高中数学知识点总结课标大纲

高中数学考点总结

一.集合与简易逻辑
1.注意区分集合中元 素的形式.如：
{x|y?lgx}
—函数的定义域；
{y|y?lgx}
— 函数的值域；

{(x,y)|y?
—函数图象上的点集.
lxg
2.集合的性质： ①任何一个集合
A
是它本身的子集,记为
A?A
.
②空集是任何集合的子集,记为
??A
.
③空集是任何非空集合的真子集；注意 :条件为
A?B
,在讨论的时候不要遗忘了
A??
的情
况
如：
A?{x|ax
2
?2x?1?0}
,如果
AR
???
,求
a
的取值.(答：
a?0
)
④
C
U
(AB)?C
U
AC
U
B
,
C
U
(AB)?C
U
AC
U
B
；；
（AB）C?A（BC）

（AB）C?A（B）C
.
⑤
AB?A?AB?B
?A?B?C
U
B?C
U
A?AC< br>U
B???C
U
AB?R
.
⑥
AB
元 素的个数：
card(AB)?cardA?cardB?card(AB)
.
⑦含
n
个元素的集合的子集个数为
2
n
；真子集(非空子集)个数为
2
n
?1
；非空真子集个数为
2
n
?2
.
3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
如：已知函数
f (x)?4x
2
?2(p?2)x?2p
2
?p?1
在区间
[?1,1]
上至少存在一个实数
c
,使

f(c)?0
,求实数
p
的取值范围.(答：
(?3,)
)
2
3
4.原命题:
p?q
；逆命题:
q?p
；否命题:
?p??q
；逆否命题:
?q??p
；互为逆否
的两
个命题是等价的.如：“
sin< br>?
?sin
?
”是“
?
?
?
”的 条件.(答：充分非必要条件)
5.若
p?q
且
q??p
,则p
是
q
的充分非必要条件(或
q
是
p
的必要非 充分条件).
6.注意命题
p?q
的否定与它的否命题的区别: 命题
p?q
的否定是
p??q
；否命题是
?p??q
.
命题“
p
或
q
”的否定是“
?p
且
? q
”；“
p
且
q
”的否定是“
?p
或
?q
”.
如：“若
a
和
b
都是偶数，则
a?b< br>是偶数”的否命题是“若
a
和
b
不都是偶数,则
a?b
是奇数”
否定是“若
a
和
b
都是偶数,则
a?b
是奇数”.
7.常见结论的否定形式
原结论
是
都是
大于
小于
否定
不是
不都是
不大于
不小于
原结论 否定
至少有一个 一个也没有
至多有一个 至少有两个
至少有
n
个 至多有
n?1
个
至多有
n
个 至少有
n?1
个

二.
1.①
是：
对所有
x
,成立 存在某
x
,不成立
p
或
q

p
且
q

?p
且
?q

?p
或
?q

函数
映射
f
:
A?B
⑴ “一对一或多
对任何
x
,不成立 存在某
x
,成立
对一”的对应；⑵集合
A
中的元素必有象且
A
中不
同 元素在
B
中可以有相同的象；集合
B
中的元素不一定有原象(即象集
?B
).
②一一映射
f
:
A?B
： ⑴“一对一” 的对应；⑵
A
中不同元素的象必不同,
B
中元素都有原
象.
2.函数
f
:
A?B
是特殊的映射.特殊在定义域
A和值域
B
都是非空数集！据此可知函数图像
与
x
轴
的垂线至多有一个公共点,但与
y
轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.
3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.
4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母
?0
;偶次根式被开方数非负;对数真数?0
,底数
?0

且
?1
；零指数幂的底数
?0
)；实际问题有意义；若
f(x)
定义域为
[a,b]
,复合 函数
f[g(x)]
定
义
域由
a?g(x)?b
解出 ；若
f[g(x)]
定义域为
[a,b]
,则
f(x)
定义 域相当于
x?[a,b]
时
g(x)
的值域.
5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元
的范围).
④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；
⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值
域；
⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).
6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法；
⑶方程的思想---- 对已知等式进行赋值，从而得到关于
f(x)
及另外一个函数的方程组。
7.函数的奇偶性和单调性
⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图
像法等；
⑵若
f(x)
是偶函数,那么
f(x)?f(?x)?f(|x|)< br>；定义域含零的奇函数必过原点(
f(0)?0
)；
⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：
f(x)?f(?x)?0
或
⑷复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无
数个
(如
f(x)?0
定义域关于原点对称即可).
⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单
调性；
f(?x)
f(x)
??1(f(x)?0)
；

⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等.
⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域）
如：函数< br>y?log(?x
2
?2x)
的单调递增区间是
__________ ___
.(答：
(1,2)
)
1
2
8.函数图象的几种常 见变换⑴平移变换：左右平移---------“左加右减”（注意是针对
x
而言）；
上下平移----“上加下减”(注意是针对
f(x)
而言).⑵翻折变换：f(x)?|f(x)|
；
f(x)?f(|x|)
.
⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在
图像上.
②证明图像
C
1
与
C
2
的对称性,即证C
1
上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在
C
2
上,反之< br>亦然.
③函数
y?f(x)
与
y?f(?x)
的图像 关于直线
x?0
(
y
轴)对称；函数
y?f(x)
与函数

y?f(?x)
的图像关于直线
y?0
(
x
轴)对称；
④若函数
y?f(x)
对
x?R
时，
f(a?x)? f(a?x)
或
f(x)?f(2a?x)
恒成立,则
y?f(x)
图像关
于直线
x?a
对称；
⑤若
y?f(x)< br>对
x?R
时,
f(a?x)?f(b?x)
恒成立,则
y?f (x)
图像关于直线
x?
⑥函数
y?f(a?x)
,
y?f(b?x)
的图像关于直线
x?
b?a
2
a?b
2< br>对称；
对称(由
a?x?b?x
确定)；
a?b
2
⑦函数
y?f(x?a)
与
y?f(b?x )
的图像关于直线
x?
⑧函数
y?f(x)
,
y?A ?f(x)
的图像关于直线
y?
A
2
对称；
f(x)?A?f(x)
2
对称(由
y?
确定)；
⑨函数
y?f(x)
与
y??f(?x)
的图像关于原点成中心对称；函数< br>y?f(x)
,
y?n?f(m?x)

mn
的图像关于点
(,)
对称；
22
⑩函数
y?f(x)
与函数
y?f
?1
(x)
的图像关于直线
y?x
对称；曲 线
C
1
：
f(x,y)?0
,关于

y?x?a
,
y??x?a
的对称曲线
C
2
的方程为
f(y?a,x?a)?0
(或
f(?y?a,?x?a)?0
；
曲线
C
1
：
f(x,y)?0
关于点
(a,b)
的 对称曲线
C
2
方程为：
f(2a?x,2b?y)?0
.
9.函数的周期性：⑴若
y?f(x)
对
x?R
时
f(x?a)?f (x?a)
恒成立,则
f(x)
的周期为
2|a|
；
⑵若
y?f(x)
是偶函数,其图像又关于直线
x?a
对称,则
f( x)
的周期为
2|a|
；
⑶若
y?f(x)
奇函数 ,其图像又关于直线
x?a
对称,则
f(x)
的周期为
4|a|；
⑷若
y?f(x)
关于点
(a,0)
,
(b ,0)
对称,则
f(x)
的周期为
2|a?b|
；
⑸
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
,
x?b(a?b)
对称,则函数
y?f(x)
的周期为
2|a?b|
；
⑹y?f(x)
对
x?R
时,
f(x?a)??f(x)
或
f(x?a)??
n
1
f(x)
,则
y?f(x)
的周期 为
2|a|
；
10.对数：⑴
log
a
b?log
a
b
n
(a?0,a?1,b?0,n?R
?
)
；⑵对数 恒等式
a
log
a
N
?N(a?0,a?1,N?0)
；

