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高中新课标文科数学所有知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 12:44
tags:高中数学知识点总结

2017全国高中数学竞赛决赛-高中数学常用三角函数


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高中数学 必修1知识点
第一章 集合与函数概念
〖1.1〗集合
【1.1.1】集合的含义与表示
(1)常用数集及其记法
N
表示自然数集,
N
?
或< br>N
?
表示正整数集,
Z
表示整数集,
Q
表示有理数集 ,
R
表示实数集.
(2)集合与元素间的关系
对象
a
与 集合
M
的关系是
a?M
,或者
a?M
,两者必居其一.
(3)集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集 .③不含有任何元素的
集合叫做空集(
?
).
【1.1.2】集合间的基本关系
(4)子集、真子集、集合相等
名称 记号 意义
(1)A
?
A
性质 示意图
A?B

子集
A中的任一元素都
(或
属于B
(2)
??A

A(B)
BA
B?A)

(3)若
A?B

B?C
,则
A?C

(4)若
A?B

B?A
,则
A?B


A
?
B
?
A
(A为非空子集)
A?B
,且B中至
(1)
??
?
少有一元素不属于
BA
真子集
?
(或B
?
A)
A
(2)若
A?B

B?C
,则
A?C

???

集合
A中的任一元素都
(1)A
?
B
A(B)
A?B

相等
属于B,B中的任一
元素都属于A
(2)B
?
A

nn
(5)已知集合
A

n(n?1)
个元素,则它有
2
个子集,它有
2?1
个真 子集,它有
2?1
个非空子集,

n


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它有
2?2
非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算
(6)交集、并集、补集
名称 记号 意义
(1)
A
性质 示意图
n
A?A

交集
AB

{x|x?A,

(2)
A???

(3)
A

A
(1)
A
x?B}

B?A

B?B

A?A

??A

B?A

B?B

1
A(?
U
A)??

AB

并集
AB

{x|x?A,

x?B}

(2)
A
(3)
A

A
A
B

补集
?
U
A

{x|x?U,且x?A}

痧B)?(
U
A)(?
U(A
U
B)
痧B)?(
U
A)(?
U
(AU
B)
2
A(?
U
A)?U


【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
(1)含绝对值的不等式的解法
不等式 解集
|x|?a(a?0)

{x|?a?x?a}

|x|?a(a?0)

x|x??a

x?a}


ax?b
看成一个整体,化成
|x|?a

|ax?b|?c, |ax?b|?c(c?0)

|x|?a(a?0)
型不等式来求解
(2)一元二次不等式的解法
判别式
??0

??0

??0


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??b
2
?4ac

二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
O
的图象



一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的根
?b ?b
2
?4ac
x
1,2
?
2a
(其中
x
1
?x
2
)

x
1
?x
2
??
b

2a
无实根
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集
{x|x?x
1

x?x
2
}

{x|
x??
b
}

2a
R

ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集
{x|x
1
?x?x
2
}

?

?

〖1.2〗函数及其表示
【1.2.1】函数的概念
(1)函数的概念
1
函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ○
2
只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. ○
(2)区间的概念及表示法
①设
a,b
是两个实数,且
a?b< br>,满足
a?x?b
的实数
x
的集合叫做闭区间,记做
[a,b ]
;满足
a?x?b
的实数
x
的集合叫做开区间,记做
(a ,b)
;满足
a?x?b
,或
a?x?b
的实数
x
的集合
叫做半开半闭区间,分别记做
[a,b)

(a,b]
;满足
x?a,x?a,x?b,x?b
的实数
x
的集合分别
记做
[a,??),(a,??),(??,b],(??,b)

注意:对于集合
{x |a?x?b}
与区间
(a,b)
,前者
a
可以大于或等于
b
,而后者必须
a?b

(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:


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f(x)
是整式时,定义域是全体实数.

f(x)
是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.

f(x)
是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.
④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1.

y?tanx
中,
x?k
?
?
?
2
(k ?Z)

⑥零(负)指数幂的底数不能为零.
⑦若
f(x)
是由 有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函
数的定义域的交集.
⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知
f(x)
的定义域为
[a ,b]
,其复合函数
f[g(x)]
的定义域应由不等式
a?g(x)?b< br>解出.
(4)求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上 是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一
个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此 求函数的最值与值域,其实质是相同的,
只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:
①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.
②配方 法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函
数的值域或最值 .
③判别式法:若函数
y?f(x)
可以化成一个系数含有
y
的关 于
x
的二次方程
a(y)x
2
?b(y)x?c(y)?0
,则在
a(y)?0
时,由于
x,y
为实数,故必须有
??b
2
(y)?4a(y)?c(y)?0
,从而确定函数的值域或最值.
④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.
⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简 、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化
为三角函数的最值问题.
⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.
⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.
⑧函数的单调性法.


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【1.2.2】函数的表示法
(5)函数的表示方法
表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.
解析法:就是用数学表 达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量
之间的对应关系.图象法:就 是用图象表示两个变量之间的对应关系.

〖1.3〗函数的基本性质
【1.3.1】单调性与最大(小)值
(1)函数的单调性
①定义及判定方法
函数的
定义
性 质
如果对于属于定义域I内
某个区间上的任意 两个
自变量的值x
1
、x
2
,当x<
1

..
x时,都有f(x)212
...
..........
那么就说f(x)在这个区
间上是增函数.
...
(1)利用定义
(2)利用已知函数
图象 判定方法
y
y=f(X)
f(x )
1
f(x )
2
的单调性
(3)利用函数图象
(在某个区间图
o
x
1
x
2
x

象上升为增)
(4)利用复合函数
(1)利用定义
函数的
单调性
如果对于 属于定义域I内
某个区间上的任意两个
自变量的值x
1
、x
2
,当x<
1

..
x时,都有f(x)>f(x),
212...
..........
那么就说f(x)在这个区
间上是减函数.
...
(2)利用已知函数
y
f(x )
1
y=f(X)
f(x )
2
的单调性
(3)利用函数图象
(在某个区间图
x
2
o
x
1
x

象下降为减)
(4)利用复合函数
②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函


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数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.
③对于复合函数
y?f[g(x)]
,令
u?g(x)
,若
y?f(u)
为增,
u?g(x)< br>为增,则
y?f[g(x)]

增;若
y?f(u)
为减,< br>u?g(x)
为减,则
y?f[g(x)]
为增;若
y?f(u)为增,
u?g(x)
为减,

y?f[g(x)]
为减;若y?f(u)
为减,
u?g(x)
为增,则
y?f[g(x)]
为减.
(2)打“√”函数
f(x)?x?
a
(a?0)
的图象与性质
x
y

f(x)
分别在
(??,?a]

[a,??)
上为增函数,分别在
[?a,0)

(0,a]
上为减 函数.
(3)最大(小)值定义
①一般地,设函数
y?f(x)
的定义域为
I
,如果存在实数
M
满足:(1)
任意的
x? I
,都有
f(x)?M
;(2)存在
x
0
?I
,使 得
o

x

对于
f(x
0
)?M
.那么,我们称
M
是函数
f(x)
的最大值,记作
f
max
(x)?M

②一般地,设函数
y?f(x)
的定义域为
I
,如果存在实数
m
满足:(1)对于任意 的
x?I
,都有
(2)存在
x
0
?I
,使得
f(x
0
)?m
.那么,我们称
m
是函数
f(x)
的最小值,记作
f(x)?m

f
max
(x)?m

【1.3.2】奇偶性
(4)函数的奇偶性
①定义及判定方法
函数的
定义
性 质
如果对于函数f(x)定义
函数的
奇偶性
域内任意一个x,都有
f(--,那么函
...
x)=
....
f (x)
....
数f(x)叫做奇函数.
...

(1)利用定义(要
先判断定义域是否
关于原点对称)
(2)利用图象(图
象关于原点对称)
图象 判定方法


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如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有
f(-f(x),那么函数
...
x)=
.... ...
f(x)叫做偶函数.
...

②若函数
f(x)
为奇函数,且在
x?0
处有定义,则
f(0)?0

③奇函数在< br>y
轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在
y
轴两侧相对称的区间增减性相反 .
④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数< br>(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.
〖补充知识〗函数的图象
(1)作图
利用描点法作图:
①确定函数的定义域; ②化解函数解析式;
③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象.
利用基本函数图象的变换作图:
①平移变换
h?0,左移h个单位k?0,上移k 个单位
y?f(x)????????y?f(x?h)y?f(x)????????y?f(x)? k

h?0,右移|h|个单位k?0,下移|k|个单位
(1)利用定义(要
先判断定义域是否
关于原点对称)
(2)利用图象(图
象关于y轴对称)
②伸缩变换
0?
?
?1,伸
y?f(x)?????y?f(?
x)

?
?1,缩
0?A?1,缩
y?f(x)?????y?Af(x)

A?1,伸
③对称变换
y轴
x轴
??y?f(?x)

y?f(x)????y??f(x)

y?f(x)? ?
直线y?x
原点
y?f(x)????y??f(?x)

y?f(x)?????y?f
?1
(x)


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去掉y轴左边图象
y?f(x)????????????????y?f(|x|)

保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象
y?f(x)???? ??????y?|f(x)|

将x轴下方图象翻折上去

第二章 基本初等函数(Ⅰ)
〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
(1)根式的概念
①如果
x?a,a?R,x?R,n?1
,且
n ?N
?
,那么
x
叫做
a

n
次方根.当< br>n
是奇数时,
a

n
n
次方根用符号
na
表示;当
n
是偶数时,正数
a
的正的
n
次方 根用符号
n
a
表示,负的
n
次方根用
符号
?
n
a
表示;0的
n
次方根是0;负数
a
没有
n< br>次方根.
②式子
n
a
叫做根式,这里
n
叫做根指数 ,
a
叫做被开方数.当
n
为奇数时,
a
为任意实数;

n
为偶数时,
a?0

③根式的性质:
(
n
a)
n
?a
;当
n
n
为奇数时,
n
a
n
?a
;当
n
为偶数时,
?
a (a?0)

a?|a|?
?
?a (a?0)
?
n
(2)分数指数幂的概念
m
n
①正数的正分数指数幂的意义是:
a
等于0.
?n
a
m
(a?0,m,n?N
?
,

n?1)
.0的正分数指数幂
②正数的负分数指数幂的意义是:
a
?
mn
1
m
1
?()
n
?
n
()
m
(a?0,m,n?N
?
,

n?1)
.0的负
aa
分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.
(3)分数指数幂的运算性质

a?a?a

rsr?s
(a?0,r,s?R)

(a
r
)
s
?a
rs
(a?0,r,s?R)


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(ab)?ab(a?0,b?0,r?R)
















【2.1.2】指数函数及其性质
(4)指数函数
函数名称
定义
图象
x
rrr
指数函数
函数
y?a(a?0

a?1)
叫做指数函数
a?1

y
y?a
x
0?a?1

y?a
x
y
y?1
(0,1)
y?1
(0,1)

O
x
O
x


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定义域
值域
过定点
奇偶性
单调性 在
R
上是增函数

R

(0,??)

图象过定点
(0,1)
,即当
x?0
时,
y?1

非奇非偶

R
上是减函数
函数值的
变化情况
a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)

a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)
a
x< br>?1(x?0)

a
x
?1(x?0)
图象的影响 在第一象限内,
a
越大图象越高;在第二象限内,
a
越大图象越低.
a
变化对

〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
(1)对数的定义
x
①若
a?N(a?0,且a?1)
, 则
x
叫做以
a
为底
N
的对数,记作
x?loga
N
,其中
a
叫做底数,
N
叫做真数.


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②负数和零没有对数.
x
③对数式与指数式的互化:
x?log
a
N?a?N(a?0,a?1, N?0)

(2)几个重要的对数恒等式
log
a
1?0

log
a
a?1

log
a
a
b?b

(3)常用对数与自然对数
常用对数:
lgN
,即< br>log
10
N
;自然对数:
lnN
,即
log
e
N
(其中
e?2.71828
…).
(4)对数的运算性质 如果
a?0,a?1,M?0,N?0
,那么
①加法:
log
a< br>M?log
a
N?log
a
(MN)
②减法:
log
a
M?log
a
N?log
a
logNn
③数乘:
nlog
a
M?log
a
M(n?R)
a
a
?N

M

N

log
a
b
M
n
?
log
b
N
n
(b?0,且b?1)

log
a
M(b?0,n?R)
⑥换底公式:
log
a
N?
log
b
a
b

【2.2.2】对数函数及其性质
(5)对数函数
函数
对数函数
名称
定义
图象
函数
y?log
a
x(a?0

a?1)
叫做对数函数
a?1

0?a?1


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y
x?

1
y?log
a
x
y

1x?








y?log
a
x
(1,0)
O
(1,0)
x
O< br>x
定义域
值域
过定点
奇偶性
单调性

(0,??)
上是增函数
(0,??)

R

图象过定点
(1,0)
,即当
x?1
时,
y?0

非奇非偶

(0,??)
上是减函数
函数值的
变化情况
log
a
x?0(x?1)
log
a
x ?0(x?1)
log
a
x?0(0?x?1)

log
a
x?0(x?1)
log
a
x?0(x?1)
log
ax?0(0?x?1)

图象的影响
a
变化对
(6)反函数的概念
在第一象限内,
a
越大图象越靠低;在第四象限内,< br>a
越大图象越靠高.
设函数
y?f(x)
的定义域为
A,值域为
C
,从式子
y?f(x)
中解出
x
,得式子< br>x?
?
(y)
.如
果对于
y

C
中 的任何一个值,通过式子
x?
?
(y)

x

A< br>中都有唯一确定的值和它对应,那么式

x?
?
(y)
表示< br>x

y
的函数,函数
x?
?
(y)
叫做函数
y?f(x)
的反函数,记作
x?f
惯上改写成
y?f
?1
?1
(y)
,习
(x)


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(7)反函数的求法
①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式
y?f(x)
中反解出
x?f
?1
(y)

③将
x?f
?1
(y)
改 写成
y?f
?1
(x)
,并注明反函数的定义域.
(8)反函数的性质
①原函数
y?f(x)
与反函数
y ?f
?1
(x)
的图象关于直线
y?x
对称.
?1
②函数
y?f(x)
的定义域、值域分别是其反函数
y?f(x)
的值域、 定义域.
?1
③若
P(a,b)
在原函数
y?f(x)
的 图象上,则
P(b,a)
在反函数
y?f
④一般地,函数
y?f(x )
要有反函数则它必须为单调函数.
〖2.3〗幂函数
(1)幂函数的定义
?
一般地,函数
y?x
叫做幂函数,其中
x
为自变量 ,
?
是常数.
'
(x)
的图象上.
(2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质


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①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图 象分布
在第一、二象限(图象关于
y
轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限 (图象关于原点对称);
是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.
②过定点:所有 的幂函数在
(0,??)
都有定义,并且图象都通过点
(1,1)
③单调性:如果
?
?0
,则幂函数的图象过原点,并且在
[0,??)< br>上为增函数.如果
?
?0
,则幂函数
的图象在
(0,??)< br>上为减函数,在第一象限内,图象无限接近
x
轴与
y
轴.
④ 奇偶性:当
?
为奇数时,幂函数为奇函数,当
?
为偶数时,幂函数为偶函数. 当
?
?
q
p
q
(其中
p,q
p
q
p
互质,
p

q?Z
),若
p
为奇数q
为奇数时,则
y?x
是奇函数,若
p
为奇数
q
为偶数时,则
y?x
是偶函数,若
p
为偶数
q
为奇数时, 则
y?x
是非奇非偶函数.
q
p
⑤图象特征:幂函数
y? x,x?(0,??)
,当
?
?1
时,若
0?x?1
,其图 象在直线
y?x
下方,若
x?1

其图象在直线
y?x上方,当
?
?1
时,若
0?x?1
,其图象在直线
y? x
上方,若
x?1
,其图象在直
线
y?x
下方.
〖补充知识〗二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式:
f( x)?ax?bx?c(a?0)
②顶点式:
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
③两根式:
22
?
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2< br>)(a?0)

(2)求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时,宜用一般式.
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式.
③若已知 抛物线与
x
轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求
f(x)
更方便 .
(3)二次函数图象的性质
①二次函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)< br>的图象是一条抛物线,对称轴方程为
x??
2
b
,
顶点坐标是
2a


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b4ac?b
2
(?,)

2a4a
②当
a?0
时,抛物线开口向上,函数在
(??,?
bb
b
时,
]上递减,在
[?,??)
上递增,当
x??
2a
2a2a
4ac?b
2
bb
f
min
(x)?
;当
a?0
时,抛物线开口向下,函数在
(??,?]
上递增,在
[?,??)
上递减,
4a
2a2a
4ac?b
2
b

x??< br>时,
f
max
(x)?

