高一数学基础知识点归纳总结

高一数学基础知识点总结

1．集合
2．函数
3．基本初等函数
4．立体几何初步
5．平面解析几何初步
6．基本初等函数
7．平面向量
8．三角恒等变换
9．解三角形
10.数列
11.不等式

1集合
一定范围的，确定的， 可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集
合的元素或简称元。如 （1）阿Q正传中出现的不同汉字（2）全体英文大写字母
集合的分类:

并集： 以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作A∪B（或B∪A），读作―A
并B ‖（或―B并A‖），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}
交集： 以属于A且属于B的元素为元素 的集合称为A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作―A
交B‖（或―B交A‖），即A∩B ={x|x∈A,且x∈B}
差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差（集）
注:空集包含于任何集合，但不能说―空集属于任何集合
注:空集属于任何集合,但它不属于任何元素.
空集属于任何集合吗?
你这句话是 错误的,空集也是集合,而集合跟集合之间的关系只能是包含和被包含的关系.只有集合里的元素与集合间的关系才是属于关系
但是如果你把“属于”改成“包含于”就对了.
也就是“空集包含于任何集合”.
空集真包含于任何非空集合也是对的.

某些指定的对象集在一起就成为一个集合，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是
不含任何元素的集，记做Φ。
集合的性质
：
确定性：每一个对象都能确定是不是 某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如―个子高的同学‖―很
小的数‖都不能构成集合。
互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}。
无序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合
集合有以下性质：若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B
常用数集的符号
：
（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N
（2）非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作N+（或N*）
（3）全体整数的集合通常称作整数集，记作Z
（4）全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q
（5）全体实数的集合通常简称实数集，级做R
集合的运
算
：
1.交换律
A∩B=B∩A
A∪B=B∪A
2.结合律
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
3.分配律

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
例题
已知集合
A
＝｛
a
2
，
a
＋1，－3｝，
B
＝｛
a
－3，2
a
－1，
a
2
＋1｝，且
A
∩
B
＝｛－3｝，求
实数
a
的值．
∵
A
∩
B
＝｛－3｝
∴ －3∈
B
．
①若
a
－3＝－3，则
a
＝0，则
A
＝｛0， 1，－3｝，
B
＝｛－3，－1，1｝
∴
A
∩
B< br>＝｛－3，1｝与∩
B
＝｛－3｝矛盾，所以
a
－3≠－3．
②若2
a
－1＝－3，则
a
＝－1，则
A
＝｛ 1，0，－3｝，
B
＝｛－4，－3，2｝
此时
A
∩
B
＝｛－3｝符合题意，所以
a
＝－1．

2函数
函数的单调性：设函数f(x)的定义域为I.
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1（1）若总有f(x1)（2）若总有f(x1)>f(x2),则称函数y=f(x)在这个区间上是减函数。
如 果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，则称函数y=f(x)在这一区间上具有严格的单调性，这 一区
间叫做函数y=f(x)的单调区间。
函数的奇偶性：在函数y=f(x)中，如果对于函数定义域内的任意一个x.
（1）若都有f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为奇函数；
（2）若都有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数。

如果函数y =f(x)在某个区间上是奇函数或者偶函数，那么称函数y=f(x)在该区间上具有奇偶性。
1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一
条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交
点）
2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式 ：y=kx+b。（2）一次函数与x轴
交点的坐标总是（0，b)正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限：

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b

则此时称y是x的一次函数。
当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为常数，k≠0）



例 证明函数在上是增函数．
1．分析解决问题 针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．

证明：任取, 设元
求差
变形

,
断号
∴
∴

即
∴函数在上是增函数． 定论

3基本初等函数
指数函数
的一般形式为y=a^x(a>0且不=1) ，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要
想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得
如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
在函数y=a^x中可以看到：
（1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情 况，

则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，
同时a等于０一般也不考虑。
（2） 指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3） 函数图形都是下凹的。
（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。
（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲 线
从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半
轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
（7） 函数总是通过（0，1）这点
（8） 显然指数函数无界。
（9） 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
例1：下列函数在R上是增函数还是减函数？
⑴y=4^x
因为4>1，所以y=4^x在R上是增函数；
⑵y=(14)^x
因为0<14<1,所以y=(14)^x在R上是减函数