⑶
log
a
(M?N)?log
a
M?log
a
N;log
a
n

log
a
M
?
M
N
?log
a
M?log
a
N;log
a
M
n
?nlog
a
M
；
log
b
N
log
b
a
1
n
log
；⑷对数换底公式
log
a
N?
a
M
12
(a? 0,a?1,b?0,b?1)
；
推论：
log
a
b?l og
b
c?log
c
a?1?log
a
a
2
?log
a
a
3
??log
a
n?1
a
n
?log
a
1
a
n
.
(以上
M? 0,N?0,a?0,a?1,b?0,b?1,c?0,c?1,a
1
,a
2
,a
n
?0
且
a
1
,a
2
,a
n
均不等于
1
)
11.方程
k?f(x)
有解
? k?D
(
D
为
f(x)
的值域)；
a?f(x)
恒 成立
?a?[f(x)]
最大值
,

a?f(x)
恒成立
?a?[f(x)]
最小值
.
12.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)； ⑵转化为一元二次方程根的分布问
题；
13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在 闭区间上必有最值，求最值问题用“两看
法”：
一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；
14.二次函数解析式的三种形式： ①一般式：
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
；②顶点式：
?
2
h)?k(a?
；
0)
③零点式：
f(x) ?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
f(x )?a(x
15.一元二次方程实根分布:先画图再研究
??0
、轴与区间关系、区间 端点函数值符号;
16.复合函数：⑴复合函数定义域求法：若
f(x)
的定义域为
[a,b]
,其复合函数
f[g(x)]
的定义域
可由
不等式
a?g(x)
?b
解出；若
f[g(x)]
的定义域为
[a,b]
,求
f(x)
的定义域，相当于
x?[a,b]
时,< br>求

g(x)
的值域；⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.
17.对于反函数,应掌握以下一些结论：⑴定义域上的单调函数必有反函数；⑵奇函数的反函
数
也是奇函数；⑶定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；⑷周期函数不存在反函数；
⑸互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；⑹
y?f(x)
与
y?f
?1
(x)
互为
反函数,设
f(x)
的定义域为A
,值域为
B
,则有
f[f
?1
(x)]?x(x?B )
,
f
?1
[f(x)]?x(x?A)
.
18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：
f(u)?g(x)u?
cx?d
?
f(a)?0
?
f(a)? 0
(或
?
)；
h(x?)
(或
0
?0
)
(a?u?b)
?
?
f(b)?0
f(b)?0
?
?
c
19.函数
y?
ax?b
(c?0,ad?bc)
的图 像是双曲线：①两渐近线分别直线
x??
d
(由分母为零确
定)和
直线
y?
a
(由分子、分母中
x
的系数确定)；②对称中心是点(?
d
,
a
)
；③反函数为
ccc
y?
b?dx
；
cx?a
20.函数
y?ax?(a?0,b?0)
：增区间为
(??,?
x
b
b
a
],[
b
a
,??)
,减区间为
[?
,
b
a
,0),(0< br>,
b
a
]
.

如：已知函数
f(x)?
(,??)
).
2
1
ax?1< br>x?2
在区间
(?2,??)
上为增函数,则实数
a
的取值范 围是
_____
(答：
三.数列
1.由
S
n
求< br>a
n
,
a
n
?
?
?
?
S< br>1
(n?1)
注意验证
a
1
是否包含在后面
a
n
的公式中,若不符合要
*
?
?
S
n
?S
n?1
(n?2,n?N )
3
5
1)
单独列出.如：数列
{a
n
}满足
a
1
?4,S
n
?S
n?1
?a
n?1
，求a
n
(答：
a
n
?
4(n
n< br>?
?1
?
3?4(n?2)
).
2.等差数列
{a
n
}?a
n
?a
n?1
?d
(
d
为常数)
?2a
n
?a
n?1
?a
n?1
(n?2 ,n?N*)


?a
n
?an?b(a?d,b?a
1
?d)?S
n
?An
2
?Bn(A?,B?a
1
? )
；
3.等差数列的性质： ①
a
n
?a
m
?( n?m)d
,
d?
2
a
m
?a
n
2
dd
m?n
；
②
m?n?l?k?a
m
?a
n
?a
l
?a
k
(反之不一定成立)；特别地,当
m?n ?2p
时,有
a
m
?a
n
?2a
p
；
③若
{a
n
}
、
{b
n
}
是 等差数列,则
{ka
n
?tb
n
}
(
k
、
t
是非零常数)是等差数列；
④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
,
列；
⑤ 等差数列
{a
n
}
,当项数为
2n
时,
S
偶
?S
奇
?nd
,
S
奇
S
偶
S< br>偶
?
a
n
；项数为
2n?1
时,
a
n?1
仍是等差数
?
中
a?
n
a(n?*N)

S
偶
?S
,
S
2n?1
?(2n?1)a
n
,且
S
奇
?
n
；
A
n
?f(n )?
a
n
?f(2n?1)
.
奇
n?1
B
n
b
n
⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等
式
?
a
n
?0
?
a
n
?0

?
(或
?
).也可用
S
n
?An
2
?Bn
的二次函数关系来分析.
?
a
n?1
?0
?
a
n?1
?0
⑦若
a
n
?m,a
m
?n(m?n)
,则
a
m?n
?0
；若
S
n
?m,S
m
?n(m?n)
,则
S
m?n
??(m?n)
；
若
Sm
?S
n
(m?n)
,则S
m+n
=0；S
3 m
=3(S
2m
－S
m
)；
S
m?n
?S
m
?S
n
?mnd
.
4.等比数列
{a
n
}?
a
n?1
a
n
2
?q(q?0)?a
n
?a
n?1
a
n?1
(n?2,n?N*)?a
n?a
1
q
n?1
.
5.等比数列的性质
①a
n
?a
m
q
n?m
,
q?
n?m< br>a
n
；②若
{a
n
}
、
{b
n}
是等比数列，则
{ka
n
}
、
{a
n
b
n
}
等也是等比数列；
a
m
?
na
1
(q?1)
?
na
1
(q?1)
??
③S
n
?
?
a
(1?q
n
)
a
?
a
q
；④
m?n?l?k?a
m
a
n
? a
l
a
k
(反之不一定成
?
?
a
1n
a
1
1n
1
?
1?q
?
1?q(q?1)
?
?
1?q
q?
1?q
(q?1)
?
?
立)；
S
m?n
?S
m
?q
m
S
n
?S
n
?q
n
S
m
. ⑤等 比数列中
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m< br>?S
2m
,
0)
仍是等比数列. ⑥等比数列
{a< br>n
}
当项数为
2n
时,
S
偶
S
奇< br>(注：各项均不为
S
奇
?a
1
S
偶
?q；项数为
2n?1
时,
?q
.