4a
2a
③二次 函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)

??b
2
?4ac?0
时,图象与
x
轴有两个交点
2
M
1
(x
1
,0),M
2
(x
2
,0),|M
1
M
2
|?|x
1
?x
2
|?
?

|a|
(4)一元二次方程
ax?bx?c?0(a?0)
根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚
不够系统 和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运
用,下面结合二 次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.
22
设一元二次方程
ax?bx?c?0(a?0)
的两实根为
x
1
,x
2,且
x
1
?x
2
.令
f(x)?ax?bx?c
,从
2
以下四个方面来分析此类问题:①开口方向:
a
②对称轴位置:
x??
函数值符号.

k

x
1

x
2

?

b
③判别式:
?
④端点
2a
y
f(k)?0
?
y
a?0
x??
b
2a
x
2
k
x
1
O
x
2
x
k
?
x
1
O
x
x??
b
2a
f(k)?0< br>a?0


x
1

x
2

k

?


学习好资料 欢迎下载 < br>y
a?0
f(k)?0
?
y
x??
O
b2a
x
1
O
x
2
k
x
x
1< br>x
2
?
k
x
b
x??
2a
a?0< br>f(k)?0


x
1

k

x
2

?

af
(
k
)<0
y
a?0y
?
f(k)?0
x
2
x
1
O
kx
2
x
x
1
O
k
x
?
f(k )?0
a?0


k
1

x1

x
2

k
2

?



y
?
f(k
1
)?0
?
a? 0
f(k
2
)?0
x
2
k
2
y
k
1
x??
b
2a
k
2
O
k
1x
1
x
O
?
x
1
f(k
1
) ?0
x
2
?
x
b
x??
2a
f(k
2
)?0

a?0

⑤有且仅有一个根
x
1
(或
x
2
)满足
k
1

x< br>1
(或
x
2
)<
k
2

?

f
(
k
1
)
f
(
k
2
)
?
0,并同时考虑
f
(
k
1)=0或
f
(
k
2
)=0这两种情况是否也符合
< br>y
?
f(k
1
)?0
a?0
y
f(k
1
)?0
?
O
k
1
x
1
?
k< br>2
x
2
x
O
x
1
k
1
x< br>2
?
k
2
x
f(k
2
)?0
a?0
f(k
2
)?0



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k
1

x
1

k
2

p
1

x
2

p
2

?

此结论可直接由⑤推出.
(5)二次函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)< br>在闭区间
[p,q]
上的最值
2

f(x)在区间
[p,q]
上的最大值为
M
,最小值为
m
,令< br>x
0
?
(Ⅰ)当
a?0
时(开口向上)
①若
?



O





①若
?



O






1
(p?q)

2
bbb
b
?q
,则
m?f(q)

?p
,则
m?f(p)
②若
p???q
,则
m?f(?)
③若
?
2a
2a2a2a
?
??
?
??
?
??
f
x< br>f
O
f(?
b
)
2a
f
x
f
O
b
f(?)
2a
f
x
b
)
2a
f
f(?
bb
?x
0
,则
M?f(q)

??x
0
,则
M?f(p)

2a2a
?
?
??
??
f
f
x
0
O
x
0< br>x
b
)
2a
x
b
)
2a
f
f
f(?
f(?


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(Ⅱ)当
a?0
时(开口向下)
①若
?





??




①若
?



O

??




第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数
y?f(x)(x?D)
,把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫做函数
y?f(x)(x?D)
的零点。
2、函数 零点的意义:函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根,亦即函 数
y?f(x)


bbb
b

M?f(p)
②若
p??

M?f(?

M?f(q)

?q

?p

?q

)
③若
?
2a
2a2a2a
?
?
b
f(?)
2a
f
f
O
b
f(?)
2a
?
f(?
f
b
)
2a
O
x
O
x
??
x
f< br>f
??
f
bb
?x
0
,则
m?f(q)
??x
0
,则
m?f(p)

2 a2a
?
f(?
b
)
2a
?
f(?
ff
b
)
2a
x
0
x
x
0
O< br>f
x
??
f


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图象与
x
轴交点的横坐标。即:
方程
f(x)?0有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点?
函数
y?f(x)
有零点.
3、函数零点的求法:
求函数
y?f(x)
的零点:
1 (代数法)求方程
f(x)?0
的实数根;

2 (几何法)对于不能用求 根公式的方程,可以将它与函数
y?

利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数
y?ax?bx?c(a?0)

1)△>0,方程
ax
2
?bx?c?0
有两不等实根,二次函数的图象与
x
轴有两个交点,二次
函数有两个零点.
2)△=0,方程
ax< br>2
?bx?c?0
有两相等实根(二重根),二次函数的图象与
x
轴有 一个交
点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
3)△<0,方程
ax
2
?bx?c?0
无实根,二次函数的图象与
x
轴无交点,二次函数无零点.
高中数学 必修2知识点
第一章 空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征
1.2空间几何体的三视图和直观图
1 三视图:
正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下
2 画三视图的原则:
长对齐、高对齐、宽相等
3直观图:斜二测画法
4斜二测画法的步骤:
(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;
(2).平行于y轴的线长度变半,平行于x,z轴的线长度不变;
(3).画法要写好。
5 用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图
1.3 空间几何体的表面积与体积

2
f(x)
的图象联系起来,并


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(一 )空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和
2
2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积
S?
?
rl?
?
r

S?2
?
rl?2
?
r
2
222
4 圆台 的表面积
S?
?
rl?
?
r?
?
Rl?
?
R
5 球的表面积
S?4
?
R

(二)空间几何体的体积
1柱体的体积
V?S

?h
2锥体的体积
V?
1
S

?h

3
3台体的体积
V?(S

?
1
3
S

S
?S

)?h
4球体的体积

V?
4
3
?
R

3
第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
1 平面含义:平面是无限延展的
2 平面的画法及表示
(1)平面的画法:水平 放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成45,且横边画成邻边的2倍
长(如图)
(2 )平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形
的四个 顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC、平面ABCD等。
3 三个公理:
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
符号表示为
A∈L
B∈L => L α
A∈α
B∈α

0
A
α
·

L


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公理1作用:判断直线是否在平面内
(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
α
符号表示为:A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α,
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用:确定一个平面的依据。
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且P∈L
α
公理3作用:判定两个平面是否相交的依据
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系:
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
共面直线
平行直线:同一平面内,没有公共点;
异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。
2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:设a、b、c是三条直线
a∥b
c∥b
强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
4 注意点:
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为简便,点O一般取在
两直线中的一条上;
?
(0, ); ② 两条异面直线所成的角θ∈
2
A B
C
·

·

·

β
P
L
·

=>a∥c
③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;
④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;


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⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内 —— 有无数个公共点
(2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行 —— 没有公共点
指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
简记为:线线平行,则线面平行。
符号表示:
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

符号表示:
a β


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b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为:线面平行则线线平行。
符号表示:
a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
符号表示:
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义


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如果直线L与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,
直线L叫做平面α的垂线, 平面α叫做直线L的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫
做垂足。
L

p
α

2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α


2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。


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本章知识结构框图







直线与平面的位置关系


第三章 直线与方程
3.1直线的倾斜角和斜率
3.1.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间
所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l 与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
2、 倾斜角α的取值范围: 0°≤α<180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是
k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、 直线的斜率公式:
给定两 点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:
斜率公式: k=y2-y1x2-x1

平面(公理1、公理2、公理3、公理4)
空间直线、平面的位置关系
平面与平面的位置关系


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3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合, 如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,
那么它们平行,即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成
立.即如果k 1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为 负倒数;反之,如果它们的斜率互为
负倒数,那么它们互相垂直,即
3.2.1 直线的点斜式方程
1、 直线的点斜式方程:直线
l
经过点
P
,且斜率为
k

y?
0
(x
0
,y
0
)y
0
?k (x?x
0
)

?kx?b
2、、直线的斜截式方程:已知直线< br>l
的斜率为
k
,且与
y
轴的交点为
(0,b)

y
3.2.2 直线的两点式方程
1、直线的两点式方程:已知两点
y-y1y-y2=x-x1x-x2
2、直线的 截距式方程:已知直线
l

P
1
(x
1
,x
2
),P
2
(x
2
,y
2
)
其中
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

x
轴的交点为A
(a,0)
,与
y
轴的交点为B
( 0,b)
,其中
a?0,b?0

3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程:关于
x,y
的二元一次方程
Ax?
2、各种直线方 程之间的互化。
3.3直线的交点坐标
3.3.1两直线的交点坐标
1、给出例题:两直线交点坐标
与距离公式
By?C?0
(A,B不同时为0)
L1 :3x+4y-2=0 L1:2x+y +2=0


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解:解方程组
?
?
3x?4y?2?0
得 x=-2,y=2
2x?2y?2?0
?
所以L1与L2的交点坐标为M(-2,2)
3.3.2 两点间距离
两点间的距离公式
3.3.3 点
22
PP
12
?
1.点到直线
?
x
2
?x
2< br>?
?
?
y
2
?y
1
?
到直线的距离 公式
距离公式:

P(x
0
,y
0
)
到直线
l:Ax?By?C?0
的距离为:
d?
Ax
0
?B y
0
?C
A?B
22

2、两平行线间的距离公式: 已知两条平行线直线
l
1

l
2
的一般式方程为
l
1

Ax?By?C
1
?0


l
2
Ax?By?C
2
?0
,则
l
1
l
2
的距离为
d?
C
1
?C
2
A?B
22

第四章
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程:
(x?a)?(y?b)?r

222
圆与方程
圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程
2、点
M(x
0
,y< br>0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的关系的判断方法:
22
222
(1)
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
>
r
,点在圆外 (2)
(x
0?a)
2
?(y
0
?b)
2
=
r
,点 在圆上
(3)
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
<
r
,点在圆内
4.1.2 圆的一般方程
2


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1、圆的一般方程:
x?y?Dx?Ey?F?0

22
2、圆的一般方程的特点:
(1)①x2和y2的系数相同,不等于0. ②没有xy这样的二次项.
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定
了.
(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程
则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
设直线
l

a x?by?c?0
,圆
C

x
2
?y
2
? Dx?Ey?F?0
,圆的半径为
r
,圆心
(?
直线的距离为
d
,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1)当
d?r
时, 直线
l
与圆
C
相离;(2)当
d?r
时,直线
l< br>与圆
C
相切;
(3)当
d?r
时,直线
l
与圆
C
相交;
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系.
设两圆的连心线长为
l
,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1 )当
l?r
1
?r
2
时,圆
C
1
与圆C
2
相离;(2)当
l?r
1
?r
2
时,圆< br>C
1
与圆
C
2
外切;
(3)当
|r
1
?r
2
|?l?r
1
?r
2
时,圆
C
1
与圆
C
2
相交;
(4)当
l?|r
1
?r
2
|
时,圆
C
1
与圆
C
2< br>内切;(5)当
l?|r
1
?r
2
|
时,圆
C
1
与圆
C
2
内含;
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤:

DE
,?)

22


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第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题 转
化为代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.
4.3.1空间直角坐标系
1、点 M对应着唯一确定的有序实数组
(x,y,z)

x

y

z
分别是P、Q、R

x

y

z
轴上的坐标
2、有序实数组
(x,y,z)
,对应着空间直角坐标系中的一点 < br>3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组
(x,y,z)
来表示,该数组叫做点M 在此空间直角坐标系
中的坐标,记M
(x,y,z)

x
叫做点M的 横坐标,
y
叫做点M的纵坐
标,
z
叫做点M的竖坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点
P
1
(x< br>1
,y
1
,z
1
)
到点
P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
之间的距离公式
P
1
O
M
1
M
M
2
H
N
2
y
N
P
2
z
x
R
M
O
P
Q
M'
y
P
1
P
2
?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)< br>2
?(z
1
?z
2
)
2
高中数学 必修3知识点
第一章 算法初步
1.1.1 程序框图
1、程序框图基本概念:

x
N
1
(一)程序构图的概念 :程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直
观地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。
(二)构成程序框的图形符号及其作用
程序框

名称 功能


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起止框


输入、输出框



处理框
表示一个算法的起始和结束,是任何流程图不
可少的。
表示一个算法输入和输出的信息,可用在算法
中任何需要输入、输出的位置。
赋值、 计算,算法中处理数据需要的算式、公
式等分别写在不同的用以处理数据的处理框
内。

判断框

判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明
“是”或“Y”;不成立时标明“否”或“N”。
学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下:
1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外,大多数流程
图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类,
一 类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不
同的结 果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
(三)、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。
1、
顺序结构:在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而
下地连接起来,按顺序执行算法步骤。如在示意图中,A框和B
A
框是依次执行的,只有在执行完A框指定的操作后,才能接着执
行B框所指定的操作。
B
2、条件结构:条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立,只能执行A 框或B框之
一,不可能同时执行A框和B框,也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判 断框。
3、循环结构:循环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类:
(1)、一类是当型循环结构,如下左图所示 (2)、另一类是直到型循环结构,如下右图所示


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当型循环结构 直到型循环结构
注意:1循环结构要在某个条件下终止循环,这就需要条件结构来判断。因此,循环结 构中一定
包含条件结构,但不允许“死循环”。2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量 用于记
录循环次数,累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的,累加一次,计数一 次。
1.2.1 输入、输出语句和赋值语句
1、输入语句
(1)输入语句的一般格式
图形计算器
格式
A
P
不成立
A
P
成立
成立
不成立
INPUT“提示内容”;变量 INPUT “提示内容”,变量
(2)输入语句的作用是 实现算法的输入信息功能;(3)“提示内容”提示用户输入什么样的信息,变
量是指程序在运行时其值 是可以变化的量;(4)输入语句要求输入的值只能是具体的常数,不能是函
数、变量或表达式;(5) 提示内容与变量之间用分号“;”隔开,若输入多个变量,变量与变量之间用
逗号“,”隔开。
2、输出语句
(1)输出语句的一般格式
图形计算器
格式
PRINT“提示内容”;表达式

Disp “提示内容”,变量


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(2)输出语句的作用是实现算 法的输出结果功能;(3)“提示内容”提示用户输入什么样的信息,表
达式是指程序要输出的数据;( 4)输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。
3、赋值语句
(1)赋值语句的一般格式


(2)赋值语句的作用是将表达式所代表的 值赋给变量;(3)赋值语句中的“=”称作赋值号,与数学
中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两 边不能对换,它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左
边的变量;(4)赋值语句左边只能是变量名字 ,而不是表达式,右边表达式可以是一个数据、常量或
算式;(5)对于一个变量可以多次赋值。 注意:①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2=X是错误的。②赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。(如化简、因式
分解、解方程等)④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。
1.2.2条件语句
1、条件语句的一般格式有两种:(1)IF—THEN—ELSE语句;(2)IF—THEN语句。2、IF —THEN—ELSE
语句
IF—THEN—ELSE语句的一般格式为图1,对应的程序框图为图2。

图形计算器
变量=表达式
格式
表达式
?
变量
IF 条件 THEN


满足条件?

