??
.所以定义域为[-
,??)
,值域为[
0,??)
.
922
难度分级:A类
8. 设
lga?lgb?2lg(a?2b)
,求:
log
4a
的值.
b
2
【解题思路】:当
a?0,b?0,a?2b? 0
时,原式可化为:
ab?(a?2b)
,即
a?5ab?4b?0
,

22
aa
aaa
()
2
?5()?4?0,∴
?4

?1
(舍),∴
log
4
?1.
bbb
bb
难度分级:B类
9. (1)已知:
log< br>a
x?log
a
c?b
,求
x
;

(2)
log
4
9?log
27
25?log
125
16

;
(3)
(log
4
3?log
8
3)(log
3
2?log
9
2)?log
1
4
32

2
.
【解题思路】:(1)(法一)由对数定义可知:
x?a
log
a
c?b
?a
log
a
c
?ab
?c?a
b

gl
(法二)由已知可得
loga
x?log
a
c?b
,即
o
(法三)
(2) 原式
?
a
xx
b
b
?b
,由对数定义知:
?a
,∴
x?c?a

cc
b?log
a
a< br>b
,∴
log
a
x?log
a
c?log
a
a
b
?log
a
c?a
b
,∴
x?c?a
b

lg9lg25lg16
2lg32lg54lg28
??
????

lg4lg27lg125
2lg23lg33lg59
另解:原式
?log
2
3?
24
8
log
3
5?log
52
?
9
.
33


学习必备 精品知识点
(3) 原式
?
(log
2
3?
难度分级:B类
10.
y?log
1
x?log
1
x?5
44< br>2
1
2
11
55355
log
2
3)?(l og
3
2?log
3
2)
?log
2
2????< br>.
46242
32
x?[2,4]
的最小值和最大值.
【解题思路】:
难度分级:B类
119123
y?(log
1x?)
2
?,?1?log
1
x??,?y
max
?7 ,y
min
?.

2424
44
2
11. 已知< br>x
满足
2(log
0.5
x)?7log
0.5
x? 3?0
,求函数
f(x)?(log
2
xx
)(log
2
)
的最值.
24
2
【解题思路】:由题意:
2(log< br>0.5
x)?7log
0.5
x?3?0

可转化为:
(log
0.5
x?3)(2log
0.5
x?1)?0
,将log
0.5
x
看作整体,
1
?
1
?3解得:
?3?log
0.5
x??
,即
log
0.5< br>0.5?log
0.5
x?log
0.5
0.5
2
, 所以
2?x?8

2
xx
f(x)?(log
2
) (log
2
)
?(log
2
x?1)(log
2
x ?2)
?(log
2
x)
2
?3log
2
x?2, x?[2,8]

24

t?g(x)?log
2
x

x?[2,8]


t?[,3]
2
所以
y< br>min
?h()??
难度分级:B类
22
12. 设
x?1

y?1
,且
2log
x
y?2log
y
x?3?0
,求
T?x?4y
的最小值.
1
2

y?h(t)?t?3t?2,
t?[,3]
2
.,
1
3
2
1

y
max
?h(3)?2
.
4
【解题思路】:令
t?
log
x< br>y
,∵
x?1

y?1
,∴
t?0


2log
x
y?2log
y
x?3?0
得< br>2t?
2
?3?0
,∴
2t
2
?3t?2?0

t
1
11

(2t?1)(t?2)?0
,∵t?0
,∴
t?
,即
log
x
y?
,∴
y?x
2

22

T?x?4y?x?4x?(x?2)?4


x?1
,∴当
x?2
时,
T
min
??4

难度分级:C类
2222


学习必备 精品知识点
13. 设
a

b

c
为正数,且满足
a?b?c

(1)求证:
log
2
(1?
222
b?ca?c
)?lo g
2
(1?)?1

ab
(2)若
log
4
(1?
b?c
2
)?1

log
8
(a ?b?c)?
,求
a

b

c
的值.
a
3
【解题思路】:证明:(1)左边
?log
2
a?b?ca?b? ca?b?ca?b?c
?log
2
?log
2
(?)
< br>abab
(a?b)
2
?c
2
a
2
?2ab ?b
2
?c
2
2ab?c
2
?c
2
?lo g
2
?log
2
?log
2
?log
2
2 ?1

ababab
(2)由
log
4
(1?
b ?c
b?c
)?1

1??4
,∴
?3a?b?c?0…………①
a
a
2
2

log8
(a?b?c)?

a?b?c?8
3
?4
………… ……………②
3
由①
?
②得
b?a?2
…………………………………………………③
由①得
c?3a?b
,代入
a?b?c

2a(4a?3b)?0
,∵
a?0


4a?3b?0
……………………………………………………………④
由③④解得
a?6

b?8
,从而
c?10

难度分级:B类
14. 已知
3?5?c
,且
ab
222
11
??2
,求
c
的值.
ab
1

a
a
【解题思路】:由
3
?c
得:
log
c
3?1
,即
alog
c
3?1
,∴
log
c3?
a
同理可得
111
?log
c
5
,∴由
??2

log
c
3?log
c
5?2

bab
2

log
c
15?2
,∴
c?15
,∵
c?0
,∴
c?15
.
难度分级:B类
15. 已知2
x
2
?x
≤(
1
x

2

),求 函数y=2
x
-2
x
的值域.
4
≤2

2

x

2

【解题思路】:∵2

x< br>2
?x
,∴x
2
+x≤4-2x,即x
2
+3x-4 ≤0,得-4≤x≤1.
--
又∵y=2
x
-2
x
是[- 4,1]上的增函数,∴2
4
-2
4
≤y≤2-2
1
.


学习必备 精品知识点
故所求函数y的值域是[-
难度分级:B类
255
3
,].
2
16
16. 函数f(x)=a
x
+log
a
( x+1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为a,则a的值为 .
【解题思路】:f(x)在[0,1]上是单调函数,
1
由已知f(0)+f(1) =a
?
1+loga1+a+loga2=a
?
loga2=-1
?
a=
2
.
难度分级:B类
17. 若a
2x
+
1
x
1
·a-
≤0(a>0且a≠1),求y=2a
2x< br>-3·a
x
+4的值域.
22
【解题思路】:由a
2x+
1
x
11
·a-
≤0(a>0且a≠1)知0<a
x

.
222
1
令a
x
=t,则0<t≤,y=2 t
2
-3t+4.借助二次函数图象知y∈[3,4).
2
难度分级:B类
18. 已知y=log
a
(3-ax)在[0,2]上是x的减函数,求a的取值范围.
【解题思路】:∵a>0且a≠1,∴t=3-ax为减函数.依题意a>1,
又t=3-ax在[0,2]上应有t>0,∴3-2a>0.∴a<
难度分级:B类
33
.故1<a<.
22


学习必备 精品知识点
第四讲 函数与方程
【课标解读】
1. 了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间;
2. 能利用二次函数的图象与判别式的符号,判断一元二次方程根的存在性及根的个数;
3. 根据具体的函数图象,能够用二分法求相应方程的近似解;
4. 体会函数与方程的内在联系,初步建立用函数方程思想解决问题的思维方式.

【知识梳理】
一、方程的根与函数的零点
(一)函数零点的概念:对于函数
y?f(x)(x?D)
,把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫做函 数
y?f(x)(x?D)
的零点.
(二)函数零点的意义:函数
y?f( x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根,亦即函数
y?f(x)
的 图
象与
x
轴交点的横坐标.
即:方程
f(x)?0
有实数 根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?函数
y?f(x)
有零点.
(三)二次函数的零点:二次函数
y?ax?bx?c(a?0)

1.△ >0,方程
ax?bx?c?0
有两不等实根,二次函数的图象与
x
轴有两个 交点,二次函数有两
个零点.
2.△=0,方程
ax?bx?c?0
有两相 等实根,二次函数的图象与
x
轴有一个交点,二次函数有
一个二重零点或二阶零点.
3.△<0,方程
ax?bx?c?0
无实根,二次函数的图象与
x
轴无交点,二次函数无零点.
2
2
2
2
【方法归纳】
一、函数零点的求法:
(一)(代数法)求方程
f(x)?0
的实数根;
(二)(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数
y?f(x)
的图象联 系起来,并利用
函数的性质找出零点.


学习必备 精品知识点
二、对于一元二次方程根的分布问题,可以利用一元二次方程和二次函数的关系,借助图象来处理.
课堂精讲例题:
1. (2010·淮南模拟)若函数f(x)=x
2
- ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx
2
-ax-1的零点
是____ ____.
2
??
?
2-2a-b=0
?
a=5
11
?
【解题思路】: 由
2
,得
?
.∴g(x)=-6x
2
-5x-1的零点为-,-.
23
?
3-3a-b=0
?
??
b=-6

难度分级:A类
2. 求函数
f(x)?2x?3x?1
零点的个数为 .
【解题思路】:
2
3
f(x)?2x
3
?3x?1? 2x
3
?2x?x?1?2x(x
2
?1)?(x?1)

2
2?x2?

1)
2x?2x?1?0
显然有两个实数根,共三个 .
?(x?1)(x
难度分级:B类
3. (2010·六安一模)已知y =x(x-1)(x+1)的图象如图所示,今考虑f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,
则方程f(x)=0
①有三个实根;
②当x<-1时,恰有一实根(有一实根且仅有一实根);
③当-1④当0⑤当x>1时,恰有一实根.
则正确结论的编号为 .
【解题思路】: ∵ f(-2)=-2×(-3)×(-1)+0.01=-5.99<0,f(-1)=0.01>0,即f(-2 )·f(-1)<0,
∴在(-2,-1)内有一个实根.
由图中知:方程f(x)=0在(-∞,-1)上,只有一个实根,所以②正确.
又∵f(0)=0.01>0,由图知f(x)=0在(-1,0)上没有实数根,所以③不正确. < br>又∵f(0.5)=0.5×(-0.5)×1.5+0.01=-0.365<0,f(1)=0.01 >0,即f(0.5)f(1)<0,所以f(x)=0.
在(0.5,1)上必有一个实根,且f( 0)·f(0.5)<0,∴f(x)=0在(0,0.5)上也有一个实根.
∴f(x)=0在(0,1)上有两个实根,④不正确.
由f(1)>0且f(x)在(1, +∞)上是增函数,∴f(x)>0,f(x)=0在(1,+∞)上没有实根.
∴⑤不正确.并且由此可知①也正确.
难度分级:B类
4. 若函数f(x)=a-x-a(a>0且a
?
1)有两个零点,则实数a的取值范围是 .
x
【解题思路】: 设函数
y?a
(
a?
0,

a?1}
和函数
y?x?a
,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a< br>?
1)
x
x
x
有两个零点, 就是函数
y?a(a? 0,

a?1}
与函数
y?x?a
有两个交点,由图象可知当


学习必备 精品知识点
0?a?1
时两函数只有一个交点,不符合, 当
a?1
时,因为函数
y?a
x
(a?1)
的图象过点(0 ,1),而直
线
y?x?a
所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点 .所以实数a的取值范围是
a?1
.
难度分级:B类
5. 当关于
x
的方程的根满足下列条件时,求实数
a
的取值范围:
(1)方程
ax?3x?4a?0
的两根都小于
1

(2)方程
x?ax?2?0
至少有一个实根小于
?1

【解题思路】: (1)当
a?0
时,
x?0
满足题意.

a?0
时,设
f(x)?ax?3x?4a
. 若要方程两根都小于1,只要
2
2
2
3
?
3
?? a?
?
??9?16a?0
?
44
?
?
3
?
3
?
3
??1?a?0或a??
?0?a?

? ?
2
4
?
2a
?
3
??
?
af( 1)?0
a?0或a??
?
5
?
2
综上,方程的根都小于1 时,
0?a?
2
3

4
(2)设
f(x)?x?a x?2
,若方程的两个实根都小于
?1
,则有
?
a
2< br>?8?0
?
a??22或a?22
?
?
?
a
?22?a?3

???1?
??
a?2
?
2
?< br>a?3
?
?
?
f(?1)?0
若方程的两个根一个大于-1, 另一个小于-1,则有
f(?1)?3?a?0
, ∴
a?3

若 方程的两个根中有一个等于
?1
,由根与系数关系知另一根必为
?2


?a??1?2
, ∴
a?3

综上,方程至少有一实根小于
?1
时,
a?22

难度分级:B类
6. 已知二次函数
f(x)?ax?bx?c
和一次函数
g(x)?ax?b
,其中
a?b?c
,且
f(1)?0

(1)求证:两函数
f(x)

g(x)
的图象交于不同两点
A

B

(2)求线段
AB

x
轴上 投影
A
1
B
1
长度的取值范围.
【解题思路】: (1) ∵
f(1)?a?b?c?0

a?b?c
,∴
a?0
,< br>c?0

2


学习必备 精品知识点
?
y=ax
2
+bx+c
2

?

ax?(b?a)x?c?b?0

?
y=ax+b
因 为
??(b?a)?4ac?0
,所以两函数
f(x)

g(x)< br>的图象必交于不同的两点;
2
(2)设
A(x
1
,y
1
)

B(x
2
,y
2
)
,则
|A
1
B
1
|?

