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高中数学 必修1知识点
第一章 集合与函数概念
〖1.1〗集合
【1.1.1】集合的含义与表示
（1）集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
（2）常用数集及其记法
N
表示自然 数集，
N
?
或
N
?
表示正整数集，
Z
表示 整数集，
Q
表示有理数集，
R
表示实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象
a
与集合
M
的关系是a?M
，或者
a?M
，两者必居其一.
（4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
③描述法：{
x
|
x
具有的性质}，其中
x
为集合的代表元素.
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
（5）集合的分类
①含有有限个元素的集 合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的
集合叫做空集(
?< br>).
【1.1.2】集合间的基本关系
（6）子集、真子集、集合相等
名称 记号 意义
A中的任一元素都
属于B
性质
(1)
?

(2)
??A

(3)若
A?B
且
B?C
，则
A?C

(4)若
A?B
且
B?A
，则
A?B

示意图
A?B

子集
（或
A(B)
BA
B?A)

或
?

?
A
（A为非空子集）
A?B
，且B中至
（1）
??
?
BA
真子集 少有一元素不属于
（或
?
）
A
?
(2)若
A?B
且
B?C
，则
A?C

?
??

集合
相等
A?B

A中的任一元素都
(1)
?

属于B，B中的任一
(2)
?

元素都属于A
n
A(B)

nn
（7）已知集合
A
有
n (n?1)
个元素，则它有
2
个子集，它有
2?1
个真子集，它有< br>2?1
个非空子集，
它有
2?2
非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算
（8）交集、并集、补集
名称 记号 意义 性质
（1）
AA?A

（2）
A???

（3）
AB?A


AB?B

1 55
示意图
n
交集
AB

{x|x?A,
且
x?B}

AB

并集
AB

{x|x?A,
或
x?B}

（1）
A
（2）
A
（3）
A

A
A?A

??A

B?A

B?B

1
A(?
U
A)??

A
B

补集
?
U
A

{x|x?U,且x?A}

痧B)?(
U
A)(?
U(A
U
B)
痧B)?(
U
A)(?
U
(AU
B)
2
A(?
U
A)?U


【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
（1）含绝对值的不等式的解法
不等式 解集
|x|?a(a?0)

{x|?a?x?a}

|x|?a(a?0)

x|x??a
或
x?a}

把
ax?b
看成一个整体，化成
|x|?a
，
|ax?b|?c, |ax?b|?c(c?0)

|x|?a(a?0)
型不等式来求解
（2）一元二次不等式的解法
判别式
??b
2
?4ac

二次函数
??0

??0

??0

y?ax
2
?bx?c(a?0)
的图象
一元二次方程
O



ax
2
?bx?c?0(a?0)
的根
?b?b
2
?4ac
x
1,2
?
2a
（其中
x
1
? x
2
)

x
1
?x
2
??
b

2a
无实根
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集
{x|x?x
1
或
x?x
2
}

{x|
x??
b
}

2a
R

ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集
{x|x
1
?x?x
2
}

〖1.2〗函数及其表示
【1.2.1】函数的概念
?

?

（1）函数的概念
①设
A
、
B
是两 个非空的数集，如果按照某种对应法则
f
，对于集合
A
中任何一个数
x
，在集合
B
中都有唯一确定的数
f(x)
和它对应，那么这样的对 应（包括集合
A
，
B
以及
A
到
B
的对应法 则
f
）
2 55

叫做集合
A
到
B
的一个函数，记作
f:A?B
．
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．
（2）区间的概念及表示法
①设
a,b
是两个实数，且
a?b
，满足
a?x?b
的实数
x
的集合叫做闭区间，记做
[a,b]
；满足
a?x?b< br>的实数
x
的集合叫做开区间，记做
(a,b)
；满足
a?x? b
，或
a?x?b
的实数
x
的集合
叫做半开半闭区间，分别 记做
[a,b)
，
(a,b]
；满足
x?a,x?a,x?b,x? b
的实数
x
的集合分别记
做
[a,??),(a,??),(??, b],(??,b)
．
注意：对于集合
{x|a?x?b}
与区间
(a,b)
，前者
a
可以大于或等于
b
，而后者必须
a?b
．
（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
①
f(x)
是整式时，定义域是全体实数．
②
f(x)
是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
③
f(x)
是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．
⑤
y?tanx
中，
x?k
?
?
?
2
(k ?Z)
．
⑥零（负）指数幂的底数不能为零．
⑦若
f(x)
是由 有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函
数的定义域的交集．
⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知
f(x)
的定义域为
[a ,b]
，其复合函数
f[g(x)]
的定义域应由不等式
a?g(x)?b< br>解出．
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．
⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
（4）求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实 上，如果在函数的值域中存在一
个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与 值域，其实质是相同的，
只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：
①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：将函数解析式化 成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数
的值域或最值．
③判别 式法：若函数
y?f(x)
可以化成一个系数含有
y
的关于
x
的二次方程
3 55

a(y)x
2
?b(y)x?c( y)?0
，则在
a(y)?0
时，由于
x,y
为实数，故必须有??b
2
(y)?4a(y)?c(y)?0
，从而确定函数的值域或最值．
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．
⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简 、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化
为三角函数的最值问题．
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．
⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．
⑧函数的单调性法．
【1.2.2】函数的表示法
（5）函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．
解析法：就是用数学表 达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量
之间的对应关系．图象法：就 是用图象表示两个变量之间的对应关系．
（6）映射的概念
①设
A
、B
是两个集合，如果按照某种对应法则
f
，对于集合
A
中任何一 个元素，在集合
B
中都
有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合
A
，
B
以及
A
到
B
的对应法则
f
） 叫做集合
A
到
B
的映射，记作
f:A?B
．
②给 定一个集合
A
到集合
B
的映射，且
a?A,b?B
．如果元 素
a
和元素
b
对应，那么我们把元素
b
叫做元素
a
的象，元素
a
叫做元素
b
的原象．
〖1.3〗函数的基本性质
【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
①定义及判定方法
函数的
性 质
定义
如果对于属于定义域I内
某个区间上的任意两个
自变量的值x
1
、x
2
,当x<
1
．
．．
x时，都有f(x)212
．．．
．．．．．．．．．．
那么就说f(x)在这个区
间上是 增函数．
．．．
如果对于属于定义域I内
某个区间上的任意两个
自变量的值 x
1
、x
2
，当x<
1
．
．．
x时，都 有f(x)>f(x)，
212
．．．
．．．．．．．．．．
那么就说f(x )在这个区
间上是减函数．
．．．
图象 判定方法
（1）利用定义
（2）利用已知函数
的单调性
（3）利用函数图象
（在某个区间图
象上升为增）

（4）利用复合函数
（1）利用定义
（2）利用已知函数
的单调性
（3）利用函数图象
（在某个区间图
象下降为减）
（4）利用复合函数
y
y=f(X)
f(x )
1
f(x )
2
o
x
1
x
2
x
函数的
单调性
y
f(x )
1
y=f(X)
f(x )
2
o
x
1
x
2
x

②在公共定 义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数
4 55

为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．
③对于复合函数
y?f [g(x)]
，令
u?g(x)
，若
y?f(u)
为增，
u ?g(x)
为增，则
y?f[g(x)]
为
增；若
y?f(u)为减，
u?g(x)
为减，则
y?f[g(x)]
为增；若
y? f(u)
为增，
u?g(x)
为减，
则
y?f[g(x)]
为减；若
y?f(u)
为减，
u?g(x)
为增，则
y?f[g(x )]
为减．
（2）打“√”函数
f(x)?x?
y

a
(a?0)
的图象与性质
x
f(x)
分别在
( ??,?a]
、
[a,??)
上为增函数，分别在
[?a,0)
、< br>(0,a]
上
为减函数．
（3）最大（小）值定义
①一 般地，设函数
y?f(x)
的定义域为
I
，如果存在实数
M
满足：（1）对于
任意的
x?I
，都有
f(x)?M
；
（2）存在
x
0
?I
，使得
f(x
0
)?M
．那么，我们称
M
是函数
f(x)
的最大
值，记作
o

x

f
max
(x)?M
．
②一般地，设函数
y?f(x)< br>的定义域为
I
，如果存在实数
m
满足：（1）对于任意的
x? I
，都有
（2）存在
x
0
?I
，使得
f(x
0
)?m
．那么，我们称
m
是函数
f(x)
的最小值，记 作
f(x)?m
；
f
max
(x)?m
．
【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
①定义及判定方法
函数的
性 质
定义
如果对于函数f(x)定义
域内任意一个x，都有
f (－－,那么函
．．．
x)=
．．．．
f(x)
．．．．
数 f(x)叫做奇函数．
．．．
函数的
奇偶性

如果对于函数f (x)定义
域内任意一个x，都有
f(－(x),那么函数
．．．
x)
．．．．．
f(x)叫做偶函数．
．．．

②若函数
f(x)< br>为奇函数，且在
x?0
处有定义，则
f(0)?0
．
5 55
（1）利用定义（要
先判断定义域是否
关于原点对称）
（2）利用图象（图
象关于y轴对称）
图象 判定方法
（1）利用定义（要
先判断定义域是否
关于原点对称）
（2）利用图象（图
象关于原点对称）