语句1
语句2
语句1

ELSE

语句2

图1 图2
3、IF—THEN语句
IF—THEN语句的一般格式为图3,对应的程序框图为图4。
IF 条件 THEN



满足条件?

语句
语句
(图3)
END IF
(图4)


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1.2.3循环语句
循环结构是由循环语句来 实现的。对应于程序框图中的两种循环结构,一般程序设计语言中也
有当型(WHILE型)和直到型( UNTIL型)两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。
1、WHILE语句
(1)WHILE语句的一般格式是 对应的程序框图是

循环体
WHILE 条件

满足条件?



循环体





因此,当型循环有时也称为“前测试型”循环。
2、UNTIL语句
(1)UNTIL语句的一般格式是 对应的程序框图是

DO

循环体
循环体
满足条件?



LOOP UNTIL 条件


1.3.1辗转相除法与更相减损术
1、辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:


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S
0
R
0
R
0
(1):用较大的数m除以较小的数n得到一个商
大公约数;若和一个余数;(2):若=0,则n为m,n的最
R
0
≠0,则用除数n除以余数
R
0
得到一个商
S
1
和一个余数
R
1;(3):若
R
1
=0,则
R
1

m,n的最 大公约数;若
直至
R
1
≠0,则用除数
R
0
除以余 数
R
1
得到一个商
S
2
和一个余数
R
2< br>;……依次计算
R
n
=0,此时所得到的
R
n?1
即 为所求的最大公约数。
求两个正数8251和6105的最大公因数。(分析:辗转相除→余数为零→得到结果)
解:8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0
则37为8251与6105的最大公因数。
2、更相减损术
(1):任意给出两 个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用2约简;若不是,执行第二步。(2):以
较大的数减去较小 的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所
得的数相等为止,则这 个数(等数)就是所求的最大公约数。
例:用更相减损术求98与63的最大公约数.
解:由于63不是偶数,把98和63以大数减小数,并展转相减
98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=14
14-7=7
所以,98和63的最大公约数等于7。
3、辗转相除法与更相减损术的区别:


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(1)都是求最大公约数的方法 ,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上
辗转相除法计算次数相对较少,特 别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
(2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结 果是以相除余数为0则得到,而更相减损术则以减数与
差相等而得到
1.3.2秦九韶算法与排序
1、秦九韶算法概念:
f(x)=a
nx+a
n-1
x+….+a
1
x+a
0
求值问题 f(x)=a
n
x+a
n-1
x+….+a
1
x+a< br>0
=( a
n
x+a
n-1
x+….+a
1
)x+a
0
=(( a
n
x+a
n-1
x+….+a
2
)x+ a
1
)x+a
0
=......=(...( a
n
x+ a
n-1
)x+a
n-2
)x+...+a
1
)x+a0

nn-1n-1n-2n-2n-3
nn-1

求多 项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即v
1
=a
n
x+a< br>n-1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v
2
=v
1
x+a
n-2
v
3
=v
2
x+a
n-3
......

v
n
=v
n-1
x+a
0
这样,把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。
2、两种排序方法:直接插入排序和冒泡排序
1.3.3进位制
1、概念:进位制 是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个
数称为基数,基数为 n,即可称n进位制,简称n进制。现在最常用的是十进制,通常使用10个阿拉
伯数字0-9进行记数 。对于任何一个数,我们可以用不同的进位制来表示。比如:十进数57,可以用
二进制表示为1110 01,也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39,它们所代表的数值都是一样
的。
一般地,若k是一个大于一的整数,那么以k为基数的k进制可以表示为:
a
na
n?1
...a
1
a
0(k)
(0?a
n< br>?k,0?a
n?1
,...,a
1
,a
0
?k)< br>,


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而表示各 种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001
(2)
表示二进制数,34
(5)
表示5进制数
第二章 统计
2.1.1简单随机抽样
1.总体和样本
在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体.
把每个研究对象叫做个体.
把总体中个体的总数叫做总体容量.
为了研究总体的有 关性质,一般从总体中随机抽取一部分:
研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.
, , ,
2.简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队 等,完全随机地抽取调
查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等),样本的每个单 位完全独立,彼此间
无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总 体单位之间差异
程度较小和数目较少时,才采用这种方法。
3.简单随机抽样常用的方法:
(1)抽签法;⑵随机数表法;⑶计算机模拟法;⑷使用统计软件直接抽取。
在简单随机 抽样的样本容量设计中,主要考虑:①总体变异情况;②允许误差范围;③概率
保证程度。
2.1.2系统抽样
1.系统抽样(等距抽样或机械抽样):
2.系统抽样,可以大大提高估计精度。
2.1.3分层抽样
1.分层抽样(类型抽样):抽样的方法抽取样本。


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2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
1、平均值:
x?x
1
?x
2
?
?
?x
n

n
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?
?
?(x
n
?x)
2
2、.样本标准差:
s? s?

n
2
1
s
2
?[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
??(x
n
?x)
2
]
n
方差:
3.(1)如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,标准差不变
(2)如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k,标准差变为原来的k倍
(3) 一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响,区间
(x?3s,x?3s)
的应用;“去掉一 个最高
分,去掉一个最低分”中的科学道理
2.3.2两个变量的线性相关
概念:(1)回归直线方程
nn
?
?
x
i
?x< br>??
y
i
?y
?
?
x
i
y
i
?nxy
?
?
?
b?
i?1
n
?
i?1
n
2
?
x?xx
i
2
?nx
2< br>??
??
i
?
i?1i?1
?
y?a?bx
,其中
?
a?y?bx

n(ad?bc)
2
K?
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
独立性检验(分类变量关系)
2
随机变量
K
越大,说明两个分类变量,关系越强;反之,越弱。
直线回归方程的应用
(1)描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系
(2)利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量x)代入回归方程对预报量(即因变量Y)进行
估计,即可得到个体Y值的容许区间。
(3)利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化,通 过控制x的范围来实现统计控制的目标。如已经

2


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得到了空气中NO
2
的浓度和汽车流量间的回归方程,即可通过控制汽车流 量来控制空气中NO
2
的浓度。
第三章 概 率
3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义
1、基本概念:
(1)必然事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件;
(2)不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件;
(3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件;
(4)随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件;
( 5)频数与频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A
出现 的次数nA为事件A出现的频数;称事件A出现的比例
n
A
fn(A)=
n< br>为事件A出现的概率:对于给定
的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn (A)稳定在某个常数上,把这个常数记
作P(A),称为事件A的概率。
n
A的比值
n
(6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数nA与试 验总次数n,
它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度 越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频 率在大
量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
3.1.3 概率的基本性质
1、基本概念:
(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件
(2)若A∩B为不可能事件,即A∩B=ф,那么称事件A与事件B互斥;
(3)若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件;
(4)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件A与B为对立事件,则A
∪B为必然事件,所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B)


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2、概率的基本性质:
1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1;
2)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);
3)若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有P(A)=1
—P(B);
4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互 斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,其
具体包括三种不同的情形:(1)事件A发生 且事件B不发生;(2)事件A不发生且事件B发生;(3)
事件A与事件B同时不发生,而对立事件是 指事件A 与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形;
(1)事件A发生B不发生;(2)事件B发 生事件A不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。
3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生
1、古典概型的解题步骤;
①求出总的基本事件数;
A包含的基本事件数
②求出事件A所包含的基本事件数,然后利用公式P(A)=
总的基本事件个数

3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生
1、基本概念:
(1)几何 概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,
则称这样的概率 模型为几何概率模型;
(2)几何概型的概率公式:
构成事件A的区域长度(面积或体积)
P(A)=
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

(1) 几 何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件
出现的可能 性相等.
高中数学 必修4知识点


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第一章 三角函数
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方 向旋转形成的角
?
零角:不作任何旋转形成的角
?

正弦、余弦、正切特殊角兑换值








0

30 45 60 90 120 180 270 360



sin
cos
tan
0
1
0
1
2

3
2

3
3


3
2

1
0

3
2

0
-1


-1
0
0
1
0

1
2

?
1
2


2、角
?
的顶点
与原点重合,
角的始边与
x
1
3

?3

0
轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称
?
为第几象限角.
第一象限角 的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??

??
第二象限角的集合为
?
k?360?90?k?360?180,k??

??
第三象限角的集合为
?
k?360?180?
?
?k? 360?270,k??

??
第四象限角的集合为
?
k?360? 270?
?
?k?360?360,k??

??
终边在
x
轴上的角的集合为
??
?k?180,k??


??


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终边在
y
轴上的角的集合为
??
?k?180?90,k??

??
终边在坐标轴上的角的集合为
??
?k?90,k??

??
3、与角
?
终边相同的角的集合为
??
?k?360?
?
,k??

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度.
5、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
,则 角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
??
l

r
6、弧度制与角度制的换算公式:
2
?
?360

1?< br>?
180

1?
?
?
180
?
?< br>?57.3

?
??
7、若扇形的圆心角为
?
?< br>?
为弧度制
?
,半径为
r
,弧长为
l
,周长 为
C
,面积为
S
,则
l?r
?

11C?2r?l

S?lr?
?
r
2

22< br>8、设
?
是一个任意大小的角,
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
,它与原点的距离是
rr?x
2?y
2
?0
,则
sin
?
?
?
?yxy

cos
?
?

tan
?
?< br>?
x?0
?

rrx
y
P
T
OM
A
x
9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,
第三象限正切为正,第四象限余弦为正.
10、三角函数线:
sin
????

cos
?
???

tan
?
???

11、三角函数的基本关系
?
1
?
sin2
?
?cos
2
?
?1
?
2
?
sin
?
?tan
?
cos
?
?
sin
2
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1 ?sin
2
?
?

sin
?
??
sin< br>?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??

tan
?
??
12、函数的诱导公式:
?1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?

cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?

tan
?
2k
?
??
?
?tan
?
?
k??
?

?< br>2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?

cos
?
?
?
?
?
??co s
?

tan
?
?
?
?
?
?ta n
?


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3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?

cos
?
?
?
?
?cos
?

tan
?
?
?
?
??tan
?

?
4
?
sin
?
?
?
?
?< br>?sin
?

cos
?
?
?
?
?< br>??cos
?

tan
?
?
?
?
?
??tan
?

口诀:函数名称不变,符号看象限.

?
5
?
sin
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
,< br>cos
?
?
?
?
?sin
?

?< br>6
?
sin
?
?
?
?
?cos
?< br>,
cos
?
?
?
?
??sin
?

?
2
??
2
??
2
??
2
??
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.
13、①的图象上所有点向左(右)平移
?
个单位长度,得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的 横坐标伸长(缩短)到原来的
1
?
倍(纵坐标不变),得到函数
y?sin< br>?
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
,得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象.
?
倍(横坐标不变)
②数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长 (缩短)到原来的
1
?
倍(纵坐标不变),得到函数
?
y?sin
?
x
的图象;再将函数
y?sin
?
x
的图象上所 有点向左(右)平移个单位长度,得到函数
?
y?sin
?
?
x?< br>?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
,得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象.
?
倍(横坐标不 变)
14、函数
y??sin
?
?
x?
?
????0,
?
?0
?
的性质:①振幅:
?
;②周期:??
2
?
?
;③频率:
f?
1
?
;④ 相位:
?
x?
?
;⑤初相:
?

?
?2
?
函数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
,当
x?x
1
时,取得最小值为
y
min
;当
x?x
2
时,取得最大值为
y
max

??


11?
?
y
max
?y
mi n
?

??
?
y
max
?y
min
?

?x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
?

222


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15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:





y?sinx

y?cosx

y?tanx

图象

定义域
R

R

?
?
?
?
xx?k
?
?,k ??
?

2
??
R

值域
?
?1,1
?


x?2k
?
?
?
?1,1
?


x?2k
?
?
k??
?
时,
?
2
?
k??
?
时,
?
2
最值
y
max
?1
;当
x?2k
?
?

y
max
?1
;当
x?2k
?
?
?

既无最大值也无最小值
?
k??
?
时,
y
min
??1

周期性
奇偶性
?
k??
?
时,
y
min
??1

2
?

偶函数
2
?

奇函数
?

奇函数

?
2k
?
?
?< br>?
?
2
,2k
?
?
?
?
2
?
?


?
2k
?
?
?
,2k< br>?
?
?
k??
?
上是
增函数;在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

?
k??
?
上是增函数;在
单调性

?
k
?
?
?
?
?
2
,k
?
??
?
?

2
?
?
3
?
??< br>2k
?
?,2k
?
?

??
22
??
?
k??
?
上是减函数.
?
k??
?
上是增函数.
?
k??
?
上是减函数.


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对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

对称性
对称轴
x?k
?
?
对称中心
?
k
?
?
?
?
?
?
2
?
,0
?
?
k??
?

?
k
?
?
,0
?
?
k??
?
对称中心
?
2
?
2
??
无对称轴
?
k??
?

对称轴
x?k
?
?
k??
?

第二章 平面向量
16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为
0
的向量.
单位向量:长度等于
1
个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
⑶三角形不等式:
a?b?a?b?a?b

⑷运算性质:①交换律:
a?b?b?a

②结合律:
a?b?c?a?b?c
;③
a?0?0?a?a

????
C

a

b
?

⑸坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

18、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设
a?< br>?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?


?

?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y1
?

?
x
2
,y
2
?
,则
???
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

19、向量数乘运算:
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作
?
a


?

a?b??C?????C


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?
a?
?
a

②当
??0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同;当
?< br>?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反;当
?
?0
时,
?
a?0

⑵运算律:①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
;②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a< br>;③
?
a?b?
?
a?
?
b

⑶ 坐标运算:设
a?
?
x,y
?
,则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y< br>?

??
20、向量共线定理:向量
aa?0

b
共线,当且仅当有唯一一个实数
?
,使
b?
?
a


a?
?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2
,y
2
?
,其中
b?0,则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1< br>?0
时,向量
a

bb?0
共线.
??
? ?
21、平面向量基本定理:如果
e
1

e
2
是同 一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向

a
,有且只有一对实数< br>?
1

?
2
,使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
.(不共线的向量
e1

e
2
作为这一平面内所有向
量的一组基底)
22 、分点坐标公式:设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点 ,
?
1

?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?

?
x
2
,y
2?
,当
?
x?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
,
时,就为中点公式。)
(当
?
?1

?
1
??
?
??
2
时,点
?
的坐标是
?
1
?

1?
?
??
1?
?
23、平面向量的数量积:

a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
.零向量与任一向量的数量积为
0

??
⑵性质:设
a

b
都是非零向量,则①
a?b?a?b?0
.②当
a

b
同向时,
a?b ?ab
;当
a

b
反向时,
a?b??ab
a?a?a
2
?a

a?a?a
.③
a?b?ab
⑶运算律:①
a?b?b?a
;②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
;③
a?b?c?a ?c?b?c

2
????
??
⑷坐标运算:设两个非零向量a?
?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2


a?
?
x,y
?
,则
a?x
2
?y
2
,或
a?
2
x
2
?y
2
. 设
a?
?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2< br>,y
2
?
,则


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a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0


a

b
都是非零向量,
a?< br>?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2
,y
2
?

?

a

b
的夹角,则
cos
?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2< br>1
2
1
x?y
2
2
2
2

第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

c os
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin?
sin
?


sin
?
?
??
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?


tan
?
?
?
?
?
?
ta n
?
?tan
?

?

tan
?< br>?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
);
1?tan
?tan
?
tan
?
?tan
?

?

tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?< br>?
??
1?tan
?
tan
?
?
). 1?tan
?
tan
?

tan
?
?
?
?
?
?
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

si n2
?
?2sin
?
cos
?

