(完整版)高中数学知识点总结_概率及其应用

概率及其应用
1. 解概率应用题要学会“说”：首先是记事件，其次是对事件做必要 的分析，指出事件的概
率类型，包括“等可能性事件”、“互斥事件”、“相互独立事件”、“独立重复 试验”、“对立事
件”等；然后是列式子、计算，最后别忘了作“答”。
2．“等可能性事件 ”的概率为“目标事件的方法数”与“基本事件的方法数”的商，注意区
分“有放回”和“不放回”；“ 互斥事件”的概率为各事件概率的和；“相互独立事件”的概
率为各事件概率的积；若事件
A< br>在一次试验中发生的概率是
p
，则它在
n
次“独立重复试
kk n?k
验”中恰好发生
k
次的概率为
P
n
(
k)
?C
n
p
(1
?p
)
；若事件
A< br>发生的概率是
p
，则
A
的
“对立事件”
A
发 生的概率是1-
p
等。有的同学只会列式子，不会“说”事件，那就根据
你列的式子“ 说”：用排列（组合）数相除的是“等可能性事件”，用概率相加的是“互斥事
件”，用概率相乘的是“ 相互独立事件”，用
C
n
的是“独立重复试验”，用“1减”的是“对
立事件 ”。
[举例1] 已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4< br>个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率； （07高考天津文18）
解析：（Ⅰ）设 “从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件
A
；从甲盒内取出2个球（基本
事件）有< br>C
7
种方法，它们是等可能的，其中2个球均为红球（目标事件）的有
C
3
种，∴
22
C
3
C
3
15

P(A)?
2
?
；设“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件
B
，有
P(B)?
2
?
；
C
7
7C
9
18
22
k
而“取出的4个球均为红球”即事件A、B同时发生，又事件
A ，B
相互独立，
∴
P(AB)?P(A)P(B)?
155
．
??
718126
（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从 乙盒内取出的2个红球
为黑球”为事件
C
，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒 内取出的2个球中，1个是
1111
22
C
3
C
4
C
4
C
5
C
4
10
C
4
2
红球，1个是黑球”为事件
D
．
P(C)?
=，；
?P(D)? ??
22
63
C
7
C
9
2
21
C
7
C
9
2
而“取出的4个红球中恰有4个红球”即事件
C， D
有一个发生，又事件
C，D
互斥，∴
P(C?D)?P(C)?P(D)?
21016
??

21636 3

答：取出的4个球均为红球的概率是
5
16
，取出的4个球 中恰有1个红球的概率是。
126
63
[举例2] 某地区为下岗人员免费提供财会 和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每
名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不 参加培训，已知参加过财会培训的有
60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选 择是相互独立的，且各人的
选择相互之间没有影响．（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率 ；
（II）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．（07高考湖南文17）
解析：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件
A
，“该人参加过计算机 培训”
为事件
B
，由题设知，事件
A
与
B
相互独立 ，且
P(A)?0.6
，
P(B)?0.75
．
（I）解法一：任 选1名下岗人员，该人没有参加过培训即事件
A
、
B
同时发生，其概率是
P
1
?P(A?B)?P(A)?P(B)?0.4?0.25?0.1

所以该人参加过培训的概率是
1?P
1
?1?0.1?0.9
．
C?AB?AB
，
AB
与
AB
解法二：任选1名下岗人员 ，设该人只参加过一项培训为事件C，
互斥，∴P（C）=P（
AB?AB
）=P（< br>AB
）+P（
AB
）=0.6×0.25+0.4×0.75=0.45;
该人参加过两项培训为事件D，P(D)=P(AB)=0.6×0.75=0.45
该人参 加过培训即C、D有一个发生，且C、D互斥，∴其概率为P(C+D)=P(C)+P(D)=0.9; （II）解法一：设任选3名下岗人员，3人中恰有2人参加过培训为事件E，E是独立重复
22< br>实验，其中n=3,k=2,p=0.9,∴P(E)=
C
3
?0.9?0.1
=0.243,
设任选3名下岗人员，3人都参加过培训为事件F，P(F)=
0.9
=0.729．
“3人中至少有2人参加过培训”即E、F有一个发生，又E、F互斥，∴它的概率是：P(E+F)
=P(E)+P(F)=0.243+0.729=0.972；
解法二：设任选3名下岗人员，3人中恰有1人参加过培训为事件G，P(G)=
1
C
3
?0.9?0.1
2
?0.027
;设任选3名下岗人员，3人 都没有参加过培训为事件H，P（H）=
3
0.1
3
?0.001
；“3人中至少有2人参加过培训”即
E?F
，
P(
E?F
)=
1?0.027?0.001?0.972
; 答：任选1名下岗人员该人参加过培训的概率是0.9，任选3名下岗人员，这3人中至少有
2人参 加过培养的概率是0.972
[巩固1] 某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点 站），在起点站开出的一
辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能 的．求：
（I）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率；
（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；（07高考北京文18）
[巩固2] 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为
34
和，且各次射击相互独立．
45