③奇函数在
y
轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在
y
轴两侧相对称的区间增减性相反．
④ 在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数
（或奇函 数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
〖补充知识〗函数的图象
（1）作图
利用描点法作图：
①确定函数的定义域； ②化解函数解析式；
③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．
利用基本函数图象的变换作图：
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对 数函数、幂函数、三角函数等各种基
本初等函数的图象．
①平移变换
h?0,左移 h个单位k?0,上移k个单位
y?f(x)????????y?f(x?h)y?f(x)???? ????y?f(x)?k

h?0,右移|h|个单位k?0,下移|k|个单位
②伸缩变换
0?
?< br>?1,伸
y?f(x)?????y?f(
?
x)

?
?1,缩
0?A?1,缩
y?f(x)?????y?Af(x)

A?1,伸
③对称变换
y轴
x轴
??y?f(?x)

y?f(x)????y??f(x)

y?f(x)? ?
直线y?x
原点
y?f(x)????y??f(?x)

y?f(x)?????y?f
?1
(x)

去掉y轴左边图象
y?f(x)????????????????y?f(|x|)

保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象
y?f(x)???? ??????y?|f(x)|

将x轴下方图象翻折上去
（2）识图
对于 给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定
义域、值域 、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．
（3）用图
函数图象 形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途
径，获得问题结 果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
（1）根式的概念 ①如果
x?a,a?R,x?R,n?1
，且
n?N
?
，那么< br>x
叫做
a
的
n
次方根．当
n
是奇数时，a
的
n
n
次方根用符号
n
a
表示；当
n
是偶数时，正数
a
的正的
n
次方根用符号
n
a< br>表示，负的
n
次方根用
符号
?
n
a
表示；0 的
n
次方根是0；负数
a
没有
n
次方根．
②式子
n
a
叫做根式，这里
n
叫做根指数，
a
叫做被开方 数．当
n
为奇数时，
a
为任意实数；当
6 55

n
为偶数时，
a?0
．
③根式的性质：
(
n
a)
n
?a
；当
n
n
为奇数时，
n
a
n
?a
；当
n
为偶数时，
?
a (a?0)
．
a
n
?|a|?
?
?
?a (a?0)
m
n
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：
a
于0．
②正数的负分数指数幂的意义是：
a
?
m
n
?
n
a
m
(a?0,m,n?N
?
,
且
n?1)
．0的正分数指数幂等
1
m
1
?()
n
?
n()
m
(a?0,m,n?N
?
,
且
n?1)
．0的负分
aa
数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①
a?a?a
rr
rsr?s
(a?0,r,s?R)
②
(a
r
)
s
?a
rs
(a?0,r,s?R)< br>
③
(ab)?ab(a?0,b?0,r?R)

【2.1.2】指数函数及其性质
（4）指数函数
函数名称
定义
图象
定义域
值域
过定点
奇偶性
单调性 在
R
上是增函数
O
x
r
指数函数
函数
y?a(a?0
且
a?1)
叫做指数函数
a?1


0?a?1


y
y?a
x
R

(0,??)

y?a< br>x
y
y?1
(0,1)
y
时，
?1
y?1< br>．图象过定点
(0,1)
，即当
x?0

(0,1)
非奇非偶
x
在
R
O
上是减函数
x
a
x
?1(x?0)
函数值的
变化情况
a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)

a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)

a
x
?1(x?0)
图象的影响 在第一象限内，
a
越大图象越高；在第二象限内，
a
越大图象越低．
a
变化对
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
x
①若
a?N(a?0,且a?1)
， 则
x
叫做以
a
为底
N
的对数，记作
x?loga
N
，其中
a
叫做底数，
N
叫做真数．
7 55

②负数和零没有对数．
x
③对数式与指数式的互化：
x?log
a
N?a?N(a?0,a?1,N?0)
．
（2）几个重要的对数恒等式
log
a
1?0
，
log< br>a
a?1
，
log
a
a
b
?b
．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：
lgN
，即
log
10
N
；自然对数：
lnN
，即
log
e
N
（其中
e?2.71828
…）．
（4）对数的运算性质 如果
a?0,a?1,M?0,N?0
，那么
①加法：
log
a< br>M?log
a
N?log
a
(MN)
②减法：
log
a
M?log
a
N?log
a
logNn
③数乘：
nlog
a
M?log
a
M(n?R) ④
a
a
?N

M

N
⑤
log
a
b
M
n
?
log
b
N
n
(b?0,且b?1)

log
a
M(b?0,n?R)
⑥换底公式：
log
a
N?
log
b
a
b
【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数
函数
名称
定义
对数函数
函数y?log
a
x(a?0
且
a?1)
叫做对数函数
a?1

图象
0?a?1

y?log
a
x
(0,??)

y
x?

1
y

1x?

y?log
a
x
定义域
值域
过定点
奇偶性
单调性
在
(0,??)
上是增函数
R

(1, 0)
O
图象过定点
(1,0)
，即当
x?1
时，
y ?0
．
O
(1,0)
x
非奇非偶
x
在
(0,??)
上是减函数
log
a
x?0(x?1)
函数值的
变化情况
log
a
x?0(x?1)

log
a
x?0(x ?1)
log
a
x?0(0?x?1)
log
a
x?0(x ?1)
log
a
x?0(0?x?1)

图象的影响
a
变化对
(6)反函数的概念
在第一象限内，
a
越大图 象越靠低；在第四象限内，
a
越大图象越靠高．
设函数
y?f(x)
的定义域为
A
，值域为
C
，从式子
y?f(x)
中解出< br>x
，得式子
x?
?
(y)
．如
果对于
y在
C
中的任何一个值，通过式子
x?
?
(y)
，
x
在
A
中都有唯一确定的值和它对应，那么式
8 55

子
x?
?
(y)
表示
x
是
y
的函 数，函数
x?
?
(y)
叫做函数
y?f(x)
的反函数，记 作
x?f
上改写成
y?f
?1
?1
(y)
，习惯< br>(x)
．
（7）反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；② 从原函数式
y?f(x)
中反解出
x?f
③将
x?f
?1< br>?1
(y)
；
(y)
改写成
y?f
?1
(x)
，并注明反函数的定义域．
（8）反函数的性质
①原函数
y?f(x)
与反函数
y ?f
?1
(x)
的图象关于直线
y?x
对称．
?1
②函数
y?f(x)
的定义域、值域分别是其反函数
y?f(x)
的值域、 定义域．
?1
'
③若
P(a,b)
在原函数
y?f(x)
的图象上，则
P(b,a)
在反函数
y?f(x)
的图象上．
④一般地，函数
y?f(x)
要有反函数则它必须为单调函数．
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义
?
一般地，函数
y ?x
叫做幂函数，其中
x
为自变量，
?
是常数．
（2）幂函数的图象


（3）幂函数的性质
①图象分布：幂函 数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在
第一、二象限(图象 关于
y
轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是
非 奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在
(0,??)都有定义，并且图象都通过点
(1,1)
．
③单调性：如果
?
?0
，则幂函数的图象过原点，并且在
[0,??)
上为增函数．如果
?< br>?0
，则幂函数
的图象在
(0,??)
上为减函数，在第一象限内，图 象无限接近
x
轴与
y
轴．
④奇偶性：当
?
为奇数 时，幂函数为奇函数，当
?
为偶数时，幂函数为偶函数．当
?
?
q< br>p
q
（其中
p,q
p
q
p
互质，
p
和
q?Z
），若
p
为奇数
q
为奇数时，则
y?x
是奇函数，若
p
为奇数
q
为偶数时，则
y?x
是偶函数，若
p
为偶数
q
为奇数时，则
y?x
是非奇非偶 函数．
q
p
⑤图象特征：幂函数
y?x,x?(0,??)
，当< br>?
?1
时，若
0?x?1
，其图象在直线
y?x
下方 ，若
x?1
，
其图象在直线
y?x
上方，当
?
?1
时，若
0?x?1
，其图象在直线
y?x
上方，若
x?1< br>，其图象在直
9 55
?