对数函数
一 般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log
aN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，
底数则要大于0且不为1


对数函数的底数为什么要大于0且不为1

在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或
=0那么logaa就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公
式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2)
4；一个等于116，另一个等于-116）

对数函数的一般形式为 ，它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。因此指数函数里对于 a的规
定，同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

（1） 对数函数的定义域为大于0的实数集合。

（2） 对数函数的值域为全部实数集合。

（3） 函数总是通过（1，0）这点。

（4） a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

（5） 显然对数函数无界。
对数函数的运算性质：
如果a〉0，且a不等于1, M>0,N>0，那么：
（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
（2）log(a)(MN)=log(a)(M)-log(a)(N);
（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n属于R）

4立体几何初步
?
?
?
?
?
?
?
1.1.1 构成空间几何体的基本元素柱
1.1.2 棱、棱锥和棱台的结构特征
1.1.3 圆柱、圆锥和圆台的结构特征
1.1.4 投影与直观图
1.1.5 三视图
1.1.6 棱柱、棱锥和棱台的表面积
1.1.7 柱、锥和台的体积
棱柱表面积A=L*H+2*S,体积V=S*H
(L--底面周长,H--柱高,S--底面面积)
圆柱表面积A=L*H+2*S=2π*R*H+2π*R^2,体积V=S*H=π*R^2*H
(L--底面周长,H--柱高,S--底面面积,R--底面圆半径)
球体表面积A=4π*R^2,体积V=43π*R^3
(R-球体半径)
圆锥表面积A=12*s*L+π*R^2,体积V=13*S*H=13π*R^2*H
(s--圆锥母线长,L--底面周长,R--底面圆半径,H--圆锥高)
棱锥表面积A=12*s*L+S,体积V=13*S*H

(s-- 侧面三角形的高,L--底面周长,S--底面面积,H--棱锥高)
长方形的周长=（长+宽）×2 正方形 a—边长 C＝4a
S＝a2 长方形 a和b－边长 C＝2(a+b)
S＝ab 三角形 a,b,c－三边长 h－a边上的高
s－周长的一半 A,B,C－内角 其中s＝(a+b+c)2 S＝ah2 ＝ab2·sinC ＝
[s(s-a)(s-b)(s-c)]12a2sinBsinC(2sinA) 四边形 d,D－对角线长 α－对角线夹角 S＝dD2·sinα
平行四边形 a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角 S＝ah ＝absinα
菱形 a－边长 α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长 S＝Dd2
＝a2sinα 梯形 a和b－上、下底长 h－高
m－中位线长 S＝(a+b)h2 ＝mh d－直径 C＝πd＝2πr
S＝πr2 ＝πd24 扇形 r—扇形半径 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽
正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高
梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2
圆的面积=圆周率×半径×半径
长方体的表面积= （长×宽+长×高＋宽×高）×2 长方体的体积 =长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6
正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高
圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 圆柱的体积=底面积×高
圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体）
的体积=底面积×高 平面图形 名称 符号 周长C和面积S a—圆心角度数
C＝2r＋2πr×(a360) S＝πr2×(a360)
弓形 l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径 α－圆心角的度数 S＝r22·(πα180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)r]
-(r-h)(2rh-h2)12
＝παr2360 - b2·[r2-(b2)2]12
＝r(l-b)2 + bh2
≈2bh3 圆环 R－外圆半径 r－内圆半径 D－外圆直径 d－内圆直径 S＝π(R2-r2)
＝π(D2-d2)4 椭圆 D－长轴 d－短轴 S＝πDd4
立方图形 名称 符号 面积S和体积V 正方体 a－边长 S＝6a2 V＝a3
长方体 a－长 b－宽 c－高 S＝2(ab+ac+bc)
V＝abc 棱柱 S－底面积 h－高 V＝Sh 棱锥 S－底面积
h－高 V＝Sh3 棱台 S1和S2－上、下底面积 h－高 V＝h[S1+S2+(S1S1)12]3
拟柱体 S1－上底面积 S2－下底面积
S0－中截面积 h－高 V＝h(S1+S2+4S0)6
圆柱 r－底半径 h－高 C—底面周长
S底—底面积 S侧—侧面积 S表—表面积 C＝2πr S底＝πr2
S侧＝Ch S表＝Ch+2S底 V＝S底h ＝πr2h
空心圆柱 R－外圆半径 r－内圆半径
h－高 V＝πh(R2-r2) 直圆锥 r－底半径 h－高 V＝πr2h3
圆台 r－上底半径 R－下底半径
h－高 V＝πh(R2＋Rr＋r2)3 球 r－半径
d－直径 V＝43πr3＝πd26 球缺 h－球缺高 r－球半径
a－球缺底半径 V＝πh(3a2+h2)6 ＝πh2(3r-h)3 a2＝h(2r-h) 球台 r1和r2－球台上、下底半径
h－高 V＝πh[3(r12＋r22)+h2]6 圆环体 R－环体半径
D－环体直径 r－环体截面半径 d－环体截面直径 V＝2π2Rr2 ＝π2Dd24
桶状体 D－桶腹直径 d－桶底直径 h－桶高 V＝πh(2D2＋d2)12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心)