（Ⅰ）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率；
（Ⅱ）若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率．（07高考重庆文17）
3．要准确理解题意，吃透其中的“关键词”，如： “至多”、“至少”、“恰有“、“不全是”、
“全不是”等；要能读出题目的“言下之意”。
[举例1]在医学生物试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎
混入了两 只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小
孔，让蝇子一只一只地 往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．
（I）求笼内恰好剩下1只果蝇的概率；
（II）求笼内至少剩下5只果蝇的概率．（07高考安徽文19）．
解析：设笼内恰好剩下
k
只果蝇的事件为
A
k

(k?0，1，L，6)
．
（I）笼内恰好剩下1只果蝇即第7只飞出的是苍蝇，而 前6只飞出的蝇子中有1只苍蝇、5
只果蝇；基本事件有
A
8
种，它们是等可 能的，其中目标事件有
C
2
C
6
A
6
种，
112
156
C
2
C
6
A
2
C
2
C
6
A
6
3
AAP(A)
故
P(A1
)
==；（II）笼内至少剩下5只果蝇为事件+，=
565
73< br>14
A
8
A
8
2
A
2
1111=，
P(A
6
)?
2
=，又事件
A
5
、
A
6
互斥，故P(
A
5
+
A
6
)=P(
A
5
)+P(
A
6
)=+
141428
A
8
28
7156
=
333
；答：笼内恰好剩下1 只果蝇的概率为，笼内至少剩下5只果蝇的概率。
281428
3
P(B
3
)?P(A
5
?A
6
)?P(A
5
)?P(A6
)?
．
28
[举例2]甲、乙两人个有4张卡片，现以掷硬币的形式 进行游戏。当出现正面朝上时，甲赢
得乙一张卡片，否则乙赢得甲一张卡片，如果某人已赢得所有卡片， 则游戏立即终止，求掷
币次数不大于6时游戏恰好终止的概率。
解析：显然，至少需掷币4次 ，游戏才可能终止；现要求掷币次数不大于6时游戏终止，看
似有三种情况，即掷币次数分别为4、5、 6，但事实上掷币5次游戏终止的情况是不可能出
现的：因为，首先前4次不可能都为正面或反面（否则 掷币4次后游戏已经终止），若前4
次中有1次反面而其它4次都为正面，此时甲手中有7张卡片，乙手 中有1张卡片，游戏尚
未终止。设掷币4次游戏终止的事件为A，P（A）=2×
()
=
1
2
4
1
；掷币6次游戏终止的事件
8
为B，则 前4次中有1次反面而其它5次都为正面，或前4次中有1次正面而其它5次都为
11
5
1
?()
=，有又掷币次数不大于6时游戏恰好终止为A+B ，且
228
111
A、B互斥，∴P（A+B）=P（A）+P（B）=+=；
884
反面，∴P（B）=2×
C
4
?
1
[巩固1] 甲、 乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，
本场比赛采用五局三胜 制，即先胜三局的队获胜，比赛结束，设各局比赛相互间没有影响，
求（Ⅰ）前三局比赛甲队领先的概率 ；
（Ⅱ）本场比赛乙队以3：2取胜的概率.（精确到0.001）
[巩固2] 10个球 中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第
n
次才取得
k
?
k?n
?

次红球的概率为（ ）
?
1
??
9
?
A．
????
?
10
??
10
?
2n?k
?
1
??
9
?
，B．
????
?
10
??
10
?
kn?k
k?1
?
1
??
9
?
C．
C
n?1
????
?
10
??
10
?
kn?k
k?1
?1
?
D．
C
n?1
??
?
10
?
k?1
?
9
?
??
?
10
?
n? k

[巩固3] 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件
A
：“取出
的2件产品中至多有1件是二等品”的概率
P(A)?0.96
．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率
p
；
（2）若该批产品 共100件，从中任意抽取2件，求事件
B
：“取出的2件产品中至少有一
件二等品” 的概率
P(B)
．（07高考全国卷Ⅱ理19）
4．关注概率与其它知识点的“交汇”，如数列、不等式、解析几何等。
[举例1]设集合< br>A?{1，，2}B?{1，2，3}
，分别从集合
A
和
B
中 随机取一个数
a
和
b
，确定平
面上的一个点
P(a，b)< br>，记“点
P(a，b)
落在直线
x?y?n
上”为事件
Cn
(2≤n≤5，n?N)

，若事件
C
n
的概率最大，则
n
的所有可能值为（ ） （07高考山东文12）
A．3 B．4 C．2和5 D．3和4
解析：点< br>P(a，b)
落在直线
x?y?n
上，即
a?b?n
；集合< br>A
和
B
中随机取一个数
a
和
b

有 6种方法，它们是等可能的，其中使得
a?b?2
有1种，使得
a?b?3
有 2种，使得
a?b?4
有2种，使得
a?b?5
有1种；故使得事件
C
n
的概率最大的
n
可能为3和4。
[举例2]