6.①如果数列
{a
n
}
是等差数列,则数列
{A
a
}
(
A
a
总有意义)是等比数列；如果数列
{a
n
}
是 等比
n
n
数列,
则数列
{log
a
|a
n
|}(a?0,a?1)
是等差数列；
②若
{a
n
}
既是等差数列又是等比数列,则
{a
n
}
是非零常数数列 ；
③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新
数列的公差
是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那
么由他们的
公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项；
④三个数 成等差的设法：
a?d,a,a?d
；四个数成等差的设法：
a?3d,a?d,a? d,a?3d
；
三个数成等比的设法：
,a,aq
；四个数成等比 的错误设法：
q
aa
q
a
,,aq,aq
3
(为什 么？)
3
q
7.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.
?
S
1
,(n?1)
.
?a
n
?f(n )
)求
a
n
用作差法：
a
n
?
?
S?S,(n?2)
n?1
?
n
?
?
f(1),(n?1)
⑶已知
a
1
?a
2
??a
n
?f(n )
求
a
n
用作商法：
a
n
?
?
f (n)
,(n?2)
.
?
?
f(n?1)
a
⑷若
a
n?1
?a
n
?f(n)
求
a
n< br>用迭加法. ⑸已知
n?1
?f(n)
,求
a
n
用迭乘法.
⑵已知
S
n
(即
a
1
?a
2
?
a
n
⑹已知数列递推式求
a
n
,用构造法(构造等差、等比数列) ：①形如
a
n
?ka
n?1
?b
,
a
n< br>?ka
n?1
?b
n
,

a
n?ka
n?1
?a?n?b
(
k,b
为常数)的递推数列都可以 用待定系数法转化为公比为
k
的等比数
列后,
再求
an
.②形如
a
n
?
a
n?1
ka
n? 1
?b
的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.
8.数列求和的方法：①公式法 ：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相
加；④错位
相减；⑤分裂通项 法.公式：
1?2?3?
1
2
?2
2
?3
2
??n
2
?n(n?1)(2n?1)
；
6
3
?n?[
?n?n(n?1)
；
2
1
1

1
3
?2
3
?3
3
?

1n(n?k)
11
kn
n(n?1)
2
1
；
]
2
1?3?5?
?[
2
n?1?n
11
?n?n< br>2
；常见裂项公式
?
1
(n?1)(n?2)
1
n( n?1)
1
??
n
11
n?1
；
?(?
1
n?k
)
；
n(n?1)(n?1)2n(n?1)
]
；
n
(n?1)!
?
1
n!
?
(n?1)!

常见放缩公式：
2(
n?1
?
n
)??
1n
?
2
n?n?1
?2(
n
?
n?1
)
.
9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题
⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，
细心计算

“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.
⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金
p
元,每 期利
率为
r
,则
n
期后本利和为：
S
n
?p(1?r)?p(1?2r)?p(1?nr)?p(n?
n(n?1)
2
r)
(等差数列问
题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若 贷款(向银行借款)
p
元,采用
分期等
额还款方式,从借款日算起 ,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分
n
期还清.如果每
期利
率为
r
（按复利），那么每期等额还款
x
元应满足：
p(1?r)
n
?x(1?r)
n?1
?x(1?r)
n?2< br>?
四.三角函数
?x(1?r)?x
(等比数列问题).
1.?
终边与
?
终边相同
?
?
?
?
?2k
?
(k?Z)
；
?
终边与
?
终边共线
?< br>?
?
?
?k
?
(k?Z)
；
?
终边
与
?
终边关于
x
轴对称
?
?
???
?k
?
(k?Z)
；
?
终边与
?
终 边关于
y
轴对称

?
?
?
?
?
?
?
；
?
终边与
?
终边关于原点对称
?
?
?
?
?
?
?2k
?
(k?Z)
；
2k
?
(k?Z)

?
终边与
?
终边关 于角
?
终边对称
?
?
?2
?
?
?
?2k
?
(k?Z)
.
2.弧长公式：
l?|
?
|r
；扇形面积公式：
S
扇形
?
1
lr?
1
|
?
|r
2
；
1
弧度(
1rad
)≈< br>57.3?
.
22
3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”.
注意：
tan15??cot75??2?
3
；
tan75??cot15 ??2?
3
；
4.三角函数同角关系中(八块图)：注意“正、余弦三兄妹

sinx?cox
、
ssinx?cosx
”的关系.
如
(sinx?cosx)
2
?1?2sinxcosx
等.
5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；
．．．．．．．．
(注意：公式中始终视?为锐角)
6.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角
与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.
如：
?
?(
?
?
?
)?
?
；
2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)
；
2
?< br>?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)
；
?
?
?
?2?
?
?
?
；
2

?
?
?
2
?(
?
?
?
2
?
1
”的变换：
1?sin
2
x?cos< br>2
x?tanx?cotx?2sin30??tan45?
；
)?(??
等；“
)
2
7.重要结论：
asinx?bcosx?

1?cos
?
2
2
a?b
22
sin(x?
?
)
其中
tan
?
?
）；重要公式
sin
2
?
?
1?cos2
?
；
cos
2
?
?

a
b
2
；
tan??
2
?
1?cos
?
1?cos
?
?
sin
?
1?cos
?
?
1?cos
?
sin
?
2
2
；
1?sin
?
?(cos?sin)
2
?|cos?s in|
.
2222
????
万能公式：
sin2
?< br>?
2tan
?
1?tan
?
2
；
cos2< br>?
?
1?tan
?
1?tan
?
k
?
?
?
；
tan2
?
?
2
2tan
?1?tan
?
2
.
k
?
?
?
??
8.正弦型曲线
y?Asin(
?
x?
?
)
的对称轴
x?
?
(k?Z)
；对称中心
(
?
,0) (k?Z)
；

余弦型曲线
y?Acos(
?
x ?
?
)
的对称轴
x?
k
?
?
?
k
?
?
?
2
?
?
?
(k?Z)
；对 称中心
(
?
,0)(k?Z)
；
9.熟知正弦、余弦、正切的和、 差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题
勿忘三
内角和等于
180?
,一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理：
余弦定理：
a?b?c?2bccosA,cosA?
222
a
sinA
?b
sinB
?
c
sinC
?2R
；
b?c? a
2bc
222
?
(b?c)?a
2bc
22
?1
；
2S
?ABC
a?b?c
正弦平方差公式：
sin
2
A?sin
2
B?sin(A?B)sin(A?B)
；三角形的 内切圆半径
r?
面积公式：
S
?
?absinC?
2< br>1abc
4R
；
；射影定理：
a?bcosC?ccosB
.
10.
?ABC中,易得：
A?B?C?
?
,①
sinA?sin(B?C)
,
cosA??cos(B?C)
,
tanA??tan(B?C)
.
②
sin?cos
2
AB?C
2
,
cos?s in
2
AB?C
2
,
tan?cot
2
AB?C< br>2
. ③
a?b?A?B?sinA?sinB

④锐角?ABC
中,
A?B?
,
sinA?cosB,cosA?cosB,
a
2
?b
2
?c
2
,类比得钝角
? ABC
结论.
2
?
⑤
tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC
.
11.角的范围： 异面直线所成角
(0,]
；直线与平面所成角
[0,]
；二面角和两向量的夹 角
22
?
?
[0,
?
]
；直线
的 倾斜角
[0,
?
)
；
l
1
到
l
2
的角
[0,
?
)
；
l
1
与
l2
的夹角
(0,]
.注意术语:坡度、仰角、俯角、方位
2
?< br>角等.
五.平面向量
1.设
a?(x
1
,y
1< br>)
,
b?(x
2
,y
2
)
. (1)
ab?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
；(2)
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
2.平面向量基本定理：如果
e
1
和
e
2
是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任
一向
量
a
,有且只有一对实数
?
1
、
?
2
,使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
.
3.设
a?(x
1
,y
1
)
,b?(x
2
,y
2
)
,则
a?b?|a||b|cos
?
?x
1
x
2
?y
1
y
2
；其几何意义是
a?b
等于
a
的长度
与
b
在
a
的方向上的投影的乘积；
a
在
b
的方向上的投影
|a|cos
?
?
4.三点
A
、
B
、
C
共线
?AB
与
AC
共线；与
AB
共线的单位向量< br>?
5.平面向量数量积性质：设
a?(x
1
,y
1
)
,
b?(x
2
,y
2
)
,则
cos
?
?
a?b
?
|a||b|
a?b
x
1
x
2
?y
1
y
2
.
?
22
|b |
x
2
?y
2
AB
|AB|
.
；注意:
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y2
1
2
1
x?y
2
2
2
2

?a,b?
为锐角
?a?b?0
,
a,b
不同向；
?a,b?
为直角
?a?b?0
；
?a,b?
为钝角
?a? b?0
,
a,b
不反
向.
6.
a?b
同向或有< br>0?|a?b|?|a|?|b|?|a|?|b|?|a?b|
；
a?b
反向 或有
0


?|a?b|?|a|?|b?
；
|a|?| b|?|a|?b
a?
|
b
不共线
?|a|?|b|?|a?b|? |a|?|b|
.