V＝πh(2D2＋Dd＋3d24)15
(母线是抛物线形)
三视图的投影规则是：
主视、俯视 长对正
主视、左视 高平齐
左视、俯视 宽相等

点线面位置关系
公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上
公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上
公理三：三个不共线的点确定一个平面
推论一：直线及直线外一点确定一个平面
推论二：两相交直线确定一个平面
推论三：两平行直线确定一个平面
公理四：和同一条直线平行的直线平行
异面直线定义：不平行也不相交的两条直线
判定定理：经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线。
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等

线线平行→线面平行 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
线面平行→线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线
就和交线平行。
线面平行→面面平行 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
面面平行→线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
线线垂直→线面垂直 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
线面垂直→线线平行 如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
线面垂直→面面垂直 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
线面垂直→线线垂直 线面垂直定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直
线a垂直于平面α。
面面垂直→线面垂直 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平
面。
三垂线定理 如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线。

例题

对于四面体ABCD,(1)若AB=AC,BD=CD如何 证明BC垂直于AD?(2)若AB垂直于CD,BD垂直于AC,如
何证明BC垂直于AD?
证明：
(1).取BC的中点F,连结AF,DF,则
∵AB=AC,BD=CD，
∴△ABC与△DBC是等腰三角形，
AF⊥BC,DF⊥BC.而AF∩DF=F,
∴BC⊥面AFD.又AD在平面AFD内，
∴BC
(2).设A在面BCD上的射影为O.连结BO,CO,DO.则
∵CD⊥AB,CD⊥AO,AB∩AO=A,∴CD⊥面ABO.
而BO在平面ABO内，∴BO⊥CD.
同理，DO⊥BC.因此，O是△BCD的垂心，因此有
CO⊥BD.
∵BD⊥CO,BD⊥AO,CO∩AO=O,∴BD⊥面AOC.
而AC在平面AOC内，∴BD⊥AC.
5平面解析几何初步
两点距离公式：根号[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
中点公式：X=(X1+X2)2 Y=(Y1+Y2)2
直线的斜率
倾斜角不是90°的直线`，它的倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率.通常用k来表示，记作：
k=tga(0°≤a＜180°且a≠90°)
倾斜角是90°的直线斜率不存在，倾斜角不是90°的直线都有斜率并且是确定的．

点斜式:y-y1=k(x-x1)；
斜截式：y=kx+b；
截距式：xa+yb=1
直线的标准方程：Ax+Bx+C=0
圆的一般方程：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2 《2表示平方》
圆与圆的位置关系：
1 点在圆上(点到半径的距离等于半径)
点在圆外(点到半径的距离大于半径)
点在圆内(点到半径的距离小于半径)
2 (1)相切:圆心到直线的距离等于半径
(2)相交:圆心到直线的距离小于半径
(3)相离:圆心到直线的距离大于半径
3 圆的切线是指 垂直于半径,直线到圆心距离等于半径的直线,垂足叫切点
4 圆心距为Q 大圆半径为R 小圆半径为r
两圆外切 Q=R+r
两圆内切 Q=R-r (用大减小)
两圆相交 Q两圆外离 Q>R+r
两圆内含 Q直线与圆的位置关系有三种:相离,相交,相切.
有如下关系
相离则d>r,反之d>r则相离,
相切则d=r,反之d=r则相切,
相交则d空间直角坐标系的定义

