高中数学知识点总结_椭圆及其性质

椭圆及其性质
1.方程
x
2
m
?
y
2
2
?1
表示椭圆
?
m
>0，
n
>0， 且
m
≠
n
；
a
是
m
，
n
中之较大者，焦点
n
的位置也取决于
m
，
n
的大小。
[举例] 椭圆
x
2
4
?
y
2
m
?1
的离心率为
1
2
，则
m
=
解析： 方程中4和
m
哪个大哪个就是
a
2
，因此要讨论；（ⅰ）若0<m
<4,则
a
2
?4,
b
2
?m
，< br>∴
c?
∴
e
=
4?m
，∴
e
=4?m
2
16
=
1
2
2
2
，得
m
=3；（ⅱ）∴
c?
m
>4,则
b?4,
a?m
，
m?4
，
。
m
233
[巩固]若方程：x
2
+ay
2
=a
2
表示长轴长是短轴长的2倍的椭圆，则a的允许值的个数是
A 1个 B .2个 C.4个 D.无数个
2．椭圆
x
a
2
2
m?4=
1
，得
m
=；综上：
m
=3或
m
=
16
?
y
b
2
2

?1
关于x轴 、y轴、原点对称；P(x,y)是椭圆上一点，则|x|≤a,|y|≤b，
a-c≤|PF|≤a+ c，（其中F是椭圆的一个焦点），椭圆的焦点到短轴端点的距离为a，椭圆的
焦准距为
b2
c
，椭圆的通经(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2
b
2
a< br>，通经是过焦点最短的弦。
[举例1] 已知椭圆
x
a
2
2
?
y
b
2
2
?1
（
a
>0,b
>0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若
BF⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 。
解析： |AB|
2
=
a
2
+
b
2
，|BF|=< br>a
，|FA|=
a
+
c
，在Rt⊿ABF中，(
a< br>+
c
)
2
=
a
2
+
b
2< br>+
a
2

2
化简得：
c
2
+ac
-
a
2
=0，等式两边同除以
a
2
得：< br>e?e?1?0
，解得：
e
=
5?1
2
。
注：关于
a
,
b
，
c
的齐次方程是“孕育”离心率的温床。
[举例2] 已知椭圆
x
a
2
2
?
y
b< br>2
2
?1
（a>0,
b
>0）的离心率为
3
5
，若将这个椭圆绕着它的右焦
16
3
点按逆时针方向旋转
?
2
后，所得的新的椭圆的一条准线的方程为
y
=，则原来椭圆的方
程是 。
解析：原来椭圆的右焦点为新椭圆的上焦点，在x轴上，直线
y
=
16< br>3
16
3
16
3
为新椭圆的上准线，
16
3
故新椭圆的焦准距为，∴原来椭圆的焦准距也为，于是有：
b
2
c
= ①，

c
a
=
3
5
②，由①②解得：
a
=5，
b
=3。
[巩固1]一椭圆的四个顶点 为A
1
，A
2
，B
1
，B
2
，以椭圆的中 心为圆心的圆过椭圆的焦点，的
椭圆的离心率为 。
[巩固2] 在给定椭圆中， 过焦点且垂直于长轴的弦长为
2
，焦点到相应准线的距离为1，
则该椭圆的离心率为
(A)
2
(B)
22
2
2
(C)
1
2
(D)
2
4

[迁移]椭圆
x
4
1
?y
3
P
2
，P
3
，?，P
n
，椭圆的 右焦点F，数列{| P
n
F|}
?1
上有n个不同的点P
1，
是公差大于
100
的等差数列，则n的最大值为 （ ）
A．198 B．199 C．200 D．201
3.圆锥曲线的定义是求轨迹方程的重要载体之一。
[举例1]已知⊙Q：(x-1)+y= 16,动⊙M过定点P(-1,0)且与⊙Q相切，则M点的轨迹方程是：
。
解析：P(-1,0)在⊙Q内，故⊙M与⊙Q内切，记：M(x,y)，⊙M的半径是为r，则：
|MQ|=4-r，又⊙M过点P，∴|MP|=r，于是有：|MQ|=4-|MP|，即|MQ|+ |MP|=4，可见M点的轨迹
是以P、Q为焦点（c=1）的椭圆，a=2。
[举例2] 若动点P（x,y）满足|x+2y-3|=5
(x?1)
2
?(y?2)
2
，则P点的轨迹是：
A．圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
解析：等式两边平方，化简方程是最容易想到的，但不可行，一方面运算量很大，另一方面
是平方、展开后方程中会出现xy项，这就给我们判断曲线类型带来了麻烦。但是，仔细观
察方 程后，就会发现等式左边很“象”是点到直线的距离，而等式右边则是两点间的距离的
5倍；为了让等式 左边变成点到直线的距离，可以两边同除以
5
，于是有：
|x?2y?3|
5
22
=
5
(x?1)?(y?2)
，这就已经很容易联想到圆锥曲 线的第二定义了，
22
只需将方程再变形为：
(x?1)?(y?2)
|x ?2y?3|
5
22
?
5
5
，即动点P（x,y）到定点A （1，2）与
到定直线x+2y-3=0的距离之比为
22
5
5
，∴ 其轨迹为椭圆。
[巩固1] 已知圆
C:(x?1)?y?25及点A(1,0),Q
为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ
于M，则点M的轨迹方程为 .

