高中数学三角函数知识点总结

高中数学第四章-三角函数
1. ①与
?
（0°≤
?
＜360°）终边相同的角的集合（角
?
与角
?
的终边重合）：
?
|
?
?k?360
?
?
?
,k?Z

▲
??
②终边在
x
轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180,k?Z

③终边在
y轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180?90,k?Z

④终边在坐标轴上的角的集合：
?
|
?
?k?90
?
,k ?Z

⑤终边在
y
=
x
轴上的角的集合：
?|
?
?k?180
?
?45
?
,k?Z
< br>⑥终边在
y??x
轴上的角的集合：
?
|
?
?k?1 80
?
?45
?
,k?Z

?
?
?
y
2
sinx
1
cosx
cosx
3
sinx< br>?
??
?
4
cosx
cosx
1
sinx< br>2
sinx
3
x
??
4
??
??
S INCOS
三角函数值大小关系图
1、2、3、4表示第一、二、三、
四象限一半所在 区域
⑦若角
?
与角
?
的终边关于
x
轴对称，则角< br>?
与角
?
的关系：
?
?360
?
k?
?

⑧若角
?
与角
?
的终边关于
y
轴对 称，则角
?
与角
?
的关系：
?
?360
?
k?180
?
?
?

⑨若角
?
与角
?的终边在一条直线上，则角
?
与角
?
的关系：
?
?18 0
?
k?
?

⑩角
?
与角
?
的终 边互相垂直，则角
?
与角
?
的关系：
?
?360
?
k?
?
?90
?

2. 角度与弧度的互换关系：360°=2
?
180°=
?
1°= 1=°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式： 1rad＝
180
°≈°=57°18ˊ． 1°＝
?
≈（rad）
?
180
3、弧长公式：
l?|
?
|?r
. 扇形面积公式：
s
扇形
?lr?|
?
|?r
2
< br>y
a
的终边
P（x,y)
r
1
2
1
2
4、三角函数：设
?
是一个任意角，在
?
的终边上任取（异于（x,y）P与原点的距离为r，则
sin
?
?
y
；
cos
?
?
x
；
r
r
原点的）一点P
tan
?
?
y
x
；
cot
?
?
r
r
x
；
sec
?
?
；.
csc
?
?
.
x
y
y
o
x
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四 余
y
P
T
弦）
+
+
o
x
--
正弦、余割
y
-+
o
-+
x
余弦、正割y
-
+
o
x
+-
正切、余切
y
OM
A
x

6、三角函数线

正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.

7. 三角函数的定义域：
16. 几个重要结论
:
(1)
y
(2)y
|sinx|>|cosx|
sinx>cosx
O
x
|co sx|>|sinx|
O
|cosx|>|sinx|
x
cosx>sinx
|sinx|>|cosx|
?
(3) 若 o2
三角函数
f(x)?
sin
x

f(x)?
cos
x

f(x)?
tan
x

f(x)?
cot
x

f(x)?
sec
x

f(x)?
csc
x

定义域
?
x|x?R
?

?
x|x?R
?
1
??
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?

2
??
?
x|x?R且x?k
?
,k ?Z
?

1
??
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?

2
??
?
x|x?R且 x?k
?
,k?Z
?

cos
?
sin
?
?cot
?
8、同角三角函数的基本关系式：
sin
?
?tan
?

cos
?
tan
?
?cot
?
?1

csc??sin??1

sec??cos??1

sin
2
?
?cos
2
?
?1

sec
2
?
?tan
2
?
?1

csc
2
?
?cot
2
?
?1

9、诱导公式：
把
k
?