ABCD – A′B′C′O是长方体，以O为原点，分别以射线OB、OA‘、OB‘为正方向，以线段OB、
OA‘、OB‘建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O – xyz，点O叫做坐标
原点，x、y、z轴叫做坐标轴，由两条坐标轴组成的平面叫做坐标平面， 分别叫做xOy平面、yOz平zOx
平面，这种坐标系叫做右手直角坐标
空间直角坐标系内点的坐标表示方法

设点M为空间的一个定点，过点M分别作垂直于 x、y、z轴的平面，依次交x、y、z轴于点P、Q、R设
点P、Q、R在x、y、z轴上的坐标分别 为x、y、z，那么就得到与点M对应惟一确定的有序实数组（x，
y，z），有序实数组（x，y，z ）叫做点M的坐标，记作M(x，y，z)，其中x、y、z分别叫做点M的横坐
标、纵坐标、竖坐标。
空间内两点之间的距

空间中两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|＝√[(x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 + (z1 - z2)^2
空间中点公式

空间中两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)，中点P坐标[（x1+x2）2, (y1+y2)2,(z1+z2)2]

例题：
1直线L与直线3x+4y-7=0平行，且和两坐标轴围成的三角形面积为24，求直线L的方程。
解：
直线L与3x+4y-7平行，所以斜率相等，同为-34
设直线的方程是y=(-34)x+b
它与两坐标轴的交点坐标分别是(0,b),(4b3,0)
和两坐标轴围成的三角形面积为24
(12)*|b|*|4b3|=24
|b?|=36
b=±6
直线L有两条，方程分别是y=(-34)x+6或y=(-34)x-6

2求两点(-5,-1),(-3,4)连成线段的垂直平分线的方程.
解
设y=k1x+b1过两点(-5,-1)(-3,4) 得{-1=-5k1+b1
{4=-3k1+b1 解之得{k1=52；b1=232
y=5x2+232 因为k1*k2=-1
所以k2=-25 (x1+x2)2=(-5-3)2=-4
(y1+y2)2=(-1+4)2=32 (-4,32)过所求方程y=k2x+b
32=-25*(-4)+b b=-110
所以y=-2x5-110 化简4x+10y+1=0
6基本初等函数
从其中一个顶点向一个边引一条线，交另一边上 某一点，则这个图形变成有一条公共边且另一组边在同一
直线上的两个三角形。有六个内角，其中公共边 与另一组在同一直线上的边相交形成的两个角中，每一个
角都是一个三角形的一个内角，且是另一个三角 形的一个外角……
另外还有大于平角小于周角的角。
正弦函数 sinθ=yr
余弦函数 cosθ=xr
正切函数 tanθ=yx
余切函数 cotθ=xy
正割函数 secθ=rx
余割函数 cscθ=ry
同角三角函数间的基本关系式：
·平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·积的关系：
sinα=tanα*cosα
cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα
cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα

cscα=secα*cotα
·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
一个园,弧长和半径相等时所对应的角度是1弧度.弧度和角度的换算关系:
弧度*180(2*π)=角度
★ 诱导公式★
常用的诱导公式有以下几组：

公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα

公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα

公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα

公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα

公式六：
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π2＋α）＝cosα
cos（π2＋α）＝－sinα
tan（π2＋α）＝－cotα
cot（π2＋α）＝－tanα

sin（π2－α）＝cosα
cos（π2－α）＝sinα
tan（π2－α）＝cotα
cot（π2－α）＝tanα

sin（3π2＋α）＝－cosα
cos（3π2＋α）＝sinα
tan（3π2＋α）＝－cotα
cot（3π2＋α）＝－tanα

sin（3π2－α）＝－cosα
cos（3π2－α）＝－sinα
tan（3π2－α）＝cotα
cot（3π2－α）＝tanα
(以上k∈Z)