线
y?x
下方．
〖补充知识〗二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式：
f( x)?ax?bx?c(a?0)
②顶点式：
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
③两根式：
22
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)( a?0)
（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
③若已知 抛物线与
x
轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求
f(x)
更方便 ．
（3）二次函数图象的性质
①二次函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)< br>的图象是一条抛物线，对称轴方程为
x??
2
b
,
顶点坐标是
2a
b4ac?b
2
(?,)
．
2a4a
②当< br>a?0
时，抛物线开口向上，函数在
(??,?
bbb
时，
]
上递减，在
[?,??)
上递增，当
x??
2a2a2a
4 ac?b
2
bb
f
min
(x)?
；当
a?0时，抛物线开口向下，函数在
(??,?]
上递增，在
[?,??)
上递 减，
4a
2a2a
4ac?b
2
b
当
x??
时，
f
max
(x)?
．
4a
2a
③二次函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)
当
??b
2
?4ac?0时，图象与
x
轴有两个交点
2
M
1
(x
1,0),M
2
(x
2
,0),|M
1
M
2|?|x
1
?x
2
|?
2
?
．
|a|
（4）一元二次方程
ax?bx?c?0(a?0)
根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚
不够系统 和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运
用，下面结合二 次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．
22
设一元二次方程
ax?bx?c?0(a?0)
的两实根为
x
1
,x
2，且
x
1
?x
2
．令
f(x)?ax?bx?c
，从
以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：
a
②对称轴位置：
x??
函数值符号．
①
k
＜
x
1
≤
x
2

?

b
③判别式：
?
④端点
2a
10 55

y
f(k)?0
?
y
a?0
x??
b
2a
x
2
k
x
1
O
x
2
x
k
?
x
1
O
x
b
x??
2a
f(k)?0
a?0

②
x
1
≤
x
2
＜
k

?

y
a?0
f(k)?0
?
y
x? ?
O
b
2a
x
1
O
x
2
k
x
x
1
a?0
x
2
?
k
x
b< br>x??
2a
f(k)?0

③
x
1
＜
k
＜
x
2

?
(
k
)＜0
y
a?0
y
?f(k)?0
x
1
O
k
x
2
x
x1
O
k
x
2
a?0
x
?
f(k)?0

④
k
1
＜
x
1
≤x
2
＜
k
2

?


b
2a
y
?
f(k
1
)?0
?
a?0y
x??
f(k
2
)?0
x
2
k
2< br>O
k
1
x
1
x
O
k
1
x< br>1
?
x
2
?
k
2
x
b
x? ?
2a

f(k
1
)?0
a?0
f(k
2
)?0

⑤有且仅有一个根
x
1
（或
x
2
）满足
k
1
＜
x
1
（或
x
2
）＜
k
2

?

f
(
k
1
)
f
(
k
2
)
?
0，并同时考虑
f
(
k
1
)=0或
f
(
k
2
)=0这两种情况是否也 符合
y
?
f(k
1
)?0
a?0
y
f( k
1
)?0
?
O
k
1
x
1
?k
2
x
2
x
O
x
1
k
1x
2
?
k
2
x
f(k
2
)?0
a?0
f(k
2
)?0

⑥
k
1
＜
x
1
＜
k
2
≤
p
1
＜
x
2
＜
p
2

?

11 55

此结论可直接由⑤推出．
（5）二次函 数
f(x)?ax?bx?c(a?0)
在闭区间
[p,q]
上的最值
设
f(x)
在区间
[p,q]
上的最大值为
M< br>，最小值为
m
，令
x
0
?
（Ⅰ）当
a?0< br>时（开口向上）
①若
?

2
1
(p?q)
．
2
bbb
b
?q
，则
m?f(q)

?p
，则
m?f(p)
②若
p???q
，则
m?f(?)
③若
?
2a
2a2a2a
??
b
?
?
b
?
?
M?f( p)

??
①若
?
，则
?x
0
，则
M?f(q)
②
??x
0
?
2a
f
f
2a
f
f

?
(q)

(p)

(p)

?
??
(q)

??
(Ⅱ)当
a?0
时(开口向下)
f
O
xO
bb
b
O
x
b
x
①若
?
? q
，则
M?f(q)

?p
，则
M?
f
f
(p)
②若
p??
(p)
?)
③若
?

q
， 则
M?f(?
2a
2a2a
x
0
2a
bb
x
(q)

b
f(?)f(?)
f
0
(p)

f(?)

O
2a2a
x
2a
O
(q)

x
bb
?
b
b
m?f(p)
．
b
m
b
①若
?
?
?x
0
，则，则
?f(q )
②
?
??x
f(?
f
f
f(? )
f
2a
)
)f(?
0
)
2a
2a
f(?
2
b
2a
a2a
(q)

f(
(p)
?

)
(q)

f

f
2a
?
b
?

b
(p)

函数的应用第三章
f
(p)
(?

)
f
f
(?)
2a
2a
一、方程的根与函数的零点
O
x
f
OO
xx
(q)

1、函数零点的 概念：对于函数
y?f(x)(x?D)
，把使
f(x)?0
成立的实数x
叫做函数
(p)

x
0
f
ff
x< br>0
y?f(x)(x?D)
的零点。
??
??
(q)

??
(q)

(p)

O
x
2、函数零点的意义：函数
y?
x< br>f(x)
的零点就是方程
O
f(x)?0
实数根，亦即函数
y ?f(x)
的
f
图象与
x
轴交点的横坐标。即：
f
??
(q)

? ?
方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
(p)

x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点．
3、函数零点的求法：
求函数
y?f(x)
的零点：
（代数法）求方程
f(x)?0
的实数根；
（几何法）对于不能用求根公式的方程 ，可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来，并利用
函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数
y?ax?bx?c(a?0)
．
１）△＞０，方程
ax?bx?c?0
有两不等实根，二次函数的图象与
x
轴有两个交点，二次
函数有两个零点．
２）△＝０，方程
ax?bx?c?0
有两相等实根（二重根），二次函数的图象与
x
轴有一个交
点，二次函数有一个二重 零点或二阶零点．
３）△＜０，方程
ax?bx?c?0
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交点，二次函数无零点．
高中数学 必修2知识点
第一章 空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征
1.2空间几何体的三视图和直观图
1 三视图：
正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下
2 画三视图的原则：
长对齐、高对齐、宽相等
3直观图：斜二测画法
12 55
2
2
2
2

4斜二测画法的步骤：
（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；
（3）.画法要写好。
5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
1.3 空间几何体的表面积与体积
（一 ）空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和
2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积
S?
?
rl?
?
r

S?2?
rl?2
?
r
2
222
S?4
?
R
S?
?
rl?
?
r?
?
Rl?
?
R
4 圆台的表面积 5 球的表面积
2
（二）空间几何体的体积
1柱体的体积
V?S
底
?h
2锥体的体积
V?
3台体的体积
V?（S
上
?

V?
1
S
底
?h

3
D
α
A B
C
1
3
S
上
S
下
?S
下
)?h
4球体的体积
4
3
?
R

3
第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
1 平面含义：平面是无限延展的
2 平面的画法及表示
0
（1）平面的画法：水平放 置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45，且横边画成邻边的2倍长
（如图）
（2） 平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形
的四个顶 点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面、平面等。
3 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为
A∈L
A
B∈L => L α

α
·

L
A∈α
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
A B
α
·

C
·

符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
·

使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直
β
线。
P
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β，且P∈L
α
L
·

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系：
13 55

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
=>a∥c
c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在 两
直线中的一条上；
?
(0， )； ② 两条异面直线所成的角θ∈
2
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
14 55

b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，
直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫
做垂足。
L
p
α
2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角αβ或αβ
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
15 55

1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
本章知识结构框图






直线与平面的位置关系
第三章 直线与方程
3.1直线的倾斜角和斜率
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之 间
所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是
k = α
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = 0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、 直线的斜率公式:
给定两点P1(x11)2(x22)1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式: 2121
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直 线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，
那么它们平 行，即
平面与平面的位置关系
空间直线、平面的位置关系
平面（公理1、公理2、公理3、公理4）
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存 在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即
如果k12, 那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为
负倒数，那么它们互相垂直，即
3.2.1 直线的点斜式方程
1、 直线的点斜式方程：直线
l
经过点
P
，且斜率为
k

y?
0
(x
0
,y
0
)y
0
?k (x?x
0
)

?kx?b
2、、直线的斜截式方程：已知直线< br>l
的斜率为
k
，且与
y
轴的交点为
(0,b)

y
3.2.2 直线的两点式方程
1、直线的两点式方程：已知两点< br>P
其中
(x
1
1
(x
1
,x
2),P
2
(x
2
,y
2
)
16 55
?x
2
,y
1
?y
2
)
1212

2、直线的截距式方程：已知直线
l
与
x
轴的交点为 A
(a,0)
，与
y
轴的交点为B
(0,b)
，其中
a?0,b?0

3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：关于
x,y
的二元一次方程
Ax?
2、各种直线方程之间的互化。
3.3直线的交点坐标与距离公式

22
By?C?0
（A，B不同时为0）
3.3.1两直线
PP< br>?
x
2
?x
2
?
?
?
y
2
?y
1
?
的交点坐标
12
?
1、给出例题：两直线交点坐标
L1 ：342=0 L1：2 +2=0
解：解方程组
?
?
3x?4y?2?0
得 2，2
?
2x?2y?2?0
所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）
3.3.2 两点间距离
两点间的距离公式
3.3.3 点到直线的距离公式
1．点到直线距离公式：
点
P(x
0
,y
0
)< br>到直线
l:Ax?By?C?0
的距离为：
d?
2、两平行线间的距离 公式：
已知两条平行线直线
l
1
和
l
2
的一般式 方程为
l
1
：
Ax?By?C
1
?0
，
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

l
2
Ax?By?C
2
?0
，则
l
1
与
l
2
的距离为
d?
第四章
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程：
(x?a)?(y?b)?r