?
?
的三角函 数化为
?
的三角函数，概括为：
2
“奇变偶不变，符号看象限”
三角函数的公式：（一）基本关系

公式组一
sin
x
·
csc
x
=1
cos
x
·
sec
x
=1
tan
x
·
c ot
x
=1
tan
x
=
x
=
sinxcosx
sinx
公式组二 公式组三
s in
2
x
+cos
2
x
=1
1+tan
x
=sec
x
sin(2k
?
?x)?sinx
cos(2k
?
?x)?cosx
tan(2k
?
?x)?tanx
co t(2k
?
?x)?cotx
sin(?x)??sinx

cos

x

2

2

1+cot
2
x
=csc
2
x

cos(?x) ?cosx
tan(?x)??tanx
cot(?x)??cotx

公式组四 公式组五 公式组六

sin(
?
?x)??sinxsin(2
?
?x) ??sinxsin(
?
?x)?sinx
cos(
?
?x)??c osxcos(2
?
?x)?cosxcos(
?
?x)??cosx

tan(
?
?x)?t anxtan(2
?
?x)??tanxtan(
?
?x)??tanxcot(
?
?x)?cotxcot(2
?
?x)??cotxcot(
?
?x)??cotx
（二）角与角之间的互换
公式组一 公式组二
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos< br>?
?sin
?
sin
?

sin2
?
?2sin
?
cos
?

co s(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?si n
?
sin
?

cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1? 1?2sin
2
?

sin(
?
?
?
)? sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

tan2
?
?
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

sin
2tan
?
1?tan
2
?

?
2
??
1?cos
?

2
tan(?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
?< br>1?cos
?

cos??

1 ?tan
?
tan
?
22
tan
?
?tan
?

tan

?
??
1?cos< br>?
?
sin
?
?
1?cos
?
1?tan< br>?
tan
?
21?cos
?
1?cos
?
s in
?
tan(
?
?
?
)?
公式组三 公式组四 公式组五
1
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?
?
2tan
2
2

sin
?
?
1
2
?
?
sin
?< br>?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?
?
cos
?
sin
?
?
1?tan
2
2
1
cos
?
cos
?
?
?
co s
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?< br>?
?
?
?
2
1?tan
2
1
2
cos
?
?
sin
?
sin
?
??
?
cos
?
?
?
?
?
?cos?
?
?
?
?
?
?
2
1?tan
2
?
?
??
?
?
2
sin
?
? sin
?
?2sincos
22
?
?
??
?
?
?
sin
?
?sin
?
?2cossin
2t an
22
2

tan
?
?
?
?
??
?
?
cos
?
?cos
?
?2cos cos
2
?
22
1?tan
2
?
?
??< br>?
?
cos
?
?cos
?
??2sinsin
22
?
??
6?2
?
sin
?
cos
?
?
1
cos(
?
?
?
)?sin
?
2
1
sin(
?
?
?
)?cos
?
2< br>1
tan(
?
?
?
)?cot
?
2
1
cos(
?
?
?
)??sin
?
2
1< br>tan(
?
?
?
)??cot
?
2
1
sin(
?
?
?
)?cos
?
2
sin15?
?cos75
?
?
, ,
tan15?cot75?2?3
,.
tan75?cot15
?
?2?3

4
sin75
?
?cos15
?
?
6?2

4


10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

y?sinx

y?cosx
y

?tanx
1< br>??
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
??

2
??

y?cotx
y?Asin
?
?
x?
?
?

（A、
?
＞0）
定义域 R R

?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?
R

值域
周期性
奇偶性
[?1,?1]

[?1,?1]

R
?

R
?

?
?A,A
?

2
?

2
?

奇函数
2
?

?
奇函数 奇函数

偶函数
当
?
?0,
非奇非偶
当
?
?0,
奇函数






单调性
[?
?
2
?2k
?
,
[
?
2k?1
?
?
,
2k
?
]
；
?
?
?
?
?
?
?k
?
,?k?
?
2
?
2
?
?
k
?
,?
k?1
?
?
?
上为减函
数（
k?Z
）
?
2
?2k
?
]
上为增函
数
[2k< br>?
,
上为增函数
（
k?Z
）
上为增函
数< br>[
?
?
2k
?
?
?
?
?
2 k
?
?
?
?
?
2
(A),
?
?< br>?
?
1
?
?
?
?
?
2
(? A)
?
?
?
??
?
?
；
?2k
?
,
?
2k?1
?
?
]

上为增函数； < br>?
?
2k
?
?
?
?
?
2k
?
?
?
?
?
2
(A),
?
?
?< br>?
3
?
?
?
?
?
2
(?A)
?
?
?
??
?
?
上为减函
数
（
k?Z
）