7.平面向量数量积的坐标表示：⑴若
a?(x< br>1
,y
1
)
,
b?(x
2
,y
2< br>)
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
；

|AB|?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
； ⑵若a?(x,y)
,则
a?a?a?x
2
?y
2
.
8.熟记平移公式和定比分点公式. ①当点
P
在线段
P
1
P
2
上时,
?
?0
；当点
P
在线段
P1
P
2
(或
2
P
2
P
1
)
?
?
PP
2
；且 延长线上时,
?
??1
或
?1?
?
?0
.②分点坐标公式：若
PP
1
P< br>1
(x
1
,y
1
)
,
P(x,y)
P
2
(x
2
,y
2
)
；
x
1< br>?
?
x
2
x
1
?x
2
?
?
x?
x?
?
?
??
1?
?
2
(< br>?
??1)(
?
?1)
.
??
则, 中点 坐标公式：
?
y?
y
1
?
?
y
2
?
y?
y
1
?y
2
?
?
1?
?< br>2
?
?
③
P
1
?
?
OP
2
且
?
?
?
?1
.
1
,
P,
P
2
三点共线
?
存在实数
?
、
?< br>使得
OP?
?
OP
9.三角形中向量性质：①
AB?AC过
BC
边的中点：
(
1
3
AB
|AB|
?
AC
|AC|
)?(
AB
|AB|
?
AC|AC|
)
；
②
PG?(PA?PB?PC)?GA?GB?GC ?0?G
为
?ABC
的重心；
③
PA?PB?PB?PC?PA?PC?P
为
?ABC
的垂心； ④
|BC|PA?|CA|PB?|AB|PC?0?P
为

?ABC
的内心；
?
(

S
?AOB
?
1
2
AB
|AB|
?
AC
|AC|
) (
?
?0)
所在直线过
?ABC
内心. ⑤设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,
2
.
A
S
?ABC
?
1
|AB|| AC|sinA?
1
|AB|
2
|AC|
2
?(AB?AC )
2
.
x
A
y?
B
x
B
y
2
⑥O
为
?ABC
内一点,则
S
?BOC
OA?S
?AOC
OB?S
?AOB
OC?0
.
按a?(h,k)平移?P
?
(x
?
,y
?
)
,有
?
10.
P(x,y)?????
?
x
?
?x?h
按a?( h,k)平移
?y?k?f(x?h)
. (
PP
?
?a
) ；
y?f(x)?????
?
y?y?k
?
六.不等式
1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：
①若
a b?0
,
b?a
,则
?
.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数, 不等号方向要改变.
ab
11
②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类
讨论. < br>2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其
注意
用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法.
3.掌握 重要不等式,(1)均值不等式：若
a,b?0
,则
a?b
2
22< br>?
a?b
?
ab
?
2
2
1
?
1
ab
(当且仅当
a?b
时
取等号)使用条件：“一正二定三相等 ” 常用的方法为：拆、凑、平方等；(2)
a,b,c?R
，

a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?
(当且仅当
ca< br>a?b?c
时,取等号)；(3)公式注意变形如：
a?b
2
22?(
a?b
2
)
2
,
bb?m
a?ma

ab?(
a?b
2
)
2
；(4)若
a?b?0,m?0
,则
?
(真分数的性质)； < /p>

4.含绝对值不等式：
a,b
同号或有
0
?|a?b| ?|a|?|b|?|a|?|b|?|a?b|
；
a,b
异号或有
0

|a|?|b|?|a|?

?|a?b|?|a|?|b?
. b|
5.证明不等式常用方法：⑴比较法：作差比较：
A?B?0?A?B
.注意 ：若两个正数作差比
较有困
难,可以通过它们的平方差来比较大小；⑵综合法：由因导果；⑶分析法：执果索因.基本步
骤：要证…
需证…,只需证…； ⑷反证法：正难则反；⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以
达证题目的.
放缩法的方法有：①添加或舍去一些项,如：
(或缩小)
③利用基本不等式,如：

2
0

1
k
a?1
?|a|
；
n (n?1)
2
?n
.②将分子或分母放大
n(n?1)
?
?
n?(n?1)
2
1
k?1
1
k
.④利用常用结论 ：
1
0

(程度大)；
3
0

1
k
2
k?1
?
k
?
1
1
k?1?k
?
1
2k
；
?
1
k?1
?
1
(k?1)k
?
1
k
2
?
1
(k?1)k
?
?
1
k?1
2
?(
11
2k?1
?k?1
)
(程度小)；
⑹换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有
三角换元
代数换元.如：知
x
2
?y
2
?a
2
,可设
x?acos
?
,y?asin
?
；知
x
2
?y
2
?1
,可设
x?rcos
?
,
y? rsin
?

(
0?r?1
)；知
x
a
2
2
?
y
b
2
2
?1
,可设
x ?acos
?
,y?bsin
?
；已知
x
a
22
?
y
b
2
2
?1
,可设
x?ase c
?
,y?btan
?
.
⑺最值法,如：
a?f(x)
最大值
,则
a?f(x)
恒成立.
a?f(x)
最小值,则
a?f(x)
恒成立.
七.直线和圆的方程
1.直线的倾斜角
?
的范围是
[0,
?
）
； 2.直线的倾斜角与斜率的变化关系
k?tan
?
(
?
?)(如右图)：
2
?
3.直线方程五种形式：⑴点斜式：已知直线过点
( x
0
,y
0
)
斜率为
k
，则直线
方 程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
,它不包括垂直于
x
轴的直线.⑵斜截式：已知直线在
y
轴上的截距
为
b

和斜率
k
，则直线方程为
y?kx?b
,它不包括垂直于
x
轴的直线. ⑶两点式：已知直线经过

P
、
P
2
(x
2
,y
2
)
两点,则直线方程为
1
( x
1
,y
1
)
y?y
1
y
2
?y
1
x?x
1
x
2
?x
1
?
,它不 包括垂直于坐标轴的直线.
xy
⑷截距式：已知直线在
x
轴和
y
轴上的截距为
a,b
,则直线方程为
??1
,它不包括垂直于ab
坐标
轴的直线和过原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成
Ax?B y?C?0
(
A,B
不同时为0)的
形式.
提醒：⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距
式呢？)

⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为
0
.直线两截距 相等
?
直线的斜率为
?1
或
直线过
原点；直 线两截距互为相反数
?
直线的斜率为
1
或直线过原点；直线两截距绝对值相< br>等
?