?1?sin2< br>?
?sin
?
?cos
?
?2sin
?
co s
?
?(sin
?
?cos
?
)

222

cos2
?
?cos
2
?
?sin
2< br>?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?

?
2
,1?cos
?
?2sin
2
?
升幂 公式
1?cos
?
?2cos
2
?
降幂公式
cos
2
?
?
26、
万能公式:



?
2

cos2
?
?11?cos2
?

sin
2
?
?

22
αα
1?tan
2
2
;cosα?
2
sinα?
αα
1?tan
2
1?tan
2< br>22
2tan


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tan2
?
?
27、
半角公式:
α1?cosαα1?cosα
;sin??

cos??
2222
2tan
?

1?tan
2
?

tan
α1?cosαsinα1?co sα
????
21?cosα1?cosαsinα


?
(后两个不用判断符号,更加好用)

28、合一变形
?
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的
y?Asin(
?
x?
?
)?B
形式。
?sin< br>?
??cos
?
??
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
,其中
tan
?
?
?

?
29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要 学会创设条件,灵活运用
三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: < br>(1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之
间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解
(2) 函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,
通常化切 为弦,变异名为同名。
(3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角 函数值,例如常数“1”
的代换变形有:

1?sin
2
?
?cos
2
?
?tan
?
cot
?
?s in90
o
?tan45
o

sin
?
22
同角三角函数的基本关系式
sin
?< br>?cos
?
?1

tan
?
=
cos
?
.
诱导公式 (概括为
“奇变偶不变,符号看象限”
k?Z


?

2k
?
?
?

sin
?
?

?
?
?

?
?
?

?
?
?
2
?

2
?
?

?

cos

sin
?

cos
?

?sin
?

?sin
?

cos
?

sin
?

cos
?

cos
?

?cos
?

?cos
?

sin
?

?sin
?


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?

tan
?



tan
?

?tan
?

tan
?

?tan
?


函数名不变
符号看象限
函数名改变
符号看象限
?
(?
?
)?sin
?
cos
?
?co
?
ssin
?
; 和角与差角公式
sin
tan(
?
?
?
)?tan
?
?tan
?
1tan
?
tan
?
cos
?
(?
?
)?co
?
scos
?
?sin
?
sin
?

2
?
?2sin
?
co
?
s
. 二倍角公式
sin
tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?
.
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2s in
2
?
.
cos
2
?
?
降幂公式:

1?cos2
?
1?cos2
?
;sin
2
?
?.
22

高中数学 必修5知识点
第一章 解三角形
(一)解三角形:
1、正弦定理:在
???C
中,
a< br>、
b

c
分别为角
?

?

C
的对边,,则有
a
?
b
?
c
?2R

sin?sin?sinC
(
R

???C
的外接圆的半径 )
2、正弦定理的变形公式:①
a?2Rsin?

b?2Rsin?
c?2RsinC


sin??
ab

sin??

sinC?
c
;③
a:b:c?sin?:sin?: sinC

2R2R
2R
3、三角形面积公式:
S
??? C
?
1
bcsin??
1
absinC?
1
acs in?
222

222222222
4、余弦定理:
a?b?c?2 bccosA
;
b?c?a?2cacosB
;
c?a?b?2abcosC
.
222
222

???C
中,有
a?b?c? 2bccos?
,推论:
cos??
b?c?a
2bc

5、三角形内角和定理
在△ABC中,有
A?B?C?
?
?C ?
?
?(A?B)



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第二章 数列
等差数列与等比数列对比小结:
等差数列 等比数列
a
n
?q(n?2)

a
n?1
一、定义
a
n
?a
n?1
?d(n?2)

1.
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d

1.
a
n
?a
1
q
n?1

二、公式
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d,
?
n?m
?

a
n
?a
m
q
n?m
,(n?m)

?
na
1
?
q?1
?

?
Sn
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a ?aq
n
?
1
?
q?1
?
?
1?q
?
1?q
2
2.
S
n
?
n
?
n ?1
?
n
?
a
1
?a
n
?
?na
1
?d

2
2
2.
1.
a,b,c成等差?2b?a?c


b

a

c
的等差中项
三、性质
1.
a,b,c成等比?b?ac


b

a

c
的等比中项
*
q??
)2.若
m?n?p?q

m
、, 2.若
m?n?p?q

m
、,
n

p

n

p

q??
*


a
m
?a
n
?a
p
?a
q

a
m
?a
n
?a
p
?a
q
< br>3.
S
n

S
2n
?S
n

S
3n
?S
2n
成等差数列 3.
S
n

S
2n
?S
n

S
3n
?S
2n
成等比数列

1、数列的通项公式与前n项的和的关系
?
S
1
(n?1)
{a}
a
n
?
?
( 数列
n
的前n项的和为< br>S
n
?a
1
?a
2
???a
n
).
?
S
n
?S
n?1
(n?2)
2、等差数列 ⑴ 通项公式:
a
n
?a
1
?(n?1)d

a
1
为首项,
d
为公差.
⑵前
n
项和公式:
S< br>n
?
n(a
1
?a
n
)
1

S
n
?na
1
?n(n?1)d
.
22

3、等差中项 如果
a,A,b
成等差数列,那么
A
叫做
a

b
的等差中项.
即:
A

a
与< br>b
的等差中项
?
2A?a?b
?
a

A
b
成等差数列.
4、等差数列的常用性质
(1)
a
n
?a
m
?(n?m)d
; (2)若< br>m?n?p?q(m,n,p,q?N
?
)
,则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q


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(3)若等差数列
?< br>a
n
?
的前
n
项和
S
n
,则
S
k

S
2k
?S
k

S
3k
?S
2k
… 是等差数列.
(4)当项数为
2n
,则< br>S

?S

?nd,
5、等比数列
n?1
⑴通项公式:
a
n
?a
1
q

a
1
为首项,
q
为公比 .
S

a
n?1
S

n?1
2n?1
;当项数为,则.
?S

?S

?a
n
,?
S

a
n
S
奇< br>n
a
1
(1?q
n
)
a
1
?an
q
?
⑵前
n
项和公式:①当
q?1
时,S
n
?na
1
②当
q?1
时,
S
n< br>?
.

1?q1?q
6、等比中项 如果
a,G, b
成等比数列,那么
G
叫做
a

b
的等比中项.
即:
G

a

b
的等比中项
?
G
2
?a?b
?
a

A

b
成等比 数列.
7、等比数列的常用性质
n?m
(1)
a
n
?a
m
?q(n,m?N
?
)

(2)若
m?n ?p?q(m,n,p,q?N
?
)
,则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

(3)若等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
,则
S< br>k

S
2k
?S
k

S
3k
?S
2k
… 是等比数列.
8、数列的求和
(1)1?2?3???n?
常见数列的求和公式:
n(n?1)
2

n(n?1)(2n?1)
6
.
(2)1?3?5???(2n?1)?n

2
(3)1
2?2
2
?3
2
???n
2
?
第三章 不等式
1、
a?b?0?a?b

a?b?0?a?b

a?b? 0?a?b

2、不等式的性质: ①
a?b?b?a
; ②
a?b,b?c?a?c
; ③
a?b?a?c?b?c

④< br>a?b,c?0?ac?bc

a?b,c?0?ac?bc
;⑤
a? b,c?d?a?c?b?d


a?b?0,c?d?0?ac?bd
; ⑦
a?b?0?a?b

a?b?0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?

小结:代数式的大小比较或证明通常用作差比较法:作差、化积(商)、判断、结论。
在字母比较的选择或填空题中,常采用特值法验证。
两类主要的目标函数的几何意义:
①< br>z?ax?by
-----直线的截距;②
z?(x?a)?(y?b)
--- --两点的距离或圆的半径;

22
nn
?
n??,n?1
?


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4、均值定理: 若
a ?0

b?0
,则
a?b?2ab
,即
2
a?b< br>a?b
??

?ab
ab?
?
a?0,b?0
?

?
?
2
?
2
?
a?b
称为正数
a

b
的算术平均数,
ab
称为正数
a

b
的几何平均 数.
2
5、均值定理的应用:设
x

y
都为正数,则有
s
2
⑴若
x?y?s
(和为定值),则当
x?y
时 ,积
xy
取得最大值.
4
⑵若
xy?p
(积为定值),则 当
x?y
时,和
x?y
取得最小值
2p

注意:在应用的时候,必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。

《2012年高考数学总复习系列》高中数学选修修1-1知识点
第一章:命题与逻辑结构
知识点:
1、真命题:判断为真的语句.
假命题:判断为假的语句.
2、“若
p
,则
q
”形式的命 题中的
p
称为命题的条件,
q
称为命题的结论.
3、对于两个命题 ,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,则这两个命题称为互
逆命题.其中一个命 题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题.
若原命题为“若
p
,则
q”,它的逆命题为“若
q
,则
p
”.
4、对于两个命题,如果 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,则这两
个命题称为互否命题.中一 个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题.
若原命题为“若
p
,则
q
”,则它的否命题为“若
?p
,则
?q
”.
5、对于两个 命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,则这两
个命题称为互为 逆否命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命题.
若原命题为“若
p,则
q
”,则它的逆否命题为“若
?q
,则
?p
”.
6、四种命题的真假性:
原命题




逆命题



否命题



逆否命题



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假 假 假 假
四种命题的真假性之间的关系:
?
1
?
两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
?
2
?
两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
7、若
p?q
,则
p

q
的充分条件,
q

p
的必要条件.

p?q
,则
p

q
的充要条件(充分必要条件).
8、用联结词“且”把命题
p
和命题
q
联结起来,得到一个新命题,记作
p?q


p
、< br>q
都是真命题时,
p?q
是真命题;当
p

q
两个命题中有一个命题是假命题时,
p?q
是假命
题.
用联结词“或”把 命题
p
和命题
q
联结起来,得到一个新命题,记作
p?q


p

q
两个命题中有一个命题是真命题时,
p?q
是真命题;当
p

q
两个命题都是假命题时,
p?q
是假 命题.
对一个命题
p
全盘否定,得到一个新命题,记作
?p
. < br>若
p
是真命题,则
?p
必是假命题;若
p
是假命题, 则
?p
必是真命题.
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“
?
”表示.
含有全称量词的命题称为全称命题.
全称命题“对
?
中任意一个
x
,有
p
?
x
?
成立”,记作“
?x??

p
?
x
?
”.
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“
?
”表示.
含有存在量词的命题称为特称命题.
特称命题“存在
?
中的一个
x
,使
p
?
x
?
成立”,记作“
?x??

p
?
x
?
”.
10、全称命题
p
?x??

p
?
x
?
,它的否定
?p

?x??

?p
?
x
?
.全称命题的否定
是特称命题.
第二章:圆锥曲线
知识点:
1、平面内与两个定点
F
1

F
2的距离之和等于常数(大于
F
1
F
2
)的点的轨迹称为椭圆.这 两个定
点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距.
2、椭圆的几何性质:
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上


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图形


标准方程
x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
范围
?a?x?a

?b?y?b

?b?x?b

?a?y?a

?
1
?
? a,0
?

?
2
?
a,0
?

顶点
?
1
?
0,?a
?

?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?

?
2
?
b,0
?

?
1
?
0,?b
?

?
2
?
0,b
?

轴长
焦点
短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1
?
?c,0
?
、< br>F
2
?
c,0
?

F
1
?
0,?c
?

F
2
?
0,c
?

焦距
对称性
F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴、原点对称
离心率
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?

aa
a
2
x??

c
a
2
y??

c
准线方程
3、设?
是椭圆上任一点,点
?

F
1
对应准线的距离为d
1
,点
?

F
2
对应准线的距离为
d
2
,则
?F
1
?F
2
??e

d
1
d
2
4、平面内与两个定点
F
1

F
2
的距离之差的绝对值等于常数(小于
F
的点的轨迹称为双曲线.这
1
F
2

两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距.


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5、双曲线的几何性质:
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形


标准方程
x
2
y
2
??1
?
a?0,b?0
?
a
2
b
2
y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
范围
x??a

x?a

y?R

y??a

y?a

x?R

顶点
轴长
焦点
?
1
?
?a,0
?

?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?a
?

?
2
?
0,a
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1< br>?
?c,0
?

F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?

F
2
?
0,c
?

焦距
对称性
F
1
F< br>2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2?

关于
x
轴、
y
轴对称,关于原点中心对称
离心率
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
a
2
x??

c
y??
b
x

a
准线方程
a
2
y??

c
y??
a
x

b
渐近线方程
6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.
7、设?
是双曲线上任一点,点
?

F
1
对应准线的距离为< br>d
1
,点
?

F
2
对应准线的距离为
d
2
,则
?F
1
?F
2
??e

d
1
d
2


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8、平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点 的轨迹称为抛物线.定点
F
称为抛物线的焦
点,定直线
l
称为抛物线 的准线.
9、抛物线的几何性质:
y
2
?2px

标准方程
y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

?
p?0
?

图形

顶点
?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?




?
0,0
?

x
轴 对称轴
y

焦点
?
p
?
F
?
,0
?
?
2
?
?
p
?
F
?
?,0
?

?
2
?
p
??
F
?
0,
?

2
??
p
??
F
?
0,?
?

2
??
准线方程
x??
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
离心率
e?1

范围
x?0

x?0

y?0

y?0

10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、< br>?
两点的线段
??
,称为抛物线的“通径”,即
???2p

第三章:导数及其应用
知识点:
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?1、若某个问题中的函数关系用
f
?
x
?
表示,问题中的变化率 用式子
x
2
?x
1


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?
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
?f
表示,则式子称为函数
f
?
x
?

x
1

x
2
的平均变化率.
?x< br>x
2
?x
1
f
?
x
2
?
? f
?
x
1
?
?f
2、函数
f
?
x
?

x?x
0
处的瞬时变化率是
lim
,则称它为 函数
y?f
?
x
?

?lim
?x?0?x?0< br>?xx
2
?x
1
x?x
0
处的导数,记作
f
?
?
x
0
?

y
?
x?x
,即
0
f
?
?
x
0
?
?lim
?x?0
f
?
x
0
??x
?
?f
?x
0
?

?x
3、函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
处的导数的几何意义是曲线
y?f
?< br>x
?
在点
?x
0
,f
?
x
0
?
处的切线的斜率.曲
线
y?f
?
x
?
在点?x
0
,f
?
x
0
?
??
??
处的切线的斜率是
f
?
?
x
0
?
,切线的方程为
若函数在
x
0
处的导数不存在,则说明斜率不存在,切线的方程为
x ?x
0

y?f
?
x
0
?
?f
?
?
x
0
??
x?x
0
?

4、 若当
x
变化时,
f
?
?
x
?

x
的函数,则称它为
f
?
x
?
的导函数(导数),记作
f
?
?
x
?

y
?
,即
f?
?
x
?
?y
?
?lim
?x?0
f
?
x??x
?
?f
?
x
?

?x
5、基本初等函数的导数公式:
?
1
?

f
?
x
?
?c
,则
f
?
?
x
?
?0

?
2
?

f
?
x?
?x
n
?
x?Q
*
?
,则
f
?
?
x
?
?nx
n?1

?
3
?

f
?
x
?
?sinx
,则
f
?
?
x
?
?cosx

?
4
?

f
?
x
?
?cosx
,则
f
?
?
x
?
??sinx

?
5
?

f
?
x
?
?a
x
,则
f
?
?< br>x
?
?a
x
lna

?
6
?

f
?
x
?
?e
x
,则
f
?< br>?
x
?
?e
x

?
7
?

f
?
x
?
?log
a
x
,则
f
?
?
x
?
?
6、导数运算法则:
11

?
8
?

f
?
x
?
?lnx,则
f
?
?
x
?
?

xlnax< br>?
?f
?
?
x
?
?g
?
?
x
?

fx?gx
?
????
?
1
?