222
C
1
?C
2
A?B
22

圆与方程
圆心为A(),半径为r的圆的方程
2、点
M(x
0< br>,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的关系的判断方法 ：
（1）
222
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
>
r
2
，点在圆外
22
2
（2）
(x
0
?a)?(y
0
?b)
=
r
，点在圆上
22
2
（3）
(x
0
?a)?(y< br>0
?b)
<
r
，点在圆内
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?0

17 55
22

2、圆的一般方程的特点：
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定
了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则
指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线
l
：
a x?by?c?0
，圆
C
：
x
2
?y
2
? Dx?Ey?F?0
，圆的半径为
r
，圆心
(?
直线的距离为
d
，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当
d?r
时， 直线
l
与圆
C
相离；（2）当
d?r
时，直线
l< br>与圆
C
相切；
（3）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相交；
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为
l
，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1 ）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆C
2
相离；（2）当
l?r
1
?r
2
时，圆< br>C
1
与圆
C
2
外切；
（3）当
|r
1
?r
2
|?
l?r
1
?r
2
时，圆< br>C
1
与圆
C
2
相交；
（4）当
l?|r< br>1
?r
2
|
时，圆
C
1
与圆
C2
内切；（5）当
l?|r
1
?r
2
|
时，圆
C
1
与圆
C
2
内含；
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题 中的几何元素，将平面几何问题转化
为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
4.3.1空间直角坐标系
1、点 M对应着唯一确定的有序实数组
(x,y,z)
，
x
、
y
、
z
分别是P、Q、R在
x
、
O
P
R
MQ
M'
y
DE
,?)
到
22
y
、z
轴上的坐标
2、有序实数组
(x,y,z)
，对应着空间直角坐标系中的一点
18 55
x

3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组
(x,y,z )
来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系
中的坐标，记M
(x,y,z)
，
x
叫做点M的横坐标，
y
叫做点M的纵坐
标，
z
叫做点M的竖坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点
P< br>1
(x
1
,y
1
,z
1
)
到点P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
之间的距离公式
z
P
1
O
P
2
P
1P
2
?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)?(z
1
?z
2
)
222
M
2
H
N
2
y

19 55
M
1
M
N
1
N
x

高中数学 必修3知识点
第一章 算法初步
1.1.1 算法的概念
1、算法概念： 在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序
或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.
2. 算法的特点:
(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.
( 2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.
(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继
步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成
问题.
(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.
(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事
先设计好的步骤加以解决.
1.1.2 程序框图
1、程序框图基本概念： < br>（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。
（二）构成程序框的图形符号及其作用
程序框

起止框


输入、输出框


处理框
中任何需要输入、输出的位置。
赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公
式等分 别写在不同的用以处理数据的处理框
内。
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明
判断框
“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。
20 55
可少的。
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法
名称 功能
表示一个算法的起始和结束 ，是任何流程图不

学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画 程序框图的规则如下：
1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、 除判断框外，大多数流程
图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。 4、判断框分两大类，
一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分 支判断，有几种不同
的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
（三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
1、顺序结构：顺序结 构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行
的，它是由若干个依次执 行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。
顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而
下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B
框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执
行B框所指定的操作。
2、条件结构：
条件结构是指在算法中通过对条件的判断
根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。
条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论 P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可
能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行 。一个判断结构可以有多个判断框。
3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定 条件，反复执行某一处理步骤的情况，
这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构 中一定包含条件结构。循环结构又称
重复结构，循环结构可细分为两类：
（1）、一类是当型 循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行
完毕后，再判断条件 P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P
不成立为止，此时不再 执行A框，离开循环结构。
（2）、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然 后判断给定的条件P是否成立，
如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止 ，此时不再执行A框，离开循
环结构。

当型
结构
循环结
A
B
构 直到型循环
A
P
不成立
21 55
A
注意：1循环结构要在
成立
P
成立
不成
某个条件下终 止

循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死 循环”。2在循
环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出 结果。计数
变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。
1.2.1 输入、输出语句和赋值语句
1、输入语句
（1）输入语句的一般格式
图形计算器
格式
“提示内容”；变量 “提示内容”，变量
（2）输入 语句的作用是实现算法的输入信息功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量
是指程序 在运行时其值是可以变化的量；（4）输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、
变量或表 达式；（5）提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号
“，”隔 开。
2、输出语句
（1）输出语句的一般格式
图形计算器
格式
“提示内容”；表达式
“提示内容”，变量
（2）输出语句的作用是实现算法的 输出结果功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达
式是指程序要输出的数据；（4） 输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。
3、赋值语句
（1）赋值语句的一般格式
（2）赋值语句的作用是将
图形计算器
格式
变量＝表达式
表达式
?
变量
表达式
所代表的值赋给变量 ；（3）赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号
的左右两边不能对换 ，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是
变量名字，而不是表 达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（5）对于一个变量可以多次赋值。
注意：①赋值号 左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2是错误的。②赋值号左右不能对换。如
“”“”的含义运 行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方
程等）④赋值号“ =”与数学中的等号意义不同。
1．2．2条件语句
1、条件语句的一般格式有两种：（1）——语句；（2）—语句。2、——语句
——语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2。

条件

图1 图2
否
分析：在——语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的 操作内容；“语句2”
表示不满足条件时执行的操作内容； 表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对后的条件进行判
语句1
语句2
满足条件？
是
语句1
断，如果条件符合，则执行后面的语句1；若条件不符合，则执行后面的语句2。

22 55
语句2

3、—语句
—语句的一般格式为图3，对应的程序框图为图4。

注意：“条件”表示判断的
语句
件；“语句”表示满足条件时执

（图3）
的操作内容，条件不满足时，结
束程序； 表示条
（图4） < br>件语句的结束。计算机在执行时首先对后的条件进行判
断，如果条件符合就执行后边的语句，若条 件不符合则直
件语句，转而执行其它语句。
条件 是
满足条件？
否
条
行
语句
接结束该条
1．2．3循环语句
循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有
当型（型 ）和直到型（型）两种语句结构。即语句和语句。
1、语句
（1）语句的一般格式是 对应的程序框图是

循环体
是
条件
（2）当计算机遇到 语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行与之间的循环体；然后再检查
循环体
上述 条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，
满足 条件？

计算机将不执行循环体，直接跳到语句后，接着执行之后的语句。因此，当型循环有 时也称为“前测试

型”循环。
否
2、语句
（1）语句的一般格式是 对应的程序框图是


（2）直到型循环又称为“后测试型”循环，从型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循< br>循环体
循环体
环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体， 然后再进行条件的判断，这个过
后进行条件判断的循环语句。
分析：当型循环与直到型循环的区别：（先由学生讨论再归纳）
（1） 当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；
条件
否
程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到 语句后执行其他语句，是先执行循环体
满足条件？
是
在语句中，是当条件满足时执行循环体，在语句中，是当条件不满足时执行循环
1.3.1辗转相除法与更相减损术
1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
（1）：用较 大的数m除以较小的数n得到一个商
大公约数；若
S
0
和一个余数
R
0
；（2）：若
R
0
＝0，则n为m，n的最
R
0
≠0，则用除数n除以余数
R
0
得到一个商
S
1
和 一个余数
R
1
；（3）：若
R
1
＝0，则
R
1
为
m，n的最大公约数；若
次计算直至
R
1
≠0，则用 除数
R
0
除以余数
R
1
得到一个商
S
2< br>和一个余数
R
2
；…… 依
R
n
＝0， 此时所得到的
R
n?1
即为所求的最大公约数。
2、更相减损术
23 55

我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《 九章算术》中有更相减损术求最大公约
数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母?子之数，以少减多 ，更相减损，求其等也，以等数约之。
翻译为：（1）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。 若是，用2约简；若不是，执行第二步。
（2）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差 比较，并以大数减小数。继续这个操作，
直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约 数。
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.
分析：（略）
3、辗转相除法与更相减损术的区别：
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以 除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上
辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别 较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则 得到，而更相减损术则以减数与
差相等而得到
1.3.2秦九韶算法与排序
1、秦九韶算法概念：
f(x)
1
+…
10
求值问题
f(x)
1
+…
10
=(
1
+…
1
)
0
=((
1
+…
2
)
1
)
0

11223
1
(...(
1
)
2
)
1
)
0

求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v
11
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v
212
v
323
......