直线的斜率为
?1
或直线过原点.
⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.
4.直线
l1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
与直 线
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的位置关系：
⑴平行
?
A
1
B
2?A
2
B
1
?0
(斜率)且
B
1
C< br>2
?B
2
C
1
?0
(在
y
轴上截距 )；
⑵相交
?
A
1
B
2
?A
2< br>B
1
?0
；(3)重合
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
且
B
1
C
2
?B
2
C
1
?0
.
5.直线系方程：①过两 直线
l
1
：
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
：
A
2
x?B
2< br>y?C
2
?0
.交点的直线系方程可设
为
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
(A
2
x ?B
2
y?C
2
)?0
；②与直线
l:Ax?By?C?0
平行的直线系方程可设为

Ax?By?m?0(m?
；③与直线
)cl:Ax?By?C?0
垂直的直线系方程可设为
Bx?Ay?n?0
. 6.到角和夹角公式：⑴
l
1
到
l
2
的角是指直线l
1
绕着交点按逆时针方向转到和直线
l
2
重合所转
的 角
?
,

?
?(0
?
,
且
)
tan
?
?
k
2
?k
1
1?k
1
k
2
(k
1
k
2
??1)
；
?
k
2
?k
1
1?k
1
k
2
2< br> ⑵
l
1
与
l
2
的夹角是指不大于直角的角
?
,
?
?(0,]
且
tan
?
?|
2< br>|(k
1
k
2
??1)
.
7.点
P(x< br>0
,y
0
)
到直线
Ax?By?C?0
的距离公式< br>d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
2
；
. 两条平行线
Ax?By?C
1
?0
与
Ax?B y?C
2
?0
的距离是
d?
C
1
?C
2< br>22
A?B
x?x?xy?y?y
8.设三角形
?ABC
三顶 点
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,
C(x
3
,y
3
)
, 则重心
G(
123
,
123
)
；
33
9.有关对称的一些结论
⑴点
(a,b)
关于
x
轴、
y
轴、原点、直线
y?x
的对称点分别是
(a,?b)
,
(?a,b)
,
(?a,?b)
,
(b,a)
.
⑵曲线
f(x,y)?0
关于下列点和直线对称的曲线方程为：①点
(a ,b)
：
f(2a?x,2b?y)?0
；
②
x
轴 ：
f(x,?y)?0
；③
y
轴：
f(?x,y)?0
；④ 原点：
f(?x,?y)?0
；⑤直线
y?x
：

f( y,x)?
；⑥直线
0
y??x
：
f(?y,?x)?0
； ⑦直线
x?a
：
f(2a?x,y)?0
.
10.⑴圆的标准方程 ：
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
. ⑵圆的一般方程：
?F0?(

x
2
?y
2
? Dx?Ey
2
D?
2
E4?F0?)
.特别提醒：只有当
D
2
?E
2
?4F?0
时,方程
D
2
E
2
1
2
D?E?4F
22

x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
才表示圆心为
( ?,?)
,半径为的圆(二元二次方程

Ax
2
?Bxy?Cy
2
?Dx?Ey?F?0
表示圆
?A?C?0
,且
B?0, D
2
?E
2
?4AF?0
).
?
x?a?rcos
?
⑶圆的参数方程：
?
(
?
为参数),其中圆心为
(a,b)
,半径为
r
.圆的参数方程主要 应
y?b?rsin
?
?
用是
三角换元：
x
2
?y
2
?r
2
?x?rcos
?
,y?rsin
?
；
x
2
?y
2
?t
2
?x? rcos
?
,y?rsin
?
(0?r?t)
.

⑷以
A(x
1
,y
1
)
、B(x
2
,y
2
)
为直径的圆的方程
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)? 0
；
11.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点
P( x
0
,y
0
)
及圆的方程

(x?a)2
?(y?b)
2
?r
2
.①
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
?点
P
在圆外；
②
(x
0
?a)
2?(y
0
?b)
2
?r
2
?
点
P在圆内；③
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)< br>2
?r
2
?
点
P
在圆上.
12.圆上一点 的切线方程：点
P(x
0
,y
0
)
在圆
x
2
?y
2
?r
2
上,则过点
P
的切线方程为：x
0
x?y
0
y?r
2
；
过圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
上一点
P( x
0
,y
0
)
切线方程为
(x
0
?a)( x?a)?(y
0
?b)(y?b)?r
2
.
13.过圆外一点作 圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与
x
轴垂直的
直线.
14.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角
形解
决弦长问题.①
d?r?
相离 ②
d?r?
相切 ③
d?r?
相交
15.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之 间的关系.设两圆的圆心距为
d
,
两圆的半径分别为
r,R
：
d?R?r?
两圆相离；
d?R?r?
两圆相外切；
|R?r|?d?R?r?
两
圆相交；
d?|R?r|?
两圆相内切；
d?|R?r|?
两圆内含；
d?0?
两圆同心.
16.过圆C
1
：
x
2
?y
2
?D
1
x ?E
1
y?F
1
?0
,
C
2
：
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
交点的圆(相交弦)系方程
为
(x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
)?
?(x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
)?0
.
?
??1
时为两圆相交弦所在直线方程. 17.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心
距 构成
直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).
18.求解线性规划 问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域,
写出目标
函数(判断几何意义)；(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解.
八.圆锥曲线方程 x
2
y
2
1.椭圆焦半径公式：设
P(x
0
, y
0
)
为椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上任一点,焦点为
F
1
(?c,0)
,
F
2
(c, 0)
,
ab
则
PF
1
?a?ex
0
,PF
2
?a?ex
0
(“左加右减”)；
x
2
y
2
2.双曲线焦半径：设
P(x
0
,y
0
)为双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上任一点,焦点为F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,0)
,
ab
则：⑴当
P
点在右支上时,
|PF
1
|? a?ex
0
,|PF
2
|??a?ex
0
；⑵当
P
点在左支上时,
|PF
1
|??a?ex
0
,
x
2
y
2
x
2
y
2

|PF
2
|?a?ex
0
；(
e
为离心率).另：双曲线< br>2
?
2
?1(a?0,b?0)
的渐近线方程为
2
?
2
?0
.
abab
3.抛物线焦半径公式：设
P(x0
,y
0
)
为抛物线
y
2
?2px(p?0)
上任意一点,
F
为焦点,则

|PF|?x
0
?
；
y
2
??2px(p?0)
上任意一点,
F
为 焦点，则
|PF|??x
0
?
2
pp
2
.

x
2
y
2
4.共渐近线
y??x
的双曲线 标准方程为
2
?
2
?
?
(
?
为参数,?
?0
).
a
ab
b
5.两个常见的曲线系方程： ⑴过曲线
f
1
(x,y)?0
,
f
2
(x,y)? 0
的交点的曲线系方程是
x
2
y
2

f
1
(x,y)?
?
f
2
(x,y)?0
(
?为参数).⑵共焦点的有心圆锥曲线系方程
2
??1
,其中
a?kb
2
?k

k?max{a
2
,b
2
}
.当
k?min{a
2
,b
2
}
时 ,表示椭圆；当
min{a
2
,b
2
}?k?max{a
2
,b
2
}
时,表示双曲线.
6.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
或
AB?1?k
2
|x
1< br>?x
2
|

?
y?kxc?b

?(1? k
2
)[(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
]?1?
1
2
|y
1
?y
2
|
(弦端点
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,由方程
?
消去
k
?
F(x,y)?0

y
得到
ax
2
?bx?c?0
,
??0
,
k
为斜率). 这里体现了解几中“设而不求”的思想；
7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为
2b
a
2
,焦准距为
p?
b
2
c
,抛物线的通径为2p
,焦准距为
p
；
x
2
y
2
双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的焦点到渐近线的距离为b
；
ab
8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为
Ax
2
?By
2
?1
(对于椭圆
A?0,B?0
) ；
9.抛物线
y
2
?2px(p?0)
的焦点弦（过焦点的弦）为
AB
,
A(x
1
,y
1
)
、
B( x
2
,y
2
)
,则有如下结论：
⑴
|A B|?x
1
?x
2
?p
；⑵
x
1
x
2
?
p
2
4
,
y
1
y
2
??p
2
； ⑶
1
|AF|
?
1
|BF|
?
2
p
.
x
2
y
2
10.椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
左焦点弦
|AB|?2a?e(x1
?x
2
)
,右焦点弦
|AB|?2a?e(x
1?x
2
)
.
ab
2
y
0
2
11.对于
y?2px(p?0)
抛物线上的点的坐标可设为
(,y
0
)
,以简化计算.
2p
x
2
y
2
12.圆锥曲 线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆
2
?
2< br>?1
ab
中,
b
2
x
0
x
2
y
2
以
P(x
0
,y
0
)
为中点的弦所在直线斜率
k??
2
；在双曲线
2
?
2
?1
中,以
P(x
0
,y
0
)
为中点的
ay
0
ab
弦所
b
2
x
0
在直线斜率
k?
2
；在抛物 线
y
2
?2px(p?0)
中,以
P(x
0
,y< br>0
)
为中点的弦所在直线的斜率
ay
0
k?
p
y
0
.
13.求轨迹方程的常用方法：
⑴直接法：直接通过建立
x
、
y
之间的关系，构成
F(x,y)?0
,是求轨迹的最 基本的方法.
⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方
程即可.
⑶代入法(相关点法或转移法).
⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出
方程.