?
??
?
?
2
?

?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?f
?
?
x
?
g
?
x
?
?f< br>?
x
?
g
?
?
x
?


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?
f
?
x
?
?
?
f
?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?x
?
g
?
x
?
?0
?

?
3
?
?
?
?
?
2
?
?
g
?
x
?
?
?
g
?
x
?
?
?
7、对于两个函数
y?f
?
u
?

u? g
?
x
?
,若通过变量
u

y
可以表示成
x
的函数,则称这个函数为函

y?f
?
u
?
u?f
?
x
?
的复合函数,记作
y?fg
?
x
?

复合函数
y?fg
?
x
?
的导数与函数
y?f
?
u
?

u?g
?
x
?
的导数间的关系是
??
??
??
y
?
x
?y
u
?u
x

8、在某个区间
?
a,b
?
内,若
f
?
?
x
?
?0
,则函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调递增;若
f
?
?
x
?
?0
,则
函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调递减.
9、点
a
称为函数
y?f
?
x
?
的极小值点,
f
?
a
?
称 为函数
y?f
?
x
?
的极小值;点
b
称为函数y?f
?
x
?
的极大值点,
f
?
b
?
称为函数
y?f
?
x
?
的极大值.极小值点、极大值点统称 为极值点,极大值和极小
值统称为极值.
10、求函数
y?f
?
x
?
的极值的方法是:解方程
f
?
?
x
?
? 0
.当
f
?
?
x
0
?
?0
时:
?
1
?
如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
,右侧
f
?
?
x< br>?
?0
,那么
f
?
x
0
?
是极大值 ;
?
2
?
如果在
x
0
附近的左侧
f?
?
x
?
?0
,右侧
f
?
?
x
?
?0
,那么
f
?
x
0
?
是极 小值.
11、求函数
y?f
?
x
?

?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤是:
?
1
?
求函数< br>y?f
?
x
?

?
a,b
?
内的极 值;
?
2
?
将函数
y?f
?
x
?
的各极值与端点处的函数值
f
?
a
?

f
?b
?
比较,其中最大的一个是最大值,最
小的一个是最小值.
高中数学选修1-2知识点总结
第一章统计案例


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第一课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用(一)
教学要求:通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.
教学重 点:了解线性回归模型与函数模型的差异,了解判断刻画模型拟合效果的方法-相关指数和残
差分析.
教学难点:解释残差变量的含义,了解偏差平方和分解的思想.
教学过程:
一、复习准备:
1. 提问:“名师出高徒”这句彦语的意思是什么?有名气的老师就一定能 教出厉害的学生吗?这两者
之间是否有关?
2. 复习:函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系
的两 个变量进行统计分析的一种常用方法,其步骤:收集数据
?
作散点图
?
求回归 直线方程
?
利用
方程进行预报.
二、讲授新课:
1. 教学例题:
① 例1 从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如下表所示:
编 号
身高cm
1
165
2
165
57
3
157
50
4
170
54
5
175
64
6
165
61
7
155
43
8
170
59 体重kg 48
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.
(分析思路
?
教师演示
?
学生整理)


80



k
g
60
40
20
0
15
身高cm
170175180



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第一步:作散点图 第二步:求回归方程 第三步:代值计算

② 提问:身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗?
不一定,但一般可以认为她的体重在60.316kg左右.
③ 解释线性回归模型与一次函数的不同
事实上,观察上述散点图,我们可以发现女大学生的体重
y
和身高
x
之间的关系并不能用一次函数
(因为所有的样本点不共线,所以线 性模型只能近似地刻画身高和体重的关系).
y?bx?a
来严格刻画
在数据表中身 高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg,如果能用一次函数来描述
体重与身高的关系,那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影
响还受其他因素的影响,把这种影响的结果
e
(即残差变量或随机变量)引入到线性函数模型 中,得
到线性回归模型
y?bx?a?e
,其中残差变量
e
中包含体 重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当
残差变量恒等于0时,线性回归模型就变成一次函数模型. 因此,一次函数模型是线性回归模型的特
殊形式,线性回归模型是一次函数模型的一般形式.
2. 相关系数:相关系数的绝对值越接近于1,两个变量的线性相关关系越强,它们的散点图越接近一
条直线,这时用线性回归模型拟合这组数据就越好,此时建立的线性回归模型是有意义.
3. 小结:求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.
第二课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用(二)
教学要求:通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.
教学重点:了解评价回归效果的三个统计量:总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.
教学难点:了解评价回归效果的三个统计量:总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.
教学过程:
一、复习准备:
1.由例1知,预报变量(体重)的值受解释变量(身高)或随机误差的影响.
2.为了刻 画预报变量(体重)的变化在多大程度上与解释变量(身高)有关?在多大程度上与随机误


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差有关?我们引入了评价回归效果的三个统计量:总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.
二、讲授新课:
1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和:
(1)总偏 差平方和:所有单个样本值与样本均值差的平方和,即
SST?
?
(y
i?y)
2
.
i?1
n
n
残差平方和:回归值与样本值 差的平方和,即
SSE?
?
(y
i
?y
i
)
2
.
i?1
回归平方和:相应回归值与样本均值差的平方和,即
SSR?
?
(y
i
?y)
2
.
i?1
n
(2)学习要领:①注意
y
i

y
i

y
的区别;②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化
程度与残差变量的变化程度之和,即< br>?
(y
i
?y)?
?
(y
i
?y
i
)?
?
(y
i
?y)
2
;③当总偏差平方和相对< br>22
i?1i?1i?1
nnn
固定时,残差平方和越小,则回归平方和越大, 此时模型的拟合效果越好;④对于多个不同的模型,
我们还可以引入相关指数
R
2?1?
?
(y
i?1
n
i?1
n
i
? y
i
)
2
来刻画回归的效果,它表示解释变量对预报变量变化的
?< br>(y
i
?y)
2
贡献率.
R
2
的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型拟合的效果越好.
2. 教学例题:
例2 关于
x

Y
有如下数据:

x


y

2
30
4
40
5
60
6
50
8
70
为了对
x

Y
两个变量进行统计分析,现有以下 两种线性模型:
y?6.5x?17.5

y?7x?17
,试
比较 哪一个模型拟合的效果更好.
分析:既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方 和,也可分别求出两种模型
下的相关指数,然后再进行比较,从而得出结论.
(答案:
R
1
2
?1?
?
(y
i
?y
i
)
2
?
(y
i?1
i?1
5
i
5
?1?
?y)
2
155
?0.845
1000

R
2
2
?1?
?
(y
i?1
5
i?1
5
i
?y
i
)
2
?1?
?y)
2
?
(y
180
?0.82
,84.5%>82%,所以甲选用的模
1000
i


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型拟合效果较好.)
3. 小结:分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和,初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的
好坏.
第三课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用(三)
教学要求:通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.
教学重 点:通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型,了解在解决实际
问题的过程 中寻找更好的模型的方法.
教学难点:了解常用函数的图象特点,选择不同的模型建模,并通过比较相 关指数对不同的模型进行
比较.
教学过程:
一、复习准备:
1. 给出 例3:一只红铃虫的产卵数
y
和温度
x
有关,现收集了7组观测数据列于下表 中,试建立
y

x
之间的回归方程.
温度
xC

21 23
11
25
21
27
24
29
66
32
115
35
325
产卵数
y

7
(学生描述步骤,教师演示)
2. 讨论:观察右图中的散点图,发现样本点并没有分布



在 某个带状区域内,即两个变量不呈线性相关关系,所
以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关
系.
二、讲授新课:
1. 探究非线性回归方程的确定:
350300
250
200
150
100
50
0
01 020
温度
3040
① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域,可以选线性回 归模型来建模;如果散点图中的点分
布在一个曲线状带形区域,就需选择非线性回归模型来建模.
② 根据已有的函数知识,可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线
y
=
C
1
e
C
2
x
的周围(其中
c
1
, c
2

待定的参数),故可用指数函数模型来拟合这两个变量.


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③ 在上式两边取对数,得lny?c
2
x?lnc
1
,再令
z?lny


z?c
2
x?lnc
1
,而
z

x< br>间的关系如下:
7
6
5
4
3
2
1
0
01020
x
3040
X
z
21 23 25 27 29 32 35
1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784
观察
z

x
的散点图,可以发现变换后样本点分布在一条直



线的附近,因此可以用线性回归方程来拟合.
④ 利用计算 器算得
a??3.843,b?0.272

z

x
间的线 性回归方程为
z?0.272x?3.843
,因此红铃虫
的产卵数对温度的非线性回 归方程为
y?e
0.272x?3.843
.
⑤ 利用回归方程探究非线性 回归问题,可按“作散点图
?
建模
?
确定方程”这三个步骤进行.
其关键在于如何通过适当的变换,将非线性回归问题转化成线性回归问题.
2. 小结:用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤.
三、巩固练习:
为了研究某种细菌随时间
x
变化,繁殖的个数,收集数据如下:
天数
x
天 1 2
12
3
25
4
49
5
95
6
190 繁殖个数
y
个 6

(1)用天数作解释变量,繁殖个数作预报变量,作出这些数据的散点图;
?
=e
0.69x?1.112
.) (2)试求出预报变量对解释变量的回归方程.(答案:所求非线性回归方程为
y
第四课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用(四)
教学要求:通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.

z


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教学重点:通过探究 使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型,了解在解决实际
问题的过程中寻找更好的 模型的方法,了解可用残差分析的方法,比较两种模型的拟合效果.
教学难点:了解常用函数的图象特 点,选择不同的模型建模,并通过比较相关指数对不同的模型进行
比较.
教学过程:
一、复习准备:
1. 提问:在例3中,观察散点图,我们选择用指数函数模型来拟合红铃虫 的产卵数
y
和温度
x
间的关
系,还可用其它函数模型来拟合吗?

400
300
200
100
0
0500
t
10001500



y
t
441
y

7
529 625
11 21
729 841 1024 1225
24 66 115 325


2. 讨论:能用 二次函数模型
y?c
3
x
2
?c
4
来拟合上述两个 变量间的关系吗?(令
t?x
2
,则
y?c
3
t?c
4

此时
y

t
间的关系如下:
观察
y

t
的散点图,可以发现样本点并不分布在一条直线的周围,因此不宜用线性回归方 程来拟合它,
即不宜用二次曲线
y?c
3
x
2
?c
4
来拟合
y

x
之间的关系. )小结:也就是说,我们可以通过观察变换
后的散点图来判断能否用此种模型来拟合. 事实上,除了观察散点图以外,我们也可先求出函数模型,
然后利用残差分析的方法来比较模型的好坏.
二、讲授新课:
1. 教学残差分析:
① 残差:样本值与回归值的差叫残差,即
e
i
?y
i
?y
i
.
② 残差分析:通 过残差来判断模型拟合的效果,判断原始数据中是否存在可疑数据,这方面的分析工
作称为残差分析.


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③ 残差图:以残差 为横坐标,以样本编号,或身高数据,或体重估计值等为横坐标,作出的图形称为
残差图. 观察残差图 ,如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适,这
样的带状区域的宽度越窄 ,模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高.
2. 例3中的残差分析:
计算两种模型下的残差

一般情况下,比较两个模型的残差比较困难(某些样本点上 一个模型的残差的绝对值比另一个模
型的小,而另一些样本点的情况则相反),故通过比较两个模型的残 差的平方和的大小来判断模型的拟
合效果. 残差平方和越小的模型,拟合的效果越好.
由于两种模型下的残差平方和分别为1450.673和15448.432,故选用指数函数模型的拟合效果远
远优于选用二次函数模型. (当然,还可用相关指数刻画回归效果)
3. 小结:残差分析的步骤、作用
三、巩固练习:练习:教材P13 第1题

第一课时 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用(一)
教学要求:通过探究“吸烟 是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题,并借助样本数据的列联表、
柱形图和条形图展示在吸烟者 中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高,让学生亲身体验独立性
检验的实施步骤与必要性.
教学重点:理解独立性检验的基本思想及实施步骤.
教学难点:了解独立性检验的基本思想、了解随机变量
K
2
的含义.
教学过程:
一、复习准备:
回归分析的方法、步骤,刻画模型拟合效果的方法(相关指数、残差分析)、步骤.
二、讲授新课:


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1. 教学与列联表相关的概念:
① 分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量. 分类变量的取值一定
是离 散的,而且不同的取值仅表示个体所属的类别,如性别变量,只取男、女两个值,商品的等级变
量只取一 级、二级、三级,等等. 分类变量的取值有时可用数字来表示,但这时的数字除了分类以外
没有其他的含义. 如用“0”表示“男”,用“1”表示“女”.
② 列联表:分类变量的汇总统计表(频数表). 一般我们只
研究每个分类变量只取两个值,这样的列联表称为
2?2
. 如
吸烟与患肺癌的列联表:
2. 教学三维柱形图和二维条形图的概念:
由列联表 可以粗略估计出吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性
存在差异.(教师在课堂上用EXCEL软件演示三维 柱形图和二
维条形图,引导学生观察这两类图形的特征,并分析由图形得出的结论)
3. 独立性检验的基本思想:
① 独立性检验的必要性(为什么中能只凭列联表的数据和图形下结论?): 列联表中的数据是样本数
据,它只是总体的代表,具有随机性,故需要用列联表检验的方法确认所得结论 在多大程度上适用于
总体.
② 独立性检验的步骤(略)及原理(与反证法类似):
反证法
要证明结论A
假设检验
备择假设H
1

不吸烟
吸 烟
总 计
7775
2099
9874
42
49
91
7817
2148
9965
不患肺癌 患肺癌 总计
在A不成立的前提下进行推理
在H
1
不成立的条件下,即H
0
成立的条件下进行推理
推出矛盾,意味着结论A成立 推出有利于H
1
成立的小概率事件(概率不超过
?
的事件)发
生,意味着H
1
成立的可能性(可能性为(1-
?< br>))很大
没有找到矛盾,不能对A下任
何结论,即反证法不成功
③ 上例的解决步骤
第一步:提出假设检验问题 H
0
:吸烟与患肺癌没有关系
?
H
1
:吸烟与患肺癌有关系
推出有利于H
1
成立的小概率事件不发生,接受原假设


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n(ad?bc)
2
第二步:选择检验的指标
K?
(它越小,原 假设“H
0
:吸烟与患肺癌
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
2< br>没有关系”成立的可能性越大;它越大,备择假设“H
1
:吸烟与患肺癌有关系”成立的 可能性越大.
第三步:查表得出结论
P
(
k
2
>
k
) 0.50 0.40 0.25

k

0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
5.024 6.635 7.879 10.83 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84

第二课时 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用(二)
教学要求:通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引 出独立性检验的问题,并借助样本数据的列联表、
柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟 者中患肺癌的比例高,让学生亲身体验独立性
检验的实施步骤与必要性.
教学重点:理解独立性检验的基本思想及实施步骤.
教学难点:了解独立性检验的基本思想、了解随机变量
K
2
的含义.
教学过程:
一、复习准备:
独立性检验的基本步骤、思想
二、讲授新课:
1. 教学例1:
例1 在某医院,因为患心脏病而住院的665 名男性病人中,有214人秃顶;而另外772名不是因为患
心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶 . 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否
有关系?你所得的结论在什么范围内有效?
① 第一步:教师引导学生作出列联表,并分析列联表,引导学生得出“秃顶与患心脏病有关”的结论;
第二步:教师演示三维柱形图和二维条形图,进一步向学生解释所得到的统计结果;
第三步:由学生计算出
K
2
的值;
第四步:解释结果的含义.


