(完整版)高中数学数列知识点总结(经典)

数列基础知识点和方法归纳
1. 等差数列的定义与性质
定义：
a
n?1
?a
n
?d
（
d
为常数），
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d

等差中项：
x，A，y
成等差数列
?2A?x?y

前n
项和:
S
n
?
?
a
1
?a
n
?
n
?na
2
1
?
n
?
n?1
?
d

2
性质：
?
a
n
?
是等差数列
（1）若
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p< br>?a
q
；

（2）数列
?
a
2n?1
?
,
?
a
2n
?
,
?
a
2n? 1
?
仍为等差数列，
S
n
，S
2n
?S
n
，S
3n
?S
2n
……
仍为等差数列，公
差为n
2
d
；
（3）若三个成等差数列，可设为
a?d，a，a?d

（4）若
a
n
，b
n
是等差数列，且前
n
项和分别为
S
n
，T
n
，则
a
m
S
2m?1
?

b
m
T
2m?1
（5）
?
a
n
?
为等差数列
?S
n
?an
2
?bn
（
a，b
为常数，是关于
n
的常数项为0的二次函数）
S
n
的最值可求二次函数
S
n
?an
2
?bn
的最值；或者求出
?
a
n
?
中的正、负分界项，
?
a
n< br>?0
即：当
a
1
?0，d?0
，解不等式组
?
可得
S
n
达到最大值时的
n
值.
a?0
?< br>n?1
?
a
n
?0
当
a
1
?0，d ?0
，由
?
可得
S
n
达到最小值时的
n
值 .
?
a
n?1
?0
(6)项数为偶数
2n
的等 差数列
?
a
n
?
，
有
S
2n
? n(a
1
?a
2n
)?n(a
2
?a
2n?1)???n(a
n
?a
n?1
)(a
n
,a
n ?1
为中间两项)

S
偶
?S
奇
?nd
，
S
奇
S
偶
?
a
n
.
a
n?1
，
有 （7）项数为奇数
2n?1
的等差数列?
a
n
?
S
2n?1
?(2n?1)a
n(a
n
为中间项)
，
S
奇
?S
偶?a
n
，
S
奇
S
偶
?
n
.
n?1

1

2. 等比数列的定义与性质
定义 ：
a
n?1
?q
（
q
为常数，
q?0
），
a
n
?a
1
q
n?1

.
an
等比中项：
x、G、y
成等比数列
?G
2
?xy，或
G??xy
.

?
na
1
(q?1)?
前
n
项和：
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
（要注意！）
(q?1)
?
1?q
?
性质：
?
a
n
?
是等比数列
·a
n
?a
p
·a
q
（1）若
m?n? p?q
，则
a
m
（2）
S
n
，S
2n?S
n
，S
3n
?S
2n
……
仍为等比数列, 公比为
q
n
.
注意：由
S
n
求
a
n
时应注意什么？
n?1
时，
a
1
?S
1
；
n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
.
3．求数列通项公式的常用方法
111
（1）求差（商）法 如：数列
?
a
n
?
，
a
1
?
2
a
2
?……?
n
a
n
?2n?5
，求
a
n< br>
222
1
解:
n?1
时，
a
1
?2?1?5
，∴
a
1
?14
①
2
111
n?2
时，
a
1
?
2
a
2
?……?
n?1
a
n?1
?2n?1?5
②
222
①—②得：
?
14(n?1)
1
n?1
a?2
a?
a?2
，∴，∴
?
n?1
n
n
n
n
2
?
2(n?2)
5
［练习］数列
?
a
n
?
满足
S
n
?S
n?1
?a
n?1
，a
1
?4
，求
a
n

3
注意到
a
n?1
?S
n?1
?S
n
，代入得S
n?1
?4
S
n
；
又
S
1
?4
，∴
?
S
n
?
是等比数列，
S
n?4
n

·4
n?1

n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
?……?3
a
n（2）叠乘法 如：数列
?
a
n
?
中，
a< br>1
?3，
n?1
?
，求
a
n

a
n
n?1
解:

a
a
2
a< br>3
12n?1
3
a
1
·……
n
?·……，∴
n
?
又
a
1
?3
，∴
a
n
?
a
1
a
2
a
n?1
23n
n
.
a
1
n
2

（3）迭加法 由
a
n
?a
n?1
?f(n)，a
1
?a
0
，求
a
n
，用迭加法
?
a
3
?a2
?f(3)
?
?
n?2
时，
?
两边相加得< br>a
n
?a
1
?f(2)?f(3)?……?f(n)

…………
?
a
n
?a
n?1
?f(n)
?
?
∴
a
n
?a
0
?f(2)?f(3)?……?f(n)

［练习］数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1，a
n
?3
n?1
a
2
?a
1?f(2)
?a
n?1
?
n?2
?
，求
an
（
a
n
?
1
n
?
3?1
?
2
）
（4）等比型递推公式 (待定系数法)
a
n
?ca
n?1
?d
（
c、d
为常数，
c?0，c? 1，d?0
）
可转化为等比数列，设
a
n
?x?c
?a
n?1
?x
?
?a
n
?ca
n?1
?
?
c?1
?
x

令
(c?1)x?d
， ∴
x?
d
?
dd
?
，∴
?
a
n< br>?
是首项为
a?，c
为公比的等比数列
?
1
c?1
c?1c?1
??
∴
a
n
?
dd
?
n?1
d
?
n?1
d
??
?
?
a
1
?·ca?a?c?
，∴
n
??
1
?
c?1
?
c?1
?
c?1c?1
??
2a
n
，求
a
n

a
n
?2
（5）倒数法 如：
a
1
?1，a
n?1
?
由已知得：
a?2
111111
?
n
??
，∴
??

a
n? 1
2a
n
2a
n
a
n?1
a
n
2
?
1
?
111
1
2
1
·?
?n?1
?
，∴
a
n
?
∴
??
为等差数 列，
?1
，公差为，∴
?1?
?
n?1
?

a
n
22
2
n?1
a
1
?
a
n
?
(附：公式法、利用
a
n
?
?
S
1(n?1)
S
n
?S
n?1
(n?2)
、累加法、累乘 法、构造等差或等比
a
n?1
?pa
n
?q
或
a< br>n?1
?pa
n
?f(n)
、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学 归纳法、换元法)
4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
a
n
?
1111
; a
n
?
2
; a
n
?; a
n
?
2
;

n
?
n?1
?4n?1n
?
2n?1
?
n?3n?2
2
n
n ?1n?1
n?1
a
n
?
n
; a??1; a?