(x
1
?x
2
)?(?2)?4
.∵
a?b?c?0

a?b?c
2
2
c
a
2

?2?
3
c1
??
,∴
|A
1
B
1
|?
(,
23
).
2
a2
难度分级:B类
7. 关于x的二次方程x
2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上有解,求实数m的取值范围.
【解题思路】: 设f(x)=x
2
+(m-1)x+1,x∈[0,2],
①若f(x)=0在区间[0,2]上有一解,∵f(0)=1>0,则应有f(2)≤0,
3
又∵f(2)=2
2
+(m-1)×2+1,∴m≤-.
2
② 若f(x)=0在区间[0,2]上有两解,则
?
?
m-1
?
0≤-
2
≤2
?
?
f(2)≥0
Δ≥0

(m-1)-4≥0
?
?
,∴
?
-3≤m≤1< br>?
?
4+(m-1)×2+1≥0
2

m≥3或m≤-1?
?
-3≤m≤1
.∴
?
3
m≥-
?
?
2

3
,∴-
≤m≤-1.
2
由①②可知m≤-1.
难度分级:B类
【课堂训练】
xf(x)?e?2x?a
有零点,则
a
的取值范围是___________. 8. 已知函数
【解题思路】:
(??,2ln2?2]
.
难度分级:A类
9. 利用函数图象判断下列方程有没有实数根,有几个实数根:
(1)
x?7x?12?0
;(2)
lg(x?x?2)?0

(3)
x?3x?1?0
; (4)
3
3x?1
2
2
?lnx?0
.
??),?x?}
,集合
B?{a?R|
关于x的方程
642
10. 设全集为R,集合
A?{y|y?sin(2x?
?
x
2
?ax?1 ?0
的根一个在(0,1)上,另一个在(1,2)上}. 求(?
R
A)∩(?
R
B).
【解题思路】:由
?
4
?x?
?
2

?
2
?
2
x?
?
,
?
3
?2x?
?
6
?
5?
1
?
,??sin(2x?)?1

626


学习必备 精品知识点

A?{y|
11
?y?1}
,∴?
R
A
?{y|y?或y?1}

22
又关于x的方程
x
2
?ax?1?0
的根一个在(0,1)上,另一个在(1,2)上, < br>?
f(0)?0,
?
2?a?0
5
?
2
设函 数
f(x)?x?ax?1
,则满足
?
f(1)?0,即
?
,∴
??a??2

2
?
f(2)?0,
?
5? 2a?0
?
∴?
R
B?{a|a??
5
或a??2}

2
∴(?
R
A)∩(?
R
B)
?{x|?2? x?或x?1或x??}

难度分级:B类
11. 设
x
1
x
2
分别是实系数方程
ax?bx?c?0

?ax ?bx?c?0
的一个根,且
22
1
2
5
2
x1
?x
2
,x
1
?0,x
2
?0
, 求证:方程
a
2
x?bx?c?0
有且仅有一根介于
x
1< br>和
x
2
之间.
2
【解题思路】: 令
f(x)?< br>a
2
x?bx?c,
由题意可知
ax
1
2
? bx
1
?c?0,?ax
2
2
?bx
2
?c?0< br>
2
a
2
aa
x
1
?bx
1
?c?x
1
2
?ax
1
2
??x
1
2< br>,

222
bx
1
?c??ax
1
2
,bx
2
?c?ax
2
2
,
f(x
1
) ?
f(x
2
)?
a
2
a3a
2
x
2
?bx
2
?c?x
2
2
?ax
2
2?x
2
,
因为
a?0,x
1
?0,x
2
?0

222
a
2
x?bx?c?0
有且仅有一根介于< br>x
1

x
2
之间.
2

f(x< br>1
)f(x
2
)?0
,即方程
难度分级:B类
12. 已知函数f(x)=4
x
+m·2
x
+1有且仅有一个零点 ,求m的取值范围,并求出该零点.
【解题思路】: ∵f(x)=4
x
+m·2< br>x
+1有且仅有一个零点,即方程(2
x
)
2
+m·2
x
+1=0仅有一个实根.
设2
x
=t (t>0),则t
2
+mt+1=0.
当Δ=0时,即m
2
-4= 0,∴m=-2时,t=1;m=2时,t=-1(不合题意,舍去),
∴2
x
=1,x=0符合题意.
当Δ>0时,即m>2或m<-2时,t< br>2
+mt+1=0有两正或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点.
∴这种情况不符题意.
综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0.
难度分级:B类

【课后检测】


学习必备 精品知识点
13. 如果二次函数
y?x?mx?(m?3)
有两个不同的零点,则
m
的取值范围是 .
【解题思路】:
??m?4(m?3)?0,m?6

m??2
.
14. 若函数 f(x)=x
2
+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式af(-2x)>0的解集是__ ________.
【解题思路】: ∵f(x)=x
2
+ax+b的两个零点是 -2,3.∴-2,3是方程x
2
+ax+b=0的两根,
??
?
-2+3=-a
?
a=-1
?
由根与系数的关系知,∴
?
, ∴f(x)=x
2
-x-6.
?
-2×
?
3=b
??
b=-6
2
2

3
??
∵不等式af(-2 x)>0,即-(4x
2
+2x-6)>0?2x
2
+x-3<0,解集为< br>?
x|-
2
?
.
??
难度分级:A类
15. 当关于
x
的方程的根满足下列条件时,求实数
a
的取值范围:
(1)方程
x?ax?a?7?0
的两个根一个大于2,另一个小于2;
( 2)方程
x?(a?4)x?2a?5a?3?0
的两根都在区间
[?1,3]
上;
(3)方程
7x?(a?13)x?a?a?2?0
的一个根在区间
(0,1)
上,另一根在区间
(1,2)
上;
【解题思路】: ⑴ 设f(x)?x?ax?a?7?0
,其图象为开口向上的抛物线.若要其与
x
轴的
两个交点在点
(2,0)
的两侧,只需
f(2)?0
,即
4 ?2a?a?7?0
,∴
?1?a?3

(2)设
f(x)? x?(a?4)x?2a?5a?3
则方程两个根都在
[?1,3]
上等价于: < br>22
22
22
22
22
2
?
f(?1)?0
?
f(3)?0
?
a
2
?3a?4?0
?
?
2
a?a?0
??
a?4
?

0?a?1

?
?1??3
?
2
??
?6?a?2
?
a?4
?
(3a?2)
2
?0
?
)?0
?
f(
?2
(3)设
f(x)?7x?(a?13) x?a?a?2
,则方程一个根在
(0,1)
上,另一根在
(1,2)
上等价于
2
?
f(0)?0
?
a?a?2?0
?
a??1或a?2
?
2
?
?
f(1)?0?a?2a?8?0
?
??
?
?2?a?4
?
a?0或a?3
?
f( 2)?0
?
a
2
?3a?0
?
?
?
22< br>
?2?a??1

3?a?4

难度分级:B类
16. 若函数
f(x)?4x?x
2
?a
的零点个数为
3
,则
a?
______.
【解题思路】: 作出函数
y?x
2
?4x
与函数
y?4
的图象,发现它们恰有
3
个交点.
17. 已知a是实数,函数f(x)=2ax
2
+2x-3-a.如果函数y=f( x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值
范围.


学习必备 精品知识点
【解题思路】:若
a?0
,
f(x)?2x?3
,显然在
?
?1,1
?
上没有零点, 所以
a?0
.

??4?8a
?
3?a
?
?8a?24a?4?0
, 解得
a?
2
?3?7

2
①当
a?
?3?7
时,
y?f
?
x
?
恰有 一个零点在
?
?1,1
?
上;
2
②当
f
?
?1
?
?f
?
1
?
?
?
a?1
??
a?5
?
?0
,即
1?a?5
时,< br>y?f
?
x
?

?
?1,1
?
上也 恰有一个零点.
③ 当
y?f
?
x
?

?
?1,1
?
上有两个零点时, 则
a?0a?0
??
?
??8a
2
?24
?
??8a
2
?24a?4?0a?4? 0
??
??
?3?5
11

?

?
解得
a?5

a?

?1???1?1??? 1
2
2a2a
.
??
f
?
1
?
? 0f
?
1
?
?0
??
??
f?1?0f
?
?1
?
?0
??
??
综上所求实数
a
的取 值范围是
a?1

a?
难度分级:C类
?3?5
.
2


学习必备 精品知识点
第五讲 函数的综合运用
【方法归纳】
一、 解决恒成立的问题可以采取以下的步骤:
(一)将一边化成常数(必要时可以分离参数);
(二)转化为最值问题;例如:f(x)≥a恒成立等价于f(x)
min
≥a.
二、 对于单调性、奇偶性和周期性的证明时要紧扣定义.
三、 对于含参数的二次函数在区间上值域的问题,要根据对称轴相对区间的位置讨论.
四、 开口向上的二次函数在区间上的最大值都是在端点取到的,离对称轴越远的值越大.
五、 一些复杂的,难以代数方法求解的方程的根的问题,可以考虑数形结合,利用图象来解决.
六、 对于应用题,一般先选取合适的变量,将所求量与变量的函数关系式建立起来,然后转化为求
函数最值问题.
【课堂训练】
1. 设二次函数f(x)=x
2
-x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1)的值 0.(填“>”或“<”号)
【解题思路】:∵f(x)=x
2
-x+a的对称轴为 x=
∴m-1<0,∴f(m-1)>0.
难度分级:B类
2. 已知二次函数 f(x)=4x
2
-2(p-2)x-2p
2
-p+1,若在区间[-1,1 ]内至少存在一个实数c,使f(c)>0,
则实数p的取值范围是_________.
【 解题思路】:只需f(1)=-2p
2
-3p+9>0或f(-1)=-2p
2
+p+1>0即-3<p<
∴p∈(-3,
1
,且f(1)>0,则f(0)>0,而f(m)<0,∴m∈(0,1),
2
31
或-<p<1.
22
3
).
2
难度分级:B类
3. 已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在[0,+ ∞)上是增函数,是否存在实数m,使f(cos2θ-3)+f(4m
-2mcosθ)>f(0)对 所有θ∈[0,
说明理由.
【解题思路】:∵f(x)是R上的奇函数,且在[0,+∞)上 是增函数,∴f(x)是R上的增函数.于是不等
式可等价地转化为f(cos2θ-3)>f(2mc osθ-4m),
?
2
]都成立?若存在,求出符合条件的所有实数m的范围,若不 存在,


学习必备 精品知识点
即cos2θ-3>2mcosθ-4m ,即cos
2
θ-mcosθ+2m-2>0.
m
m
设t=cosθ,则问题等价地转化为函数g(t) =t-mt+2m-2=( t-)
2
-+2m-2在[0,1]上的
4
2
2
2
值恒为正,又转化为函数g(t)在[0,1]上的最小值为正.
∴当
m
<0,即m <0时,g(0)=2m-2>0
?
m>1与m<0不符;
2
2
m
m
当0≤
≤1时,即0≤m≤2时,g(m)=-
+2m-2>0
4
2
?
4-2
2
2
,∴4-2
2

m
>1,即m>2时,g(1)=m-1>0
?
m>1.∴m>2.
2
综上,符合题目要求的m的值存在,其取值范围是m>4-2
2
.
难度分级:B类
4. 设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足:
(i)f( x
1
-x
2
)=
f(x
1
)?f(x
2< br>)?1
;(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证:
f(x
2
)?f(x
1
)
(1)f(x)是奇函数.
(2)f(x)是周期函数,且有一个周期是4a.
【解题思路】:证明:(1)不妨令x= x
1
-x
2
,则f(-x)=f(x
2
-x
1)=
=-f(x
1
-x
2
)=-f(x).∴f(x)是奇函数 .
(2)要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).
f( x
2
)f(x
1
)?1f(x
1
)f(x
2
)?1
??

f(x
1
)?f(x
2
)f(x
2
)?f(x
1
)
∵f(x+a)=f[x-(-a)]=.
f(x)?1
?1
f(x?a)?1
f(x)?1
1
?f(x?2a)?f[(x?a)?a]????
f(x)?1
f(x?a)?1f(x ).
?1
f(x)?1
1
∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]== f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.
?f(x?2a)
难度分级:C类
5. 某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出.当每辆车的月 租
金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费150元,未租出的车每辆< br>每月需要维护费50元.


学习必备 精品知识点
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车?
(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
3 600-3 000
【解题思路】:(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,未租出的车辆数为
=12,所以这
50
时租出了88辆车.
(2)设每辆车的月租金定为x元,则租赁公司的月收益为
x-3 000
x-3 000
?
f(x)=
?
100-
(x-150)-×50,
50
50
??
x
2
1
整理得f(x)=-+162x-2 1 000=-(x-4 050)
2
+307 050.
5050
所以,当x=4 050时,f(x)最大,最大值为f(4 050)=307 050.
即当每辆车的月租金定为4 050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为307 050元.
难度分级:B类
ax
2
?1
6. 已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当x>0时,f(x)有最小值2, 其中b∈N
bx?c
5
且f(1)<.
2
(1)试求函数f(x)的解析式;
(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点 (1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说
明理由.
ax
2?1ax
2
?1
【解题思路】:(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f (x),即
???
bx
?
c
?
bx
?
c< br>
bx?c?bx?c
1
a
ax
2
?1a1
∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=
≥2
,当且仅当x=时等号成立, ?x?
2
a
bxbbx
b
a
5
a?1
5
b
2
?1
51
22
于是2=2,∴a=b,由f(1)< 得<即<,∴2b-5b+2<0,解得<b<2,
b
2222
b
b
2
又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+
1
.
x
( 2)设存在一点(x
0
,y
0
)在y=f(x)的图象上,并且关于(1,0 )的对称点(2-x
0
,-y
0
)也在y=f(x)图象
?
x
0
2
?1
?y
0
?
x
?
0上,则
?
消去y
0
得x
0
2
-2x
0
-1=0,x
0
=1±
2
.
2
?
(2? x
0
)?1
??y
0
?
2?x
0
?
∴y=f(x)图象上存在两点(1+
2
,2
2
),(1-
2,-2
2
)关于(1,0)对称.
难度分级:C类
7. 对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a-x),


学习必备 精品知识点
(1)求证y=f(x)的图象关于直线x=a对称;
(2)若函数f(x)对一切实数x都 有f(x+2)=f(2-x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根,求这些实根
之和. 【解题思路】:(1)证明:设(x
0
,y
0
)是函数y=f(x)图象 上任一点,则y
0
=f(x
0
),
又f(a+x)=f(a-x) ,∴f(2a-x
0
)=f[a+(a-x
0
)]=f[a-(a-x
0
)]=f(x
0
)=y
0
,
∴(2a-x
0
,y
0
)也在函数的图象上,而
(2a?x
0
)?x
0
=a,
2
∴点(x
0
,y
0
)与(2a-x
0
,y
0
)关于直线x=a对称,故y=f(x)的图象关于直线x=a对称 .
(2)解:由f(2+x)=f(2-x)得y=f(x)的图象关于直线x=2对称,若x0
是f(x)=0的根,则4-x
0
也是
f(x)=0的根,由对称性, f(x)=0的四根之和为8.
难度分级:C类
8. 设a为实数,函数f(x) = x
2
+|x-a|+1,x∈R,
(1)讨论函数f (x)的奇偶性;
(2)求函数f (x)的最小值.
【解题思路】:(1)当
a?0
时,
f(x)?x
2
?x?1
,函数
f(x)
为偶函数;

a?0
时,


此时函数
f(x)
为非奇非偶函数;
1
2
3
?< br>(x?)??a(x?a)
?
?
x?x?a?1(x?a)
??
2
24
(2)
f(x)?x?x?a?1
=
?
2

?
?
13
x?x?a?1(x?a)
?
?
(x?)
2
??a(x?a)
?
?
24
?
133

a?
时,
(x
2
?x?a?1)
min
?a
2
?1,(x
2
?x?a?1)
min
??a
,此时,< br>f
min
(x)??a
;
24
4
11
当< br>??a?
时,
f
min
(x)?a
2
?1;

22
13

a??
时,
f
min
(x)??a.