正四面体的各顶点为
A
1
,A
2
,A
3
,A4
，进入某顶点的动点 X不停留在同一个顶点上，
每隔1秒钟向其他三个顶点以相同的概 率移动。
n
秒后X在
A
i
(i?1,2,3,4)
的概率用
P
i
(n)
(n=0,1,2……) 表示。当
P
1
(0)?
1
111
,P
2
(0)?
，
P
3
(0)?
，
P
4
(0)?
时，
8
42 8
?
（1）求
P
2
(1),P
2
(2)
； (2)求
P
2
(n)
与
P
2
(n?1)
的 关系（
n?N
）
（3）求
P
2
(n)
关于n的表达式， （4）求
P
1
(n)
关于n的表达式
解析：
P
2
(1)
即1秒后动点在
A
2
的概率，它有三种情况；①开始时（0秒 ）在
A
1
，1秒后移
动到
A
2
；由题意知，每隔1 秒钟动点 X从一个顶点移动到另一个顶点的概率均为
这种情况的概率为：
P
1
(0)
×
1
；所以
3
11
=；②开始时在
A3
，1秒后移动到
A
2
；其概率为：
312
1111
P
3
(0)
×=；③开始时在
A
4
，1秒后移动到
A
2
；其概率为：
P
4
(0)
×=；
3 24324

又这种情况互斥，∴
P
2
(1)
=
1111
++=。我们设想一下，如果仍然按这个办法计算
1224246
P2
(2)
，将不胜其烦，因为首先要算
P
1
(1)
、< br>P
3
(1)
、
P
4
(1)
；事实上1秒后动 点在
A
2
，即开
1
,而每隔1秒钟动点 X从一个顶点移动
2
1111
到另一个顶点的概率均为；所以
P
2
(1)
=× =。类似的，2秒后动点在
A
2
，即1秒
3236
5515
后动点不在
A
2
，其概率为：1-
P
2
(1)
=, ∴
P
2
(2)
=×=；
n
秒后动点在
A
2
，即
n?1
66318
1
秒后动点不在
A
2
，其概率为：1-
P
2
(n?1)
，∴
P
2
(n )
=[1-
P
2
(n?1)
]×。至此，问题化归
3
11
为数列问题。即：已知数列{
P
2
(n)
}满足：
P
2
(n)
=-
P
2
(n?1)
+，求通项公式。用 待定
33
1
1
系数法构造等比数列，设
P
2
(n)
+
x
=-[
P
2
(n?1)
+
x
]，得
x
=
?
，可见
3
4
1
111数列{
P
2
(n)
?
}是以- 为公比的等比数列，其首项为
P
2
(1)
?
=
?

3
4412
11
1
1
11
∴
P
2
(n)
?
=
?
(?)
n?1
，
P
2
(n)
=
?
(?)
n?1
。
4
12< br>3
412
3
11
1
1
1
(n?1)P(n) P(n?1)
完全类似地，可得
P
1
(n)
=-
P
+，于是有=-[]
??
111
33
4
3
4
1< br>1
但
P
=0，∴数列{
P
1
(n)
}是常数 列，即
P
1
(n)
=。
1
(1)
?
4< br>4
点评：本题的关键是：第
n
秒后动点在某一顶点即意味着第
n
?1
秒后动点不在该顶点，由
始时（0秒）动点不在
A
2
，其概率 为：1-
P
2
(0)
=
此反映的它们的概率之间的关系正是数列的前 后项之间的关系即递推关系，于是从概率问题
自然地过渡到数列问题，再用数列的办法解决之。
1
2
ax?bx?1
，其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5, 7
2
中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平 行
的概率是 （ ） （07高考四川理12）
[巩固1]已知一组抛物线
y?
（A）
1

12
（B）
7

60
（C）
6

25
（D）
5

25
[巩固2]位于坐标原点的一个质点
P
按下 列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向
为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是
率是 （ ） （07高考山东理12）
1
3)
的概， 质点
P
移动五次后位`于点
(2，
2
2
?
1
?
D．
C
1
C
23
??

?
2
?
3
?
1
?
A．
??

?
2
?
2

2
?
1
?
B．
C
3
??
?
2
?
3
2
?
1
?
C．
C< br>3
??

?
2
?
2
[巩固3]有人玩掷硬 币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都是
1
，棋盘上标有第0
2
站， 第1站，…，第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次，
若掷出正面， 棋子向前跳一站（从n到n+1），若掷出反面，棋子向前跳两站（从n到n+2），

直 到棋子跳到第99站（胜利大本营），或跳到第100站（失败集中营）时该游戏结束，设棋
子跳到第n 站的概率为P(n)；（1）求P(1), P(2),P(3);（2）求证：数列{P(n)-P(n-1)}是等比数
﹡
列 (n∈N,n≤99)；（3）求P(99)及P(100)的值。



答案
3
,0.4825；3、[巩固1]0.648,0.138；[巩固2]C
20
13
179
[巩固3]0.2,；4、[巩固1] B，[巩固2] B，[巩固3]
P(1)= ，P(2)= ，P(n)-P(n-1)=
24
495
1111
-[ P(n-1) - P(n-2)] ( 2≤n≤99，n∈N)，P(99)=[2-（）
99
]；P(100) = [1+
2323
1
（）
99
]。

2
2、[巩固1]0.1512,0.01458;[巩固2]