?
2
3
?
?2k
?
]
2
上为减函
数（
k?Z
）
上为减函数
（
k?Z
）
注意：①
y??sinx
与
y?sinx
的单调性正好相反；
y??cosx
与
y?cosx
的单调性也同样相反.一般地，若
，则
y??f(x)
在
[a,b]
上递减（增）.
y?f(x)
在
[a,b]
上递增（减）
②
y?sinx
与
y?cosx
的周期是
?
.
③
y?sin(
?
x?
?
)
或
y?cos(
?
x?
?
)
（
?
?0
）的周期
T?
y?tan
▲
y
2
?
x
?
.
O
x
的周期为2
?
（
?
T??T?2
?
，如图，翻 折无效）.
2
?
④
y?sin(
?
x?
?)
的对称轴方程是
x?k
?
?
?
2
（
k?Z
），对称中心（
k
?
,0
）；
y?cos(
?
x?
?
)
的对称轴方程是
，对称中心（
k
??
1
?
,0
）；
y?tan(
?
x?
?
)
的对称中心（
x?k
?
（
k?Z
）
2
k
?
,0
）.
2
?
2
(k?Z)
.
y?cos2x?
原点对称
????y??cos(?2x)??cos2x

⑤当
tan
?
·
tan
?
?1,
?
?
?
?k
?
?
?
2
(k?Z)
；
tan
?
·
tan
?
??1,
?
?
?< br>?k
?
?
?
?
⑥
y?cosx
与
y ?sin
?
?
x??2k
?
?
是同一函数,而
y? (
?
x?
?
)
是偶函数，则
2
??
1< br>y?(
?
x?
?
)?sin(
?
x?k
?< br>?
?
)??cos(
?
x)
.
2

< br>⑦函数
y?tanx
在
R
上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，
y?tanx
为
增函数，同样也是错误的].
⑧定义域关 于原点对称是
f(x)
具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原 点
对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：
f(?x)?f(x)
，奇函数 ：
f(?x)??f(x)
）
1
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：y?tanx
是奇函数，
y?tan(x?
?
)
是非奇非偶.（ 定义域不关于原点
3
对称）
奇函数特有性质：若
0?x
的定义域， 则
f(x)
一定有
f(0)?0
.（
0?x
的定义域，则无 此性质）
▲
⑨
y?sinx
不是周期函数；
y?sinx
为周期函数（
T?
?
）；
；
y?cosx
为周期函数（
T?
?
）；
y?c osx
是周期函数（如图）
y
▲
y
x
12
x
y=cos|x|图象
1
，并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
y?co s2x?
的周期为
?
（如图）
2
y=|cos2x+12|图象y?f(x)?5?f(x?k),k?R
.
⑩
y?acos
?
?bsin
?
?a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)?cos
?
?
11、三角函数图象的作法：
１）、几何法：
b
有
a
2
?b
2
?y
.
a
２）、描点法及 其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.
３）、利用图象变换作三角函数图象．
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数y＝Asin（ωx＋φ）的 振幅|A|，周期
T?
2
?
，频率
f?
1
?
|
?
|
，相位
?
x?
?
;
初相
?
（即当x＝0
|
?
|
T2
?
时的相位）．（当A ＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐 标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来
的|A|倍，得到y＝Asinx的图象， 叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用yA替换y）
由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不 变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的
|
1
?
|
倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)
由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)

< br>由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝ sinx
＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）
由y＝sinx的图 象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注
意： 当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。
4、反三角函数：
函数
y
＝sin
x
，
?
?
??
?
．
－，
?
?
22
?
?
?
??
?
?
的反函数叫做反正弦函数，记作
??
?
x?
?
?
2
，
?
2
?
??
??
y
＝ar csin
x
，它的定义域是［－1，1］，值域是
函数
y
＝cos< br>x
，（
x
∈［0，
π
］）的反应函数叫做反余弦函数，记作< br>y
＝arccos
x
，它的定义域是［－1，
1］，值域是［0，π
］．
函数
y
＝tan
x
，
?
值域 是
?
?
?
，
?
?
．
?
?
?
22
?
?
??
?
?
的反函数叫做反正切函数， 记作
?
?
?
?
x?
?
?
2
，2
?
?
?
??
y
＝arctan
x
， 它的定义域是（－∞，＋∞），
函数
y
＝ctg
x
，［
x< br>∈（0，
π
）］的反函数叫做反余切函数，记作
y
＝arcctgx
，它的定义域是（－∞，
＋∞），值域是（0，
π
）．