2
4
2
难度分级:C类
9. 已知函数
f(x)?()< br>x
,x?[?1,1],
函数
g(x)?f
2
(x)?2af (x)?3
的最小值为
h(a)
.(Ⅰ)求
h(a)

( Ⅱ)是否存在实数m,n同时满足下列条件:①m>n>3;②当
h(a)
的定义域为[n,m ]时,值域
为[n
2
,m
2
]? 若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.
【解题思路】:(Ⅰ)∵
x?[?1,1],?()
x
?[,3].

1
3
1
3
1
3


学习必备 精品知识点

t?()
x
,t?[,3],则
?
(t)? t
2
?2at?3?(t?a)
2
?3?a
2


a?
1
3
1
3
11282a

,y
min
?h(a)?
?
()??

3
393

?a?3
时,
y
min
?h(a)?
?
(a)?3 ?a
2


a?3时,y
min
?h(a)?
?
(3)?12?6a.

1
3
?
282a
?< br>9
?
3
?
?

h(a)?
?
3?a
2
?
?
12?6a
?
?
1
(a?)
3
1
(?a?3)

3
(a?3)
(Ⅱ)∵m>n>3, ∴
h(a)?12?6a在(3,??)
上是减函数.

h(a)
的定义域为[n,m];值域为[n
2
,m
2
],
?
12?6m?n
2
,
?

?
可得
6(m?n)?(m?n)(m?n),

2
12?6n?m.
?
?
∵m>n>3, ∴m+n=6,但这与“m>n>3”矛盾.
∴满足题意的m,n不存在.
难度分级:C类

【课后检测】
10. 已知函数f(x)的定义域为R ,且对x、y∈R,恒有
f(x)?f(x)?f(
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)若当0<x<1时,
f(x)
在(-1,1)上是减函数.
【解题思 路】:证明:(1)由f(x)+f(y)=f(
令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(
x?y
)
.
1?xy
x?y
),令x=y=0,得f(0)=0,
1?xy
x ?x
)=f(0)=0.∴f(x)=-f(-x).∴f(x)为奇函数.
2
1?x
(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减.
令0 1
2
<1,则f(x
2
)-f(x
1
)=f( x
2
)+f(-x
1
)=f(
x
2
?x
1
)
1?x
1
x
2
∵01
2
<1,∴x
2
-x
1
>0,1-x
1
x
2
>0,∴
x
2
?x
1
>0,
1?x
2
x
1


学习必备 精品知识点
又(x
2
-x
1
)-(1-x
2
x
1
) =(x
2
-1)(x
1
+1)<0,∴x
2
-x
1
<1-x
2
x
1
,
∴0<
x
2
?x
1
x?x
1
<1,由题意知f(
2
)<0,即f(x< br>2
)1
).
1?x
2
x
1
1?x
1
x
2
∴f(x)在(0,1)上为减函数,又f(x)为奇函数且 f(0)=0.
∴f(x)在(-1,1)上为减函数.
难度分级:C类
11. 设函数f(x)是定义在R上的偶函数,并在区间(-∞,0)内单调递增,f(2a
2
+a+1)2
-2a+1).
求a的取值范围,并在该范围内 求函数y=(
1
a
2
?3a?1
)的单调递减区间.
2< br>【解题思路】:本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.设
01
2
,则-x
2
<-x
1
< 0,∵f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,
∴f(-x
2
)1
),∵f(x)为偶函数,∴f(-x
2
)=f(x
2
),f( -x
1
)=f(x
1
),
∴f(x
2
)1
).∴f(x)在(0,+∞)内单调递减.
1712
又2a
2
?a?1?2(a?)
2
??0,3a
2
?2a?1?3(a?)
2
??0.

4833
由f(2a
2
+a+1)< f(3a
2
-2a+1)得:2a
2
+a+1>3a
2
-2 a+1.解之,得0又a
2
-3a+1=(a-
∴函数y=(< br>3
2
5
)-.
24
1
a
2
?3a ?1
3
)的单调减区间是[,+∞].
22
3
2
3
结合0a?3a?1
的单调递减区间为[,3).
22
难度分级:B类
13.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x
2
+2x.
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|;
(3)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围 【解题思路】:(1)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x
0
,y
0
)关于原点的对称点为P(x,y),
x
=0
?
x+
2

?
y+y
?
2
=0
0
0

,即
?
?
x
0
=-x
?
?
?
y
0
=-y

.
∵点Q(x
0
,y
0
)在函数y=f(x)的图象上,
∴ -y=x
2
-2x,即y=-x
2
+2x,故g(x)=-x
2+2x.


学习必备 精品知识点
(2)由g(x)≥f(x)-|x-1|可得:2x
2
-|x-1|≤0.
当x≥1时,2x
2
-x+1≤0,此时不等式无解.
1
当x<1时,2x
2
+x-1≤0,∴-1≤x≤.
2
1
-1,
?
. 因此,原不等式的解集为
?
2< br>??
(3)h(x)=-(1+λ)x
2
+2(1-λ)x+1.
①当λ=-1时,得h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函数,符合题意,∴λ=-1.
1-λ
②当λ≠-1时,抛物线h(x)=-(1+λ)x
2
+2(1-λ)x+1 的对称轴的方程为x=.
1+λ
1-λ
(ⅰ)当λ<-1,且
≤-1时,h (x)在[-1,1]上是增函数,解得λ<-1.
1+λ
1-λ
(ⅱ)当λ>-1 ,且
≥1时,h(x)在[-1,1]上是增函数,解得-1<λ≤0.
1+λ
综上,得λ≤0.
难度分级:C类
12. 已知函数
f (x)??2x?bx?c

x?1
时有最大值1,
0?m?n
,并 且
x?
?
m,n
?
时,
f(x)

2取值范围为
?
,
?
11
?
. 试求m,n的值.
?
?
nm
?
1?3
.
2
【解题思路】:
m?1

n?
难度分级:C类
13. 如图,两个工厂
A,B
相距
2 km
,点
O

AB
的中点,现要在以
O
为圆心,
2 km
为半径的圆 弧
MN
上的某一点
P
处建一幢办公楼,其中
MA?AB,NB?AB
.据测算此办公楼受工厂
A
的“噪音影响度”
与距离
AP
的 平方成反比,比例系数是1,办公楼受工厂
B
的“噪音影响度” 与距离
BP
的平方也成
反比,比例系数是4,办公楼受
A,B
两厂的“总噪音影响度”
y
是受
A,B
两厂“噪音影响度”的和,设
AP

x km
.
(Ⅰ)求“总噪音影响度”
y
关于
x
的函数关系,
并求出该函数的定义域;
(Ⅱ)当
AP
为多少时,“总噪音影响度”最小?


学习必备 精品知识点
P
N
M
B
·
O
A

【解题思路】:(Ⅰ)连接
OP
,设
?AOP?
?
,

?
3
?
?
?
2
?
.
3


AOP
中,由余弦定理得
x
2
?1
2
?2
2
?2?1?2cos
?
?5?4cos
?



BOP
中,由余弦定理得
BP?1?2?2?1 ?2cos(
?
?
?
)?5?4cos
?

222
1414
.
???
AP
2
BP
2
x
2
10?x
2
?
2
?< br>11

?
?
?
,则
??cos
?
?
,∴
3?5?4cos
?
?7

22
33

BP
2
?10?x
2
.则
y?

3? x?7
.
y?
14
?,3?x?7
.
22
x10? x
2
(Ⅱ)令
t?x,
y??
?14(t?10)(3t?10)< br>14
?
.
(3?t?7)
,∴
y
?< br>?
2
?
222
t(10?t)t(10?t)
t10?t10
,或
t??10
(舍去).
3
10
1 0

3?t?,y
?
?0
,函数在
(3,)
上单调 递减;
3
3
1010

?t?7,y
?
?0,函数在
(,7)
上单调递增;
33

y
?< br>?0
,得
t?
∴当
t?
30
10
时,即x?
时,函数有最小值,
3
3
30

km
)时,“总噪音影响度”最小.
3
也即当
AP

难度分级:B类.
14. (2010· 东莞模拟)已知g(x)=-x
2
-3,f(x)是二次函数,当x∈[-1,2]时,f(x )的最小值为1,且
f(x)+g(x)为奇函数,求函数f(x)的表达式.
【解题思路】: 设f(x)=ax
2
+bx+c (a≠0),则f(x)+g(x)=(a-1)x
2
+bx+c-3,
又f(x)+g(x)为奇函数,∴a=1,c=3.
b
∴f(x)=x
2
+bx+3,对称轴x=-.
2


学习必备 精品知识点
b
当-
≥2,即b≤-4时,f(x)在[-1,2]上为减函数,
2
∴f(x)的最小值为f(2)=4+2b+3=1.
∴b=-3.∴此时无解.
b
?
bb
2
?
当-1<-<2,即-4min
=f
?

2
?
=3-=1,∴b=±22 .
24
∴b=-22,此时f(x)=x
2
-22x+3,
b
当-
≤-1,即b≥2时,f(x)在[-1,2]上为增函数,
2∴f(x)的最小值为f(-1)=4-b=1.∴b=3.∴f(x)=x
2
+3x+3 .
综上所述,f(x)=x
2
-22x+3,或f(x)=x
2
+ 3x+3.
难度分级:B类
15. 定义在(-∞,4]上的减函数f(x)满足f(m -sinx)≤f(
1?2m

实数m的取值范围.
7
+cos< br>2
x)对任意x∈R都成立,求
4
?
?
m?sinx?4?
m?4?sinx
?
7
??
【解题思路】:
?
1?2m??cos
2
x?4
,对x∈R

?
7< br>2
4
m?1?2m???sinx?sinx?1
??
4
?< br>7
?
2
m?sinx?1?2m??cosx
?
4
?
恒成立,
?
m?3
?
?
?
31

m?或m?
?
22
?
难度分级:B类

∴m∈[
31
,3]∪{}.
22
16. 已知函数f(x)=l og
2
(x+1),将y=f(x)的图象向左平移1个单位,再将图象上所有点的纵坐标伸长
到原来的2倍(横坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,则函数F(x)=f(x)-g(x)的 最大值为_________.
【解题思路】:g(x)=2log
2
(x+2),(x>-2),
F(x )=f(x)-g(x)=log
2
(x+1)-2log
2
(x+2)
=log
2
1
x?1x?11
?log(x??1)
?log?log
2
2
2
2
22
1
(x?2) x?4x?4x?4x?4
x?1??2
x?1
x?1
1
2(x?1 )?
1
?2
x?1
?log
2
1
=-2,
4
∵x+1>0,∴F(x)≤
log
2


学习必备 精品知识点
当且仅当x+1=
1
,即x=0时取等号.
x?1
∴F(x)
max
=F(0)=-2.
难度分级:B类.
17. 若不等式(a-2)x
2
+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则a的取值范围是 .
?
a?2?0
【解题思路】:当a-2=0即a=2时,不等式为-4<0,恒成 立.∴a=2,当a-2≠0时,则a满足
?
,
??0
?
解得-2< a<2,所以a的范围是-2<a≤2.
难度分级:B类
18. 二次函数f(x)的二次 项系数为正,且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2-x),若f(1-2x
2
)2
),
则x的取值范围是_________.
【解题思路】: 由f(2+x)=f(2-x)知x=2为对称轴,由于距对称轴较近的点的纵坐标较小,
∴|1-2 x
2
-2|<|1+2x-x
2
-2|,∴-2<x<0.
难度分级:B类.
19. 二次函数f(x)=px
2
+qx+r中实数p 、q、r满足
(1)pf(
pqr
??
=0,其中m>0,求证:
m?2m?1m
m
)<0;
m?1
(2)方程f(x)=0在(0,1)内恒有解.
【解题思路】:证明:(1 )
pf(
mm
2
m
)?p[p()?q(
)
?r< br>]

m?1m?1m?1
?pm[
pmqrpmp
??]?p m[?]
(m?1)
2
m?1m
(m?1)
2
m?2
m(m?2)?(m?1)
]
(m?1)
2
(m?2)
2

?p
2
m[
?p
2
m
,
?
2< br>(m?1)(m?2)
由于f(x)是二次函数,故p≠0,又m>0,所以,pf(
( 2)由题意,得f(0)=r,f(1)=p+q+r
①当p>0时,由(1)知f(
若r> 0,则f(0)>0,又f(
m
)<0.
m?1
m
)<0
m?1
mm
)<0,所以f(x)=0在(0,)内有解;
m?1m?1< br>prpr
若r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(-
?
)+r =
?
>0,
m?2mm?2m


学习必备 精品知识点
又f(
mm
)<0,所以f(x)=0在(,1)内有解.
m?1m?1
②当p<0时同理可证.
难度分级:C类.
20. 设函 数f(x)=log
a
(x-3a)(a>0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x )图象上的点时,点Q(x-2a,-y)是
函数y=g(x)图象上的点.
(1)写出函数y=g(x)的解析式;
(2)若当x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)-g(x)|≤1,试确定a的取值范围. < br>【解题思路】:(1)设点Q的坐标为(x′,y′),则x′=x-2a,y′=-y.即x=x′+2 a,y=-y′.
∵点P(x,y)在函数y=log
a
(x-3a)的图象上,∴ -y′=log
a
(x′+2a-3a),即y′=
log
a
∴g( x)=log
a
1
,