10
这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。
2、两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序
1、直接插入排序
基本思想：插入排 序的思想就是读一个，排一个。将第１个数放入数组的第１个元素中，以后读入的数
与已存入数组的数进 行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置．将该位置以及以后的元素向后推
移一个位置，将读入的 新数填入空出的位置中．（由于算法简单，可以举例说明）
2、冒泡排序
基本思想：依次比 较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第1个数和第2个数,大数放
前,小数放后. 然后比较第2个数和第3个数......直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最
后.重 复上过程,仍从第1个数开始,到最后第2个数...... 由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,
相当气泡上升,所以叫冒泡排序.
24 55

1.3.3进位制
1、概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在 不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个
数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制 。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉
伯数字0-9进行记数。对于任何一个数，我们可以用不 同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用
二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71 、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样
的。
一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：
a
na
n?1
...a
1
a
0(k)
(0?a
n< br>?k,0?a
n?1
,...,a
1
,a
0
?k)< br>，
而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001
(2)
表示二进制数,34
(5)
表示5进制数
第二章 统计
2.1.1简单随机抽样
1．总体和样本
在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．
把每个研究对象叫做个体．
把总体中个体的总数叫做总体容量．
为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分 ：
研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．
2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随
机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全
独立 ，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单
位之间 差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
3．简单随机抽样常用的方法：
（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容 量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保
证程度。
4．抽签法:
（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；
（2）准备抽签的工具，实施抽签
（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查
例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。
25 55
， ， ，

5．随机数表法：
例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。
2.1.2系统抽样
1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：
把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按 照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样
本采用简单随机抽样的办法抽取。
K（抽样距离）（总体规模）（样本规模）
前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说 ，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的
规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始 抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，
说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环 和抽样距离重合。
2．系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要 求较低，实施也比
较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按 辅助变量的大小
顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。
2.1.3分层抽样
1．分层抽样（类型抽样）：
先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划 分成若干类型或层次，然后再在
各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本， 最后，将这些子样本合起来构
成总体的样本。
两种方法：
1．先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
2．先以 分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽
样的方法抽取样 本。
2．分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样 本分
别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。
分层标准：
（1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。
（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。
（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。
3．分层的比例问题：
（1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方
法。
26 55

（2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小， 其样本量就会非常少，此时采用该方法，
主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。 如果要用样本资料推断总体时，则需要
先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数 据恢复到总体中各层实际的比例结构。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
1 、本均值：
x?
x
1
?x
2
?
?
?xn

n
2
(x
1
?x)
2
?(x2
?x)
2
?
?
?(x
n
?x)
2< br>2、．样本标准差：
s?s?

n
3．用样本估计总体时，如果抽样的 方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信
息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差 是不可避免的。
虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准 差，而只是一个
估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息。
4．（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变
（2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k倍
（3） 一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间
(x?3s,x?3s)
的应用；
“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理
2.3.2两个变量的线性相关
1、概念:
（1）回归直线方程
（2）回归系数
2．最小二乘法
3．直线回归方程的应用
（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系
（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）
进行估 计，即可得到个体Y值的容许区间。
（3）利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化， 通过控制x的范围来实现统计控制的目标。
如已经得到了空气中
2
的浓度和汽车流量间 的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中
2
的浓度。
4．应用直线回归的注意事项
（1）做回归分析要有实际意义；
（2）回归分析前,最好先作出散点图；
（3）回归直线不要外延。
27 55

第三章 概 率
3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义
1、基本概念：
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
（ 5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A
出现 的次数为事件A出现的频数；称事件A
n
A
出现的比例(A)=
n
为 事件A出现的概率：对于给定的随机
事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率(A)稳定在 某个常数上，把这个常数记作P（A），
称为事件A的概率。
（6）频率与概率的区别与联系 ：随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数n
n
A
的比值
n
，它
具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小 。我
们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量 重
复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
3.1.3 概率的基本性质
1、基本概念：
（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（2）若A∩B为不可能事件，即A∩ф，那么称事件A与事件B互斥；
（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；
（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪
B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
2、概率的基本性质：
1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1
—P(B)；
4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互 斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其
具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生 且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事
件A与事件B同时不发生，而对立事件是 指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）
事件A发生B不发生；（2）事件B发 生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
28 55

3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生
1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
A包含的基本事件数
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
总的基本事件个数

3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生
1、基本概念：
（1）几何 概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，
则称这样的概率 模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
构成事件A的区域长度（面积或体积）
P（A）=
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
；
（2） 几 何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件
出现的可能 性相等．
高中数学 必修4知识点
第一章 三角函数
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角

?
零角:不作任何旋转形成的角?
2、角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合 ，终边落在第几象限，则称
?
为第几象限
角．
??
第二象限角的集 合为
?
?
k?360?90?k?360?180,k??
?
第三象限角的集合为
?
?
k?360?180?
?
?k?360 ?270,k??
?

第四象限角的集合为
?
?
k?360 ?270?
?
?k?360?360,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?

终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180?90,k??< br>?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??

29 55

3、与角
?
终边相同的角的集合为
??
?k?360?
?
,k??

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
5、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧度数 的绝对值是
?
?
??
l
．
r
6、弧度制与角度制 的换算公式：
2
?
?360
，
1?
7、若扇形的圆心角为< br>?
?
180
，
1?
?
?
180
?< br>?
?57.3
．
?
?
?
?
?
为弧 度制
?
，半径为
r
，弧长为
l
，周长为
C
，面积为
S
，则
l?r
?
，
11
C?2r?l，
S?lr?
?
r
2
．
22
8、设
?
是一个任意大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
，它与原点的距离是
rr?x
2
?y
2< br>?0
，则
sin
?
?
?
?
yxy
，
cos
?
?
，
tan
?
?
?
x? 0
?
．
rrx
y

O
系：
；
T
x
9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，
第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
10、三角函数线：
sin
????
，
cos
?
???
，
tan
?
???
．
11、角三角函数的基本关
M
A
?
1
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?
2
?
sin
?
?tan
?
cos
?
?sin
2
?
?1?cos
2
?
,cos
2?
?1?sin
2
?
?
sin
?
??
sin
?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??
．
tan
?
??
12、函数的诱导公式：
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
． ?
2
?
sin
?
?
?
?
?
? ?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
．
?
3
?
sin
?
??
?
??sin
?
，
cos
?
?
?< br>?
?cos
?
，
tan
?
?
?
?< br>??tan
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
?
?
??
?
???
?
?
?
?
6sin?
?
?cos
?
5sin?
?
?cos
?
cos?
?
?sin?
cos?
?
，．，
??
?
??
??
???
??sin
?
．
??
?
2
?
?< br>2
??
2
?
?
2
?
口诀：正弦与余弦互换， 符号看象限．
13、①的图象上所有点向左（右）平移
?
个单位长度，得到函数y?sin
?
x?
?
?
的图象；再将函数
1
倍 （纵坐标不变），得到函数
?
y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
再将函数
y?sin
?
?< br>x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
y ?sin
?
?
x?
?
?
的图象；
30 55 < /p>

倍（横坐标不变），得到函数
y??sin
?
?
x?< br>?
?
的图象．
②数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸 长（缩短）到原来的
1
倍（纵坐标不变），得到函数
?
?
y?si n
?
x
的图象；再将函数
y?sin
?
x
的图象上 所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数
?
再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；
倍（横坐标 不变），得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图 象．
14、函数
y??sin
?
?
x?
?
??< br>??0,
?
?0
?
的性质：
①振幅：
?
； ②周期：
??
2
?
?
；③频率：
f?
1
?
；④相位：
?
x?
?
；⑤初相：
?
．
?
?2
?
函数
y??sin
?
?
x?
??
??
，当
x?x
1
时，取得最小值为
y
mi n
；当
x?x
2
时，取得最大值为
y
max
，则
??
1
?
y
max
?y
min
2
?
，
??
?
y
max
?y
min
?
，
y?sinx

1
2
?
?x
2
?x< br>1
?
x
1
?x
2
?
．
2
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

函
数
性
质
y?cosx

y?tanx

图象


定义域

R

R

?
?
?
?
xx?k
?
?,k??
?

2
??
值域
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
k??
?
时，
R

?
2
?
k??
?
时，
?
2
最值
y
max
?1
；当
x?2k
?
?

y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?

既无最大值也无最小值
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周期性
奇偶性
在
?
2k
?
?
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
2
?

偶函数
2
?

奇函数
?

奇函数
在
?
k
?
?
单调性
?
?
?
2
,2k
?
?
?
?
2
?
?

在
?
2k
?
?
?,2k
?
?
?
k??
?
上是
增函数；在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

31 55
?
?
?
2
,k
?
?
?
?
?

2
?

?
k??
?
上是增函数；在
?
3
?
??
2k
?
?,2k
?
?

?
22
?
??
?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是增函数．
?
k??
?
上是减函数．
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

对称性
对称轴
x ?k
?
?
对称中心
?
k
?
?
?
2
?
k??
?

?
?
?
?
,0?
?
k??
?

?
k
?
?
, 0
?
?
k??
?
对称中心
?
2
?
2
??
无对称轴
对称轴
x?k
?
?
k??
?

第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：
a?b?a?b?a?b
．
⑷运算性质：①交换律：
a?b?b?a
；
②结合律：
a?b?c?a?b?c
；③
a?0?0?a?a
． < br>⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a ?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设
a?< br>?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，则
???
????
C

a

b

?