II. 竞赛知识要点
一、反三角函数.
1. 反三角函数：⑴反正弦函数
y?arcsinx
是奇函数，故
arcsin(?x)??arcsinx
，x?
?
?1,1
?
（一定要注明定
义域，若
x?
?
??,??
?
，没有
x
与
y
一一对应，故y?sinx
无反函数）
注：
sin(arcsinx)?x
，
x?
?
?1,1
?
，
arcsinx?
?
??
,
?
?
.
?
?
22
?
?
⑵反余弦函数
y?arccosx
非奇非偶，但有
arccos(?x)?a rccos(x)?
?
?2k
?
，
x?
?
?1,1
?
.
注：①
cos(arccosx)?x
，
x?
?
?1,1
?
，
arccosx?
?
0,
??
.
②
y?cosx
是偶函数，
y?arccosx
非奇非偶，而
y?sinx
和
y?arcsinx
为奇函数.
⑶反 正切函数：
y?arctanx
，定义域
(??,??)
，值域（
?
arctan(?x)??arctanx
，
x?
(??,??)
.
??
，
y?arctanx
是奇函数，
,
）
22
注：
tan(arctanx)?x
，
x?
(??,??)
.

⑷反余切函数：
y?arccotx
，定义域
(??,? ?)
，值域（
?
arccot(?x)?arccot(x)?
?
? 2k
?
，
x?
(??,??)
.
??
22
,
），
y?arccotx
是非奇非偶.
注：①
cot(arccotx)?x
，
x?
(??,??)
.
②
y?arcsinx
与
y?arcsin(1?x)
互为奇函数，
y?arctanx
同理为奇而
y?arccosx
与
y?arcc otx
非奇非偶但满
足
arccos(?x)?arccosx?
?
?2k
?
,x?[?1,1]arccotx?arccot(?x)?
?
? 2k
?
,x?[?1,1]
.

⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：
a
的取值范围 解集
a
的取值范围 解集
①
sinx?a
的解集 ②
cosx?a
的解集
a
＞1
?

a
＞1
?

=1
?
x|x?2k
?
?arcsina,k?Z
?

a
=1
?
x|x?2k
?
?arccosa,k?Z
?

＜1
x|x?k
?
?
?
?1
?
k
arcsina,k?Z

a
＜1
?
x|x?k
?
?arccosa,k?Z
?

a
a
??
③
tanx?a
的解集：
?
x|x?k?
?arctana,k?Z
?
③
cotx?a的解集：
?
x|x?k
?
?arccota,k?Z
?

二、三角恒等式.
n
cos
?
cos2
?
cos 4
?
...cos2
?
?
n?1
2sin
?
组一
sin2
n?1
?
sin3
?
?3sin
?
?4sin
3
?
cos3
?
?4cos
3
?
?3cos
?
sin
2
?
?sin
2
?
?sin
?
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
?cos
2
?
?cos
2
?

组二
?
cos
2
k?1
n
?k
?cos
?
2
cos
?
4
cos
?
8
?cos
?
2
n
?
sin
?
2
n
sin
?
2
n

?
k?0
n< br>n
cos(x?kd)?cosx?cos(x?d)???cos(x?nd)?
si n((n?1)d)cos(x?nd)

sind
?
sin(x?kd)? sinx?sin(x?d)???sin(x?nd)?
k?0
sin((n?1)d)si n(x?nd)

sind
tan(
?
?
?
??
)?
tan
?
?tan
?
?tan
?
?tan
?
tan
?
tan
?

1?tan?
tan
?
?tan
?
tan
?
?tan?
tan
?
组三 三角函数不等式
?
sinx
在
(0,
?
)
上是减函数
sinx
＜
x
＜
tanx,x?(0,)

f(x)?
2
x
若
A?B?C?
?
，则
x
2
?y
2
?z
2
?2yzcosA?2xzcosB?2x ycosC