?
x?a
1
. < br>x?a
1
1
=>0,又a>0且a≠1,∴0<a<1,∵|f(x)-
x?a
(a?3)?a
(2)由题意得x-3a=(a+2)-3a=-2a+2>0;g(x)|=|log
a
(x-3a)-log
a
1
|=|lo g
a
(x
2
-4ax+3a
2
)|,又有|f(x)-g( x)|≤1,∴-1≤log
a
(x
2
-4ax+3a
2
) ≤1,∵0
x?a
<a<1,∴a+2>2a.h(x)=x
2
-4ax+3 a
2
在[a+2,a+3]上为增函数,∴μ(x)=log
a
(x
2
-4ax+3a
2
)在[a+2,a+3]
上为减函数,从而[μ(x)]
max
=μ(a+2)=log
a
(4-4a),[μ(x)]
mi n
=μ(a+3)=log
a
(9-6a),于是所求问题转化
?
0 ?a?1
?
为求不等式组
?
log
a
(9?6a)??1< br>的解.
?
log(4?4a)?1
?
a
4
9?57
,由log
a
(4-4a)≤1解得0<a≤,
12
5
9?57
∴所求a的取值范围是0<a≤.
12
由log
a
(9-6a)≥-1解得0<a≤
难度分级:C类
21. 设曲线
C
的方程是
y?x?x
,将
C
沿< br>x
轴、
y
轴正方向分别平移
t

s
(t?0 )
个单位长度后
得到曲线
C
1

(1)写出曲线
C
1
的方程;
(2)证明曲线
C

C
1
关于点
A(,)
对称;
【解题思路】:(1)曲线
C
1
的方程为
y?(x?t)?(x?t)?s

(2) 证明:在曲线
C
上任意取一点
B
1
(x
1
,y1
)
,设
B
2
(x
2
,y
2
)

B
1
关于点
A
的对称点,
3
3
ts
22


学习必备 精品知识点
则有
x
1
?x
2
ty
1
?y
2
s
?,?
,∴
x
1
?t?x
2
,y
1?s?y
2
代入曲线
C
的方程,
2222
3

x
2
,y
2
的方程:
s?y
2
?(t? x
2
)?(t?x
2
)


y
2
?(x
2
?t)?(x
2
?t)?s
可知点
B
2< br>(x
2
,y
2
)
在曲线
C
1
上.
反过来,同样证明,在曲线
C
1
上的点
A
的对称点在曲线< br>C
上.
因此,曲线
C

C
1
关于点
A
对称.
难度分级:B类
3


学习必备 精品知识点
第六讲 三角函数概念及诱导公式
【课标解读】

(1)了解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.
(2)理解任意角 的正弦、余弦、正切的定义..掌握同角三角函数的基本关系式.掌握正弦、余弦的诱导
公式.
(3)能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.
(4)会由已知三角函数值求角
从考试内容看,重视基础知识、基本能力的考查,三角函数各 知识点都有所涉及.从考试难度
看,对三角函数的考查基本都稳定在中低档层面上.从试题的立意看,试 题中常以三角式的化简为着
眼点,考查三角公式的灵活应用,以基本技能和数学思想方法的灵活运用为基 点,考查能力.命题注
重试题的综合性、探究性和能力的考查.
【知识梳理】
1.任意角:按逆时针旋转所成的角为正角,按顺时针旋转所成的角为负角.
2.象限角:角
?
的顶点与原点重合,角的始边与
x
轴的非负半轴重合,终边落在第几象限, 则称
?

第几象限角.
??
第二象限角的集合为
?
?
k?360?90?k?360?180,k??
?

第三象限角的集合 为
?
?
k?360?180?
?
?k?360?270,k???

第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k??
?

终边在
x
轴上的角的集 合为
?
??
?k?180,k??
?

终边在
y< br>轴上的角的集合为
?
??
?k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3.与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??

4.长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度.
5.半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
,则角
?
的弧度数 的绝对值是
?
?
l

r
6.弧度制与角度制的换算公式:
2
?
?360

1?
?
180

1?
?
?
180
?
?
?57.3

?
??


学习必备 精品知识点
7.若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度制
?
,半径为
r
,弧长为< br>l
,周长为
C
,面积为
S
,则
l?r
?
11
C?2r?l

S?lr?
?
r
2
22
8.设
?
是一个任意大小的角,
?
的终边上任 意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
,它与原点的距离是
rr?x
2
?y
2
?0
,则
sin
?
?< br>?
?
yx
y

cos
?
?

tan
?
?
?
x?0
?

rr
x
9.三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,
第三象限正切为正,第四象限余弦为正.
10.三角函数线:
sin
????

cos
?
???

tan
?
???

y
P
T
OM
A
x

11.同角的三角函数关系:
?
1
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?
sin
2
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2< br>?
?

?
2
?
sin
?
?tan< br>?
cos
?
sin
?
??
sin
?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??

tan
?
??
12.函数的诱导公式:(口诀:奇变偶不变,符号看象限.)
?
1
?
sin
?
2k
?
?
??
?sin
?

cos
?
2k
?
?< br>?
?
?cos
?

tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?

?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?

cos
?
?
?
?
???cos
?

tan
?
?
?
?
?< br>?tan
?

?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?

cos
?
?
?
?
?cos
?

tan
?
?
?
?
??tan
?

?
4
?
sin
??
?
?
?
?sin
?

cos
??
?
?
?
??cos
?

tan
?< br>?
?
?
?
??tan
?

?
?< br>?
?
?
?
5sin?
?
?cos
?
cos

??
??
?
?
?
?
?sin?

?
2
?
?
2
?
?
6< br>?
sin
?
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?

cos
?
?
?
?
??sin
?

?
2
??
2
?
?
【方法归纳】
(1)在已知三角函数值的大小求角的大小时,通常先确定角的终边位置,然后再确定大小.
(2)弧度制是角的度量的重要表示法,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度制.


学习必备 精品知识点
(3)三角函数定义是本章重点,从它可以推出 一些三角公式.重视用数学定义解题.数形结合.充
分利用单位圆中的三角函数线帮助解题;
(4)利用三角函数定义,可以得到(1)诱导公式:即
k

?t??
与α之 间函数值关系(k∈Z)
2
其规律是“奇变偶不变,符号看象限”;(2)同角三角函数关系式 :平方关系,倒数关系,商数关系.
等价变换.熟练运用公式对问题进行转化,化归为熟悉的基本问题;
【课堂训练】
例1.(2010-2011学年度第一学期江苏省南通市六所省重点高中联考 试卷)已知角
?
?45?

(1)在区间
[?720?,0?]< br>内找出所有与角
?
有相同终边的角
?

(2)集合
M?
?
x|x?
系是什么?
?
?kk
???
?180??45?,k?Z
?

N?
?< br>x|x??180??45?,k?Z
?
那么两集合的关
24
???< br>解题思路:本试题主要考查角的概念
答案:(1)所有与角
?
有相同终边的角 可表示为:
45??k?360?(k?Z)

则令
?720??45??k?360??0?
, 得
?765??k?360???45?

?
解得
76545
?k??
360360
从而
k??2

k??1

代回得
?
??675?

?
??315?

(2) 因为
M?
?
x|x?(2k?1)?45?,k?Z
?表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集
合;而集合
N?
?
x|x ?(k?1)?45?,k?Z
?
表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角
的集合 ,从而:MN.
难度分级:○A类 ○B类 ○C类
例题2(2010全国卷I文数) (1)
cos300??
( )

(A)
?
11
33
(B)- (C) (D)
22
22
解题思路:本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 cos300??cos
?
360??60?
?
?cos60??
答案:选C
难度分级:○A类 ○B类 ○C类
1
2


学习必备 精品知识点
tan
?
??
例题3(2010全国卷2文数)已知α是第二象限的角,
解题思路:本题考查了同角三角函数的基础知识
1
2
,则cosα=__________.
tan
?
??

25
1
cos
?
??
5

2
,∴
25
5
答案:
?
难度分级:○A类 ○B类 ○C类
例题4. (北京卷第1题)已知
cos??tan??0
,那么角θ是( )
A.第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角
C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角
cos??tan??0?cos??
解题思路:考查三角函数概念,
限角.
答案:C
难度分级:○A类 ○B类 ○C类
例题5. (2010浙江理数)设
0<x<
sin?
?sin??0?
cos?
θ是第三或第四象?
2
1
”是“
xsinx<
,则“
xsin
2
x<
1
”的( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
解题思路:本题主要考查了三角函数的定义和有界性及必要条件、充分条 件与充要条件的意义,以
π
及转化思想和处理不等关系的能力.因为0<x<
2
,所以sinx<1,故xsin
2
x<xsinx,结合xsin
2
x与
xsinx的取值范围相同,可知答案选B,
难度分级:○ A类○B类 ○C类
例题6. (2010江西理数)7.E,F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点,则
t an?ECF?
( )
23
16
3
A.
27
B.
3
C.
3
D.
4



学习必备 精品知识点 解题思路:考查三角函数的计算、解析化应用意识.假定AB=6,AC=BC=
32
,由 余弦定理
CE=CF=
10
,再由余弦定理得
cos?ECF?
4< br>5

tan?ECF?
解得
答案:D
3
4

难度分级:○ A类○B类 ○C类
例题7.(2010全 国卷2理数)已知
a
是第二象限的角,
tan(
?
?2a)??4
,则
tana?

3
解题思路:本试题 主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程,考查考生的计算能
tan(
??2a)??
力.由
44
2tan
?
4
tan2a??
tan2a???
3

3
,又
1?tan
2
?
3
,解得
1
1
tan
?
??或tan
?
?2tan
?
??
2
2
. ,又
a
是第二象限的角,所以
答案:-12
难度分级:○ A类 ○B类 ○C类
例题8.化简
sin(
?
?n
?
)?sin(?
?n
?
)
(n?Z)
.
sin(
?
?n
?
)cos(
?
?n
?
)
解题思路:本题主 要考查诱导公式,注意分类讨论.
答案:①当
n?2k,k?Z
时,原式
?
sin(
?
?2k
?
)?sin(
?
?2k
?
)2
?
sin(
?
?2k
?
)cos(
?
?2k
?
)cos
?
.
sin[
?
?(2k?1)
?
]?sin[
?
?(2k?1)
?
]2< br>??
cos
?
. ②当
n?2k?1,k?Z
时,原式
sin[
?
?(2k?1)
?
]cos[
?
?(2k?1 )
?
]
?
难度分级:○ A类○B类 ○C类
例题9. (2010上海文数)
已知
0?x?
?
2
,化简:.
解题思路:本试题主要考查三角函数诱导公式,考查学生的化简计算能力.
原式?lg(si nx?cosx)?lg(cosx?sinx)?lg(sinx?cosx)
2
?0.
答案:0
难度分级:○ A类○B类 ○C类


学习必备 精品知识点
例10.(江苏省苏州市二模)证明:
2
?
cos
?< br>?sin
?
?
cos
?
sin
?

??
1?sin
?
?cos
?
1?sin
?
1?c os
?
解题思路:主要考查同角三角函数关系,证明此恒等式可采取常用方法,也可以运用分析 法,即要
AC
?
BD
,只要证A·证D=B·C,从而将分式化为整式在进行 三角函数的化简和三角恒等式的证明时,
需要仔细观察题目的特征,灵活、恰当地选择公式,利用倒数关 系比常规的“化切为弦”要简洁得多.
(2)同角三角函数的基本关系式有三种,即平方关系、商的关系 、倒数关系.
cos
?
?cos
2
?
?sin
?
?sin
2
?
?
1?sin
?
??
1?c os
?
?
答案:证法一:右边=
?
cos
?
?s in
?
??
1?cos
?
?sin
?
?
=
1?sin
?
?cos
?
?sin
?
?cos?

2
?
cos
?
?sin
?
??< br>1?cos
?
?sin
?
?
2
?
1?sin
?
?cos
?
?sin
?
cos
?
?2
?
cos
?
?sin
?
??
1?cos?
?sin
?
?
?
1?sin
2
?
? cos
2
?
?2sin
?
?2cos
?
?2sin
?
cos
?

?
=
证法二:要证等式,即为

2
?
cos
?
?sin
?
??
cos
?
?sin
?
??
1?sin
?
?cos< br>?
?
?
?
1?sin
?
??
1?cos?
?
1?sin
?
?cos
?

os
?
)=
?
1?sin
?
?cos
?
?
只要证 2(
1?sin
?
)(
1?c
2
即证:
2 ?2sin
?
?2cos
?
?2sin
?
cos
?

?1?sin
2
?
?cos
2
?
?2sin
?
?2cos
?
?2sin
?
cos
?

22
即1=
sin
?
?cos
?
, 显然成立,故原式得证.
难度分级:○ A类 ○B类 ○C类
【课后作业】
1.若A、B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解题思路:本题主要考出三角函数的概念.∵A、B是锐角三角形的两个内角,∴A+B>90°,
∴B>90°-A,∴cosB<sinA,sinB>cosA,故选B.
答案:B


学习必备 精品知识点
难度分级:○ A类 ○B类 ○C类
2.(2010南通一模) 已知“
?
是第三象限角,则
?
是第几象限角?
3
解题思路:本题主要考查象限角角的表示方法及数形结合的思想.
3
2k
?
?
?
?
?
?2k
?
?
?
?
k?Z
?
2
解法一:因为
?
是第三象限角,所以, < br>2k
??
2k
?
?
???
?
?
?< br>k?Z
?
3332

3

?
∴当k=3m(m∈Z)时,
3
为第一象限角;
?
当k= 3m+1(m∈Z)时,
3
为第三象限角,
?
当k= 3m+2(m∈Z)时,
3
为第四象限角,
?

3
为第一、三、四象限角.
解法二:把各象限均分3等份,再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、
?< br>Ⅳ,并依次循环一周,则
?
原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为
3
的终边所在的区域.
?
由图可知,
3
是第一、三、四象限角.
难度分级:○ A类 ○B类 ○C类
3.(2010安徽文)已知角
?
的 终边过点
(a,2a)(a?0)
,求
?
的四个三角函数值.
解题 思路:因为角
?
的终边过点
(a,2a)(a?0)
,所以
r?5| a|

x?a,y?2a
.
a?0时,sin
?
?

y2a2a25
xa5a
???
cos
?
???
r5

5|a|5a
r5

tan
?
?2
,
5 a
y2a2a25
xa5a
????
cos
?
????r5

5|a|?5a
r
?5a
5

tan< br>?
?2
.
a?0时,sin
?
?