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② 通过第2个问题 ,向学生强调“样本只能代表相应总体”,这里的数据来自于医院的住院病人,因
此题目中的结论能够很 好地适用于住院的病人群体,而把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误,
除非有其它的证据表明可 以进行这种推广.
2. 教学例2:
例2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的 关系,在某城市的某校高中生中随机抽取300名
学生,得到如下列联表:



总 计
喜欢数学课程
37
35
72
不喜欢数学课程
85
143
228
总 计
122
178
300
由表中数据计算得到
K
2
的观察值
k?4.513
. 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学课程之
间有关系?为什么?
(学生自练,教师总结)
强调:①使得
P(K
2
?3.841)? 0.05
成立的前提是假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”.如果
这个前提不成立, 上面的概率估计式就不一定正确;
②结论有95%的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”的含义;
③在熟练掌握了两个 分类变量的独立性检验方法之后,可直接计算
K
2
的值解决实际问题,而没有必要画相应的图形,但是图形的直观性也不可忽视.
3. 小结:独立性检验的方法、原理、步骤
三、巩固练习:
某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影
响,随机进行调 查并得到如下的列联表:请问有多大把
握认为“高中生学习状况与生理健康有关”?

第二章 推理与证明

不优秀
优 秀
总 计
不健康
41
37
78
健 康
626
296
922
总计
667
333
1000


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第一课时 2.1.1 合情推理(一)
教学要求:结合已学过的数学实例,了解归纳推理的含义,能利用归纳进行简单的推理 ,体会并认识
归纳推理在数学发现中的作用.
教学重点:能利用归纳进行简单的推理.
教学难点:用归纳进行推理,作出猜想.
教学过程:
一、新课引入:
1. 哥德巴赫猜想:观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7,
20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97,猜测:任一偶数(除去2,它本身是一素数)可以表示
成两个素数之和. 1742年写信提出,欧拉及以后的数学家无人能解,成为数学史上举世闻名的猜想.
1973年,我 国数学家陈景润,证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和,数学
上把它称为“1 +2”.
F
1
?2
2
?1?5
,2. 费马猜想:法国 业余数学家之王—费马(1601-1665)在1640年通过对
F
0
?2
2
?1?3

F
2
?2
2
?1?17
,< br>F
3
?2
2
?1?257

F
4
? 2
2
?1?65537
的观察,发现其结果都是素数,于是提出猜
23401
想:对所有的自然数
n
,任何形如
F
n
?2
2
?1
的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉,发现
n
F
5
?2
2
?1?429496729?7
5
6?41670
不是素数 ,推翻费马猜想
0417
.
3. 四色猜想:1852年,毕业于英国伦敦大学的弗 南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时,
发现了一种有趣的现象:“每幅地图都可以用四种 颜色着色,使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”,
四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976 年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不
同的电子计算机上,用1200个小时,作了 100亿逻辑判断,完成证明.
二、讲授新课:
1. 教学概念:
① 概念:由 某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或
者由个别事实概 括出一般结论的推理,称为归纳推理. 简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到
一般的推理.
② 归纳练习:(
i
)由铜、铁、铝、金、银能导电,能归纳出什么结论?
(
ii
)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度,能归纳出什么结论?


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(
iii< br>)观察等式:
1?3?4?2
2
,1?3?5?9?3
2
,1 ?3?5?7?9?16?4
2
,能得出怎样的结论?
③ 讨论:(
i
)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,是否属归纳推理?
(
ii
)归纳推理有何作用? (发现新事实,获得新结论,是做出科学发现的重要手段)
(
iii
)归纳推理的结果是否正确?(不一定)
2. 教学例题:
① 出示例题:已知数列
?
a
n
?
的第1项
a1
?2
,且
a
n?1
?
a
n
(n?1 ,2,)
,试归纳出通项公式.
1?a
n
(分析思路:试值
n
=1,2,3,4 → 猜想
a
n
→如何证明:将递推公式变形,再构造新数列)
② 思考:证 得某命题在
n

n
0
时成立;又假设在
n

k
时命题成立,再证明
n

k
+1时命题也成立. 由
这两步,可以归纳出什么结论? (目的:渗透数学归纳法原理,即基础、递推关系)
③ 练习:已知
f(1)?0,af(n)?bf(n?1)?1,

n?2,a?0,b?0
,推测
f(n)
的表达式.
3. 小结: ①归纳推理的药店:由部分到整体、由个别到一般;②典型例子:哥德巴赫猜想的提出;数
列通项公式的 归纳.
三、巩固练习:
1. 练习:教材P
38
1、2题. 2. 作业:教材P
44
习题
A
组 1、2、3题.
第二课时 2.1.1 合情推理(二)
教学要求:结合已学过的数学实例,了解合情推理的含义,能利用归 纳和类比等进行简单的推理,体
会并认识合情推理在数学发现中的作用.
教学重点:了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理.
教学难点:用归纳和类比进行推理,作出猜想.
教学过程:
一、复习准备:
1. 练习:已知
a
i
?0(i?1,2,
(iii)(a
1
?a
2
?a
3
)(

,n)
,考察下 列式子:
(i)a
1
?
111
?1

(ii)(a
1
?a
2
)(?)?4

a
1
a
1
a
2
111
??)?9
. 我们可以归纳出,对
a
1
,a
2
,
a
1
a
2
a
3,a
n
也成立的类似不等式为 .


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2. 猜想数列
1111
,?,,?,
1?33?55?77?9
的通项公式是 .
3. 导入:鲁班由带齿的草发明锯;人类仿照鱼类外形及沉浮原理,发明潜水艇;地球上有生命, 火星
与地球有许多相似点,如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星,有大气层,也有季节变更,温度也适合
生物生存,科学家猜测:火星上有生命存在. 以上都是类比思维,即类比推理.
二、讲授新课:
1. 教学概念:
① 概念:由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些
特征的推理. 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.
② 类比练习:
(
i
)圆有切线,切线与圆只交于一点,切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体?
(
ii
)平面内不共线的三点确定一个圆,由此结论如何类比得到空间的结论?
(
iii
)由圆的一些特征,类比得到球体的相应特征. (教材P81 探究 填表)
小结:平面→空间,圆→球,线→面.
③ 讨论:以平面向量为基础学习空间向量,试举例其中的一些类比思维.
2. 教学例题:
① 出示例1:类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质. (得到如下表格)
类比角度
运算结果
实数的加法

a,b?R,

a?b?R

a?b?b?a
(a?b)?c?a?(b?c)
实数的乘法

a,b?R,

ab?R

ab?ba
(ab)c?a(bc)
运算律

逆运算
加法的逆运算是减法,使得方

a?x?0
有唯一解
x??a
乘法的逆运算是除法,使得
方程
ax?1
有唯一解
x?
1

a
单位元
a?0?a

a?1?1

② 出示例2:类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.


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思维:直角三角形中,?C?90
0
,3条边的长度
a,b,c
,2条直角边
a,b< br>和1条斜边
c

→3个面两两垂直的四面体中,
?PDF??PDE ??EDF?90
0
,4个面的面积
S
1
,S
2
, S
3

S

3个“直角面”
S
1
,S2
,S
3
和1个“斜面”
S
. → 拓展:三角形到四面体的类比.
3. 小结:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分 析、比较、联想,再进行归纳、类
比,然后提出猜想的推理,统称为合情推理.
三、巩固练习:1. 练习:教材P
38
3题. 2. 探究:教材P
35
例5 3.作业:P
44
5、6题.
第三课时 2.1.2 演绎推理
教学要求:结合已学过的数学实例和生活中的实例, 体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本方
法,并能运用它们进行一些简单的推理。.
教学重点:了解演绎推理的含义,能利用“三段论”进行简单的推理.
教学难点:分析证明过程中包含的“三段论”形式.
教学过程:
一、复习准备:
1. 练习: ① 对于任意正整数
n
,猜想(2
n
-1)与(n
+1)的大小关系?
②在平面内,若
a?c,b?c
,则
ab
. 类比到空间,你会得到什么结论 ?(结论:在空间中,若
2
a?c,b?c
,则
ab
;或在空间中, 若
?
?
?
,
?
?
?
,则
?

?
.
2. 讨论:以上推理属于什么推理,结论正确吗?
合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明,有什么能使结论正确的推理形式呢?
3. 导入:① 所有的金属都能够导电,铜是金属,所以 ;
② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,冥王星是太阳系的大行星,因此 ;
③ 奇数都不能被2整除,2007是奇数,所以 .
(填空→讨论:上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗?→课题:演绎推理)
二、讲授新课:
1. 教学概念:


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① 概念:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理。
要点:由一般到特殊的推理。
② 讨论:演绎推理与合情推理有什么区别?
?
归纳推理:由特殊到一般
合情推理
?
;演绎推理:由一般到特殊.
类比推理:由特殊到特殊
?
③ 提问:观察教材P
39
引例,它们都由几部分组成,各部分有什么特点?
所有的金属都导电 铜是金属 铜能导电
已知的一般原理 特殊情况 根据原理,对特殊情况做出的判断
大前提 小前提 结论
“三段论”是演绎推理的一般模式:第一段:大前提——已知的一般原理;第二段:小前提——所 研
究的特殊情况;第三段:结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.
④ 举例:举出一些用“三段论”推理的例子.
2. 教学例题:
① 出示例1:证明函数f(x)??x
2
?2x

?
??,?1
?
上 是增函数.
板演:证明方法(定义法、导数法) → 指出:大前题、小前题、结论.
② 出示例2:在锐角三角形
ABC
中,
AD?BC,BE?AC

D

E
是垂足. 求证:
AB
的中点
M

D

E
的距离相等.
分析:证明思路 →板演:证明过程 → 指出:大前题、小前题、结论.
1
③ 讨论:因为指数函数
y?a
x< br>是增函数,
y?()
x
是指数函数,则结论是什么?
2
(结论→指出:大前提、小前提 → 讨论:结论是否正确,为什么?)
④ 讨论:演绎推理怎样才结论正确?(只要前提和推理形式正确,结论必定正确)
3. 比较:合情推理 与演绎推理的区别与联系?(从推理形式、结论正确性等角度比较;演绎推理可以
验证合情推理的结论, 合情推理为演绎推理提供方向和思路.)
三、巩固练习:1. 练习:P
42
2、3题 2. 探究:P
42
阅读与思考 3.作业:P
44
6题,B组1题.


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第一课时 2.2.1 综合法和分析法(一)
教学要求:结合已经学过的数学实例 ,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法
和综合法的思考过程、特点.
教学重点:会用综合法证明问题;了解综合法的思考过程.
教学难点:根据问题的特点,结合综合法的思考过程、特点,选择适当的证明方法.
教学过程:
一、复习准备:
1. 已知 “若
a
1
,a
2
?R
?
,且
a
1
?a
2
?1< br>,则
11
??4
”,试请此结论推广猜想.
a
1
a
2
(答案:若
a
1
,a
2
.......a
n
?R
?
,且
a
1
?a
2
?....? a
n
?1
,则
111
??....??

n
2

a
1
a
2
a
n
2. 已知
a,b,c?R
?

a?b?c?1
,求证:
111
???9
.
abc
先完成证明 → 讨论:证明过程有什么特点?
二、讲授新课:
1. 教学例题:
① 出示例1:已知
a
,
b
,
c
是不全相等的正数,求证:
a
(
b
+
c
) +
b
(
c
+
a
) +
c
(
a
+
b
) > 6
abc
.
分析:运用什么知识来解决?(基本不等式) → 板演证明过程(注意等号的处理)
→ 讨论:证明形式的特点
② 提出综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定 理等,经过一系列的推理论证,最后推导出
所要证明的结论成立.
222222
框图表示: 要点:顺推证法;由因导果.
③ 练习:已知
a

b< br>,
c
是全不相等的正实数,求证
b?c?aa?c?ba?b?c
?? ?3
.
abc
④ 出示例2:在△
ABC
中,三个内角
A

B

C
的对边分别为
a

b

c
,且
A

B

C
成等差数列,
a

b


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c
成等比数列. 求证:为△
ABC
等边三角形.
分析:从哪些已知,可以得到什么结论? 如何转化三角形中边角关系?
→ 板演证明过程 → 讨论:证明过程的特点.
→ 小结:文字语言转化为符号语言;边角关系的转化;挖掘题中的隐含条件(内角和)
2. 练习:

A,B
为锐角,且
tanA?tanB?3tanAtanB?3
,求证:
A?B?60
. (提示:算
tan(A?B)

② 已知
a?b?c,
求证:
114
??.

a?bb?ca?c
3. 小结:综合法是从已知的
P
出发,得到一系列的结 论
Q
1
,Q
2,
???
,直到最后的结论是
Q. 运用综合
法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.
三、巩固练习:
1. 求证:对于任意角θ,
cos
4
?
?sin
4
?
?cos2
?
. (教材P
52
练习 1题)
(两人板演 → 订正 → 小结:运用三角公式进行三角变换、思维过程)
2.
?ABC
的三个内角
A,B,C
成等差数列,求证:
113
.
??
a?bb?ca?b?c
3. 作业:教材P
54

A
组 1题.

第二课时 2.2.1 综合法和分析法(二)
教学要求:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.
教学重点:会用分析法证明问题;了解分析法的思考过程.
教学难点:根据问题的特点,选择适当的证明方法.
教学过程:
一、复习准备:
1. 提问:基本不等式的形式?


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2. 讨论:如何证明基本不等式
a?b
?ab(a?0,b?0)
.
2
(讨论 → 板演 → 分析思维特点:从结论出发,一步步探求结论成立的充分条件)
二、讲授新课:
1. 教学例题:
① 出示例1:求证
3?5?2?6
.
讨论:能用综合法证明吗? → 如何从结论出发,寻找结论成立的充分条件?
→ 板演证明过程 (注意格式)
→ 再讨论:能用综合法证明吗? → 比较:两种证法
② 提出分析法:从要证明的结论出发,逐步寻 找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归
结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、 定义、公理等)为止.
框图表示:
1
2
2
1
3
3
要点:逆推证法;执果索因.
③ 练习:设
x
> 0,
y
> 0,证明不等式:
(x?y)?(x?y)
.
先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.
④ 出示例4:见教材P
48
. 讨论:如何寻找证明思路?(从结论出发,逐步反推)
⑤ 出示例5:见教材P
49
. 讨论:如何寻找证明思路?(从结论与已知出发,逐步探求)
2. 练习:证明:通过水管放水,当流速相等时,如果水管截面(指横截面)的周长相等,那么截面的
圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
23
提示:设截面周长为
l
,则周长为
l
的圆的半径为
边长为
ll
,截面积为
?
()
2
,周长为
l
的正方形
2
?
2?
l
lll
,截面积为
()
2
,问题只需证:
?
()
2
>
()
2
.
4
42
?
4
3. 小结:分析法由要证明的结论
Q
思考,一步步探求得到
Q
所需要的已知
P
1
,P
2,
???
,直到所有的已知
P
都成立;
比较好的证法是:用分析法去思考, 寻找证题途径,用综合法进行书写;或者联合使用分析法与综


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合法,即从“欲知”想“需知”(分析),从“已知”推“可知”(综合),双管齐下,两面 夹击,逐步
缩小条件与结论之间的距离,找到沟通已知条件和结论的途径. (框图示意)
三、巩固练习:
1. 设
a
,
b
,
c是的△
ABC
三边,
S
是三角形的面积,求证:
c
2< br>?a
2
?b
2
?4ab?43S
.
略证:正弦、余弦定理代入得:
?2abcosC?4ab?23absinC
, < br>即证:
2?cosC?23sinC
,即:
3sinC?cosC?2
,即证:
sin(C?
?
6
)?1
(成立).
2. 作业:教材P
52
练习 2、3题.
第三课时 2.2.2 反证法 教学要求:结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考
过程、特点.
教学重点:会用反证法证明问题;了解反证法的思考过程.
教学难点:根据问题的特点,选择适当的证明方法.
教学过程:
一、复习准备:
1. 讨论:三枚正面朝上的硬币,每次翻转2枚,你能使三枚反面都朝上吗?(原因:偶次)
2. 提出问题: 平面几何中,我们知道这样一个命题:“过在同一直线上的三点
A