[巩固2]设x、y∈R，在直角坐标平面内，
a
=(x,y+2 ),
b
=(x,y-2),且|
a
|+|
b
|=8，则点
M(x,y)的轨迹方程为 。
[提高]已知A（ 0，7），B（O，-7），C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，则椭圆的
另一焦点的 轨迹方程为 。
[迁移]

P为直线x-y+2=0上任 一点，一椭圆的两焦点为F
1
（-1，0）、F
2
（1，0），则椭圆过P< br>点且长轴最短时的方程为 。
4．研究椭圆上的点到其焦点的距离问题时，往往用定义；会推导并记住椭圆的焦半径公式。
[举例1] 如图把椭圆
x
2
2516
每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆 的上半部分于
P
1
,
P
2
,……
P
7
?
y
2
?1
的长轴AB分成8分，过
七个点，F是 椭圆的一个焦点，则
P
1
F?P
2
F?......?P
7
F?
____________．
解析：P
1
与P
7，P
2
与P
6
，P
3
与P
5
关于y轴 对称，P
4
在y轴上，
记椭圆的另一个焦点为F，则|P
7
F|= |P
1
F|，|P
6
F|=|P
2
F|，|P
5< br>F|=|P
3
F|，
于是
P
1
F?P
2< br>F?......?P
7
F?
|P
1
F|+|P
1< br>F

|+|P
2
F|+|P
2
F

|+ |P
3
F|+|P
3
F

|+|P
4
F|= 7a=35.
x
a
2
2


[举例2] 已知A 、B是椭圆
8
5
?
25y
9a
2
2
?1< br>上的两点，F
2
是椭圆的右焦点，如果
3
2
|AF
2
|?|BF
2
|?a,
AB的中点到椭圆左准线距离为
8
5
，则椭圆的方程 .
8
5
a
?
|AF
1
?|BF
1
|
= 解析：
|AF
2
|?|BF
2
|?a
?
2a?| AF
1
|?2a?|BF
1
|
=
12
5
a
，
记AB的中点为M ，A、B、M在椭圆左准线上的射影分别为A
1
、B
1
，M
1
，由椭圆第二定
义知：|AF
1
|=e| AA
1
|，|BF
1
|=e|BB
1
|，于是有：e（|A A
1
|+|BB
1
|）=
3
2
12
5a
，而e=
4
5

2
∴|AA
1
|+ |BB
1
|=3a
?
2|MM
1
|=3a，又|MM
1
|=，得a=1，故椭圆方程为
x?
2
25y
9
?1< br>。

[巩固1] 椭圆的两焦点为F
1
，F
2
，以F
1
F
2
为一边的正三角形的另两条边均被椭圆平分，则椭圆
的离心率 为 。
[巩固2]已知F
1
、F
2
是椭圆
5 x?9y?45
的左右焦点，点
P
是此椭圆上的一个动点，
A(1,1)为一个定点，则
PA?PF
1
的最大值为 ，
PA?
3
2
PF
2
的最小值为 。
22
[提高] 过椭圆左焦点F且斜率为
3
的直线交椭圆于A、B两点，若| FA|=2|FB|，则椭圆的
离心率e=_____
5．研究椭圆上一点与两焦点组成的三 角形（焦点三角形）问题时，常用椭圆定义及正、余弦定
理。