难度分级:○ A类 ○B类 ○C类 < br>4.(2010江苏启东调研)已知角
?
的终边上一点
P(?3,m)
,且
sin
?
?
2m
,求
cos
?
,ta n
?
的值.
4


学习必备 精品知识点
解题思路:由题设知
x??3

y?m

2222
2
r?|OP|?(?3)?m
r?3?m
所以,得,从而
sin
?
?
m
2m
?
m
?
r
3?m
2< br>,
4
2
16?6?2m?m??5
.
m?0
解得或

m?0
时,
r?3,x??3

cos
?
?
xy
??1,tan
?
??0
rx

x6y15
cos
?
???,tan
?
? ??
r4x3
; 当
m?5
时,
r?22,x??3
, < br>x6y15
cos
?
???,tan
?
??
r4x3
. 当
m??5
时,
r?22,x??3

难度分级:○ A类 ○B类 ○C类
cos405
0
5.tan300°+的值是( )
sin405
0
A.1+
3
B.1-
3
C.-1-
3
D.-1+
3

解题思路: tan300°+
答案:B
cos405cos45
cos(360?45)
=tan(360°-60°)+=-tan60°+=
1?3
.
sin405sin45
sin(360?45)
难度分级:○ A类 ○B类 ○C类
6.化简:
?sin(180?
?
)?sin(?
?
)?tan(360?
?
)
.
tan(
?
?180)? cos(?
?
)?cos(180?
?
)
解题思路:本题主要考查三 角诱导公式的熟练程度.
?
原式
sin
?
?sin
??tan
?
tan
?
????1
tan
?
?c os
?
?cos
?
tan
?

难度分级:○ A类 ○B类 ○C类
3
7.(2010江苏苏州模拟)已知π<θ<2π,cos(θ-9π)=- ,求tan(10π-θ)的值.
5
解题思路:考查三角函数诱导公式和同角三角函数关系, 依据已知条件求出cosθ,进而求得
tan(10π-θ)的值.
333

由已知条件得cos(θ-π)=- ,cos(π-θ)=- ,∴cosθ= . ∵π<θ<2π,∴ <θ<2π.
5552
44
∴ tanθ=- ,∴tan(10π-θ)=tan(-θ)=-tanθ= .
33


学习必备 精品知识点
难度分级:○ A类 ○B类 ○C类
8.已知
1?sin
?
1?sin
?
???2ta n
?
,试确定使等式成立的角
?
的集合.
1?sin
?< br>1?sin
?
解题思路:本题主要考查同角三角函数关系及化简计算能力.
1 ?sin
?
1?sin
?
(1?sin
?
)
2(1?sin
?
)
2
1?sin
?
?1?sin
?
2sin
?
?
??
2
|cos
?
|< br>cos
?
cos
2
?
=
1?sin
?

1?sin
?
=
|cos
?
|
.
1 ?sin
?
1?sin
?
???2tan
?
1?sin?
又∵
1?sin
?

2sin
?
2sin
?
??0
|cos
?
|
cos
?
∴, 即得
sin
?
?0

|cos
?
|??cos?
?0
.
所以角
?
的集合为:
{
?
|
?
?k
?

难度分级:○ A类 ○B类 ○C类
2k
?
?
?
2
?
?
?2k
?
?
3
?
,k?Z}
2
.
9.(2010常州模考) 已知
sinx?cosx?
1?3
(0?x?
?
)
,求
sinx ,cosx

2
sinx?cosx?
1?3
(0?x?
?
)
2
,等式两边平方: 解题思路:本题主要考查同角三角函数关系.由
si n
2
x?cos
2
x?2sinxcosx?(
1?3
2< br>)
2

?
1?3
sinx?cosx?
?
?
2
?
3
?
sinxcosx??
3
sinxco sx??
?
4
4
(*)∴,即
?

sinx,c osx
可看作方程
z
2
?
13
1?33
z
1
?,z
2
??
z??0
22

24
的两个根,解得
13
sinx?,cosx??
22
. 又∵
0?x?
?
,∴
sinx?0
.又由(*)式知
cos x?0
因此,
难度分级:○ A类 ○B类 ○C类
10.(2011江苏常州调研 )已知:
tan
?
?3
,求
2cos(
?
?
?
)?3sin(
?
?
?
)
的值.
4cos( ?
?
)?sin(2
?
?
?
)
解题思路:本题考查 正切,正弦与余弦同角三角函数关系


学习必备 精品知识点
?
∴原式
?2cos
?
?3sin
?
?2?3tan
???7
4cos
?
?sin
?
4?tan
?

说明:第二步到第三步应用了“弦化切”的技巧,即分子、分母同除以一个不为零的
cos?
,得到一个
只含
tan
?
的较简单的三角函数式.
难度分级:○ A类 ○B类 ○C类
11.(2010江苏常州)求证:
cosx1?sinx
.
?
1 ?sinxcosx
解题思路:本题主要考查三角公式证明恒等式.采用分析法和综合法均可.
证法一:由题义知
cosx?0
,所以
1?sinx?0,1?sinx?0
.
cosx(1?sinx)cosx(1?sinx)
1?sinx
?
??
2
(1?sinx)(1?sinx)cosx
cosx
∴左边=右边.
∴原式成立.
证法二:由题义知
cosx?0
,所以
1?sinx ?0,1?sinx?0
.
22
(1?sinx)(1?sinx)?1?sinx ?cosx?cosx?cosx
, 又∵
cosx1?sinx
?
cosx
. ∴
1?sinx
证法三:由题义知
cosx?0
,所以
1?sinx?0,1?sinx?0
.
22
cosx1?sinx
?
cosx?cosx?(1?sinx)( 1?sinx)
?
cosx?1?sinx
?0
?
(1?sinx) cosx
(1?sinx)cosx
1?sinxcosx

cosx1?sinx
?
cosx
. ∴
1?sinx
难度分级:○ A类 ○B类 ○C类
12.(2011盐城模拟) 已知
cos
?
??cos
?
,且
tan
?
?0
.
(1)试判断
sin(cos
?
)
的符号; cos(sin
?
)
(2)试判断
lg(sin
?
?c os
?
)
的符号.
解题思路:本题主要考查三角函数的概念.
答 案:(1)由题意,
?1?cos
?
?0

1?sin
?< br>?0
,
?sin(cos
?
)?0,cos(sin
?
)?0


学习必备 精品知识点
所以
sin(cos
?
)
?0
.
cos(sin
?
)
(2)由题意知
?
为第二象限角,
sin
?< br>?cos
?
?1
,所以
lg(sin
?
?cos?
)?0
.
难度分级:○ A类 ○B类 ○C类
13.已知向量< br>m?(sinA,cosA),n?(1,?2),

m?n?0
.
(1)求
tanA
的值;(2)求函数
f(x)?cos2x?tanAsinx(x ?R)
的值域.
解题思路:本题主要考查三角函数定义,向量的数量积及三角函数最值.
答案 (1)
m?n?sinA?2cosA?0?tanA?2

13
f(x)?cos2x?2sinx??2(sinx?)
2
?
22
, (2)
sinx?
x?R,?sinx?[?1,1]
,

3
1
2

f(x)
有最大值
2
;当sinx??1

f(x)
有最小值
?3
.
[?3,
3
]
2
所以,值域为
难度分级:○ A类

○B类 ○C类
14.(2010浙江) 设
0?
?
?
?
,P?sin2< br>?
?sin
?
?cos
?
,

(1) 若< br>t?sin
?
?cos
?
,用含
t
的式子表示
P
;
(2) 确定
t
的取值范围,并求出
P
的最大值.
2
解题思路:(1)由
t=sin
?
?cos
?
,

t?1?2sin
?
cos
?
?1?sin2
?
.

222
?sin2
?
?1?t,?P?1?t?t??t?t?1.

?
??
3
?
t=sin
?
?cos
??2sin(
?
?).0?
?
?
?
,???
?
??
4444.
(2)
??

1
?
?sin(
?
?)?1.
4
2

t的取值范围是
?1?t?2.

15
1
1
[,2]P(t)??t
2
?t?1??(t?)
2
?,
[?1,]2
内是增函数,在
2
24
在 内是减函数.
5
.

?P
的最大值是
4

难度分级:○ A类 ○B类 ○C类


学习必备 精品知识点
15.在平面直角坐标系
xoy
中,以
ox
轴正半轴为始边做两个锐角?
,
?
,终边 分别与单位圆相交于
A,B 两点,已知A,B 的横坐标分别为
225

,
105
(Ⅰ)求tan(
?
?
?
)的值; (Ⅱ)求
?
?2
?
的值.



cos
?
?
解题思路:由条件的
725
225
,sin
?
?
,cos
?
?
5

105
, 因为
?
,
?
为锐角,所以
sin
?
=
10
1
2
因此
tan
?
?7,tan< br>?
?
tan
?
?tan
?
??3
(Ⅰ)tan(
?
?
?
)=
1?tan
?
tan
?

(Ⅱ)
ta n2
?
?
2tan
?
4
tan
?
?tan 2
?
?
tan
?
?
?2
?
?
?? ?1
2
1?tan
?
3
,所以
1?tan
?
tan2
?

0?
?
?2
?

?
,
?
为锐角,∴
?
3
?
2
, ∴
?
?2
?
=
3
?
4

难度分级:○ A类 ○B类 ○C类
第七讲 三角函数的图象及其基本性质
【课标解读】
(1)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
(2)掌握两种作图方法:“五点法”和变换作图(平移、对称、伸缩);
(3)掌握三角函 数的性质包括定义域、值域(最值),单调性、奇偶性和周期性.突出考查三角函数
的函数特征、综合应 用和工具特征.
【知识梳理】
1.周期函数定义:对于函数
f(x)
,如果存在一个不为零的常数
T
,使得当
x
取定义域内的每一个
值时 ,
f(x?T)?f(x)
都成立,那么就把函数
f(x)
叫做周期函数,不 为零的常数
T
叫做这个函数
的周期.结论:如函数
f(x?k)?f(x?k )
对于
任意的x?R
,那么函数f(x)的周期T=2k; 如函数
f(x? k)?f(k?x)
对于
任意的x?R
,那么函数f(x)的对称轴是
x?< br>2.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
(x?k)?(k?x)
?k

2


学习必备 精品知识点









3.图象的平移


学习必备 精品知识点
对函数y=Asin(ωx+?)+k (A>
0, ω
>0, ?
≠0,
k
≠0)
,其图象的基本变换有:
........ ........
(1)振幅变换(纵向伸缩变换):是由A的变化引起的.A>1,伸长;A<1,缩 短.
(2)周期变换(横向伸缩变换):是由ω的变化引起的.ω>1,缩短;ω<1,伸长.
(3)相位变换(横向平移变换):是由φ的变化引起的.?>0,左移;?<0,右移.
(4)上下平移(纵向平移变换): 是由k的变化引起的.k>0, 上移;k<0,下移
【方法归纳】
借助数形结合重点掌握三角函数的性质,除了一般函数通性外,还出现了前面几 种函数所没有
的周期性.函数y=sinx和函数y=cosx是周期函数,且周期均为2π.函数y= tanx是周期函数,且周期均为
π. 周期函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ) (其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期的求
法. 三角函数图象是性质的重要组成部分. 利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法,
熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则.
【课堂训练】
例题1.下列函数中,周期为
A.
y?sin
π
的是( )
2
C.
y?cos
x
D.
y?cos4x

4
2??
解题思路: 本题主要考查三角函数的周期. 逐一验证,
T?????4

?2
B.
y?sin2x

答案为D.
难度分级:○A类 ○B类 ○C类
例题2. (2010福建卷第5 题)已知函数
f(x)?sin
?
?
x?
的图象( )
x

2
?
?
?
?
?
(
?
?0)
的最小正周期为
?
,则该函数
?
?
0
?
对称 A.关于点
?

?
?
?
?
?< br>?
?
?
?
?
?
?
B.关于直线
x?
?
对称
?
?
对称
?
0
?
对称 C.关于点
?

D.关于直线
x?
解题思路: 本题主要考查三角函数的周期性和对称性.由题意知
?
=2,所以解析式为
?
???
?
?
f(x)?sin
?
2x?
?
,经验证可知它的一个对称中心为
?
?
,?
0
?
?
.

33
??
??
答案为A.
难度分级:○A类 ○B类 ○C类


学习必备 精品知识点
例题3.(2010山东,5)函数的最小正周期和最大值分别为( )
A.
?

1
B.
?

2
C.
2?

1
D.
2?

2

解题思路:本题主要考查三角函数的周期和最值
y?sin2x?
答案为A.
3113
?cos2x??cos2x??sin2x??cos2x
∴T=π,y
max
=1
2222
难度分级:○A类 ○B类 ○C类 < br>例题4.(2007江苏卷)函数
f(x)?sinx?3cosx(x?
?
? π,0
?
)
的单调递增区间是( )
?
A.
?
?
π

?
?

?

?
6?
B.
?
?
?
5ππ
?
,?
?

6
??
6
0
?
C.
?
?,
?
?
?
π
?
3
?
?
0
?
D.
?
?,
?
?
?

3
?
?
π
?
6
?
?
解题思路:本题主要考查三角函数的单调性.因 为
f(x)?2sin
?
x?
???
?x??2k??(k?Z),
232
?5?
得2k???x?2k??(k?Z),
66

?5?
令k?0,得??x?
66
?
?
?
由此可得
?
?,0
?
符合题意.
?
6
?
令2k??
答案为D.
难度分级:○A类 ○B类 ○C类
例题5.(2010湖北卷)将
y?2cos
?
解析式为( ) A.
y?2cos
?
?
x?
?
?
?
?
?
?
的图象按向量a=
?
?,?2
?
平移,则平移 后所得图象的
?
4
?
?
36
?
?
x???
x?
?
?
?
?2
B.
y?2cos
?
?
?
?2

?
34
??
34
?
?
x?
??
x?
?
?
?
?2
D.
y?2cos
?
?
?
?2

?
312
??
312
?
C.
y?2cos
?


学习必备 精品知识点
解题思路:本题主要考查三角函数的平移问题. 看向量a=
?
?
?
?
?
,?2
?
的数据“符号”,指令图象左移和
?
4
?
下移,按“同旁相减,异旁相加”的口诀,立可否定B、C、D.
答案为A.
难度分级:○A类 ○B类 ○C类
例题6.(全国卷Ⅱ第2题)函数
y?sinx
的一个单调增区间是( )
A.
?
?,
?