B
、C不能作圆”. 讨
论如何证明这个命题?
3. 给出证法:先假设可以作一个⊙
O

A

B
、C三点,

O

AB
的中垂线
l
上,
O
又在
B
C的中垂线
m
上,
P
C
B
A
O
D

O

l

m
的交点。
但 ∵
A

B
、C共线,∴
l

m
(矛盾)
∴ 过在同一直线上的三点
A

B
、C不能作圆.
二、讲授新课:
1. 教学反证法概念及步骤:


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① 练习:仿照以上方法,证明:如果
a
>
b
>0,那么
a?b

② 提出反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,< br>从而证明了原命题成立.
证明基本步骤:假设原命题的结论不成立 → 从假设出发,经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是
假设不成立,从而原命题的结论成立
应 用关键:在正确的推理下得出矛盾(与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、
事实矛盾 等).
方法实质:反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,即由一个命题与其逆否命题 同
真假,通过证明一个命题的逆否命题的正确,从而肯定原命题真实.
注:结合准备题分析以上知识.
2. 教学例题:
① 出示例1:求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
分析:如何否定结论? → 如何从假设出发进行推理? → 得到怎样的矛盾?
与教材不同的证法:反设
AB
、 CD被
P
平分,∵
P
不是圆心,连结O
P

则由 垂径定理:O
P
?
AB
,O
P
?
CD
,则 过
P
有两条直线与
OP
垂直(矛盾),∴不被
P
平分.
② 出示例2:求证
3
是无理数. ( 同上分析 → 板演证明,提示:有理数可表示为
mn

证:假设
3
是有理数,则 不妨设
3?mn

m
,
n
为互质正整数),
从而 :
(mn)
2
?3

m
2
?3n
2
,可见
m
是3的倍数.

m
=3
p

p
是正整数),则
3n
2
?m
2
?9p
2
,可见
n
也是3的倍数.
这样,
m
,
n
就不是互质的正整数(矛盾). ∴
3?mn
不可能,∴
3
是无理数.
③ 练习:如果
a?1
为无理数,求证
a
是无理数.
提示:假设
a
为有理数,则
a
可表示为
pq

p,q
为整数 ),即
a?pq
.

a?1?(p?q)q
,则
a?1
也是有理数,这与已知矛盾. ∴
a
是无理数.
3. 小结:反证法是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确. 注意


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证明步骤和适应范围(“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题)
三、巩固练习: 1. 练习:教材P
54
1、2题 2. 作业:教材P
54
A组3题.
第三章数系的扩充与复数的引入
第一课时 3.1.1 数系的扩充与复数的概念
教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的,明白复数及其相关概念。
教学重点:复数及其相关概念,能区分虚数与纯虚数,明白各数系的关系。
教学难点:复数及其相关概念的理解
教学过程:
一、复习准备:
1. 提问:N、Z、Q、R分别代表什么?它们的如何发展得来的?
(让学生感受数系的发展与生活是密切相关的)
2.判断下列方程在实数集中的解的个数(引导学生回顾根的个数与
?
的关系):
(1)
x
2
?3x?4?0
(2)
x
2
?4x?5?0
(3)
x
2
?2x?1?0
(4)
x
2
?1?0

3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释,不想得到“无解”的答案。
讨论:若给方程
x
2
?1?0
一个解
i
,则这个解
i
要满足什么条 件?
i
是否在实数集中?
实数
a

i
相乘、相加的结果应如何?
二、讲授新课:
1. 教学复数的概念:
①定义复数:形如
a?bi
的数叫做复数,通常 记为
z?a?bi
(复数的代数形式),其中
i
叫虚数单位,
a叫实部,
b
叫虚部,数集
C?
?
a?bi|a,b?R
?
叫做复数集。
出示例1:下列数是否是复数,试找出它们各自的实部和虚部。
2?3i,8?4i,8?3i,6,i,?2?9i,7i,0

规定:
a ?bi?c?di?a?c且b=d
,强调:两复数不能比较大小,只有等与不等。


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②讨论:复数的代数形式中规定
a,b?R

a,b
取何值时,它为实数?数集与实数集有何关系?
③定义虚数:
a?bi,(b?0)
叫做虚数,
bi,(b?0)
叫做纯虚 数。
?
实数 (b=0)
?
④ 数集的关系:
复数Z
?
?
一般虚数(b?0,a?0)

虚数 (b?0)
?
?
?
纯虚数(b?0,a?0)
?上述例1中,根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数?
2.出示例题2:
P
62

(引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论)
练习:已知复数
a?bi< br>与
3?(4?k)i
相等,且
a?bi
的实部、虚部分别是方程
x
2
?4x?3?0
的两根,试
求:
a,b,k
的值。( 讨论
3?(4?k)i
中,k取何值时是实数?)
小结:复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。
三、巩固练习:
1.指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数,是虚数的找出其实部与虚部。

2?3i
3
,8?4i,8?0i,6,i,
?
?2?9 i
?
?
?
2?1,7i,0

?
2.判断① 两复数,若虚部都是3,则实部大的那个复数较大。
② 复平面内,所有纯虚数都落在虚轴上,所有虚轴上的点都是纯虚数。
3若
(3x?2y)?( 5x?y)i?17?2i
,则
x,y
的值是?
4..已知
i是虚数单位,复数
Z?m
2
(1?i)?m(2?3i)?4(2?i)
,当
m
取何实数时,
z
是:
(1)实数 (2) 虚数 (3)纯虚数 (4)零
作业:
P
62
2、3题。
第二课时 3.1.2 复数的几何意义
教学要求:理解复数与复平面内的点、 平面向量是一一对应的,能根据复数的代数形式描出其对应的
点及向量。
教学重点:理解复数的几何意义,根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。


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教学难点: 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
教学过程:
一、复习准备:
1. 说出下列复数的实部和虚部,哪些是实数,哪些是虚数。
1?4i,7?2i,8?3i,6,i,?2?0i,7i,0,0?3i,3

2 .复数
z?(x?4)?(y?3)i
,当
x,y
取何值时为实数、虚数、纯 虚数?
3. 若
(x?4)?(y?3)i?2?i
,试求
x,y
的值,(
(x?4)?(y?3)i?2
呢?)
二、讲授新课:
1. 复数的几何意义:
① 讨论:实数可以与数轴上的点一一对应,类比实数,复数能与什么一一对应呢?
(分析复数的代数形式,因为它是由实部
a
和虚部同时确定,即有顺序的两实数,不难 想到有序实
数对或点的坐标) 结论:复数与平面内的点或序实数一一对应。
②复平面:以
x
轴为实轴,
y
轴为虚轴建立直角坐标系,得到的平面叫复平面。
复数与复平面内的点一一对应。
③例1:在复平面内描出复数
1?4i,7?2i,8?3i,6,i,?2?0i,7i,0 ,0?3i,3
分别对应的点。
(先建立直角坐标系,标注点时注意纵坐标是
b
而不是
bi

观察例1中我们所描出的点,从中我们可以得出什么结论?
④实数都落在实轴上,纯虚数落在虚轴上,除原点外,虚轴表示纯虚数。
思考:我们所学过的知识当中,与平面内的点一一对应的东西还有哪些?
一一对应一一对应< br>⑤
复数Z?a?bi
?
复平面内的点(a,b)
一一对应
,< br>复数Z?a?bi
?
平面向量OZ

复平面内的点(a,b)
?
平面向量OZ

注意:人们常将复数
z?a?bi
说成点
Z
或向量
OZ
,规定相等的向量表示同一复数。


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2.应用
例2,在我们刚才例1中,分别画出各复数所对应的向量。
练习:在复平面内画出
2 ?3i,4?2i,?1?3i,4i,?3?0i
所对应的向量。
小结:复数与复平面内的点及平面向量一一对应,复数的几何意义。
三、巩固与提高:
1. 分别写出下列各复数所对应的点的坐标。
2.
2?3i
3
,8?4i,8?0i,6,i,
?
?2?9i
?
?
?
2? 1,7i,0

?
3. 若复数
Z?(m
2
?3m?4)? (m
2
?5m?6)i
表示的点在虚轴上,求实数
a
的取值。 变式:若
z
表示的点在复平面的左(右)半平面,试求实数
a
的取值。
3、作业:课本64题2、3题.
第一课时 3.2.1 复数的代数形式的加减运算
教学要求:掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。
教学重点:复数的代数形式的加、减运算及其几何意义
教学难点:加、减运算的几何意义
教学过程:
一、复习准备:
1. 与复数一一对应的有?
2. 试判断 下列复数
1?4i,7?2i,6,i,?2?0i,7i,0,0?3i
在复平面中落在哪象 限?并画出其对应的向量。
3. 同时用坐标和几何形式表示复数
z
1
?1 ?4i与Z
2
?7?2i
所对应的向量,并计算
OZ
1
?O Z
2
。向量的
加减运算满足何种法则?
4. 类比向量坐标形式的加减运算,复数的加减运算如何?

二、讲授新课:


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1.复数的加法运算及几何意义
①.复数的加法法则:
z
1
?a?bi与Z
2
?c?di< br>,则
Z
1
?Z
2
?(a?c)?(b?d)i

例1.计算(1)
(1?4i)+(7?2i)
(2)
(7?2i)+(1?4i)
(3)
[(3?2i)+(?4?3i)]?(5?i)

(4)
(3?2i)+[(?4?3i)?(5?i)]

②.观察上述计算,复数的加法运算是否满足交换、结合律,试给予验证。
例2.例1中的( 1)、(3)两小题,分别标出
(1?4i),(7?2i)

(3?2i),(?4 ?3i),(5?i)
所对应的向量,
再画出求和后所对应的向量,看有所发现。
③复数加法的几何意义:复数的加法可以按照向量的加法来进行(满足平行四边形、三角形法则) 2.复数的减法及几何意义:类比实数,规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若
Z
1
?Z?Z
2


Z叫做
Z
2
减去Z1
的差,记作Z?Z
2
?Z
1

④讨论:若
Z
1
?a?b,Z
2
?c?di
,试确定
Z?Z
1
?Z
2
是否是一个确定的值?
(引导学生用待定系数法,结合复数的加法运算进行推导,师生一起板演)
⑤复数的加法法则 及几何意义:
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
,复数的减法运算也可 以按向量的
减法来进行。
例3.计算(1)
(1?4i)-(7?2i)
(2)
(5?2i)+(?1?4i)?(2?3i)
(3)
(3?2i)-[(?4?3i)?(5?i)]

练习:已知复数,试画出< br>Z?2i

Z?3

Z?(5?4i)?2i

2. 小结:两复数相加减,结果是实部、虚部分别相加减,复数的加减运算都可以按照向量的加减法进
行。
三、巩固练习:
1.计算
(1)
?
8?4i
?
?5
(2)
?
5?4i
?
?3i
(3)
2?3i< br>3
?
?
?2?9i
?
?
?
2?i

?
2.若
(3?10i)y?(2?i)x?1?9i
,求实数
x, y
的取值。
变式:若
(3?10i)y?(2?i)x
表示的点在复平面的 左(右)半平面,试求实数
a
的取值。


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3.三个复数
Z
1
,Z
2
,Z
3
,其中
Z
1
?3?i

Z
2
是纯虚数,若这三个 复数所对应的向量能构成等边三角形,
试确定
Z
2
,Z
3
的 值。
作业:课本71页1、2题。
第二课时 3.2.2 复数的代数形式的乘除运算
教学要求:掌握复数的代数形式的乘、除运算。
教学重点:复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念
教学难点:乘除运算
教学过程:
一、复习准备:
1. 复数的加减法的几何意义是什么?
2. 计算(1)
(1?4i)+(7?2i)
(2)
(5?2i)+(?1?4i)?(2?3i)
(3)
(3?2i)-[(?4?3i)?(5?i)]

3. 计算:(1)
(1?3)?(2?3)
(2)
(a?b)?(c?d)
(类比多项式的乘法引入复数的乘法)

二、讲授新课:
1.复数代数形式的乘法运算
①.复数的乘法法则:
(a?bi)(c?di)?a c?bci?adi?bdi
2
?(ac?bd)?(ad?bc)i

例1.计算(1)
(1?4i)?(7?2i)
(2)
(7?2i)?(1?4i)
(3)
[(3?2i)?(?4?3i)]?(5?i)

(4)
(3?2i)?[(?4?3i)?(5?i)]

探究:观察上述计算,试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律?
例2.1、计算(1)
(1?4i)?(1?4i)
(2)
(1?4i) ?(7?2i)?(1?4i)
(3)
(3?2i)
2

2、已知复数
Z
,若,试求
Z
的值。变:若
(2?3i)Z?8,试求
Z
的值。
②共轭复数:两复数
a?bi与a?bi
叫做 互为共轭复数,当
b?0
时,它们叫做共轭虚数。
注:两复数互为共轭复数,则它们的乘积为实数。


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练习:说出下列复数的共轭复数
3?2i,?4?3i,5?i,?5?2i,7, 2i

③类比
1?2(1?2)(2?3)
?
,试写出复数的除法法则。
2?3(2?3)(2?3)
2.复数的除法法则:
(a?bi)?(c?di)?
a ?bi(a?bi)(c?di)ac?bdbc?ad
???i

c?di(c?d i)(c?di)c
2
?d
2
c
2
?d
2
其中
c?di
叫做实数化因子
例3.计算
(3?2i)?(2?3i)
(1?2i)?(?3?2i)
(师生共同板演一道,再学生练习)
练习:计算
3?2i
3?i

(1?2i)
2
( 1?i)
2
?1
2.小结:两复数的乘除法,共轭复数,共轭虚数。
三、巩固练习:
?
?1?i
??
2?i
?
(2)
i?i
2
?i
3
?i
4
?i
5 (3)1.计算(1)
i
3
2?i
3
1?2i

2.若
z
1
?a?2i,z
2
?3?4i
,且z
1
z
为纯虚数,求实数
a
的取值。变:
1
在 复平面的下方,求
a

z
2
z
2
第四章框图
4.1 流程图
教学目的:
1.能绘制简单实际问题的流程图,体会 流程图在解决实际问题中的作用,并能通过框图理解某件事
情的处理过程.
2.在使用流程图过程中,发展学生条理性思考与表达能力和逻辑思维能力.
教学重点: 识流程图.
教学难点: 数学建模.


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教学过程:
例1 按照下面的流程图操作,将得到怎样的数集?
开始
写下1
加3
写下结果
对这个刚写下的数加
上一个比前面加过的
那个数大2的数
N
你已写下10
个数了吗?
Y
结束
解:按 照上述流程图操作,可以得到下面的10个数:
1,
1+3=4,
4+(3+2)=4 +5=9,

9+(5+2)=9+7=16,
16+7+2)=16+9=25,
25+(9+2)=25+11=36 ,
36+(11+2)=36+13=49,
49+(13+2)=49+15=64,
64+(15+2)=64+17=81,
81+(17+2)=81+19=100.
这样,可以得到数集{1,4,9,16,25,36,49,64,81,100}.
我们知道用数 学知识和方法解决实际问题的过程就是数学建模的过程,数学建模的过程可以用下图所
示的流程图来表示 :


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实际情景
提出问题
修改
数学建模
数学结果
不合乎实际
检验
合乎实际
可用结果

以”哥尼斯堡七桥问题”为例来体会数学建模的过程.
(1)实际情景:
在18世纪的东普鲁士,有一个叫哥尼斯堡的城市.城中有一条河,河中有 两个小岛,河上架有七座
桥,把小岛和两岸都连结起来.
(2) 提出问题:
人们 常常从桥上走过,于是产生了一个有趣的想法:能不能一次走遍七座桥,而在每座桥上只经过
一次呢?
尽管人人绞尽脑汁,谁也找不出一条这样的路线来.
(3) 建立数学模型:
17 36年,这事传到了瑞士大数学家欧拉的耳里,他立刻对这个问题产生了兴趣,动手研究起来.作为
一个 数学家,他的研究方法和一般人不同,他没有到桥上去走走,而是将具体问题转化为一个数学模型.
欧拉用点代表两岸和小岛,用线代表桥,于是上面的问题就转化为能否一笔画出图中的网络图形,
即”一 笔画”问题,所谓” 一笔画”,通俗的说,就是笔不离开纸面,能不重复的画出网络图形中的每一
条线.