??
nn
22
n?1
2n?12n?3
2? 12?1
????
n
?
n?2
?
????
3 < /p>

如：
?
a
n
?
是公差为
d
的 等差数列，求
?
1

k?1
a
k
a
k?1
n
解：由
n
111
?
11
?
??
?
?
?
?
d?0
?

a
k
·a< br>k?1
a
k
?
a
k
?d
?
d
?
a
k
a
k?1
?
n
?
111
?
11
?
1
?
?
11
?
?
11< br>?
1
?
?
∴
?
?
?
?
?< br>?
?
?
?
?
?
?
?
?
?< br>?……?
?
?
?
?

aadaadaaaaaak?1
kk?1
k?1
k?1
?
2
?
?
23
?
n?1
?
?
?
k
?
n
?
?
1
?
1
?
11
?
?
??

d
?
a
1
a
n?1
?
111

??……?
1?21?2?31?2?3?……?n
1

a
n
?……?……，S
n
?2?
n?1
［练习］求和：
1?< br>（2）错位相减法 若
?
a
n
?
为等差数列，
?
b
n
?
为等比数列，求数列
?
a
n
b< br>n
?
（差比数列）
前
n
项和，可由
S
n?qS
n
，求
S
n
，其中
q
为
?b
n
?
的公比.
如：
S
n
?1?2x?3 x
2
?4x
3
?……?nx
n?1


①
x·S
n
?x?2x
2
?3x
3
?4x
4
?……?
?
n?1
?
x
n?1< br>?nx
n

① —②
?
1?x
?
S
n
?1?x?x
2
?……?x
n?1
?nx
n


x?1
时，
S
n
1?x
?
nx
?
??
n
n
②
?
1?x?
2
1?x
，
x?1
时，
S
n
?1? 2?3?……?n?
n
?
n?1
?

2
（3）倒序相加法 把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. S
n
?a
1
?a
2
?……?a
n?1
?a
n
?
?
相加
2S
n
?
?
a< br>1
?a
n
?
?
?
a
2
?a
n?1
?
?…?
?
a
1
?a
n
?
…

S
n
?a
n
?a
n?1
?……?a< br>2
?a
1
?
x
2
［练习］已知
f(x)?< br>，则
f(1)?f(2)?
1?x
2
2
?
1
?
f
??
?f(3)?
?
2
?
?
1
?
f
??
?f(4)?
?
3
?
?
1?
f
??
?

?
4
?
?
1
?
??
x
2
x
2
1
x
?
?
1
?
?
由
f(x)?f
??
???? ?1
2
222
?
x
?
1?x
?
1
?
1?x1?x
1?
??
?
x
?

?
∴原式
?f(1)?
?
f(2)?
?


?
1
?
??
f
??
?
?
?
f(3)?
?
2
?
??
?
1
?
??f
??
?
?
?
f(4)?
?
3
???
1
?
1
?
?1
f
??
?
??1?1?1?3
2

?
4
?
?
2
4

数列不等式是高考的一个考点，这类问题是把数列知识与不等式的内容整合在一起， 形成
了证明不等式，求不等式中的参数范围，求数列中的最大项，最小项，比较数列中的项的大
小关系，研究数列的单调性等不同解题方向的问题，而数列的条件的给出是多种多样的，可
以是已知的等 差数列，等比数列，也可以是一个递推公式，或者是一个函数解析式。数列不
等式的证明和解决，要调动 证明不等式的各种手段，如比较法，放缩法，函数法，反证法，
均值不等式法，数学归纳法，分析法等等 ，因此，这类题目从已知条件给出的信息，求解目
标需求的信息中，可寻求的解题过程所用的方法是相当 丰富的，并且对于考查逻辑推理，演
绎证明，运算求解，归纳抽象等理性思维能力以及数学联结能力都是 很好的素材。

放缩法是要证明数列不等式的一种常见方法，如当证明 A多个中间变量通过适当的放大或缩小，以达到证明不等式的方法。放缩 法证明不等式的理论
依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子 (分母)异分母(分子)
的两个分式大小的比较。常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分 式中放大或缩
小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩。
常用数列不等式证明中的裂项形式:
111
1111
??
?(?)
; （1）
n(n+1)nn?1
n(n+k)knk?1
11111
??(?)
(2)
22
kk?12k?1k?1

(3)
(4)

(5)

(6)
2
1111111
???
2
???

kk?1(k?1)kk(k?1)kk?1k
?
11
?
11
;
?
?
?
?
n(n?1)(n?2)2
?
n(n?1 )(n?1)(n?2)
?
n11

??
n?1!n!n?1!< br>????
?
n?1?n?
?
2
n?n?1
?
1211
??2(n?n?1)?
)
n(n?1)
2n
nn?n?1

0123n?1n01n?1n< br>?C
n
?C
n
?C
n
?...?C
n
?C
n
?C
n
?C
n
?C
n
?C
n
?2(n?1)?2
n
?1?2n?1
(7)
2
n
?C
n



5