[举例]已知焦 点在
x
轴上的椭圆
??
x
2
4
?
y
b
2
2
?1,(b?0),
F
1
,F
2
是它的两个焦点，若椭圆上存在
点P，使得
PF
1
?PF
2
?0
，则
b
的取值范围是 。
解析：思路一：先 证一个结论：若B为椭圆短轴端点，则∠F
1
PF
2
≤∠F
1
BF
2
。记∠F
1
PF
2
=?,
|PF
1
|=r
1
, |PF
2
|=r
2
,cos
?
=
r
1
?r
2
?4c
2r
1
r
2
2
222
=
(r
1
? r
2
)?2r
1
r
2
?4c
2r
1
r
2
2
22
=
4a?4c
2r
1
r2
22
?1

又
r
1
r
2
≤ (
r
1
?r
2
2
)=
a
,∴cos
?
≥
2
2
a?a?4c
2a
2
2
=co s∠F
1
BF
2
,当且仅当r
1
=r
2
时 等号成立，
00
即∠F
1
PF
2
≤∠F
1
BF
2
。题中椭圆上存在点P，使得∠F
1
PF
2
=90 ，当且仅当∠F
1
BF
2
≥90，即
cos∠F
1
BO≤
2
2
?
b≤
2
2
a=
2
,∴b∈(0,
2
]
.思路二：用勾股定理：r
1
+r
2
=2a ①
r
1
2
+r
2
2
=4c
2
②,由①②得：2r
1
r
2
=4b
2
,又2r
1< br>r
2
≤r
1
2
+r
2
2
∴b
2
≤c
2
=4-b
2
即b∈(0,
2
]
.
思路三：用向量的坐标运算：记P(x
0
,y0
),
PF
1
=(-c-x
0
,-y
0
),
PF
2
=(c-x
0
,-y
0
), ?
PF
1
?
PF
2
=c-x
0
+y< br>0
=0
?
(b+4)x
0
=4(c-b),注意到：0≤x< br>0
≤4，∴0≤4(c-b)≤4(b+4)
22
即0≤4-2b≤b+4，得b∈(0,
2
]
.
2 2222222222
[巩固1]椭圆
x
2
9
?
y
2
4
?1
的焦点为
F
1
、
F
2
， 点P为其上的动点，当
?F
1
PF
2
为钝角时，点P
横坐标 的取值范围是________。
[巩固2]已知P是椭圆
的面积为（ ）
A．
43
3
x
2
5
?
y
24
?1
上一点，F
1
和F
2
是焦点，若∠F
1
PF
2
=30°，则△PF
1
F
2

B．
4(2?3)


C．
4(2?3)


D．4


6．椭圆的参数方程的重要用途是设椭圆上一点的坐 标时，可以减少一个变量，或者说坐标
本身就已经体现出点在椭圆上的特点了，而无需再借助圆的方程来 体现横纵坐标之间的关
系；如求椭圆上的点到一条直线的距离的最值。
[举例]若动点（x,y
）在曲线
x
2
4
?
y
b
22
?1(b?0)
上变化，则
x?2y
的最大值为 （ ）
2

?
b
2
?4
?
A．< br>?
4
?
2b
?
(0?b?4),
(b?4)

?
b
2
?4
?
B．
?
4
?
2b
?
(0?b?2),
(b?2)

C．
b
2
4
?4

2
D．2
b

解析：本题可以直接借助于椭圆方程把x用y表示，从而得到一个关于y 的二次函数，再
配方 求最值；这里用椭圆的参数方程求解：记x=2cos
?
,y=bsin
?
,
x
2
?2y
=4cos
2
?
+
b
4
2bsin
?
=f(
?
),f(
?
)=-4s in
?
+2bsin
?
+4=-4(sin
?
-
2
)+
2
b
2
4
b
?4
, sin
?
∈[-1,1]
若0<
b
4
≤1
?0?
=
b
4
2
时f(
?
)取得最大值
4
?4
；若
b
4
>1
?b>4,则当
sin
?
=1时f(
?
)取得最大值2
b
，故选A
[巩固]椭圆
x
2
9
?
y
2< br>4
?1
上的点到直线2x-
3
y+3
3
=0距离的最 大值是_____________。






答 案
1．[巩固]B， 2、[巩固1]
22
5?1
2
，[巩固2]B，[迁移]C， 3、[巩固1]
2
2
4x
2
25
2
?
4 y
2
21
?1
，
[巩固2]
x
12
?
y
16
?1
，[提高]
y?
2
x
48
7
2
?1,(y?0)
，[迁移]

2x
5
?
2x
3
?1
，
4、[巩固1] e=
3
-1
，
[巩固2]6+
2
，，[提高]
2
3
；5、[巩固1]
?
35
5
?x ?
35
5
，[巩
固2]
B； 6、
[巩固]
21