高中数学知识点总结 统计

高中数学知识点总结 统计
一、三种抽样方法

1．三种抽样方法的比较
类别
简单随
机抽样
是不放回
抽样，抽
系统抽样
样过程
中，每个
个体被抽
到的机会
分层抽样
(概率)相等
共同点 各自特点
从总体中逐个抽取
将总体均分成几部分，按
事先确定的规则，在各部
分抽取
将总体分成几层，分层进
行抽取
相互联系
—
适用范围
总体中的个
数较少
总体中的个
数比较多
总体由差异
明显的几部
分组成
在起始部分抽样时，
采用简单随机抽样
各层抽样时，采用简
单随机抽样或者系统
抽样
2
．抽样方法的选取方法

(1)
若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层抽样．

(2)
若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样或系统抽样．

当总体容量较小时宜用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时宜用随机数表法；当
总体容量较大，样 本容量也较大时宜用系统抽样．

特别提醒
利用系统抽样的两个关键步骤：
N
(1)分组，当总体个数N能被样本容量n整除时，分为n个组，分段间隔k＝；
n
(2)获取样本用简单随机抽样在第一组抽取起始数s，通常把起始数s加上间隔k得到第
2 个个体编号(s＋k)，再加上k得第3个个体编号(s＋2k)，依次进行下去，直到获取样本．
二、用样本估计总体

1
．数字特征

（1）众数、中位数、平均数
数字特征
众数
定义
出现次数最多的数据
与频率分布直方图的关系
最高的小长方形中的某个（些）点的横坐

标
将数据按大小依次排列，处在最中间位置
的一个数据(或最中间两个数据的平均数)
中位数左边和右边的小长方形的面积和是
相等的
每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的
横坐标之和
中位数
平均数 样本数据的算术平均数
（2）极差、方差和标准差
极差：即一组数据中最大值与最小值的差．
方差：
s
2
?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2< br>???(x
n
?x)
2
]
.
n
标准差：
s?
（3）性质
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
???(x
n
?x)
2
]
.
n
①若
x
1
,x
2
,?,x
n
的平均数为
x
，那么
mx
1
?a,mx
2
?a,?,mx
n
?a
的平均数为
mx?a< br>.
②数据
x
1
,x
2
,?,x
n
与数据
x
1
??x
1
?a,x
2
??x
2
?a,?,x
n
??x
n
?a
的方差相等，即数
据 经过平移后方差不变．
③若
x
1
,x
2
,?,x
n
的方差为s
2
，那么
ax
1
?b,ax
2
?b,?,ax
n
?b
的方差为
a
2
s
2
.
2
．统计表

（
1
）频率分布的估计：频率分布是指 各个小组数据在样本中所占比例的大小，可以用
样本的频率分布估计总体的频率分布，频率分布表是反映 样本的频率分布的表格．通过
频率分布直方图和频率分布表可以看到样本的频率分布．

（
2
）尽管有些总体密度曲线是客观存在的，但是在实际应用中我们并不知道它的具体
表达形式，需要用样本来估计．由于样本是随机的，不同的样本得到的频率分布折线图
不同；即使对于 同一个样本，不同的分组情况得到的频率分布折线图也不同．频率分布
折线图是随样本容量和分组情况的 变化而变化的，因此不能用样本的频率分布折线图得
到准确的总体密度曲线．

（
3
）估计总体分布的步骤是：

①选择适当的抽样方法从总体中抽取样本，即收集数据．

②利用样本数据画出统计图或计算数字特征．

③结合统计图分析样本取值的分布规律．

④用样本取值的分布规律估 计总体分布，由于是用科学抽样抽取的样本，那么样本与总
体取值的分布规律近似，有时也可看成相同< br>.
⑤利用总体分布解决有关问题．

（4）各种统计表的优点与不足

频率分布表
频率分布直
方图
频率分布折
线图
优点
表示数据较确切
表示数据分布情况非常直观
不足
分析数据分布的总体态势不方便
原有的具体数据信息被抹掉了
能反映数据的变化趋势
一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到；二
不能显示原有数据
茎叶图 是茎叶图便于记录和表示，能够展示数据的分布
情况
样本数据较多或数据位数较多时，
不方便表示数据
特别提醒
频率分布表、 频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线都是描述样本数据分布
情况，估计总体频率分布规律的 ，其联系如下：


三、变量间的相关关系

1
．相关关系

当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则这 两个变量之间的关系叫做
相关关系．即相关关系是一种非确定性关系．

当一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，则这两个变量正相关；

当一个变量的值由小变大时，而另一个变量的值由大变小，则这两个变量负相关
.
2
．散点图

?,n)
描在平面直角坐标系中，所得图形叫做散将样 本中的
n
个数据点
(x
i
,y
i
)(i?1,2,
点图．

从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域 内，两个变量的这种相关关系称为正
相关，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为 负相关．