⑸交轨法(参数法)：当动点
P(x,y)
坐标之间的关系不易 直接找到,也没有相关动点可用时,
可考虑
将
x
、
y< br>均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.
14.解析几何与向量综合的有关结论：
⑴给出直线的方向向量
u?(1,k)
或
u?(m,n)
.等于已知直线的斜率
k
或
⑵给出< br>OA?OB
与
AB
相交,等于已知
OA?OB
过
AB
的中点；
?
PM?PN?0
⑶给出,等于已知
P
是
MN
的中点;
⑷给出
AP?A Q?
?
(BP?BQ)
,等于已知
P,Q
与
AB
的 中点三点共线;

⑸
给出以下情形之一： ①
ABAC
； ②存在实数
?
,使
AB?
?
AC
； ③若存在实数
?
,
?
,
且
?
?
?
?1
；使
OC?
?
OA?
?
OB
,等 于已知
A,B,C
三点共线.
OA?
?
OB
1?
?
n
m
；
⑹给出
OP?
,等于已知
P
是
AB
的定比分点,
?
为定比,即
AP?
?
PB

⑺给出
MA?MB ?0
,等于已知
MA?MB
,即
?AMB
是直角,给出
MA ?MB?m?0
,等于已
知
?AMB
是钝角或反向共线,给出MA?MB?m?0
,等于已知
?AMB
是锐角或同向共线.
⑻给 出
?
(
MA
|
MA
|
?
MB
|< br>MB
|
)?MP
,等于已知
MP
是
?AMB
的平分线.
⑼在平行四边形
ABCD
中,给出
(AB?AD)?(AB ?AD)?0
,等于已知
ABCD
是菱形.
⑽在平行四边形
A BCD
中,给出
|AB?AD|?|AB?AD|
,等于已知
ABCD
是矩形.

⑾
在
?ABC
中,给出
OA?OB?OC
，等于已知
O
是
?ABC
的外心(三角形的外心是外接圆
的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点).

⑿
在
?ABC
中 ,给出
OA?OB?OC?0
，等于已知
O
是
?ABC
的重 心(三角形的重心是三角形
三条中线的交点).
⒀在
?ABC
中,给出
OA?OB?OB?OC?OC?OA
，等于已知
O
是
? ABC
的垂心(三角形的垂心
222
是三角形三条高的交点).
⒁在
?ABC
中,给出
OP?OA?
?
(
AB
|A B|
?
AC
|AC|
)
(
?
?R
?
)
等于已知
AP
通过
?ABC
的内心.
⒂在
?ABC
中,给出
a?OA?b?OB?c?OC?0,
等于已知
O
是
?ABC
的内心(三角形内切圆
的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点).
⒃在
?ABC
中,给出
AD?(AB?AC)
,等于已知
AD
是
?ABC
中
BC
边的中线.
2
1
九.直线、平面、简单几何体
1.从一点
O
出发的三条射线
OA
、
OB
、
OC
.若
?AOB??AOC
,则点
A
在平面
BOC
上的射影在

?BOC
的平分线上；
2.立平斜三角余弦公式：(图略)
A B
和平面所成的角是
?
1
,
AC
在平面内,
AC< br>和
AB
的射影
AB
1
成
?
2
,
设
?BAC?
?
3
,则
cos
?
1< br>cos
?
2
?cos
?
3
；

3.异面直线所成角的求法：⑴平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条
的平行线 .
⑵补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其
目的在
于容易发现两条异面直线间的关系；
4.直线与平面所成角：过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,是产生线面角的关键.
5. 二面角的求法：⑴定义法；⑵三垂线法；⑶垂面法；⑷射影法：利用面积射影公式
S
射
?S
斜
cos
?

其中
?
为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；
6.空间距离的求法：⑴ 两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直
作出公垂
线,然后再进行计算.⑵求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解.
⑶求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作.因此,确定已知面的垂面是
关键；
二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解.
7.用向量 方法求空间角和距离：⑴求异面直线所成的角：设
a
、
b
分别为异面直线a
、
b
的
方向向量,
则两异面直线所成的角
?
?arccos
的
法向量,则斜线
l
与平面
?
所成的角
?
?arcsin
|l?n|
| l|?|n|
|a?b|
|a|?|b|
.⑵求线面角：设
l
是斜线
l
的方向向量,
n
是平面
?
. ⑶求二面角(法一)在
?
内
a?l
,在
?
内
a?b
|a|?|b|

b?l
,其方向如图(略),则二面角< br>?
?l?
?
的平面角
?
?arccos
.(法二)设
n
1
,
n
2
是二面角

?
? l?
?
的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角
?< br>?l?
?
的
平面
角
?
?arccos
离

d?|AB||cos
?|?
|AB?n|
(即
AB
在
n
方向上投影的绝对值) .
|n|
n
1
?n
2
|n
1
|?|n< br>2
|
（.4)求点面距离：设
n
是平面
?
的法向量, 在
?
内取一点
B
,则
A
到
?
的距
8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为
?
,则
S
侧
cos< br>?
?S
底
.
9.正四面体(设棱长为
a
)的性质：
①全面积
S?
3
a
2
；②体积
V?
?
?arccos
；
3
1
2
12
2
2a
3
；③对棱间的距离
d?a
；④相邻面所成二面角

⑤外接球半径
R?
h?
6
3
6
4
a
； ⑥内切球半径
r?
6
12
a
；⑦正四面体内任一点到各面距离之和为 定值
a
.
10.直角四面体的性质：(直角四面体—三条侧棱两两垂直的四面体). 在直角四面体
O?ABC

中,
OA,OB,OC
两两垂直,令
OA?a,OB?b,OC?c
,则⑴底面三角形
ABC
为锐角三角形；
2
⑵直角顶点
O
在底面的射影
H
为三角形
AB C
的垂心；⑶
S
?BOC
?S
?BHC
S
?ABC
；
2222
⑷
S
?AOB
?S
?BOC?S
?COA
?S
?ABC
；⑸
1
OH
2?
1
a
2
?
1
b
2
?
1c
2
；⑹外接球半径R=
R?
1
2
a?b?c
222
.
11.已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为
?,
?
,
?
因此有
cos
2
?
?cos
2
?