?
??
?
???
?
B.
?

?

?
?3??
?
??
?
C.
?
?,
?

?
?
??
?
?
?
D.
?
?
3?
?
,2?
?

?
?
?
解题思路:法一:∵ 函数y=|sinx|的一个单调递增区间为
?
0,
?
,又函数y=|sin x|是以π为周期的函数,
2
∴函数y=|sinx|的单调递增区间为
?
k?,k??
?
?
?
??
?
?
?
?
(k∈Z).
?
2
?
?
?
3?
?
.故选C.
2
?
?
?
?
3?
?
.故选C.
?
2
?
当k=1时,函数y=|sinx|的一个单调增区间为
?
? ,
法二:作出函数y=|sinx|的图象,由图易知y=|sinx|的一个单调增区间为
?
?,

法三:将每个选择支中区间的两个端点值代入函数表达式,A、B两个选择支的 端点值相等,而选择
支D的左端点值大于右端点值,所以根据单调递增的概念判断,可排除A、B、D, 故选C.
难度分级:○ A类 ○B类 ○C类
例题7(2009江苏卷)函数
y ?Asin(
?
x?
?
)

A,
?
,?
为常数,
A?0,
?
?0
)在闭区间
[?
?
,0]
上的图象如图所示,则
?
= .
解题思路: 考查三角函数的周期知识
答案:

?
=3
难度分级:○A类 ○B类 ○C类


学习必备 精品知识点
例题8(2010福建理数) 已知函数
f(x)=3sin(
?
x-
轴完全相同.若
x?[0,< br>?
6
)(
?
>0)

g(x)=2cos(2x+< br>?
)+1
的图象的对称
?
2
]
,则
f(x)
的取值范围是 .
解题思路:本题主要考查三角函数图象的对称性和最值. 由题意知,
?
?2
,因为
x?[0,
?
2
]
,所以
2x-
?
6
?[-
?
5
?
6,
6
]
,由三角函数图象知:
f(x)
的最小值为
3 sin(-
答案:
[-
?
3
3
?
)=-
, 最大值为
3sin=3
,所以
f(x)
的取值范围是
[-,3].
2
622
3
,3]

2
难度分级:○A类 ○B类 ○C类
例题9.(2010江苏卷)定义在区间
?
0,
?
?
?
?
?
上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P ,
2
?
过点P作PP
1
⊥x轴于点P
1
,直线PP
1
与y=sinx的图象交于点P
2
,则线段P
1
P
2
的长为 .
解题思路:本题主要考查三角函数的图象、数形结合思想.
答案:线段P
1
P
2
的长即为sinx的值,且其中的x满足6cosx=5tanx,解得sinx=
难度分级:○A类 ○B类○C类
例题10(2010陕西理17)设函数
f(x)?a· b
,其中向量
a?(m,
1)

x?R

cos2 x)

b
?(1?sin2x

22
.线段P
1< br>P
2
的长为.
33
2
?
. 且
y?f(x )
的图象经过点
?

(Ⅰ)求实数
m
的值;
(Ⅱ)求函数
f(x)
的最小值及此时
x
值的集合.
解题思路:本题主要考查三角函数图象与向量综合应用,考查学生的运算能力.
答案:(Ⅰ)
f(x)?ab?m(1?sin2x)?cos2x

?< br>π
?
4
?
?
由已知
f
?
π
?
π
?
π
??
?m1?sin?cos?2
,得
m ?1

???
2
?
2
?
4
??
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
f(x)?1?sin2x?cos2x?1?2sin
?
2x?< br>?
?
π
?
?

4
?
π
? ?
?

sin
?
2x?
?
??1
时,f(x)
的最小值为
1?2

4
??

si n
?
2x?
?
?
?3π?
π
?
x
??1
,得值的集合为
xx?k
π
?,k?Z
??

?
4
?
8
??


学习必备 精品知识点
难度分级:○A类 ○B类○C类

【课后作业

1.(20 11全国卷Ⅰ第12题)函数
f(x)?cos
2
x?2cos
2
A .
?

?

x
的一个单调增区间是( )
2
?
??
?
?
66
?
?
?2?
?
?
33
?
B.
?

?

???
?
?
62
?
C.
?
0,
?

?
?
?
?
3
?
D.
?
?,
?

解题思路:本题主要考查三角函数公式及三角函数图象的单调性
f?
x
?
?cos
2
x?
?
1?cosx
?

1
?
5
?
?
?
cosx?
?
?

2
?
4
?
以下将各选项中的两个数据依次代 入估算,只有A项是递增的.
答案:选A.
难度分级:○A类 ○B类○C类
2 .(2010浙江卷)已知函数
f(x)
=Acos(
?
x?
?)的图象如图所示,
f()??
2
?
2
2
,则
f(0)
=( )
3
(A)
?
211
2
(B) (C)- (D)
322
3
w.w.w..s.5.u.c.o.m

解题思路:本题主要考查三角函数图象的基本量的计算.
2π2π2π
答案:由图象可得最小正周期为 ,于是f(0)=f(),注意到
333
3
π7π2ππ
与关于对称, 所以f()=-f()=
21232
2
难度分级:○A类 ○B类○C类
3. 设ω>0,函数f(x)=2sinωx在
[?

??
,]
上为增函数,那么ω的取值范围是 .
34
解题思路:本题主要考查三角函数图象的性质及参数的取值范围,
答案:由三角函数图象的增区间可得到
[?
难度分级:○A类 ○B类○C类
4.

已知定义在区间[-?,
?
]上的函数y=f(x)的图象关于直线x= -
数f(x)=Asin(?x+?)(A>0, ?>0,-
2
3
2
??
对称,当x?[-,
?
]时,函
3
66
????3
,
4
]?[?
??
2
,]
解得:0<ω≤.
3
22
,
??
22


学习必备 精品知识点
(1)求函数y=f(x)在[-?,
?
]的表达式;
(2)求方程f(x)=
2
的解.
2
2
3
解题思 路:本题主要考查三角函数的图象求
三角函数的解析式及解三角方程.
答案:(1)由图象知 A=1,T=4(
?=
2
??
?
)=2?,
36
2
?
?
?
?
2
?
?
?
?
? 1
在x?[-,]时, 将(,1)代入f(x)得f()=sin(+?)=1∵-T
22
63666
∴?=
?

3
∴在[-
?
2
?
?
?
,]时f(x)=sin(x+)∵y=f(x )关于直线x=-对称.
6336
?
]时 f(x)=-sinx
6∴在[-?,-
?
x?[?,]
?
sin(x?)
63
?
综上f(x)=
?

3

?
?
x?[ ?
?
,?]
?
?sinx
6
(2)f(x)=
?< br>2
?
5
?
2
?
?
2
?
在区间[-,]内可得x
1
= x
2
= -
2
63
12
12
2
?
3
?
3
?
?
?
5
?
?
对称
x
3
=- x
4
= -∴f(x)=的解为x?{-,-,-,}
2
6
44
121244
∵y=f(x)关于x= -
难度分级:○A类 ○B类○C类
5. (2011江苏南通模考)判断方程sinx=< br>解题思路:方程sinx=
x
实数解的个数.
100
?
x< br>的实数解的个数等于函数
100
?
y=sinx与y=
x
的图 象交点个数
100
?
x
|≤1, |x|≤100л
100
?
100л
∵|sinx|≤1∴|
当x≥0时,如右图, 此时两线共有100个交点,因y=sinx与y=
x
都是奇函数,由对称性知
100
?
当x≤0时,也有100个交点,原点是重复计数的,所以只有199个交点.
答案:199
难度分级:○A类 ○B类○C类
6. (2010天津卷)求函数y=2sin
(?x)
的单调区间.
4
?
解题思路:主要考查复合三角函数的单调性,注意复合函数同增异减原则
答案: y=2sin
(?x)
可看作是由y=2sinu与u=
4
?
?
4
?x
复合而成的.


学习必备 精品知识点
又∵u=
?
4
?x
为减函数, ∴由2k
?
-
?
?
≤u≤2k
?
+
(k∈Z),
22
-2k
?
-
?
?
3
??
3
?
?
≤x≤-2k
?
+
(k∈Z).即
?
(k∈Z)为y=2sin
(?x)
的递减区间. ?2k
?
?,?2k
?
?
??
44
4
44
??
由2k
?
+
?
3
?
?< br>?
3
?
≤u≤2k
?
+
(k∈Z), 即2k
?
+

-x≤2k
?
+ (k∈Z)
22242
5
?
?
≤x≤-2k
?
-
(k∈Z),
44
得-2k
?
-

?
?
?2k
?
?
?
?
5
??
?,?2k
?
?
?
(k∈Z)为y=2sin
(?x)
的 递增区间. 11分
4
44
?
?
4
综上可知:y= 2sin
(?x)
的递增区间为
?
?
?2k
?
?< br>?
5
??
?

,?2k
?
?
?
(k∈Z)
44
?
递减区间为
?
?
?2k
?
?,?2k
?
?
?
4
?
3
?
?
(k∈Z).
4
?
?

难度分级:○A类 ○B类○C类
2cos4
x?3cos
2
x?1
7.(
2011江苏苏州调研

已知函数f(x)=,求它的定义域和值域,并判断奇偶性.
cos2x
解题思路 :本题主要考查三角函数公式和三角函数奇偶性,最值.
由题意知cos2x≠0,得2x≠k
?
+
?
k
??
, 解得x≠
?
(k∈Z).
2
24
?
?
k
??
?
?,k?Z
?
.
24
?
所 以f(x)的定义域为
?
xx?R,且x?
2cos
4
x?3cos
2
x?1
(2cos
2
x?1)(cos
2
x?1 )
又f(x)= ==cos
2
x-1=-sin
2
x.
cos2x
cos2x
又定义域关于原点对称, ∴f(x)是偶函数.
显然-sin
2
x∈[-1,0],但∵x≠
1
2
k
??< br>?
,k∈Z. K*s5u
24
1
2
1
2
?
??
∴-sin2
x≠-
.所以原函数的值域为
?
y|?1?y??或??y?0
?
.
?
难度分级:○A类 ○B类○C类
8.(
2010天津 理

已知函数
f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1,x?R

?
π3π
?
??
(Ⅰ)求函数
f(x)
的最小正周 期;(Ⅱ)求函数
f(x)
在区间
?

?
上的最小值和最大 值.
84
解题思路:本题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角和与差公式、 倍角公式、函

y?Asin(
?
x?
?
)
的性质 等基础知识,考查基本运算能力.
答案:(Ⅰ)
f(x)?2cosx(sinx?cosx )?1?sin2x?cos2x?
因此,函数
f(x)
的最小正周期为
π< br>.
π
??
2sin
?
2x?
?

4
??


学习必备 精品知识点
(Ⅱ)解法一:因为< br>f(x)?
π
???
3π3π
?
?
π3π
?
2sin
?
2x?
?
在区间
?

?
上为增函数,在区间
?

?
上为减
4
???
84
?
?
88
?
π
?

??
3ππ
?
f
??
?2sin
?
?
?
??2cos ??1

4
?
4
??
24
?
函数,又< br>f
?
?
π
?
?
?0

?
8
?
?

?
f
??
?2

?8
?
故函数
f(x)
在区间
?

?
上 的最大值为
2
,最小值为
?1

84
解法二:作函数f(x)?
?
π3π
?
??
π
??
?
π9π
?
2sin
?
2x?
?
在长度为一个周期的区间?

?
上的图象如下:由图象
4
??
?
84< br>?
y
?
π3π
?
得函数
f(x)
在区间< br>?

?
上的最大值为
2

?
84
?
2

O
?2

?

?
最小值为
f
??
??1

?
4
?
难度分级:○A类 ○B类○C类

??
?

?
????????
?

?

?

?

?

x
9.
(
2010重庆理
)
设f (
x
) = < br>6cosx?3sin2x
,
(1)求f(
x
)的最大值及最小正周期 ;
(2)若锐角
?
满足
f(
?
)?3?23
,求 tan
?
的值.
解题思路:本题主要考查三角函数公式和三角函数图象的性质 答案:(Ⅰ)
f(x)?6
2
4
5
1?cos2x
?3 sin2x
?3cos2x?3sin2x?3

2
?
3
?
?
?
1
?
?23cos2x?
?23
?
c os2x?sin2x?3
?
??
?3

?
2
?
6
?
2
?
??

f(x)
的最大值为23?3
;最小正周期
T?
2?
??

2
( Ⅱ)由
?
?
?
??
?
f(
?
)?3?23

23cos
?
2
?
?
?
?3?3?23
,故
cos
?
2
?
?
?
??1

6
?
6
?
?
?
又由
0?
?
?
???
?
5

?2
?
????
,故< br>2
?
???
,解得
?
??
.从而
2
6
6
6612
4?
tan
?
?tan?3

53
?
难度分级:○A类 ○B类○C类
10.(2010浙江) 已知函 数
f(x)?sin(
?
x?
?
),(
?
?0,0 ?
?
?
?
)
是R上的偶函数,其图象关于点
M
(< br>?
,0)
对称,且在区间[0,
3
4
?
]上是单调函 数,求
?

?
的值.
2


学习必备 精品知识点
解题思路:本题主要考查三角函数的对称性和周期性.
答案:由
f(x)
是偶函数,得
f(?x)?f(x)
,


sin(?
?
x?
?
)?sin(
?
x ?
?
)
,
?cos
?
sin
?
x?cos
?
sin
?
x
对任意x都成立,且
?
?0,?co s
?
?0.
依题设0≤
?

?

?cos
?
?
3
4
?
2
.

3
4

f(x)
的图象关于点M对称,得
f(
?
?x)??f(
?
?x)

3
4
33
?
x
?3
?
x3
?
x
?
f(
?
)?sin( ?)?cos(),?cos(
)
?
0

?
?0
, 得
44244
3
?
x
?
2
??k
?
,k?0,1,2......?
?
?(2k?1),k?0,1,2..

.
423

22
?
?

k?0
时,
?
?,f(x)?sin(x?)

[0,]
上是减函数. < br>2
332

x?0得f(
?
)??f(
?
) ,?f(
?
)?0


k?1
时,
?
?2 ,f(x)?sin(2x?

k
≥2时,
?
?
3
4
3
4
?
)

[0,]
上是减函数.
2
2
?
10
?
?
,f(x)?sin(
?
x ?)