函数类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
正弦 + + — —
余弦 + — — +
正切 + — + —
余切 + — + —

正弦函数的性质：

解析式：y=sinx
图像

波形图像（由单位圆投影到坐标系得出）

定义域

R(实数)
值域：

[-1，1] 最值： ①最大值：当x=(π2)+2kπ时，y(max)=1 ②最小值：当x=-(π2)+2kπ时，y(min)=-1
值点： (kπ,0)
对称性：

1)对称轴：关于直线x=(π2)+kπ对称 2)中心对称：关于点(kπ,0)对称 周期：2π
奇偶性：

奇函数
单调性：

在[-(π2)+2kπ,(π2)+2kπ]上是增函数，在[(π2) +2kπ,(3π2)+2kπ]上是减函数

余弦函数的性质：

余弦函数
图像：

波形图像
定义域：
R
值域：
[-1，1]
最值：

1）当x=2kπ时,y(max)=1
2）当x=2kπ+π时,y(min)=-1
零值点：(π2+kπ,0)
对称性：

1）对称轴：关于直线x=kπ对称
2）中心对称：关于点(π2+kπ,0)对称
周期：
2π
奇偶性
：偶函数
单调性：

在[2kπ-π,2kπ]上是增函数
在[2kπ,2kπ+π]上是减函数

定义域：{x|x≠(π2)+kπ,k∈Z}
值域：R
最值：无最大值与最小值

零值点：(kπ,0)
对称性：
轴对称：无对称轴
中心对称：关于点(kπ,0)对称
周期：π
奇偶性：奇函数
单调性：在(-π2+kπ,π2+kπ)上都是增函数

7平面向量

坐标表示法

平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 作为基底。由平面
向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成 ，由于与数对(x,y)是一一对 应的，因此把(x,y)叫做向量
的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y 轴上的坐标。
来表示平面内的各个方向

在数学中，我们通常用点表示位置，用射线 表示方向．在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用
向量的表示向量常用一条有向线段来表示， 有向线段的长度表示向量
的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．向量也可用字母a①、b、c等表示 ，或用表示向量的有向线段
的起点和终点字母表示．
向量 的大小，也就是向量 的长度(或 称模)，记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0．长度等于1个
单位长度的向量，叫做单位向量 ．

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a、b、c平行，记作a∥b∥c．0向量 长度为零，是起点
与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定0与任一向量平行．
长度相等 且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b．零向量与零向量相等．任意两个
相等的 非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．

向量的运算

1、向量的加法：
AB+BC=AC
设a=（x,y） b=(x',y')
则a+b=(x+x',y+y')

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量加法的性质：
交换律：
a+b=b+a
结合律：
(a+b)+c=a+(b+c)
a+0=0+a=a
2、向量的减法
AB-AC=CB
a-b=(x-x',y-y')
若ab
则a=eb
则xy`-x`y=0
若a垂直b
则ab=0
则xx`+yy`=0
3、向量的乘法
设a=（x,y） b=(x',y')
a·b(点积）=x·x'+y·y'=|a|·|b|*cos夹角
1、向量有关概念：
（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不 能
说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），则把向量 按向量 ＝（－
1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作： ，注意零向量的方向是任意的；
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 共线的单位向量是 )；
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 、 叫做平行向量，记作： ‖ ，规 定零向
量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行 与与两
条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有 )；④三点 共线 共线；
（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相反向量是
例题：
1.已知点A(1,1),B(-1,5)及AC向量=12AB向量，AD向量=2AB向量，AE向量=-1 2AB向量，求点C，D，
E的坐标。
设C点(x，y)，则AB＝(－2，4)，AC＝(x－1，y－1).
由AC＝12AB得：
x－1＝12×(－2)＝－1，
y－1＝12×4＝2
设D点(x，y)，则AD＝(x－1，y－1).
由AD＝2AB得：
x－1＝2×(－2)＝－4，
y－1＝2×4＝8
所以，x＝－3，y＝9，所以点C的坐标是(－3,9)
所以，x＝0，y＝3，所以点C的 坐标是(0,3)