?

a?b??C?????C
?
?
x
1
x
2
y,
1
?y
2

?
．
19、向量数乘运算：
⑴实数
?
与向量< br>a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
?
a?
?
a
；
②当
?
?0< br>时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相反；当
?
? 0
时，
?
a?0
．
⑵运算律：①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
；③
?
a?b?
?
a?
?
b
．
⑶坐标运算： 设
a?
?
x,y
?
，则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?< br>．
32 55
??

20、向量共线定理：向量
a a?0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使
b??
a
．
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?，其中
b?0
，则当且仅当
x
1
y
2
?x2
y
1
?0
时，向量
a
、
bb?0
共 线．
21、平面向量基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向
量
a
，有且只有一对实 数
?
1
、
?
2
，使
a?
?
1e
1
?
?
2
e
2
．（不共线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有向
量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1
?
2
上的 一点，
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，当
??
??
?
x?
?
x
2< br>y
1
?
?
y
2
?
,
时，就为中点公 式。）
（当
?
?1

?
1
??
?
??
2
时，点
?
的坐标是
?
1
?
．
1?
?
1?
?
??
23、平面向量的数量积：
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
．零向量 与任一向量的数量积为
0
．
⑵性质：设
a
和
b
都 是非零向量，则①
a?b?a?b?0
．②当
a
与
b
同向时 ，
a?b?ab
；当
a
与
??
b
反向时，
a?b??ab
；
a?a?a
2
?a
或
a?a?a
．③
a?b?ab
．
⑶运算律：①
a?b?b?a
；②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
；③
a?b?c?a?c?b?c
．
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?< br>?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
．
若
a?
?
x ,y
?
，则
a?x?y
，或
a?
22
2
2
????
??
x
2
?y
2
． 设
a??
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
．
a?b?
1
x
2
x?
1
y
2
y0?
设
a
、< br>b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，< br>?
是
a
与
b
的夹角，则
cos
?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1< br>y
2
x?y
2
1
2
1
x?y
22
2
2
．
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
⑶
sin
?
?
?
?
?
?si n
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；⑷< br>sin
?
?
?
?
?
?sin
?
co s
?
?cos
?
sin
?
；
⑸
tan< br>?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan< br>?

?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
t an
?
?
）；
1?tan
?
tan
?
t an
?
?tan
?

?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）．
1?tan
?
tan
?
33 55
⑹
tan< br>?
?
?
?
?
?

25、二倍角的正弦、 余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos?
．
?1?sin2
?
?sin
?
?cos
?
?2sin
?
cos
?
?(sin
?
?cos?
)

⑵
cos2
?
?cos
2
22 2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1? 1?2sin
2
?

?
,1?cos
?
?2sin
2
?
升幂公式
1?cos
?
?2cos
2
?
22
cos2
?
?11?cos2
?
2
，
sin
?
?
．
?
降幂公式
cos
2
?
?
22
26、
万能公式:

2tan
?
α
2
α
2tan1?tan
．
2
2
;cosα?
2
1?tan
?
sinα?
2
α
2
α
27、
1?tan1?tan
半角公式:
22


tan2
?
?
α1?cosαα1?cosα
cos??;sin??

?
（后两个不用判断符号，更加好用）
2222
28、合一变形
?
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的
α1?cosαsinα 1?cosα
tan????
?
?
???
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
，其中
tan
?
?
．
y?Asin(
?
2
x?
?
)?
1
B
?
形式。
cosα
?sin
1?cosαcos
?
?
sinα
?
29、三角变换是运算化简的过程中运用 较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三
角公式，掌握运算，化简的方法和技能． 常用的数学思想方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多 的相异角，可根据角与角之间的
和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的 差异，使问题获解，对
角的变形如：
①
2
?
是
?
的二倍；
4
?
是
2
?
的二倍；
?
是
ooooo
?
??
的二倍；是的二倍；
224
30
o
?
?
?
；
cos?
； ②
15?45?30?60?45?
； 问：
sin
2
1212
③
?
?(
?
??
)?
?
；④
?
4
?
?
?
?
2
?(
?
4
?
?
)
；
⑤
2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)?(
?
4
?
?
)?(
?
4
?< br>?
)
；等等
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函 数。如在三角函数中正余弦是基础，
通常化切为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角 函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”
的代换变形有：

1?sin
?
?cos
?
?tan
?< br>cot
?
?sin90?tan45

（4）幂的变换：降幂是三角变 换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。
常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无
理式
22oo1?co
?
s
常用升幂化为有理式，常用升幂公式
有： ； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
34 55

如：
1?tan
?
1?ta n
?
?_______________
；
?______________
；
1?tan
?
1?tan?
tan
?
?tan
?
?____________
；
1?tan
?
tan
?
?___________
； tan
?
?tan
?
?____________
；
1 ?tan
?
tan
?
?___________
；
2tan
?
?
；
1?tan
2
?
?
； tan20
o
?tan40
o
?3tan20
o
tan 40
o
?
；
sin
?
?cos
?
?
= ；
（其中
asin
?
?bcos
?
?
= ；
）
tan
?
?
；
1?cos
?
?
；
1?cos
?
?
；
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化 弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特
殊值与特殊角的三角函数互化 。
oo
如：
sin50(1?3tan10)?
；
tan
?
?cot
?
?
。
高中数学 必修5知识点
第一章 解三角形
（一）解三角形：
1、正弦定理：在
???C
中，
a
、
b
、
c分别为角
?
、
?
、
C
的对边，，则有
a
(
R
为
???C
的外接圆的半径)
2、正弦定理的变形公式：①
a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，
c?2RsinC
；
②
sin??
sin?
?
bc
??2R
sin?sinC
ab
，
sin??
，
sinC?
c< br>；③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
；
2R2R
2R< br>222
3、三角形面积公式：
S
???C
?
1
bcs in??
1
absinC?
1
acsin?
．
222222
4、余弦定理：在
???C
中，有
a?b?c?2bccos?< br>，推论：
cos??
b?c?a

2bc
第二章 数列
1.数列的有关概念：
（1） 数列：按照一定次序排列的一列数。数列 是有序的。数列是定义在自然数N*或它的有限子
集{1,2,3,…}上的函数。
（2） 通项公式：数列的第n项与n之间的函数关系用一个公式来表示，这个公式即是该数列的
2
通项 公式。如:
a
n
?2n?1
。
（3） 递推公式：已知数列{} 的第1项（或前几项），且任一项与他的前一项
1
（或前几项）可以
用一个公式来表示 ，这个公式即是该数列的递推公式。
如:
a
1
?1,a
2
?2,a
n
?a
n?1
?a
n?2
(n?2)
。
35 55

2．数列的表示方法：
（1） 列举法：如1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, ）孤立点表示。
（3） 解析法：用通项公式表示。 （4）递推法：用递推公式表示。
3．数列的分类：
?
常数列:a
n
?2
4．数列{}及前n项和之间的关系:
?
有穷数列
?
n

按项数
?
?
递增数列:a
n
?2n?1,a
n
?2

按单调性
?
?
S
1
,(n?1)
无穷数列
Sn
?a
1
?a
2
?
?a
3
??an

n
2
?1
a?
?
递减数列:a??
n
5．等差数列与等比数列对比小结：
等差数列
n< br>?
S?S
nn?1
,(n?2)
?
?
摆动数列:a< br>n
?(?1)
n
?2n
?
等比数列
a
n
?q(n?2)

a
n?1
一、定义
a
n
?a
n?1
?d(n?2)

1．
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d

1．
a
n
?a
1
q
n?1

二、公式
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d,
?
n?m
?

a
n
?a
m
q
n?m
,(n?m)

?
na
1
?
q?1
?
2．
?
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a?aq
n
?
1
?
q?1
?
?
1?q1 ?q
?
n
?
n?1
?
n
?
a
1< br>?a
n
?
2．
S
n
?
?na
1?d

2
2
1．
a,b,c成等差?2b?a?c
，
称
b
为
a
与
c
的等差中项
1．
a,b,c成等比?b?ac
，
称
b
为
a
与
c
的等比中项
2
三、性质
2．
n
、
p
、
n
、
p
、
q??
*
）若
m?n?p?q
（
m< br>、， 2．若
m?n?p?q
（
m
、，
q??
*
）
则
a
m
?a
n
?a
p
?aq
则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
< br>3．
S
n
，
S
2n
?S
n
，
S
3n
?S
2n
成等差数列 3．
S
n
，
S
2n
?S
n
，
S
3n
?S
2n
成等比数列
第三章 不等式
1、
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
．
2、不等式的性质： ①
a?b?b?a
； ②
a?b,b?c?a?c
； ③
a?b?a?c?b?c
；
④< br>a?b,c?0?ac?bc
，
a?b,c?0?ac?bc
；⑤
a? b,c?d?a?c?b?d
；
⑥
a?b?0,c?d?0?ac?bd
； ⑦
a?b?0?a?b
nn
?
n??,n?1
?
；
⑧
a?b?0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1< br>?
．
小结：代数式的大小比较或证明通常用作差比较法：作差、化积（商）、判断、结论。
在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证。
3、一元二次不等式解法：
（1）化成 标准式：
ax?bx?c?0,(a?0)
；（2）求出对应的一元二次方程的根；
（3）画出对应的二次函数的图象； （4）根据不等号方向取出相应的解集。
线性规划问题：
1．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解
2．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
3．解线性规划实际问题的步骤：
（1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数； （3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：
移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标； ④答；求最值； （4）验证。
两类主要的目标函数的几何意义:
①
z?ax? by
直线的截距；②
z?(x?a)?(y?b)
两点的距离或圆的半径；
2
a?b
a?b
?
4、均值定理： 若
a?0
，
b?0
，则
a?b?2ab
，即；
?ab
．
ab?
?
??
?
a?0,b?0
?
2
?
2
?
36 55
22
2