具有正相关关系的两个变量的散点图如图
1
，具有负相关关系的两 个变量的散点图如图
2.
3
．回归分析

如果散点图中点的分布从 整体上看大致在一条直线附近，则这两个变量之间具有线性相
关关系，这条直线叫做回归直线．

回归直线对应的方程叫做回归直线方程
(
简称回归方程
)
．

4
．回归方程的求解

（
1
）求回归方程的方法是最小二乘 法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方
和最小．

?,n)
，则回 归方若变量
x
与
y
具有线性相关关系，有
n
个样本数据(x
i
,y
i
)(i?1,2,
?
?
?
?a
?
?bx
?
中
b
程
y
?
( x?x)(y?y)
?
xy?nxy
iiii
i?1
nn
?
(x?x)
i
i?1
n
?
2
i?1
n?
x
i?1
?
.
?
?y?bx
，
a
2
i
?nx
2
x
1
?x
2
??
?x
n
y?y
2
?
?
?y
n
1
n
1
n
,y?
?
y
i
?
1< br>其中
x?
?
x
i
?
，
(x,y)
称 为样
n
i?1
nn
i?1
n
本点的中心．

（
2
）线性回归模型
y?bx?a?e
，其中
e
称为随机 误差，自变量
x
称为解释变量，
因变量
y
称为预报变量．

特别提醒
?
?a
①回归直线
y
?
?bx
?
必过样本点的中心
(x,y)
，这个结论既是检验所求回归直线方程
是否准 确的依据，也是求参数的一个依据．

②利用回归直线方程不但可以预测在x
取某一个值时，
y
的估计值，同时也能知道
x
每
?< br>的变化量．

增加
1
个单位，
y
?
既表示直 线的斜率，又表示自变量
x
的取值每增加一个单位③在回归直线方程中，
b
时 ，函数
y
的改变量．

5
．相关系数

（
1
）样本相关系数
r
的计算公式

我们可以利用 相关系数来定量地衡量两个变量之间的线性相关关系，计算公式为
r?
?
(x?x)( y?y)
ii
i?1
n
?
(x?x)
?
(y?y)
2
ii
i?1i?1
nn
.
2
（
2
）样本相关系数
r
的性质

①
|r|?1
；

②当
r>0
时，表明两个变量正 相关；当
r<0
时，表明两个变量负相关；

③
|r|
越接近于
1
，表明两个变量的线性相关性越强；

④
|r|
越接近于
0
，表明两个变量的线性相关性越弱
.
6
．非线性回归分析

对某些特殊的非线性关系，可以通过变量转换，把非线 性回归问题转化成线性回归问题，
然后用线性回归的方法进行研究．

在大量的实际问 题中，所研究的两个变量不一定都呈线性相关关系，当两变量
y
与
x
不
具有线性相关关系时，要借助散点图，与已学过的函数
(
如指数函数、对数函数、幂函
数等
)
的图象相比较，找到合适的函数模型，利用变量代换转化为线性函数关系，从而
使问题得以解决．

特别提醒
求非线性回归方程的步骤：
①确定变量，作出散点图．
②根据散点图，选择恰当的拟合函数．
③变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方
程．
④分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果．
⑤根据相应的变换，写出非线性回归方程．
7．刻画回归效果的方式
方式方法 计算公式 刻画效果

R
2

R
2
?
1?
?
)
?
(
y?y
ii
n
2
?
(y?y)
i
i?1
i?1
n

2
R
2
越接近于1，表示回归的效果越好
残差点比较均匀地落在水平的带状区域
残差图
?
i
称为相应于点< br>(x
i
,y
i
)
的
e
?
i
?y
i
?y
?
i
残差，
e
中，说明选用的模型比 较合适，其中这样
的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精
确度越高.
残差平方和
?
)
?
(
y?y
ii
i?1
n
2

残差平方和越小，模型的拟合效果越好
四、独立性检验

1
．独立性检验

2
n(ad?bc)
(
其中n?a?b?c?d
利用随机变量
K
2
(
也可表示为
?
)
?
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
2
为样本容量)
来判断
“
两个变量有关系
”
的方法称为独立性检验．

2
．独立性检验的一般步骤

(1)
根据样本数据列出
2?2
列联表；

(2)
计算随机变量
K
2
的观测值
k
，查下表确定临界值
k
0
：

P(K
2
?k
0
)

0.50

0.455

0.40

0.708

0.25

1.323

0.15

0.100

0.050

0.025


0.010

0.005

0.001


k
0

2.072

2.706

3.841

5.024
6.635

7.879

10.828
(3)如果
k?k
0
， 就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过
PK
2
?k
0
；
否则，就认为在犯错误的概率不超过
PK
2
?k
0
的前 提下不能推断“X与Y有关系”．
??
??
特别提醒
(1)通常认为
k?2.706
时，样本数据就没有充分的证据显示“X与Y有关系”． (2)独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能
完全肯定一 个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个
问题下确定性结论，否则就 可能对统计计算的结果作出错误的解释．
(3)
独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的 判断，而不是对其是否有关系的判断．