设E点(x，y)，则AE＝(x－1，y－1).
由AE＝－12AB得：
x－1＝－12×(－2)＝1，
y－1＝－12×4＝－2
所以，x＝2，y＝－1，所以点C的坐标是(2,－1)


8三角恒等变换
两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tanα＋tanβ
（α＋β）＝——————
1－tanα ·tanβ
tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα ·tanβ
倍角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)
2tanα
tan2α＝—————
1－tan^2(α)
半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
1－cosα
sin^2(α2)＝—————
2
1＋cosα
cos^2(α2)＝—————
2
1－cosα
tan^2(α2)＝—————
1＋cosα
万能公式

⒌万能公式
2tan(α2)

sinα＝——————
1＋tan^2(α2)
1－tan^2(α2)
cosα＝——————
1＋tan^2(α2)
2tan(α2)
tanα＝——————
1－tan^2(α2)
和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式 α＋β α－β
sinα＋sinβ＝2sin—----·cos—---
2 2
α＋β α－β
sinα－sinβ＝2cos—----·sin—----
2 2
α＋β α－β
cosα＋cosβ＝2cos—-----·cos—-----
2 2
α＋β α－β
cosα－cosβ＝－2sin—-----·sin—-----
2 2
积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式
sinα ·cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
cosα ·sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]
cosα ·cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
sinα ·sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]
9解三角形

步骤1.
在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。作CH⊥AB垂足为点D
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA

得到
asinA=bsinB
同理，在△ABC中，
bsinB=csinC
步骤2.
证明asinA=bsinB=csinC=2R：
如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.
连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以csinC＝csinD=BD=2R
aSinA=BCSinD=CD=2R
类似可证其余两个等式。
二
.
正弦定理的变形公式

(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;
(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;


a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA
b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB
c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
CosC=(a^2+b^2-c^2)2ab
CosB=(a^2+c^2-b^2)2ac
CosA=(c^2+b^2-a^2)2bc
证明：
∵如图，有a+b=c
∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)
整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）
再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
同理可证其他，而下面的Cos C=(c^2-b^2-a^2)2ab就是将CosC移到左边表示一下。
例题：
1已知（B+C）：（C+A）：（A+B）=4：5：6，求此三角形的最大内角
解：设 b+c=4x，可得a=7x2,b=5x2,c=3x2,
再用余弦定理

cosA=-12,即A=120
21.在三角形ABC中,已知(b+c) ;(c+a);(a+b)=4;5;6,则sinA;sinB;sinC=_________
解：、asinA=bsinB=csinC
(b+c);(c+a);(a+b)=4;5;6
(sinB+sinC):(sinC+sinA):(sinA+sinB)=4k:5k:6k
解得sinA=7k2 sinB=5k2 sinC=3k2
所以sinA:sinB:sinC=7:5:3

10数列
一、
等差数列

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同 一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常
数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
等差数列的通项公式为：
an=a1+(n-1)d (1)
前n项和公式为：
Sn=na1+n(n-1)d2或Sn=n(a1+an)2(2)
从(1)式可以看出 ，an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是
n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
在等差数列中，等差中项：一般设为Ar，Am+An=2Ar,所以Ar为Am，An的等差中项。
且任意两项am，an的关系为：
an=am+(n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式。
从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}
若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有
am+an=ap+aq
Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。
和＝（首项＋末项）×项数÷2
项数＝（末项-首项）÷公差＋1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
等差数列的应用：
日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别
时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。
若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)＝0。
等比数列
如果一 个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常
数叫做 等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）
若通项公式变形为an=a1q *q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线