a?b
称为正数
a
、
b
的算术平均数，
ab称为正数
a
、
b
的几何平均数．
2
5、均值定理的应用：设
x
、
y
都为正数，则有
s
2
⑴若
x?y?s
（和为定值），则当
x?y
时，积< br>xy
取得最大值．
4
⑵若
xy?p
（积为定值），则当x?y
时，和
x?y
取得最小值
2p
．
注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。
高中数学 选修1－1知识点
第一章：命题与逻辑结构
知识点：
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句.
假命题：判断为假的语句.
2、“若
p
，则
q
”形式的命 题中的
p
称为命题的条件，
q
称为命题的结论.
3、对于两个命题 ，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互
逆命题.其中一个命 题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.
若原命题为“若
p
，则
q”，它的逆命题为“若
q
，则
p
”.
4、对于两个命题，如果 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两
个命题称为互否命题.中一 个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.
若原命题为“若
p
，则
q
”，则它的否命题为“若
?p
，则
?q
”.
5、对于两个 命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两
个命题称为互为 逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.
若原命题为“若
p，则
q
”，则它的逆否命题为“若
?q
，则
?p
”.
6、四种命题的真假性：
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 真
假 假 假 假
四种命题的真假性之间的关系：
?
1
?
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
?
2
?
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、若
p?q
，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必要条件．
若
p?q
，则
p
是
q
的充要条件（充分必要条件）．
8、用联结词“且”把命题
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、< br>q
都是真命题时，
p?q
是真命题；当
p
、
q
两个命题中有一个命题是假命题时，
p?q
是假命
题．
用联结词“或”把 命题
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、
q
两个命题中有一个命题是真命题时，
p?q
是真命题；当
p
、
q
两个命题都是假命题时，
p?q
是假 命题．
对一个命题
p
全盘否定，得到一个新命题，记作
?p
． < br>若
p
是真命题，则
?p
必是假命题；若
p
是假命题， 则
?p
必是真命题．
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“
?
”表示．
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对
?
中任意一个
x
，有
p
?
x
?
成立”，记作“
?x??
，
p
?
x
?
”．
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“
?
”表示．
含有存在量词的命题称为特称命题．
37 55

特称命题“存在
?
中的一个
x
，使
p
?
x
?
成立 ”，记作“
?x??
，
p
?
x
?
”．
1 0、全称命题
p
：
?x??
，
p
?
x
?< br>，它的否定
?p
：
?x??
，
?p
?
x?
．全称命题的否定
是特称命题．
考点：1、充要条件的判定
2、命题之间的关系
★1．命题“对任意的
x?R，x?x?1≤0
”的否定是（ ）
A．不存在
x?R，x?x?1≤0

C．存在
x?R，x?x?1?0

32
32
32
B．存在
x?R，x?x?1≤0

D．对任意的
x?R，x?x?1?0

32
32

★2、给出命题：若函数(
x
)是幂函数，则函数(
x
)的图象不过第四象 限，在它的逆命题、否命题、逆否
命题三个命题中，真命题的个数是
(A)3 (B)2 (C)1 (D)0
★3. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内 的一条直线，则“
?
?
?
”是“
m?
?
”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
第二章：圆锥曲线
知识点：
1、平面内与两个定点< br>F
1
，
F
2
的距离之和等于常数（大于
F
1
F
2
）的点的轨迹称为椭圆．这两个定
点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为 椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形


标准方程
x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
范围
?a?x?a
且
?b?y?b

?b?x?b
且
?a?y?a

?
1
?
? a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

顶点
?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?

轴长
焦点
焦距
对称性
短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴、原点对称
38 55

离心率
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?

aa
a
2
x??

c
a
2
y??

c
准线方程
3、设?
是椭圆上任一点，点
?
到
F
1
对应准线的距离为d
1
，点
?
到
F
2
对应准线的距离为
d
2
，则
?F
1
?F
2
??e
．
d
1
d
2
4、平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离之差的绝对值等于常数（小于
F
的点的轨迹称为双曲线．这
1
F
2
）
两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
5、双曲线的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程

x
2
y
2
??1
?
a?0,b?0
?
a
2
b
2
y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
x??a
或
x?a
，
y?R

y??a
或
y?a
，
x?R

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

F
1
?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1< br>F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b2
?

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
a
2
x??

c
a
2
y??

c
准线方程
渐近线方程
y??
b
x

a
y??
a
x

b
6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
7、设
?
是双曲 线上任一点，点
?
到
F
1
对应准线的距离为
d
1< br>，点
?
到
F
2
对应准线的距离为
d
2
，则
39 55

?F
1
?F
2
??e
．
d
1
d
2
8、平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点
F
称为抛物线的焦
点，定直线
l称为抛物线的准线．
9、抛物线的几何性质：
y
2
?2px

标准方程
y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

?
p?0
?

图形

顶点
?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?




?
0,0
?

x
轴 对称轴
y
轴
p
??
F
?
0,
?

2
??
p
??
F
?
0,?
?

2
??
焦点
?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
?
p
?
F
?
?,0
?

?
2
?
准线方程
x??
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
离心率
e?1

范围
x?0

x?0

y?0

y?0

10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、< br>?
两点的线段
??
，称为抛物线的“通径”，即
???2p
．
考点：1、圆锥曲线方程的求解
2、直线与圆锥曲线综合性问题
3、圆锥曲线的离心率问题
典型例题：★★1．设
O
是坐标原点，
F
是抛物线
y?2px(p?0)
的焦点，
A
是抛物线上的一点，
F A
与
x
轴正向的夹角为
60
，则
OA
为（ ）
2
A．
21p

4
B．
21p

2
C．
13
p

6
22
D．
13
p

36
★★2．与直线
x?y?2?0
和曲线
x?y?12x?12y?54?0
都相切的半径最小 的圆的标准方程
40 55

是 ．
★★★3．（本小题满分14分）
已知椭圆
C
的中心在坐标原点，焦点在
x
轴上，椭圆
C
上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为
1．
（1）求椭圆
C
的标准方程；
（2）若直线
l:y?kx?m与椭圆
C
相交于
A，B
两点（
A，B
不是左右顶点）， 且以
AB
为直径的
图过椭圆
C
的右顶点．求证：直线
l< br>过定点，并求出该定点的坐标．
第三章：导数及其应用
知识点：
1、若某 个问题中的函数关系用
f
?
x
?
表示，问题中的变化率用式子
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
x
2
?x
1
?
f
?
x
2< br>?
?f
?
x
1
?
?f
表示，则式子称为函数
f
?
x
?
从
x
1
到
x
2
的平均变化率．
?x
x
2
?x
1
f
?< br>x
2
?
?f
?
x
1
?
?f
，则称它为函数
y?f
?
x
?
在
?lim
?x?0
x
2
?x
1
?x
2、函数
f
?
x
?
在
x?x
0
处的瞬时变化率是
lim
?x?0< br>x?x
0
处的导数，记作
f
?
?
x
0
?
或
y
?
x?x
，即
0
f
?
?
x
0
?
?lim
?x?0
f
?
x
0
??x
?
?f
?
x
0
?
．
?x
3、函数
y?f
?
x
?
在点
x
0处的导数的几何意义是曲线
y?f
?
x
?
在点
?x0
,f
?
x
0
?
处的切线的斜率．曲
线
y?f
?
x
?
在点
?x
0
,f
?
x
0
?
??
??
处的切线的斜率是
f
?
?
x
0
?
，切线的方程为
若函数在
x
0
处 的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为
x?x
0
．
y?f
?
x
0
?
?f
?
?
x
0
??< br>x?x
0
?
．
4、若当
x
变化时，
f
?
?
x
?
是
x
的函数，则称它为
f
?< br>x
?
的导函数（导数），记作
f
?
?
x
?< br>或
y
?
，即
f
?
?
x
?
? y
?
?lim
?x?0
f
?
x??x
?
? f
?
x
?
．
?x
5、基本初等函数的导数公式：
?
1
?
若
f
?
x
?
?c
，则< br>f
?
?
x
?
?0
；
?
2
?
若
f
?
x
?
?x
n
?
x?Q*
?
，则
f
?
?
x
?
?nx
n?1
；
?
3
?
若
f
?
x
?< br>?sinx
，则
f
?
?
x
?
?cosx；
?
4
?
若
f
?
x
?
?co sx
，则
f
?
?
x
?
??sinx
； < br>?
5
?
若
f
?
x
?
?a
x
，则
f
?
?
x
?
?a
x
lna< br>；
?
6
?
若
f
?
x
?
?e
x
，则
f
?
?
x
?
?e
x
；
?
7
?
若
f
?
x
?
?lo g
a
x
，则
f
?
?
x
?
?
6、导数运算法则：
1
1
；
?
8
?
若
f
?
x
?
?lnx
，则
f
?
?
x
?
?
．
x
xlna
?
?
1
?