s
?
?
或
1sin
2?
?sin
2
?
?sin
2
?
?2
； 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所
?co
2
成
的角 分别为
?
,
?
,
?
,则有
sin
2
?
?sin
2
?
?sin
2
?
?1
或< br>cos
2
?
?cos
2
?
?cos
2
?
?2
.
12.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；
1 3.球的体积公式
V?
?
R
3
,表面积公式
S?4
?
R
2
；掌握球面上两点
A
、
B
间的距离求法：
3
4
⑴计算线段
AB
的长；⑵计算球心角
?AOB< br>的弧度数；⑶用弧长公式计算劣弧
AB
的长.
十.排列组合和概率
1.排列数公式:
A
n
m
?n(n?1)(n?m?1)?
m
n
n!
m!(n?m)!
n
?n!
.
(m?n,m,n ?N*)
,当
m?n
时为全排列
A
n
m
A
n
n?(n?1)???(n?m?1)
0n
?(m?n)
,
Cn
?C
n
?1
. 2.组合数公式：
C?
m!m?(m ?1)?(m?2)???3?2?1
3.组合数性质：
C
n
m
?C
n
n?m
；
C
n
r
?C
n
r?1
?C
n
r
?1
.
4.排列组合主要解题方法：①优先法： 特殊元素优先或特殊位置优先；②捆绑法(相邻问
题)；
③插空法（不相邻问题）；④间接扣除法；(对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不
符合条件
的所有情况去掉）⑤多排问题单排法;⑥相同元素分组可采用隔板法（适用与指标分配，每
部分至
少有一个）；⑦先选后排,先分再排(注意等分分组问题)；⑧涂色问题(先分步考虑至某一步
时再分
类).⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成
n
组问题别 忘除以
n!
.
?1nrrrr?1
5.常用性质：
n?n!?(n ?1)!?n!
；即
nA
n
n
?A
n
n
? 1
?A
n
；
C
r
?C
r?1
?????C
n
?C
n?1
(1?r?n)
；
6.二项式定理： ⑴掌 握二项展开式的通项：
T
r?1
?C
n
r
a
n?r
b
r
(r?0,1,2,...,n)
；
⑵注意第r＋1项二项式系数与第r＋1项系数的区别.
7.二项式系数具有下列性质：⑴与首末两端 等距离的二项式系数相等；⑵若
n
为偶数,中间一
项

( 第
?1
项)的二项式系数最大；若
n
为奇数,中间两项(第
2
n
n?1
2
?1
和
n?1
2
?1
项)的 二项式系数
最大.
012n0213
?C
n
?C
n
?????C
n
?2
n
；
C
n
?C
n< br>?????C
n
?C
n
?????2
n?1
. ⑶
C
n
8.二项式定理应用：近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等 式、用赋值法
求展开式
的某些项的系数的和如
f(x)?(ax?b)
n
展开式的各项系数和为
f(1)
,奇数项系数和为

[f(1?
,偶数项的系数和为
)f?(1)][f(1)?f(?1)]
.
22
11
9.等可能事件的概率公式：⑴
P(A)?
n
m< br>； ⑵互斥事件有一个发生的概率公式为：
P(A?B)?


P( A)?P(B
；⑶相互独立事件同时发生的概率公式为
)P(AB)?P(A)P(B)
；⑷独立重复试验
概率公式
P
n
(k)?C
n
k< br>p
k
(1?p)
n?k
；⑸如果事件
A
与
B
互斥，那么事件
A
与
B
、
A
与
B
及事件

A
与
B
也都是互斥事件；⑹如果事件
A
、
B
相互独立，那么事件
A
、
B
至少有一个不发生
的概率是
1?P(AB)?1?P(A)P(B)
；（6）如果事件
A< br>与
B
相互独立，那么事件
A
与
B
至少有
一个发生的概率是
1?P(A?B)?1?P(A)P(B)
.
十一.概率与统计
1.理解随机变量,离散型随机变量的定义,能够写出离散型随机变量的分布列,由概率的性质可
知,任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：⑴
P
i
?0, i?1,2,
P
1
?P
2
??1
.
；⑵
k
p
k
q
n?k
?b(k;n,p)
. 2.二项分布记作
?
~B(n,p)
(n,p
为参数),
P(
?
?k )?C
n
k
p
k
q
n?k
,记
C
n
3.记住以下重要公式和结论：
⑴期望值
E
?
?x
1
p
1
?x
2
p
2
?
⑶标准差
??
?
?x
n
p
n
?
.
⑵方差
D
?
?(x
1
?E
?
)
2
p
1
?(x
2
?E
?
)
2
p
2
?????(x
n
?E
?
)
2
p
n
????
.
D
?
；
E(a
?
?b) ?aE
?
?b;D(a
?
?b)?a
2
D
?
.
1q
p
2
⑷若
?
~B(n,p)
(二项 分布),则
E
?
?np
,
D
?
?npq(q?1?p)
.
⑸若
?
~g (k,p)
(几何分布),则
E
?
?
,
D
?
?
p
.
4.掌握抽样的三种方法：⑴简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法)； ⑵(理)系统抽样,也叫
等距
抽样；⑶分层抽样(按比例抽样),常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形.它们的
共同点
都是等概率抽样.对于简单随机抽样的概念中,“每次抽取时的各个个体被抽到的概率相等”.
如从
含有
N
个个体的总体中,采用随机抽样法,抽取
n
个个体,则每 个个体第一次被抽到的概率为

n
N
1
N
,第二次被抽到的概率为
1
N
,…,故每个个体被抽到的概率为
n
N
,即每个个体入样的概率为
.
5.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计 问题的一个基本思想方法,一般地,样本容
量越大,
这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图；⑴学会用样本平均数

x? (x
1
?x
2
?????x
n
)?
n
1< br>n
11
n
i?1
?
x
i
n
去估计总 体平均数；⑵会用样本方差
S
2
?[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?

n
1
n
1

????(x
n
?x)2
]?
?
(x
i
?x)
2
?
?
(x
i
2
?nx)
2
去估计总体方差
?
2
及总体标准差；⑶学会用修正
n
i?1
n
i?1
的
样本方差
S
*2
?
1
n?1
[(x
1
?x )
2
?(x
2
?x)
2
?????(x
n
?x)
2
]
去估计总体方差
?
2
,会用
S*
去估计
?
.
1
2
??
6.正态总体的概率密度函数：
f(x)?
数与标准差；
e
?
(x?
?
)
2
2
?< br>2
,x?R
,式中
?
,
?
是参数,分别表示总体的平 均
7.正态曲线的性质：⑴曲线在
x?
?
时处于最高点,由这一点向左、向 右两边延伸时,曲线逐渐
降
低；⑵曲线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定,?
越大,曲线越矮胖；反过来曲线越
高瘦.
⑶曲线在
x
轴上方，并且关于直线x=
?
对称；
8.利用标准正 态分布的分布函数数值表计算一般正态分布
N(
?
,
?
2
)
的概率
P(x
1
?
?
?x
2
)
, 可由
变
换
x?
?
x?
?
x
2?
?
x
1
?
?
?
?t
而得
F (x)??(
?
)
,于是有
P(x
1
?
?
?x
2
)??(
?
)??(
?
)
.
9. 假设检验的基本思想：⑴提出统计假设，确定随机变量服从正态分布
N(
?
,
?
2
)
；⑵确定一
次试验中的取值
a
是否落入范围< br>(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
；⑶作出推断：如果
a?(
?
?3
?
,
?
?3?
)
,接受
统
计假设；如果
a?(
?
? 3
?
,
?
?3
?
)
,由于这是小概率事件,就拒绝 假设.
十二.极限
1.与自然数有关的命题常用数学归纳法证明(注意步骤,两步缺一不可).
2.数列极限： ⑴掌握数列极限的运算法则,注意其适用条件：一是数列
{a
n
}
,
{b
n
}
的极限都存
在；二
是仅适用于有限个数列的和、差、 积、商,对于无限个数列的和(或积),应先求和(或积),再
求极限.
⑵常用的几个 数列极限：
limC?C
(
C
为常数)；
lim?0
,limq
n
?0
(
|q|?1
,
q
为常数).
n??
n??
1
n??
n
⑶无穷递缩等比数列各项和 公式
S?limS
n
?
n??
a
1
1?q
(
0?|q|?1
).