< br>y=a1q*q^x上的一群孤立的点。
（2）求和公式：Sn=nA1(q=1)
Sn=A1(1-q^n)(1-q)
=(a1-a1q^n)(1-q)
=a1(1-q)-a1(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)
(前提：q不等于 1)
任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，
k∈{1,2,…,n}
（4）等比中项：aq·ap=ar*2，ar则为ap，aq等比中项。
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，
用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列 与
等差数列是―同构‖的。
性质：
①若 m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am·an=ap·aq；
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.
―G是a、b的等比中项‖―G^2=ab（G≠0）‖.
(5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)(1-q)
在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.
注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
等比数列在生活中也是常常运用的。
如：银行有一种支付利息的方式---复利。
即把前一期的利息赫本金价在一起算作本金，
在计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。
按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期
例题
1已知数列：（An),Sn=3an+2,求证，An是等比数列。
解：当n=1时 a1=3a1+2 得a1=-1
当n>=2时 有Sn=3an+2 ………………1式
S(n-1)=3a(n-1)+2 （括号代表下标 下同）…………2式
1式-2式 得 an=3an-3a(n-1) 【an=Sn-S(n-1)】
所以 3a(n-1)=2an an=32a(n-1)
所以{an}是以-1为首项 以32为公比的等比数列
2已知等差数列{AN}的前N项和为SN，且A3=5，S15=225. 数列{BN}是等比数列，B3=A2+A3，B2B5=128.
（1）求数列{AN}的通项AN及数列{BN}的前9项的和T9
解 1.设等差数列an的首项为a1,公差为d；等比数列首项b1,公比为q
a3=a1+2d=5
s15=(a1+a15)*152=(a1+a1+14d)*152=225
解出a1=1 d=2
所以数列an通项公式an=a1+(n-1)d=2n-1
可以求出a2=3,a3=5,所以b3=8
b3=b1q^2=8
b2b5=(b1q)*(b1q^4)=b1^2*q^5=128

解出b1=1 q=2
所以bn=b1*q^(n-1)=2^(n-1)
tn=a1(1-q^n)(1-q)=2^n-1
所以t9=2^9-1=511

11不等式
不等式(inequality)
用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。例如2x＋2y≥2xy，sinx≤1，ex＞0 ，2x＜3等 。根据解析
式的分类也可对不等式分类，不等号两边的解析式都是代数式的不等式，称为 代数不等式；只要有一边是
超越式，就称为超越不等式。例如lg(1＋x)＞x是超越不等式。 通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，… …，z )
（其中不等号也可以为＜，≥，＞ 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定 义域，不等式
既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
不等式的最基本性质有：①如果x ＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；②如果x＞y，y＞z；那么x＞z；
③如果x＞y，而 z为任意实数，那么x＋z＞y＋z；④ 如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；⑤如果x＞y，z＜
0，那么xz＜yz。
由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，其中比较有名的有：
柯西不等式：对于2n个任意实数x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，恒有（x1y1＋x2y2＋ …＋xnyn）2≤
（x12＋x22＋…＋xn2）（y12＋y22＋…＋yn2）。
排 序不等式：对于两组有序的实数x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，设yi1，yi2，…，yin 是后一组的任意一
个排列，记S＝x1yn＋x2yn-1＋…＋xny1，M＝x1yi1＋x2yi 2＋…＋xnyin，L＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn，
那么恒有S≤M≤L。
根据不等式的基本性质，也可以推出解不等式可遵循的一些同解原理。主要的有：①不等式F（x）＜ G
（x）与不等式 G（x）＞F（x）同解。②如果不等式F（x） ＜ G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定
义域所包含，那么不等式 F（x）＜G（x）与不等式F （x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解。③如果不
等式F（x）＜G（x） 的定义域被解析式H （x）的定义域所包含，并且H（x）＞0，那么不等式F(x)＜G
（x）与不等式H（x）F（x） ＜H（ x ）G（x） 同解；如果H（x）＜0，那么不等式F（x）＜G（x）
与不等式H (x )F（x）＞H（x）G（x）同解。④不等式F（x）G（x）＞0与不等式同解；不等式F（x）G
（x）＜0与不等式同解。
不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号 ―＞‖―＜‖连接的不等式称为严格
不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）
―≥‖―≤‖连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子，那它就是一个不等式.
如:甲大 于乙(甲>乙),就是一个不等式.不等式不一定只有「>」,「0,即A>B.又同理可证:A>C,A>D. 所以,A最
大.
不等式是不包括等号在内的式子比如：（不等号 大于等于号，小于等于号）只要用这些号放在式子里就是
不等式咯．．
1.符号： 不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。
2.确定解集：
比两个值都大，就比大的还大；
比两个值都小，就比小的还小；
比大的大，比小的小，无解；
比小的大，比大的小，有解在中间。