?
?f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?< br>?f
?
?
x
?
?g
?
?
x
?
；
41 55

?
?
2
?

?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?f
?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x?
；
?
f
?
x
?
?
?
f< br>?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
?
3
?
?
?
g
?
x
?
?0
?
．
?
?
2
gx
?
?
??
?
?
g< br>?
x
?
?
?
7、对于两个函数
y?f
?u
?
和
u?g
?
x
?
，若通过变量
u
，
y
可以表示成
x
的函数，则称这个函数为函
数
y ?f
?
u
?
和
u?f
?
x
?
的复 合函数，记作
y?fg
?
x
?
．
复合函数
y?f g
?
x
?
的导数与函数
y?f
?
u
?，
u?g
?
x
?
的导数间的关系是
??
??
??
y
?
x
?y
u
?u
x
． < br>8、在某个区间
?
a,b
?
内，若
f
?
?< br>x
?
?0
，则函数
y?f
?
x
?
在 这个区间内单调递增；若
f
?
?
x
?
?0
，则函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调递减．
9、点< br>a
称为函数
y?f
?
x
?
的极小值点，
f< br>?
a
?
称为函数
y?f
?
x
?
的极 小值；点
b
称为函数
y?f
?
x
?
的极大值点，< br>f
?
b
?
称为函数
y?f
?
x
?< br>的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小
值统称为极值．
10、求 函数
y?f
?
x
?
的极值的方法是：解方程
f
?< br>?
x
?
?0
．当
f
?
?
x
0
?
?0
时：
?
1
?
如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0
?
是极大值；
?
2
?
如果在
x0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧
f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?x
0
?
是极小值．
11、求函数
y?f
?
x
?
在
?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤是：
?
1
?
求函数
y?f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的极值；
?
2
?
将函数
y? f
?
x
?
的各极值与端点处的函数值
f
?
a
?
，
f
?
b
?
比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
考点：1、导数在切线方程中的应用
2、导数在单调性中的应用
3、导数在极值、最值中的应用
4、导数在恒成立问题中的应用
典型例题
32
f(x)?x?ax?3x?9，已知
f(x)
在
x??3
时取得极值，则
a
=（ ） ★1.（05全国卷Ⅰ）函数
A．2
3
B. 3
2
C. 4 D.5
★2．函数
y?2x?3x?12x?5
在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ）
42 55

A.5 , - 15 B.5 , 4 4 , - 15 D.5 , - 16
★★★3.（根据04年天津 卷文21改编）已知函数
时
f(x)
取得极值－2.
（1）试求a、c、d的值；（2）求
f(x)
的单调区间和极大值；
2x ?132
f(x)?xe?ax?bx
★★★4.（根据山东2008年文21改编）设函数， 已知
x??2和x?1
为
f(x)
f(x)?ax
3
?cx ?d(a?0)
是R上的奇函数，当
x?1
的极值点。
（1）求
a,b
的值；
（2）讨论
f(x)
的单调性；
高中数学 选修1-2知识点
第一章 统计案例
知识点：
1．线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
②制作散点图，判断线性相关关系
?
③线性回归方程：
y?bx?a
（最小二乘法）
n
?< br>x
i
y
i
?nxy
?
?
i?1
?< br>?
b?
n
2
2
?
x?nx
?
i?
i?1
?
a?y?bx
?
?

注意：线性回归直线经过定点
(x,y)
。

r?
?
(x
i?1
n
i
?x)(y
i
?y)
2
2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：
?
(x
i?1
n
i?x)
?
(y
i?1
n
i
?y)
2

注：⑴
r
>0时，变量
x,y
正相关；
r
<0时，变量
⑵①
x,y
负相关；
|r|
越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②
|r|
接近于0时，两个变量
之间几乎不存在线性相关关系。
3．回归分析中回归效果的判定：
43 55

⑴总偏差平方和：
?
(y
i?1n
i
?y)
2

e
⑵残差：
i
??y
i
?y
i
n
i?1
?
；
?
2
⑶残差平方和：
?
(yi?yi)
；
2< br>⑷回归平方和：
?
(y
i?1
n
i
?y)
－
n
i
?
(yi?yi)
i?1
n
?
2；
R?1?
⑸相关指数
2
?
(y
i?1
n< br>i?1
?y
i
)
2
?
2
(y?y)
?
ii
。
2
R
注：①的值越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；
2
R
②越接近于1，，则回归效果越好。
4．独立性检验（分类变量关系）：
2
K
随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。
第二章 推理与证明
知识点：
一．推理：
⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有 事实，经过观察、分析、比较、联想，
在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推 理。
①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有
这些 特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
②类比推理：由两类对象具有类似和其 中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象
也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。
注：类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。
注：演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提已知的一般结论；⑵小前提所研
44 55

究的特殊情况；⑶结 论根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
二．证明
⒈直接证明
⑴综合法
一般地，利用已知条件和某些数学定义、 定理、公理等，经过一系列的推理论证，最
后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综 合法又叫顺推法或由因导果
法。
⑵分析法
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求 使它成立的充分条件，直至最后，把要证明
的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定 理、公理等），这种证明的
方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。
2．间接证明反证法
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明 假设错误，
从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。
第三章 复数的扩充与复数的引入
知识点：
1．概念：
(1) ∈
?
0 (∈R)
?
z
?
z2≥0；
?
b≠0(∈R)；
(2) 是虚数
(3) 是纯虚数
(4)
?
0且b≠0(∈R)< br>?
z＋
z
＝0（z≠0）
?
z2<0；
?
且(∈R)；
2．复数的代数形式及其运算：设z1= a + , z2 = c + (∈R)，则：
(1) z 1±z2 = (a + b)± (c + d)i；
(2) z12 = ()·()＝（）+ ()i；
(a?bi)(c?di)
?
ac?bd
?
bc?ad
i
22
c
2
?d
2
(z2≠0) (3) z1÷z2 =
(c?di)(c?di)

c?d
3．几个重要的结论：
2
(1?i)??2i
； (1)
45 55

(2)
i
性质：4；
i
4 n
?1,i
4n?1
?i,i
4n?2
??1,i
4n?3
??i
；
i
4n
?i
4n?1
?i
4?2
?i
4n?3
?0;

1
z?1?zz?1?z?
z
。 (3)
1?i1?i
?i;??i;
1?i
⑷
1?i

4 ．运算律：（1）
z?z?z;(2)(z)?z;(3)(z
1
?z
2)?z
1
z
2
(m,n?N);

(
mnm? nmnmnm
mm
z
1
z
)?
1
z
z2
；⑷
z?z
。 5．共轭的性质：⑴
(z
1
?z
2
)?z
1
?z
2
；⑵
z
1
z
2
?z
1
?z
2
； ⑶
2
z
1
|z
1
|
|?
6．模的性质：⑴
||z
1
|?|z
2
||?|z
1
?z
2
|?|z
1
|?|z
2
|
；⑵
|z
1z
2
|?|z
1
||z
2
|
；⑶
z< br>2
|z
2
|
；
|
nn
⑷
|z|?| z|
；
考点：复数的运算
典型例题：
2?i
★1．复数
2?i
（
i
为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1?ai
★2、设i是虚数单位，复数
2?i
为纯虚数，则实数a为
?
1
2
(A)2 (B) -2 (C)
1
(D)
2

★3、若复数
z?1?i
，
i
为虚数单位，则
(1?i)?z?

A．
1?3i
B．
3?3i
C．
3?i
D．3
5i
?
1?2i
★4．复数
A．
2?i
B．
1?2i
C．
?2?i
D．
?1?2i

第四章 框图（略）
高中数学 选修4-1知识点
46 55

平行线等分线段定理
平行线等分线段定理：如果一组 平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也
相等。
推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
平分线分线段成比例定理
平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
相似三角形的判定及性质
相似三角形的判定：
定义：对应角相等，对应边成比例的 两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比
（或相似系数）。
由于从定 义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边
是否分别成 比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：
（1）两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似。
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或 两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相
似。
判定定理1：对于任意两个三角形，如 果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么
这两个三角形相似。简述为：两角对应相 等，两三角形相似。
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边 对应成比例，并且夹
角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相 似。
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例 ，那
么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
引理：如果一条直线截 三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于
三角形的第三边。
定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
定理：如果一个直角三 角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两
个直角三角形相似。
相似三角形的性质：
（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；
（2）相似三角形周长的比等于相似比；
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。
直角三角形的射影定理
射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项 ；两直角边分别是它们在斜边上
射影与斜边的比例中项。
圆周定理
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形的性质与判定定理
定理1：圆的内接四边形的对角互补。
47 55