3.函数的极限： ⑴当
x
趋向于无穷大时，函数的极限为
a
?limf(x)?limf(x)?a
.
n???n???
⑵当
x?x
0
时函数的极限为
a?l imf(x)?limf(x)?a
.⑶掌握函数极限的四则运算法则.
?
x?x< br>0
?
x?x
0
4.函数的连续性：⑴如果对函数
f(x)在点
x?x
0
处及其附近有定义,且有
limf(x)?f(x
0
)
,就
x?x
0
说函数
f(x)
在点x
0
处连续；⑵若
f(x)
与
g(x)
都在点
x
0
处连续，则
f(x)?g(x)
,
f(x)?g(x)
,

f(x)
g(x)
(g(x)?0)
也在点
x0
处连续；⑶若
u(x)
在点
x
0
处连续,且
f(u)
在
u
0
?u(x
0
)
处连续,则复合
函数
f[u(x)]
在点
x
0
处也连续.
十三.导数
1.导数的定义：
f(x)
在点
x
0
处的导数记作
y
?
x?x
0
?f
?
(x
0
)?lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?x< br>?x?0
.
2.可导与连续的关系：如果函数
y?f(x)
在点x
0
处可导,那么函数
y?f(x)
在点
x
0
处连续,但是

y?f(x)
在点
x
0
处连续却不一定可导.
3.函数< br>f(x)
在点
x
0
处有导数,则
f(x)
的曲线在该 点处必有切线,且导数值是该切线的斜率.但函
数

f(x)
的曲线在点
x
0
处有切线,则
f(x)
在该点处不一定可导.如
f(x )?
导.
4.函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导 数的几何意义是指：曲线
y?f(x)
在点
P(x
0
,f(x
0
))
处切线的斜率,
即曲线
y?f(x)
在点
P( x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率是
f
?
(x
0
)
,切线方程为
y?f(x
0
)?f
?< br>(x
0
)(x?x
0
)
.
5.常见函数的导数公式 :
C
?
?0
(
C
为常数)；
(x
n
)
?
?nx
n?1
(n?Q)
.
(sinx)
?
?cosx
；
(cosx)
?
??sinx
；
?
?a
x
lan
；
(e
x
)
?
?e
x
；
(log
a
x)
?
?
1
lo g
a
e
.
(lnx)
?
?

(ax
)
x
x
在
x?0
有切线,但不可
1
x
6.导数的四则运算法则：
(u?v)
?
?u
?
?v?
；
(uv)
?
?u
?
v?uv
?
；
()
?
?
v
uu
?
v?uv
?
v
2
.
??
7.复合函数的导数：
y
?
x
?y
u
?u
x
.
8.导数的应用：
(1)利用导数判 断函数的单调性：设函数
y?f(x)
在某个区间内可导,如果
f
?
(x)?0
,那么
f(x)
为增
函数；如果
f
?< br>(x)?0
,那么
f(x)
为减函数；如果在某个区间内恒有
f
?
(x)?0
,那么
f(x)
为常
数；
(2)求可导 函数极值的步骤：①求导数
f
?
(x)
；②求方程
f
?(x)?0
的根；③检验
f
?
(x)
在方程
f
?
(x)?0
根的左右的符号，如果左正右负,那么函数
y?f(x)
在这个根处取得最大值；如果
左负
右正,那么函数
y?f(x)
在这个根处取得最小值；
(3)求可导函数最大值与 最小值的步骤：①求
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值；②将
y? f(x)
在各极
值点
点的极值与
f(a)
、
f(b)
比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
十四.复数

1.理解复数、实数、虚数、纯虚数、模的概念和复数的几何表示.
2.熟练 掌握与灵活运用以下结论：⑴
a?bi?c?di?a?c
且
c?d(a,b,c,d ?R)
；⑵复数是
实数的条件：①
z?a?bi?R?b?0(a,b?R)< br>；②
z?R?z?z
；③
z?R?z
2
?0
.
3.复数是纯虚数的条件: ①
z?a?bi
是纯虚数
?a?0
且< br>b?0(a,b?R)
； ②
z
是纯虚数
0(z?0
；③< br>)
z
是纯虚数
?z
2
?0
.
?z?z ?
4.⑴复数的代数形式：
z?a?bi
；⑵复数的加、减、乘、除运算按以下法则进 行：设
z
1
?a?bi
,

z
2
?c ?d(i,a,b,c?d
,则
)Rz
1
?z
2
?(a?c )?(b?d)i
,
z
1
z
2
?(a?bi)(c?di) ?(ac?bd)?(ad?bc)i
,

z
1
?
a< br>2
c?b
2
d
?
z
2
c?d
b?c ad
.
i
2
(z
2
?0)
2
c?d5.几个重要的结论：
⑴
|z
1
?z
2
|
2
?|z
1
?z
2
|
2
?2(|z
1< br>|
2
?|z
2
|
2
)
；⑵
z?z? |z|
2
?|z|
2
；⑶若
z
为虚数,则
|z|< br>2
?z
2
.
6.运算律仍然成立：(1) ⑴
z
m
?z
n
?z
m?n
； ⑵
(zm
)
n
?z
mn
；⑶
(z
1
?z2
)
m
?z
1
m
z
2
m
(m ,n?N)
.
7.注意以下结论：⑴
(1?i)
2
??2i
；⑵
⑷
|z|?1?zz?1?z?
.
z
1
1?i
1?i1?i
1?i
?i
,
??i
；⑶
i
n
?i
n?1
?i
n?2
?i
n?3
?0(n?N)
；
十五.答题技巧
1.技术矫正：考试中时间分配及处理技巧非常重要,有几点需要必须提醒同学们注意：
⑴按序答题,先易后难.一定要选择熟题先做、有把握的题目先做.
⑵不能纠缠在某一题、某一细节上,该跳过去就先跳过去,千万不能感觉自己被卡住,这样
会心慌，
影响下面做题的情绪.
⑶避免“回头想”现象,一定要争取一步到位,不要 先做一下,等回过头来再想再检查,高考时
间较紧张,也许待会儿根本顾不上再来思考.
⑷做某一选择题时如果没有十足的把握,初步答案或猜估的答案必须先在卷子上做好标记,
有时间再推敲 ,不要空答案,否则要是时间来不及瞎写答案只能增加错误的概率.
2.规范化提醒：这是取得高分的 基本保证.规范化包括：解题过程有必要的文字说明或叙述,
注意解完后再看一下题目,看你的解答是否 符合题意,谨防因解题不全或失误,答题或书写不规
范而失分.总之,要吃透题“情”,合理分配时间, 做到一准、二快、三规范.特别是要注意解题结果
的规范化.
⑴解与解集：方程的结果 一般用解表示(除非强调求解集)；不等式、三角方程的结果一
般用解集(集合或区间)表示.三角方程 的通解中必须加
k?Z
.在写区间或集合时,要正确地书写
圆括号、方括
号或大括号,区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开.
⑵带单位的计算题或应用题,最后结果必须带单位,解题结束后一定要写上符合题意的“答”.

⑶分类讨论题,一般要写综合性结论.
⑷任何结果要最简.如< br>?
4
21
2
,
1
2
?
2
2
等.
⑸排列组合题,无特别声明,要求出数值.
⑹函数问题一般要注明定义域(特别是反函数).
⑺参数方程化普通方程,要考虑消参数过程中最后的限制范围.
⑻轨迹问题：①轨迹与轨迹方程的区别：轨迹方程一般用普通方程表示,轨迹则需要说明
图形形状.
②有限制条件的必须注明轨迹中图形的范围或轨迹方程中
x
或
y
的范围.
⑼分数线要划横线,不用斜线.
3.考前寄语：
①先易后难,先熟后生；
②一慢一快：审题要慢,做题要快；
③不能小题难做,小题大做, 而要小题小做,小题巧做；
④我易人易我不大意,我难人难我不畏难；
⑤考试不怕题不会,就怕会题做不对；
⑥基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分；
⑦对数学解题有困难的考生的建议：立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略.