三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。
3.另外，也可以在数轴上确定解集：
把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点 把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集
的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等 式组的解集。有几个就要几个。
1.不等式的基本性质:
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3:如果a>b,c >0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d.
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.
性质7:如果a>等于b c>b 那么c大于等于a

均值不等式
A+B2>=根号下ab a+b>=2倍根号下ab(a>0,b>0)
当且仅当a=b时，式中等号成立
一元二次不等式

含有一个未知数且未 知数的最高次数为2次的的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是
ax^2+bx+c>0或ax ^2+bx+c<0(a不等于0),其中ax^2+bx+c实数域上的二次三项式。
一元二次不等式的解法 1）当V(表示判别是，下同）=b^2-4ac>=0时，二次三项式，ax ^2+bx+c有两
个实根，那么ax^2+bx+c总可分解为a(x-x1)(x-x2)的形式。 这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一
元一次不等式组。一元二次不等式的解集就是这两个一元一 次不等式组的解集的并集。
还是举个例子吧。
2x^2-7x+6<0
利用十字相乘法
2x －3
1x －2

得（2x-3)(x-2)<0
然后，分两种情况讨论：
一、2x-3<0，x-2>0
得x<1.5且x>2。不成立
二、2x-3>0，x-2<0
得x>1.5且x<2。
得最后不等式的解集为：1.5另外，你也可以用配方法解二次不等式：
2x^2-7x+6
=2(x^2-3.5x)+6
=2(x^2-3.5x+3.0625-3.0625)+6
=2(x^2-3.5x+3.0625)-6.125+6
=2(x-1.75)^2-0.125<0
2(x-1.75)^2<0.125
(x-1.75)^2<0.0625
两边开平方，得
x-1.75<0.25且x-1.75>-0.25
x<2且x>1.5
得不等式的解集为1.5一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解 通过看图象可知，二次函数图象与Ｘ轴的两个交点，
然后根据题目所需求的＂＜０＂或＂＞０＂

例题
例1． 为了能有效地使用电力资源，宁波市电业局从2003年1月起进行居民峰谷用 电试点，每天8：00
至22：00用电千瓦时0.56元(―峰电‖ 价),22：00至次日8：00每千瓦时0.28元(―谷电‖ 价),而目
前不使用―峰谷‖电的居 民用电每千瓦时0.53元.当―峰电‖用量不超过每月总电量的百分之几时,使用
―峰谷‖电合算?
分析：本题的一个不等量关系是由句子―当?峰电‘用量不超过每月总电量的百分之几时,使用?峰谷‘
电合算‖得来的，文中带加点的字―不超过‖明显告诉我们该题是一道需用不等式来解的应用题. < br>解:设当―峰电‖用量占每月总用电量的百分率为x时,使用―峰谷‖电合算,月用电量总量为y.依题意 得
0.56xy+0.28y(1－x)＜0.53y.
解得x＜89℅
答：当―峰电‖用量占每月总用电量的89℅时，使用―峰谷‖电合算．
例2．
例：
生产安排模型：某工厂要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备 台时及A、B两种
原材料的消耗，如表所示，表中右边一列是每日设备能力及原材料供应的限量，该工厂 生产一单位产品Ⅰ
可获利2元，生产一单位产品Ⅱ可获利3元，问应如何安排生产，使其获得最多？

解：
1、确定决策变量：设x1、x2为产品Ⅰ、Ⅱ的生产数量；
2、明确目标函数：获利最大，即求2x1+3x2最大值；
3、所满足的约束条件：
设备限制：x1+2x2≤8
原材料A限制：4x1≤16

原材料B限制：4x2≤12
基本要求：x1,x2≥0
用max代替最大值，s.t.（subject to 的简写）代替约束条件，则该模型可记为：
max z=2x1+3x2
s.t. x1+2x2≤8
4x1≤16
4x2≤12
x1,x2≥0