高中数学抛物线知识点归纳总结

抛物线知识点总结

y
2
?2px(p?0)

y
2
??2px(p?0)

x
2
?2py(p?0)

x
2
??2py(p?0)



图象
l
y
y


y
l

F
O
F
x
F O
x
O
x
l





y
l
O
平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线， 点
F
叫
定义
范围
对称性
焦点
顶点
离心率
准线
方程
顶点到准
线的距离
焦点到准
线的距离
焦半径
A(x
1
,y
1
)


F


x
做抛物线的焦点，直线
l
叫做抛物线的准线。{
M< br>x?0,y?R

x?0,y?R

MF
=点M到直线
l
的距离}
x?R,y?0

x?R,y?0

关于
x
轴对称
(
p
,0)
2
关于
y
轴对称
pp
,0) (0,)
22
焦点在对称轴上
(
?
(0,
?
p
)
2
O(0,0)

e
=1
x??
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
p

2
p

AF?x
1
?
p

2
AF??x
1
?
p

2
AF?y
1
?
p

2
AF??y
1
?
p

2
.

焦点弦 长


(x
1
?x
2
)?p

?(x
1
?x
2
)?p

(y
1
?y
2
)?p

?(y
1
?y
2
)?p

AB

焦点弦






y

o


A
?
x
1
,y
1
?

x
B
?
x
2
,y
2
?

F
AB
的几
条性质
A(x
1
,y
1
)
B( x
2
,y
2
)

以
AB
为直径的圆必与准线
l
相切
2p2p
AB?
若的倾斜角为，则
AB
?
sin
2
?
cos
2
?
若
AB
的倾斜角为
?< br>，则
AB?
p
2
x
1
x
2
?

y
1
y
2
??p
2

4
11AF?BFAB2
????

AFBFAF?BFAF?BFp
切线
方程


参数
方程













.
y
0
y?p(x?x
0
)

y
0
y??p(x?x
0
)

x
0
x?p(y?y
0
)

x
0
x??p(y?y
0
)

?
x?2pt
2
(t为参数)

?
?
y?2pt

1. 直线与抛物线的位置关系
直线，抛物线

，，消y得：
（1）当k=0时， 直线
l
与抛物线的对称轴平行，有一个交点；
（2）当k≠0时，
Δ＞0，直线
l
与抛物线相交，两个不同交点；
Δ=0， 直线
l
与抛物线相切，一个切点；
Δ＜0，直线
l
与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）





2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线
l
：
y?kx?b
抛物线
① 联立方程法： < br>?
y?kx?b
?
k
2
x
2
?2(kb?p )x?b
2
?0

?
2
?
y?2px
，
(p?0)

设交点 坐标为
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2,y
2
)
，则有
??0
,以及
x
1
? x
2
,x
1
x
2
，还可进一步求出
y
1< br>?y
2
?kx
1
?b?kx
2
?b?k(x
1
?x
2
)?2b
y
1
y
2
?(kx1
?b)(kx
2
?b)?k
2
x
1
x
2
?kb(x
1
?x
2
)?b
2

，
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如
a. 相交弦AB的弦长

AB?1?k
2
x
1
?x2
?1?k
2
(x
1
?x
2
)
2?4x
1
x
2
?1?k
2
?

a
.

或
AB?1?
11?
2
2
y?y?1?(y?y)?4yy

?1?k
121212
22
kk
a
b. 中点
M(x
0
,y
0
)
,
x
0
?
② 点差法：
x
1
?x
2
y?y
2
，
y
0
?
1

22
设交点坐标为
A(x1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，代入抛物线方程，得
y
1
?2px
1

y
2
?2px
2

将两式相减，可得
(y
1
?y
2
)(y
1
?y
2
)?2p(x
1
?x
2
)

y
1
?y
2
2p< br>?
x
1
?x
2
y
1
?y
2
22

2p

y
1
?y
2
a. 在涉及斜率问题时，
k
AB
?
b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段
AB
的中点为
M(x
0
,y
0
)
，
y1
?y
2
2p2pp
???
，
x
1
?x
2
y
1
?y
2
2y
0
y
0< br> 即
k
AB
?
p
，
y
0
同理 ，对于抛物线
x
2
?2py(p?0)
，若直线
l
与抛物线 相交于
A、B
两点，点
M(x
0
,y
0
)
是弦
AB
的中点，则有
k
AB
?
x
1
?x
2
2x
0
x
0
??

2p2pp
（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜
率存在，且不等于零）


.