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(4)得到数学结果:
在”一笔画”问题中,如果一个点不是起点和终点,那么有一条走向它的线,就必须有另一条离开它
的 线.就是说,连结着点的线条数目是偶数,这种点成为偶点.如果连结一个点的数目是奇数,那么这种
点 成为奇点,显然奇点只能作为起点或终点.
因此,能够一笔画出一个网络图形的条件,就是它要么 没有奇点,要么最多只有两个奇点,(分别
作为起点和终点).而图中所有的点均为奇点,且共有4个奇 点,所有这些图形不能” 一笔画”.
(5) 回到实际问题:
欧拉最后得出结论:找不出一条路线能不重复地走遍七座桥.
练习:书82页练习.
小结:
4.2结构图
教学目的:
1.通过实例,了解结构图;运用结构图梳理已学过的知识,整理收集到的资料信息.
2.能根据所给的结构图,用语言描述框图所包含的内容.
3.结合给出的结构图,与他人进行交流,体会结构图在揭示事物联系中的作用.
教学重点、难点:
运用结构图梳理已学过的知识,整理收集到的资料信息,根据所给的结构图,用语言描述框图所包含的内容.
教学过程:
问题情境:


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我们知道,四种命题以及他们之间的关系可以用下面的框图来表示.
互否
原 命题
等价互



为为
逆逆


等价


否命题
逆命题
互否
逆否命题
上面的框图与 流程图有什么不同?
建构数学:

例如,《数学4(必修)》第3章三角恒等变换,可以用下面的结构图来表示:(见下页图(1))
数学应用:
例1 某公司的组织结构是:总经理之下设执行经理、人事经理和财务经理。执行 经理领导生产经理、
工程经理、品质管理经理和物料经理。生产经理领导线长,工程经理领导工程师,工 程师管理技术员,
物料经理领导计划员和仓库管理员。
分析:必须理清层次,要分清几部分是并列关系还是上下层关系。
解:根据上述的描述,可以用如图(2)所示的框图表示这家公司的组织结构:


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C
?
?
?
S
?
?
?
T
?
?
?
C
?
?
?
S
?
?
?
T
?
?
?
C
2
?
S
2
?
图(1)
T
2
?

总经理
执行经理
人事经理财务经理
生产经理工程经理品 管经理
物料经理
线长工程师
计划员仓库管理员
技术员
图(2)

例2 写出《数学3(必修)》第二章统计的知识结构图。
分析:《数学3(必修)》第 二章统计的主要内容是通过对样本的分析对总体作出估计,具体内容又分三
部分:
“抽样”-------简单随机抽样、系统抽样和分层抽样;
“分析”-------可以从样本分布、样本特征数和相关关系这三个角度来分析;


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“估计”-------根据对样本的分析,推测或预估总体的特征。
解:《数学3(必修)》第二章统计的知识结构图可以用下面图来表示:

总体抽样
分析估计








































例3 小流域综合治理可以有三个措施:工程措施、生物措施、和
农 业技术措施。其中,工程措施包括打坝建库、平整土地、修基
本农田和引水灌溉,其功能是贮水拦沙、改 善生产条件和合理利
用水土;生物措施包括栽种乔木、灌木和草木,其功能是蓄水保
土和发展多 种经营;农业技术措施包括深耕改土、科学施肥、选
育良种、地膜覆盖和轮作套种,其功能是蓄水保土、 提高肥力和
充分利用光和热。

试画出小流域综合治理开发模式的结构图。
解:根据题意,三类措施为结构图的第一层,每类措施中具体的实现方式为结构为第二层,每类措施
实施 所要达到的治理功能为结构图的第四层。小流域综合治理开发模式的结构如下图所示:


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小流域综合治理
工程设 施生物措施
农业技术措施

















































功能
















功能










功能














练习:画出某学科某章的知识结构图,并在小组内汇报交流。
小结:
《2012年高考数学总复习系列》高中数学选修4-1知识点总结
平行线等分线段定理
平 行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段
也相等 。
推理1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰。
平分线分线段成比例定理
平分线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。
推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
相似三角形的判定及性质
相似三角形的判定:
定义:对应角相等,对应边成比例的 两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似
比(或相似系数)。


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由于从定义出发判断两个三角形 是否相似,需考虑6个元素,即三组对应角是否分别相等,三组对应
边是否分别成比例,显然比较麻烦。 所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法:
(1)两角对应相等,两三角形相似;
(2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;
(3)三边对应成比例,两三角形相似。
预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与三角形相似。
判定定理1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应 相等,那么
这两个三角形相似。简述为:两角对应相等,两三角形相似。
判定定理2:对于任 意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹
角相等,那么这两个三 角形相似。简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。
判定定理3:对于任意两个三角形, 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那
么这两个三角形相似。简述为:三边对 应成比例,两三角形相似。
引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成 比例,那么这条直线平行
于三角形的第三边。
定理:(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似;
(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似。
定理:如果一个直角三 角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例,那么这
两个直角三角形相似。
相似三角形的性质:
(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比;
(2)相似三角形周长的比等于相似比;
(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方。
直角三角形的射影定理
射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项 ;两直角边分别是它们在斜边
上射影与斜边的比例中项。
圆周定理


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圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。
圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等。
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形的性质与判定定理
定理1:圆的内接四边形的对角互补。
定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
圆内接四边形判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆。
推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆。
圆的切线的性质及判定定理
切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
弦切角的性质
弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
与圆有关的比例线段
相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。
割线定理:从园外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
《2012年高考数学总复习系列》选修4-4数学知识点
一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求:
1.坐标系:


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① 理解坐标系的作用.
② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
③ 能在极坐标系中用极坐 标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区
别,能进行极坐标和直角坐标的 互化.
④ 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过 比较这
些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义 .
2.参数方程:① 了解参数方程,了解参数的意义.
② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
二、知识归纳总结:
?
x
?
?
?
?x,(
?
?0),
?
:
?
P(x,y)
?
y
?
?
?
?y,(
?< br>?0).
的作用下,1.伸缩变换:设点是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
???

P(x,y)
对应到点
P(x,y)
,称
?
为平 面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点
O
,叫做极点;自极点
O
引一条射线
Ox
叫做极轴;再选定
一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐
标系。
3.点
M
的极坐标:设
M
是平面内一点,极点
O< br>与点
M
的距离
|OM|
叫做点
M
的极径,记为
?

以极轴
Ox
为始边,射线
OM
为终边的
?x OM
叫做点
M
的极角,记为
?
。有序数对
(
?,
?
)
叫做点
M
的极坐标,记为
M(
?
,
?
)
.
极坐标
(
?
,
?
)

(
?
,
?
?2k
?
)(k?Z)表示同一个点。极点
O
的坐标为
(0,
?
)(
?
?R)
.
4.若
?
?0
,则
?
?
?0
,规定点
(?
?
,
?
)
与点
(
?
,
?
)
关于极点对称,即
(?
?
,
?)

(
?
,
?
?
?
)
表示同 一
点。
如果规定
?
?0,0?
?
?2
?
,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标
(
?
,
?
)
表示;同时,极坐

(
?
,
?
)
表示的点也是唯一 确定的。


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5.极坐标与直角坐标的互化:




6。圆的极坐标方程:
在极坐标系中,以极点为圆心,
r
为半径的圆的极坐标方程是
?
?r

在极坐标系中,以
C(a,0)(a?0)
为圆心,
a
为半径的圆的极坐标方程是
?
?2acos
?

?
2
?x
2
?y
2
,
y?
?
sin
?
,
x?
?
cos
?
,
y
tan
?
?(x?0)
x

C(a,)
2
(a?0)
为圆心,
a
为半径的 圆的极坐标方程是
?
?2asin
?
; 在极坐标系中,以
7.在 极坐标系中,
?
?
?
(
?
?0)
表示以极点为起点 的一条射线;
?
?
?
(
?
?R)
表示过极点的一条 直
线.
在极坐标系中,过点
A(a,0)(a?0)
,且垂直于极轴的直线 l的极坐标方程是
?
cos
?
?a
.

8.参数 方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标
x,y
都是某个变数
t
的函数
?
?
x?f(t),
?
?
y?g(t),< br> 并且对于
t
的每一个允许值,由这个方程所确定的点
M(x,y)
都 在这条曲线上,那么这个
方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数
x,y
的变数t
叫做参变数,简称参数。
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
?
x?a?r cos
?
,
(
?
为参数)
?
222
y?b ?rsin
?
.
9.圆
(x?a)?(y?b)?r
的参数方程可表 示为
?
.
?
x?acos
?
,
x
2y
2
(
?
为参数)
?
?
2
?1
2
y?bsin
?
.
(a?b?0)
的参数方程可表示为
?
b
椭圆
a
.


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?
x?2px
2
,
(t为参数)
?
2< br>y?2pt.
抛物线
y?2px
的参数方程可表示为
?
.
?
x?xo
?tcos
?
,
?
y?y
o
?tsin?
.
t
M
O
(x
o
,y
o
)
经过点,倾斜角为
?
的直线
l
的参数方程可表示为
?< br>(为参数).
10.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普 通方程的互化中,必
须使
x,y
的取值范围保持一致.
《2012年高考数学总复习系列》高中数学选修4--5知识点
1、不等式的基本性质
①(对称性)
a?b?b?a

②(传递性)
a?b,b?c?a?c

③(可加性)
a?b?a?c?b?c

(同向可加性)
a
?
b
,
c
?
d
?
a
?
c
?
b
?
d

(异向可减性)
a
?
b
,
c
?
d
?
a
?
c
?
b
?
d

④(可积性)
a
?
b
,
c
?0?
ac
?
bc

a
?
b
,
c
?0?
ac
?
bc

⑤(同向正数可乘性)
a?b?0,c?d?0?ac?bd

a?b?0,0?c?d?
ab
?
cd
(异向正数可除性)
nn
⑥(平方法则)
a?b?0?a?b(n?N,且n?1)

nn
⑦(开方法则)
a?b?0?a?b(n?N,且n?1)

a?b?0?
⑧(倒数法则)
2、几个重要不等式

1111
?;a?b?0??
abab


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a
2
?b
2
ab?.
a
2
?b
2
?2ab
?
a,b?R
?
a?b
2
①, (当且仅当时取
?
号). 变形公式:
a?b
?ab
?
a,b?R
?
?
②(基本不等式)
2
,(当且仅当
a?b
时取到等号).
?
a?b
?
ab?
??
.
?
2
?
变形公式:
a?b?2ab

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

2
a?b?c
3
?abc
?
(a、b、c?R)
(当且仅当
a?b?c
时取
3
③(三个正数的算术—几何平均不等式 )
到等号).

a
2
?b
2
?c
2?ab?bc?ca
?
a,b?R
?

(当且仅当
a?b?c
时取到等号).
333
a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0)

(当且仅当
a?b?c
时取到等号).
ba
若ab?0,则??2
ab
⑥(当仅当a=b时取等号)
ba
若ab?0,则???2
ab
(当仅当a=b时取等号)
bb ?ma?na
??1??
aa?mb?nb
,⑦(其中
a?b?0,m?0, n?0)

规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小.
当a?0时,x?a?x
2
?a
2
?x??a或x?a;



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x?a?x
2
?a
2
??a?x?a.

⑨绝对值三角不等式

3、几个著名不等式
a?b?a?b?a?b.

2a?ba
2
?b
2
?ab??
?
?1?1
(a,b?R
a?b22
①平均不等式:,, 当且仅当
a?b
时取
?
号).
(即调和平均
?
几 何平均
?
算术平均
?
平方平均).
变形公式:
22
2
?
a?b
?
a?b
(a?b)
22
ab ?
?
;
a?b?.
?
?
2
?
2
?
2

2
②幂平均不等式:
a
1
2
?a
2
2
?...?a
n
2
?
1
(a
1
?a
2
?...?a
n
)
2
.
n

③二维形式的三角不等式:
x
1
2
?y
1
2
?x
2
2
?y
2
2
?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2(x
1
,y
1
,x
2
,y
2
?R).
④二维形式的柯西不等式:

22222
(a?b)(c?d )?(ac?bd)(a,b,c,d?R).
当且仅当
ad?bc
时,等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式:
(a
1
2
?a
2
2< br>?a
3
2
)(b
1
2
?b
2
2?b
3
2
)?(a
1
b
1
?a
2b
2
?a
3
b
3
)
2
.
⑥一 般形式的柯西不等式:

(a
1
2
?a
2
2?...?a
n
2
)(b
1
2
?b
2
2
?...?b
n
2
)?(a
1
b
1
?a
2
b
2
?...?a
n
b
n
)
2
.
⑦向量形式的柯西不等式:


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?
?
?
?
??
,
?
,
?
设是两个向量,则当且仅当
?
是零向量,或存在实数
k
,使
?
?k
?
时,等号成
立.
⑧排序不等式(排序原理):

a
1
?a
2
?...?a
n
,b
1< br>?b
2
?...?b
n
为两组实数.
c
1
, c
2
,...,c
n

b
1
,b
2
,...,b
n
的任一排列,则
a
1
b
n
?a< br>2
b
n?1
?...?a
n
b
1
?a
1
c
1
?a
2
c
2
?...?a
nc
n
?a
1
b
1
?a
2
b
2
?...?a
n
b
n
.
当且仅当
(反序和
?
乱序和
?
顺序和),
a
1
?a
2
?.. .?a
n

b
1
?b
2
?...?b
n< br>时,反序和等于顺序和.
⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数)
若定义在某区间 上的函数
f(x)
,对于定义域中任意两点
x
1
,x
2(x
1
?x
2
),

x
1
?x2
f(x
1
)?f(x
2
)
)?或
22
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)< br>)?.
22
则称f(x)为凸(或凹)函数.
f(f(
4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;
其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.
常见不等式的放缩方法:
131
(a?)
2
??(a?)
2
;
242
①舍去或加上一些项,如
②将分子或分母放大(缩小), 11
112212
?,
?,???,
2
2
kk(k?1 )
kk(k?1)
k?kkk?k?1

2k
12< br>?(k?N
*
,k?1)
kk?k?1
等.
5、一元二次不等式的解法
2
ax?bx?c?0(或?0)
求一元二次不等式


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(a?0,??b
2
?4ac?0)
解集的步骤:
一化:化二次项前的系数为正数.
二判:判断对应方程的根.
三求:求对应方程的根.
四画:画出对应函数的图象.
五解集:根据图象写出不等式的解集.
规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边.
6、高次不等式的解法:穿根法.
分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇穿偶切),结合原式不等号的方向,写出不等式< br>的解集.
7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
f(x)
?0?f (x)?g(x)?0
g(x)
?
f(x)?g(x)?0
f(x)
?0?
?
g(x)
?
g(x)?0
“?或?”
(时同理)
规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解


?
f(x)? 0
f(x)?a(a?0)?
?
2
?
f(x)?a


?
f(x)?0
f(x)?a(a?0)?
?
2
?f(x)?a

?
f(x)?0
?
f(x)?0
?f(x)?g(x)?
?
g(x)?0

?
?
f(x) ?[g(x)]
2
?
g(x)?0
?

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