[0,]
上不是单调函数.
2
32
2
所以 ,综合得
?
?

?
?2
.
3
难度分级:○A类 ○B类○C类
11.(2011南京模拟) 求下列函数的值域:
(1)y=
sin2xsinx
?
; (2)y=sinx+cosx+sinxcosx; (3)y=2cos
(?x)
+2cosx.
1?cosx
3
解题思路:

本题主要考查三角函数公式和三角函数最值
1
2sinxcosxsinx
2cos x(1?cos
2
x)
1
答案:(1)y===2cos
2
x+2cosx=2
(cosx?)
2
-.
2
2
1?cosx
1?cosx
于是当且仅当cosx=1时取得y
max
=4,但cosx≠1,
?
∴y<4,且y
min
=-,当且仅当cosx=-时取得. 故函数值域为
?
?,4
?
.
?
?
t
2
?1
(2)令t=sinx+cosx,则有t=1+2sinxcosx,即sinxcosx=.
2
2
1
2
1
2
1
?
2
有y=f(t)=t+
t
2
?1
1
=
(t?1)
2
?1
.
2
2
又t=sinx+cosx=
2
sin
(x?)
, ∴-
2
≤t≤
2
.
4
?
故y=f(t)=
1
(t?1)
2
?1
(-
2
≤ t≤
2
), 从而知:f(-1)≤y≤f(
2
),
2
2
1
1
?
即-1≤y≤
2
+. 即函数的值域为
?
?
?1,2?
?
.
?
2
?


学习必备 精品知识点
( 3)y=2cos
(?x)
+2cosx=2cos
3
?
?
?
cosx-2sinsinx+2cosx=3cosx-
3
sinx
3 3
cosx?sinx
?
=2
3
cos
(x?)
. =2
3
?
?
2
?
6
2
??
?31
?
?

cos(x?)
≤1,∴该函数值域 为[-2
3
,2
3
].
6
?
难度分级:○A类 ○B类○C类
12.(2011常州模拟)已知函数f(x)=-sin
2
x+si nx+a,(1)当f(x)=0有实数解时,求a的取值范围;
(2)若x∈R,有1≤f(x)≤< br>17
,求a的取值范围.
4
解题思路:本题考查三角函数的最值及参数范围.
(1)f(x)=0,即a=sin
2
x-sinx=(sinx-
1
2
1
)-
24
11
∴当sinx=时,a
min
=-,当sinx=-1时,a
max
=2,
24
1
∴a∈[
?
,2]为所求
4
17
?
2
7
?
a?sinx?sinx?
171
4
∵ u
1
=sin
2
x-sinx+(2)由1≤f(x)≤得< br>?
?(sinx?)
2
+4≥4
4
?
42
2
?
a?sinx?sinx?1
u
2
=sin
2
x-sinx+1=
(sinx?)
2
?
难度分级:○A类 ○B类○C类
13. (2011安徽)已知函数
f(x)?2sin
?
(I)求
f(x)
的最大值和最小值;
2
1
2
3
≤3 ∴ 3≤a≤4.
4
?
ππ
?
?
π
?
?x< br>?
?3cos2x

x?
?

?

?
42
?
?
4
?
(II)若不等式
f(x)?m ?2

x?
?

?
上恒成立,求实数
m
的 取值范围.
42
解题思路:本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识,以及运用三角公式 、三角函数的图象和
性质解题的能力.
答案:(Ⅰ)
∵f(x)?
?
1?cos
?
?
ππ
?
??
?
?
π??
?
π
?
?

?2x
?
?
?3cos2x?1?sin2x?3cos2x
?1?2sin
?
2x?
?

3
??
?
2
?
?

∵x?< br>?

?



2x?

,即
2

1?2sin
?
2x?
?

3

3
?
633
?
42
??
?
ππ
?
ππ2π
?
π
?
∴f(x)
max
?3,f(x)
min
?2


学习必备 精品知识点
(Ⅱ )
∵f(x)?m?2?f(x)?2?m?f(x)?2

x?
?

?

42
?
ππ
?
??
∴m?f(x )
max
?2

m?f(x)
min
?2

∴1?m?4
,即
m
的取值范围是
(1,4)

难度分级:○A类 ○B类○C类
14.(2010重庆)已知f(x)=2asin
2
x-2
2
asinx+a+b的定义域是[0,
b的值.
解题思路:本题主要考三角函数的化简和函数最值的基本知识.注意分类讨论的思想. 令sinx=t,
∵x∈[0,
2
2
π
],∴t∈[0,1],f (x)=g(t)=2at
2
-2
2
at+a+b=2a(t-)+b. < br>2
2
π
],值域是[-5,1],求a、
2
?
b?? 5,
当a>0时,则
?
解之得a=6,b=-5.
a?b?1,
?
?
b?1,
当a<0时,则
?
解之得a=-6,b=1.
a?b??5,
?
难度分级:○A类 ○B类○C类


学习必备 精品知识点
第八讲 三角恒等变换
【课标解读】
(1)理解从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍 角的正弦、余弦、
正切公式,了解它们的内在联系;
(2)能运用上述公式进行简单的恒等变 换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式,但
不要求记忆).从近几年的试题考查的方向来看, 这部分题以填空、解答题出现的机会较多,它们经
常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考查,主要 题型有三角函数求值,通过三角式的变换研
究三角函数的性质.三角函数的化简、求值及三角恒等式的证 明是三角变换的基本问题.历年考试中,
在考查三角公式的掌握和运用的同时,还注重考查思维的灵活性 和发散性,以及观察能力、运算及
观察能力、运算推理能力和综合分析能力.
【知识梳理】
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?< br>sin
?


cos
?
?
?
?< br>?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin< br>?


sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?


sin
?
?
?
?
?
?sin?
cos
?
?cos
?
sin
?


tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?

?

tan
?
?ta n
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan< br>?
tan
?
?
);
1?tan
?
tan< br>?
tan
?
?tan
?

?

tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
).
1? tan
?
tan
?

tan
?
?
?
?
?
?
2.二倍角的正弦、余弦和正切公式:

sin2
?
?2sin
?
cos
?

?1?sin2
?< br>?sin
?
?cos
?
?2sin
?
cos
?
?(sin
?
?cos
?
)


cos 2
?
?cos
2
222
?
?sin
2
?< br>?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?

?
,1?cos
?
?2sin
2
?
升幂公式
1?c os
?
?2cos
2
?
22
cos2
?
? 11?cos2
?

sin
2
?
?

?
降幂公式
cos
2
?
?
22

tan2
?
?

2tan
?

2
1?tan
?


学习必备 精品知识点
3.
半角公式:
α1?cosαα1?cosα
cos??;sin??

2222

α1?cosαsinα1?cosα
tan????
2 1?cosα1?cosαsinα
?
(后两个不用判断符号,更加好用)
4.合一 变形
?
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的形式:
y? Asin(
?
x?
?
)?B
.
?sin
?
??cos
?
??
2
??
2
sin
?
?< br>?
?
?
,其中
tan
?
?
?
. < br>?
5.三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活 运用
三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下:
(1)角的变 换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间
的和差,倍半,互 补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,
对角的变形如:

2
?

?
的二倍;
4
?

2< br>?
的二倍;
?

?
2
的二倍;
?
2

?
4
的二倍;
30
o
?

15?45?30?60?45?
;问:
sin?

2
12
ooooo

?
?(
?
?
?
)?
?
;④
?
4
?
?
?
?
2?(
?
4
?
?
)


2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)?(
?
4
?
?
)?(
?
4
?
?
)
;等等
(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数.如在三角函 数中正余弦是基础,
通常化切为弦,变异名为同名.
(3)常数代换:在三角函数运算,求值 ,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”
的代换变形有:
< br>1?sin
2
?
?cos
2
?
?tan
?< br>cot
?
?sin90
o
?tan45
o
.

(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法.< br>有时需要升幂,如对无理式
1?cos
?
常用升幂化为有理式.
(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用.
如:
1?tan
?
1?tan
?
?_______________

?______________

1?tan
?
1 ?tan
?
tan
?
?tan
?
?___________ _

1?tan
?
tan
?
?___________
tan
?
?tan
?
?____________

1?tan
?
tan
?
?___________

2tan
?
?

1?tan
2
?
?


学习必备 精品知识点
tan20
o
?tan40< br>o
?3tan20
o
tan40
o
?

sin
?
?cos
?
?
= ;
asin
?
?bcos
?
?
= ;
1?cos
?
?

1?cos
?
?

6.三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手;
基本规则是:见切化弦 ,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊
值与特殊角的三角函数互化.
7. 三角等式的证明
(1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变 换,应用化繁为简、左右
同一等方法,使等式两端化“异”为“同”;
(2)三角条件等式的 证题思路是通过观察,发现已知条件和待证等式间的关系,采用代入法、
消参法或分析法进行证明.
【方法归纳】
1.三角函数式的化简
常用方法:①直接应用公式进行降次、消项;②切割化弦,异名化同名,异角化同角;③ 三角
公式的逆用等.(2)化简要求:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量
少; ④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数.
2.三角函数的求值类型有三类 (1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变
换消 去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题;
(2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求 另外一些角的三角函数值,解题的关键在于
“变角”,如
?
?(
?
?
?
)?
?
,
?
2?(
?
?
?)?(
?
?
?
)
要注意角的范围的讨论;
(3)给值 求角:实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及
函数的单调性求得 角.
等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时
【课堂训练】
4
,则
tana?

3
例题1(20 10全国卷)已知
a
是第二象限的角,
tan(
?
?2a)??解题思路:本题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程.


学习必备 精品知识点
44
2tan
?
4< br>得
tan2a??
,又
tan2a?
,解得
??
33
1?tan
2
?
3
1
1
tan
?
??或tan
?
?2
,又
a
是第二象限的角,所以
tan< br>?
??
.
2
2
1
【答案】
?

2
答案:由
tan(
?
?2a)??
难度分级: ○A类○B类 ○C类
例题2.(2009天津)已知
sin
?
?
值.
解题思路:本题主要考查两角和差的余弦公式,注意角的范围.
5
4
??
?

?
?
?
,
?
?
,co s
?
??,
?
是第三象限角,求
cos
?
?
?
?
?

13
5
?
2
?
34
?
?
?
?
4
?
2
答案:因为
?
?
?
,
?
?

sin
?
?< br>由此得
cos
?
??1?sin
?
??1?
????

5
5
?
2
?
?
5
?< br>12
5
?
5
?
2
又因为
cos
?< br>??,
?
是第三象限角,所以
sin
?
??1?cos
?
??1?
?
?
?
??

13
13?
13
?
所以
cos(
?
?
?
)?c os
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?< br>?
?
?
?
?
?
难度分级: ○A类○B类 ○C类
例题3.(2009浙江理)化简下列各式:
(1)
2
2
33?
3
??
5
?
4
?
12
?
? ????
???
65

?
5
??
13
?< br>5
?
13
?
?
1111
?
3
??
?
??cos2
?
?
?
?,2
?

??
?
??
2222
?
2
?
??
cos
2
?
?sin
2
?
(2).
?
?
??
?
?
2cot
?
?
?
?
co s
2
?
?
?
?
?
4
??
4
?
解题思路:本题主要考查半角和二倍角公式,即降幂和升幂公式.注意到
2
?< br>是
?
的二倍,
?

?
的二倍,?
?
??
?
?
不难得到解题的切入点
2442
???
答案:( 1)因为
3
?
11
?
?
?2
?
,所以?c os2
?
?cos
?
?cos
?

222
又因
3
??
11
??
??
?
,所以?cos?
?sin?sin

422222
所以,原式=
sin
?
2
.


学习必备 精品知识点
(2)原式=
cos2
?
cos2
?
?

?
?
??
?
??
?
??
?
?
2t an
?
?
?
?
cos
2
?
?
?< br>?
2sin
?
?
?
?
cos
?
?< br>?
?
?
4
??
4
??
4
??
4
?
=
cos2
?
cos2
?
??1
.
?
?
?
cos2
?
sin
?
?2
?
?
?
2
?
难度分级:○A类○B类 ○C类
asin
例题4(江苏南 通一模)已知正实数a,b满足
?
55
?tan
8
?
,求< br>b
的值
.
??
15a
acos?bsin
55?bcos
?
解题思路:本题主要考查
asin
?
?bcos< br>?
的结构,可考虑引入辅助角公式.
b
?
8
cossin< br>?
5a5
?
15
?
答案:解法一:由题设得
?b
?
8
cos?sincos
?
5a515
sin?< br>?
8
?
8
?
sin
?
8
?
?
?
?
??
?
?cos?cos
?
?sin
b
?
155
??
?tan
155155
??3.

?
8
?
8
?
8
?
?
a3
?
cos
?
?cos?sin
?
?sin
cos
?
?
?
?
155155
5
??
15
sin< br>解法二:
因为asin
?
5
?bcos
?
?
?
?
?a
2
?b
2
sin
?
?
?
?


55
??
b
?
?
?
?a
2
?b
2
cos
?
?
?
?
,其中tan
?
?,
55a
?
5
?
8
?< br>?
?
?
由题设得tan
?
?
?
?
? tan.
15
?
5
?

?
8
?
所 以?
?
?k
?
?
?
,即
?
?k
?
?,
5153
b
?
?
?
?
故?tan?
?tan
?
k
?
?
?
?tan?3.
a3
?
3
?
?
b
tan?
8
解法三:< br>原式可变形为:
5a
?tan
?


b
?< br>15
1?tan
a5
acos?bsin
??


学习必备 精品知识点
?tan
?
b8
?
?
?5
令tan
?
?,则有?tan
?
?
?
??tan
?

?
a15
?
5
?
1?t an
?
?tan
5
?
8
?
由此可
?
??k
?
?
?
?
k?Z
?
,所以
??k
?
?,
?
k?Z
?

5153
?
?
?
b
?
故tan
?
?tan
?
k
?
?
?
?tan?3,即?3
3
?
3a
?
tan
难度分级:○A类○B类 ○C类
例题5.求
(
?
3
20
sin140cos1402sin10
解题思路:本题主要考查三角变换公 式,还需用到代数变形公式--平方差公式.
答案:原式=
3cos
2
14 0
0
?sin
2
140
0
sin
2
140
0
cos
2
140
0
?
1
2sin10< br>0
?
1
2
)?
0
1
0
.

1
2sin10
0
?
(3cos140
0
?sin 140
0
)(3cos140
0
?sin140
0
)
(?sin40
0
cos40
0
)
2
?
?4si n80
0
?sin200
0
1

??
01
20
2sin10
sin80
4
sin200
0sin200
0
??8??16?16
sin80
0
cos80
0
sin160
0

难度分级:○A类○B类 ○C类

?
?
?
)的值
. 例题6.(2011苏州模拟)已知< br>sin
?
?sin
?
?1,cos
?
?cos
?
?0
,求cos
解题思路:本题主要考查两角和的余弦公式.关键在于化和为积促 转化,“整体对应”巧应用.
答案:由已知sin
?
+sin
?
=1…………①,
cos
?
+cos
?
=0…………②,

2
+②
2
得 2+2cos

?
?
?
)?1

∴ cos

?
?
?
)??
1
.
2

2
-②
2
得 cos2
?
+cos 2
?
+2cos(
?
?
?
)=-1,
即2cos (
?
?
?
)〔
cos(
?
?
?
) ?1
〕=-1.

cos
?
?
?
?
?
??1
.
难度分级:○A类 ○B类 ○C类”


学习必备 精品知识点
例题7(2010天津卷).已知
tan
?
,tan
?
是方程x? 5x?6?0
的两个实数根,求
2
2sin
2
?
?
?
?
?
?3sin
?
?
?
?
?
c os
?
?
?
?
?
?cos
2
?
?
?
?
?
的值
.
解题思路:本题主要考查两角和与差角三角 函数公式不仅要记住公式,更重要的是抓住公式的特征,
从而找到解题的切入点.
解法一:由 韦达定理得tan
?
?tan
?
?5,tan
?
?tan< br>?
?6

所以tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
5
???1.
< br>1?tan
?
?tan
?
1?6
2sin
2
?
?
?
?
?
?3sin
?
?
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
2
?
?
?
?
?
原式?

sin
2< br>?
?
?
?
?
?cos
2
?
?
?
?
?
2tan
2
?
?
?
?
?
?3tan
?
?
?
?
?
?12?1?3?
?
?1
?
?1
???3

2
tan
??
?
?
?
?11?1
解法二:由韦达定理得tan
?< br>?tan
?
?5,tan
?
?tan
?
?6

所以tan
?
?
?
?
?
?
tan?
?tan
?
5
???1.

1?tan
?< br>?tan
?
1?6
3
于是有
?
?
?
?k
?
?
?
?
k?Z
?

4
3
?
3
?
3
?
3
?
31
??
原式?2sin
2
?
k
?
?
?
?
?si n
?
2k
?
?
?
?
?cos
2
?
k
?
?
?
?
?1???3
.
4
?
2
?
2
?
4
?
22
??
难度分 级:○A类 ○B类 ○C类”
例题8.(2009重庆)在△ABC中,角A、B 、C满足4sin
2
7
A?C
-cos2B=,求角B的度数.
2
2
解题思路:本题主要考查三角函数二倍角公式,结合三角形内角和定理.
答案: 在△ABC中,A+B+C=180°,由4sin
2
所以4cos
2
B-4cosB+1=0.
于是cosB=,B=60°.
难度分级:○A类

例题9(2010福建文数)观察下列等式:
2
① cos2a=2
cosa
-1;
1?cos(A?C)
77
A?C
-cos2B=,得4·-2cos
2
B+1=,
2
222
1
2
○B类 ○C类
42
② cos4a=8
cosa
- 8
cosa
+ 1;


学习必备 精品知识点
③ cos6a=32
cos
6
a
- 48
cos
4
a
+ 18
cos
2
a
- 1;
④ cos8a=128
cos
8
a
- 256
cos
6
a
+ 160
cos
4
a
- 32
cos
2
a
+ 1;
⑤ cos10a= m
cos
10
a
- 1280
cos
8
a
+ 1120
cos
6
a
+ n
cos
4
a
+ p
cos
2
a
- 1.
可以推测,m – n + p = .
解题思路:本小题考查三角变换、类比推理等基础知识,考查同学们的推理能力.
7答案:因为
2?2,8?2,32?2,
128?2,
所以
m?2
9
?512
;观察可得
n??400

135
p?50
,所以m – n + p =962.
难度分级:○A类 ○B类○C类
例题10(2010江苏卷)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位:m),如示意 图,垂直放置的标
杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=
?
,∠ADE=
?
.
(1)该小组已经测得一组
?

?
的值,tan
?
=1.24,tan
?
=1.20,请据此算出H的值;
(2)该小组 分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d
(单位:m),使
?
与< br>?
之差较大,可以提高测量精确度.若电视塔
的实际高度为125m,试问d为多少时,
?
-
?
最大?
解题思路: 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的
应用.
答案:(1)
HHh
H
?tan
?
?AD?
,同理:
AB?

BD?
.
tan
?
ADtan
?
tan
?
AD—AB=D B,故得
HHh
??
,解得:
tan
?
tan
?< br>tan
?
.
(2)由题设知
d?AB
,得
tan< br>?
?
HHhH?h

,tan
?
???
d ADDBd
HH?h
?
tan
?
?tan
?
hdh
dd

tan(
?
?
?
)???
2
?
HH?hH(H?h)
1?tan
?
?tan
?
1??
d?H(H?h)
d?
ddd
H(H?h)
(当且仅当
d? H(H?h)?125?121?555
时,取等号)
d??2H(H?h)
d
故当
d?555
时,
tan(
?
?
?
)
最大.


学习必备 精品知识点
因为
0?
?
?
?
?
?
2
,则
0?
?
?< br>?
?
?
2
,所以当
d?555
时,
?
-
?
最大.
故所求的
d

555
m.
难度分级:○A类○B类○C类
【课后作业】
1. (2010全国卷2文数)已 知
sin
?
?
2
,则
cos(
?
?2?
)?
( )

3
(A)
?
55
1
1
(B)
?
(C)(D)
3
3
9
9
解题思路:本题考查了二倍角公式及诱导公式.

sin
?
?
2

3
cos(
?
?2
?
)??cos2
?
??(1?2sin
2
?
)??
1
9

答案:选B
难度分级: ○A类○B类 ○C类
2.(2010安徽) 设
cos(
?
?

cos
?
1
?
2
??
)??,sin(?
?
)?
,且
?
?
?
?
,0?
?
?

292322
?
?
?
2
的值.
解题思路:本题主要考查两角和的三角函数公式,给值求值.
答案:因为
?
2
?
?
?
?
,0?
?
?
?
2,
所以
?
4
?
?
?
?
2
?< br>?
,?
?
4
?
?
2
?
?
?
?
2

所以
sin
?
?
?
??
?
?
455
?
?
?

cos
?
?
?
?
?

?
?
2
?9
?
2
?
3
所以
cos
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?75

?cos
?
???
?
?????
??
?
2
??
227
?
2
??
???
难度分级: ○A类○B类 ○C类
sin2x?2sin
2
x7
?
?
?
317
的值.
. 3.(2009浙江)若< br>cos
?
?x
?
?,
?
?x?
?
,

1?tanx
45124
??
解题思路:本题主要考查两角和的三 角函数公式.三角注意到两个角的变换
?
?
?
?
?
?
?
?
x?
?
?x
?
?,及2x?2
?
? x
?
?

?
4
?
4
?
4
?
2
答案:解法一:由
1775
?
?
?x?
?,得
?
?x??2
?

12434


学习必备 精品知识点
4
?
?< br>?
3
?
?
?
又因cos
?
?x
?< br>?,sin
?
?x
?
??.

5
?
4
?
5
?
4
?
?
?
??
2
?
?
?
?
?
??
?
?
?
< br>cosx?cos
?
?
?x
?
?
?
?cos
?
?x
?
cos?sin
?
?x
?
sin ??,
4410
?
4
?
?
4
??
4
?
?
?
4
从而sinx??
72
,tanx?7.

10
2
?
72
??
2
??
72
?
2???
????
?2
?
?
?
2
10 1010
2sinxcosx?2sinx
?????
??
28
.< br>
原式??
?
1?tanx1?775
解法二:,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?7
而sin2x?sin
?
2
?
?x
?< br>?
?
??cos2
?
?x
?
??
?
2cos
2
?
?x
?
?1
?
?

?
4
??
4
?
?
25
?
?
4?
2
??
?
?
?
sin
?
?x
?
?
?
?
?
4
?
??
4

tan
?
?x
?
?
?
43
????
cos
?
?'x
?
?
4
?
所以, 原式?
7
?
4
?
28
?
?
?
?< br>??.

25
?
3
?
75
难度分级:○A类○B类 ○C类
4. 若sinA=
5
10
,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值.
5
10
解题思路: 本题主要考查三角函数两角和的正余弦公式.
答案: ∵A、B均为钝角且sinA=
∴cosA=-
1?sin
2
A
=-
2
5
5
10
,sinB=,
5
10
=-
3
25310
,cosB=-
1?sin
2
B
=- =-,
510
10
?
25
??
310
?
5
102
?
×
?
?
?
-∴cos(A+B)=co sAcosB-sinAsinB=
?
?
×=
???
10
?
5
2
10
5
????
又∵
?
?
<A<
?
, <B<
?
,
22

?
<A +B<2
?
,∴A+B=
7
?
.
4
难度分级: ○A类○B类 ○C类
5.(2010江苏扬州) 化简sin
2
?
· sin
2
?
+cos
2
?
cos
2
?-
1
cos2
?
·cos2
?
.
2
解题思路:本题主要考查三角函数两角和和二倍角公式.


学习必备 精品知识点
答案:方法一 (复角→单角,从“角”入手)
原式=sin
2?
·sin
2
?
+cos
2
?
·cos
2
?
-
=sin
2
?
·sin
2
?+cos
2
?
·cos
2
?
-
1
·( 2cos
2
?
-1)·(2cos
2
?
-1)
2
1
(4cos
2
?
·cos
2
?-2cos
2
?
-2cos
2
?
+1)
2
1

2
=sin
2
?
·sin
2
?
-cos
2
?
·cos
2
?
+cos
2
?
+cos
2
?
-
=sin
2
?
·sin
2
?
+cos
2
?
·sin
2
?
+cos
2
?
-
=sin
2
?
+cos
2
?
-
111
=1-=.
222
1

2
方法二 (从“名”入手,异名化同名)
原式=sin
2
?
·sin
2
?
+(1-sin
2
?
)·cos
2
?
-
=cos
2
?
-sin
2
?
(cos
2
?
-sin
2
?
)-
=cos
2
?
-sin
2
?
·c os2
?
-
1
cos2
?
·cos2
?

2
1
cos2
?
·cos2
?

2
1
cos2
?
·cos2
?

2
2
?
1
?
2
?
=cos
2
?
- cos2
?
·
?
sin
?
?cos2
?
)
?

?
=
=
1?cos2
?
-cos2< br>?
2
1
?
2
?
2
·
sin
?
?(1?2sin
?
)
??

2
??
1
1?cos2
?
1
-cos2
?
=.
22
2
方法三 (从“幂”入手,利用降幂公式先降次)
原式=
=
1?cos2
?
1?cos2
?
1?cos2
?
1?cos2
?
1
·+·-cos2
?
·cos2
?

2
222
2
11
(1+cos2
?
·cos2
?
-cos2
?
-cos2
?
)+ (1+cos2
?
·cos2
?
+cos2
?
+cos2
?
)-
44
11
·cos2
?
·cos2
?
=.
22
方法四 (从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方)
原式=(sin< br>?
·sin
?
-cos
?
·cos
?
)2
+2sin
?
·sin
?
·cos
?
·co s
?
-
=cos
2
(
?
+
?
)+
=cos
2
(
?
+
?
)-
=cos
2
(
?
+
?
)-
11
sin2
?·sin2
?
-cos2
?
·cos2
?

22
1
·cos(2
?
+2
?
)
211
·[2cos
2
(
?
+
?
)-1]=.
22
1
cos2
?
·cos2
?

2
难度分级: ○A类○B类 ○C类
6.
求sin20°+cos80° +
3
sin20°cos80°的值.

22
解题思路:本题主要考查三角公式和计算能力.


学习必备 精品知识点
答案: sin
2
20°+cos
2
80°+
3
sin20°cos80°
=
11
(1-cos40°)+ (1+cos160°)+
22
3
sin20°cos80°
=1-=1-
=1-
=1-
11
cos40°+cos160°+
3< br>sin20°cos(60°+20°)
22
11
cos40°+(cos1 20°cos40°-sin120°sin40°)+
3
sin20°(cos60°cos 20°-sin60°sin20°)
22
11
3
33
cos40 °-cos40°-sin40°+sin40°-sin
2
20°
2
4
44
2
331
cos40°- (1-cos40°)=.
4
44
难度分级: ○A类○B类 ○C类
7. 已知函数
f(x)?sin(
?
x?
?
),
其中
?
?0

|
?
|?
(I)若
cos
?
2

?
4
cos,
?< br>?sin
?
?
sin
?
?0,

?
的值;
4
(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数
f(x)
的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于
?
,求函数
f(x )
3
的解析式;并求最小正实数
m
,使得函数
f(x)
的图 象象左平移
m
个单位所对应的函数是偶函数.
解题思路:本题主要考三角函数两角和公式的逆应用和三角函数图象性质.
答案:(I)由< br>cos

cos(
?
4
cos
?
?sin< br>3
?
??
sin
?
?0

coscos?
?sinsin
?
?0

4
44
?
4
?
?
)?0

|
?
|?
?
2< br>,?
?
?
?
4

(Ⅱ)由(I)得,< br>f(x)?sin(
?
x?
?
4
,
)
依题意 ,
T
?
2
?

?

T?
233
.

T?
2
?
?
,
?
?3
,
故函数
f(x)
的图象向左平移
m
个单位后所对应的函数 为
?
??
g(x)?sin
?
3(x?m)?
?

4
??
g(x)
是偶函数当且仅当
3m?

m?< br>?
4
?k
?
?
?
2
(k?Z)

k
??
?(k?Z)

312
从而,最小正实数
m?
?
12

难度分级: ○A类○B类○C类
8.设函数
f(x)?sin(
?
x
??x
?)?2cos
2
?1

468
(Ⅰ)求
f(x)
的最小正周期.

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